光波闡述的角譜分析法

1、光波闡述的角譜分析法要求:對一隨時(shí)間變化的信號作傅里葉變換，可求得該信號的頻譜分布。 同樣，對任一平面上的復(fù)振幅分布作空間坐標(biāo)的二維傅里葉變換，則可求得該光場信號的“空間頻譜” 分布，各個不同空間頻率的空間傅里葉分量，可看作是沿不同方向傳播的平面波，因此稱“空間頻譜”為平面波的角譜。一束有限大小的平面波從z=0處發(fā)射出來，波前的法向?yàn)閦方向，該光場復(fù)振幅分布為：ExyQ=i&exp儲x q，y ±2a bX >2，丫>2設(shè)a=b=0.001米，請完成下面問題的解答(1)說明角譜的物理意義;(2)獲得該光場的角譜分布;(3)使用 Matlab,畫出該光束遠(yuǎn)場的光斑圖

2、樣。引言很多光學(xué)系統(tǒng)可以看成線性空間不變系統(tǒng)，如果一個復(fù)雜光場看成簡單光場的線性疊加，則知道簡單光場的響應(yīng)，那么復(fù)雜光場總響應(yīng)則為簡單光場響應(yīng)的線性疊加。惠更斯提出了次波假設(shè)對波的傳播過程進(jìn)行了闡述，從而形成了惠更斯球面波理論，他利用該理論解決了一些光的衍射問題。傅里葉光學(xué)則把復(fù)振幅分解為朝不同方向傳播的平面波，即角譜。具體介紹角譜之前，先了解一下空域中場函數(shù)和頻域中的頻函數(shù)的關(guān)系。1.1空域和頻域的分析空間頻率是傅里葉光學(xué)中的基本物理量，波矢量為2 二二k = kko =(cos«, cos P ,cos。( 1)九的單色波在空間位置 )=(x,y, z)的復(fù)振幅為2 二(2)Ex

3、,y, z = Aexp j xcos： , y coszcos1九J對于任意一個波函數(shù)的每個傅里葉分量都是一個單一空間頻率的復(fù)指數(shù)函數(shù)，因此，每個頻率分量都可以擴(kuò)展到空域(x,y比。對于任一單色波，都可以用其振幅分布和相位分布來表示：g(x, y)=A(x, y )exptj*(x, yp(3)其中A(x,y住非負(fù)的實(shí)值振幅分布，®(x,y)=2n(fxx +fyy謔實(shí)值相彳分布，fx, fy是光波分別在x, y方向上的頻率。函數(shù) g(x, y的傅里葉變換式為G(fx，fy )二 口g(x, y)expLj2n(fxx+ fyy 山xdy(4)G(fx, fy的傅里葉逆變換為g(x

4、, y )= jJG(fx，fy fexp tj2n(fxx + fyy )dfxdfy(5)如果用g(x,y/示光波的場函數(shù)，那么 G(fx, fy廁為頻函數(shù)。1.2角譜及其物理意義復(fù)雜光場E(x, y,0冏傅里葉變換為A(fx, fy,0)= fE(x, y,0 )exp L j2n(fxx+ fyy Wxdy(6)A(fx, fy,0的傅里葉變換為E(x, y,0)= jJA(fx, fy,0fexplj2n(fxx+ fyy Afxdfy由此看出，一個空間函數(shù) E(x, y,0)可分解為無數(shù)形式為expj2n(f*x+ fyy 沙(8)的簡單基元函數(shù) 的線性疊加，而A(fx, fy,0

5、展示空間頻率為(fx, fy的基元函數(shù)在線性組合 中所占的權(quán)重，因此稱為該空間域的角譜或頻譜。當(dāng)平面波在z = z0平面時(shí)，復(fù)振幅為(9)Ex,y, Zo = A fx, fy, Zo expj2二 fxx fyy dfxdfy此時(shí)角譜為A(fx，fy, z 卜 ffE(x,y,Zo exp L j2n(fxX+ fyy Wxdy(10)2.1 求光場的角譜分布光場為Ex,y,0：E0expkZj從z=0處發(fā)射出來，波前的法向?yàn)閍，,yaFz方向。b< 2b> 2在z=0時(shí)這個平面波可以寫成(11)E x,y,0)=A fx, fy,0 expj2二 fxx fyy 1其中角譜為A

6、 fx, fy,0)： II E0exp kzj expL j2二 f*x fyy dxdyx|_21y-2=Eo exp(kzjexp”j2二fxxdxbexp - j2-：fyy dyiy三sin a fxsin b fv 三Ey_ Eo2 fxfy(12)在傳播Zo距離后該光場的分布為Ex,yz = A fx, fy,Zo expLj2二 f*x fyy(13)此時(shí)角譜為A fx, fy,Zo = A fx, fy,0 exp jkzocos(14)用空間頻率表示則為A fx, fy, Zo)= A fx, fy,0 exp jkz0 .(15)當(dāng)（Mx 2 +fy 2 M1,也就是平面

7、波接近z軸傳播時(shí)，式（15）根號內(nèi)為正實(shí)數(shù)，這是普通平面波在自由空間內(nèi)的傳播。當(dāng)（?fx 2 +（My 2 >1時(shí)，根號內(nèi)為負(fù)實(shí)數(shù)，此時(shí)平面波 隨Z坐標(biāo)的增加按指數(shù)規(guī)律下降，這樣的波稱為倏逝波或隱失波，則這個空間頻率的平面波 實(shí)際不會有效傳播。2.2 光束的遠(yuǎn)場分布由線性空間不變系統(tǒng)的頻域分析可知，A(fx, fy,z0 W A(fx, fy,0的乘積關(guān)系可知，光波在自由空間傳播 小距離是一個 線性空間不變系統(tǒng)，將這兩者聯(lián)系在一起的函數(shù)則為這個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，即(16)H fx,fy =A fx,fy,4 /A fx,fy,0式(16)是基爾霍夫衍射的傳遞函數(shù)將夫瑯禾費(fèi)衍射從孔徑區(qū)域的積

8、分改寫成無限大平面上的積分，即Ex,y =. E , hx- ,y- d d(17)夫瑯禾費(fèi)衍射是孔徑中的場 E仁門 聲h(x-t,y-n )的卷積，夫瑯禾費(fèi)衍射是線性空間不變系統(tǒng)。那么該光場的遠(yuǎn)場分布可看成是遠(yuǎn)場下夫瑯禾費(fèi)的矩孔衍射。仿真邊長為3的正方形矩孔孔徑后表面場的角譜，是入射光角譜與孔徑復(fù)振幅透過率傅里葉變換的卷積，若單色平面波垂直入射孔徑，且入射光 Ei(>" )=1 ,則出射光的角譜直接由孔徑的傅里葉變換得出。即(18)At fx, fy =T fx,fy * , fx, fy =T fx, fy衍射光斑衍射圖像為矩孔衍射二維光強(qiáng)分布曲線I強(qiáng) 光-500-400-300-200-1000100200300400500x中心處光強(qiáng)為最大值三維光強(qiáng)分布曲線1500附件matlab代碼clearx=linspace(-500,500,1001);y=x;X,Y=meshgrid(x,y);for i=1:size(X,1)for j=1:size(Y,1)if X(i,j)<=3&&X(i,j)>=-3&&Y(i,j)<=3&&Y(i,j)>=-3 S(i,j)=1;elseS(i,j)=0;endendendfigure(1) imshow(S,口)Ft=fft2(S);Fts=ff