采樣系統(tǒng)復(fù)習(xí)傅里葉級數(shù)與傅里葉變換ppt課件

1、傅里葉級數(shù)與變換傅里葉級數(shù)與變換內(nèi)容提要內(nèi)容提要傅里葉級數(shù)和傅里葉級數(shù)的性質(zhì)傅里葉級數(shù)和傅里葉級數(shù)的性質(zhì)傅里葉變換和傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換和傅里葉變換的性質(zhì)周期信號和非周期信號的頻譜分析周期信號和非周期信號的頻譜分析卷積和卷積定理卷積和卷積定理抽樣信號的傅里葉變換和抽樣定理抽樣信號的傅里葉變換和抽樣定理傅里葉生平傅里葉生平 1768年生于法國年生于法國 1807年提出年提出“任何周期任何周期信號都可用正弦函數(shù)信號都可用正弦函數(shù)級數(shù)表示級數(shù)表示 1829年狄里赫利第一年狄里赫利第一個給出收斂條件個給出收斂條件 拉格朗日反對發(fā)表拉格朗日反對發(fā)表 1822年初次發(fā)表在年初次發(fā)表在“熱熱的分析實際

2、的分析實際 一書中一書中傅立葉的兩個最主要的奉獻傅立葉的兩個最主要的奉獻 “周期信號都可表示為諧波關(guān)系的正弦信號的加權(quán)和傅里葉的第一個主要論點 “非周期信號都可用正弦信號的加權(quán)積分表示傅里葉的第二個主要論點 頻域分析：傅里葉變換，自變量頻域分析：傅里葉變換，自變量為為 j 復(fù)頻域分析：拉氏變換復(fù)頻域分析：拉氏變換, 自變量為自變量為 S = +j Z域分析：域分析：Z 變換，自變量為變換，自變量為z TjsTeez)(一 變換域分析 周期信號可展開成正交函數(shù)線性組合的周期信號可展開成正交函數(shù)線性組合的無窮級數(shù)：無窮級數(shù)：. 三角函數(shù)式的三角函數(shù)式的 傅立里葉級數(shù)傅立里葉級數(shù) cosn1t, s

3、inn1t. 復(fù)指數(shù)函數(shù)式的傅里葉級數(shù)復(fù)指數(shù)函數(shù)式的傅里葉級數(shù) e j n 1t 二二 周期信號的頻譜分析周期信號的頻譜分析1 三角函數(shù)方式的傅里葉級數(shù)三角函數(shù)方式的傅里葉級數(shù): 112T)sincos()(11101tnbtnaatfnnn直流分量基波分量n =1 諧波分量n11n100).(110TttdttfTa100.cos).(211TttndttntfTadttntfTbTttn.sin).(210011直流系數(shù)余弦分量系數(shù)正弦分量系數(shù)狄利赫利條件：狄利赫利條件： 在一個周期內(nèi)只需有限個延續(xù)點；在一個周期內(nèi)只需有限個延續(xù)點； 在一個周期內(nèi)有有限個極值點；在一個周期內(nèi)有有限個極值點；

4、 在一個周期內(nèi)函數(shù)絕對可積，即在一個周期內(nèi)函數(shù)絕對可積，即 普通周期信號都滿足這些條件普通周期信號都滿足這些條件. 010( ).tTtf t dt 三角函數(shù)是正交函數(shù))2 . 3(0.sin.cos11100dttmtnTtt)3 . 3()()(0sinsin001211nmnmtdtmtnTttT) 3 . 3()()(0coscos001211nmnmtdtmtnTttT周期信號的另一種三角函數(shù)正交集表示011( )()nnnf tCC COS nt)sin(.)(110nnntnddtf比較幾種系數(shù)的關(guān)系000dCa22nnnnbadCnnnbatgnnnbtga cossinnnn

5、nnaCdsincosnnnnnbCd 周期函數(shù)的頻譜：周期函數(shù)的頻譜： 周期信號的譜線只出如今基波頻率的整數(shù)倍的頻率處。直觀看出：各分量的大小，各分量的頻移， Cn 11n)(n11n2 指數(shù)方式的傅里葉級數(shù)指數(shù)方式的傅里葉級數(shù) 由前知 由歐拉公式 其中)sincos()(11101tnbtnaatfnnntjnnenFtf1)()(1)(21)(1nnjbanF)(21)(1nnjbanF0)0(aF引入了負頻率指數(shù)方式的傅里葉級數(shù)的系數(shù)nFnF)(11001)(11TtttjnndtetfTF0000adcF)(21nnjnnjbaeFFn)(21nnjnnjbaeFFn兩種傅氏級數(shù)的系

6、數(shù)間的關(guān)系周期復(fù)指數(shù)信號的頻譜圖 nnFnF1111n1n1n000兩種傅氏級數(shù)的系數(shù)間的關(guān)系22212121nnnnnnbadcFFnnncFFnnnaFFnnnbFFj)(nnnnnnFFbadc422223 周期信號的功率特性 P為周期信號的平均功率 符合帕斯瓦爾定理100).(1)(212TttdttfTtfP12nnFP4 對稱信號的傅里葉級數(shù)三種對稱：偶函數(shù) ：f (t )=f (-t)奇函數(shù) ：f (t )= - f (-t)奇諧函數(shù) ：半周期對稱恣意周期函數(shù)有： 偶函數(shù)項 奇函數(shù)項)2()(1nTtftf)sincos()(11101tnbtnaatfnnn周期偶函數(shù)只含直流和

7、 其中a是實數(shù) bn=0 Fn是實數(shù)tnaatfnn110cos)(tnan1cos100.cos)(411TttndttntfTa2nnnaFFtjnnenFtf1)()(1例如:周期三角函數(shù)是偶函數(shù).)5cos2513cos91(cos42)(1112tttEEtfEf(t)T1/2-T1/2t周期奇函數(shù)只含正弦項tnbtfnn11sin)(1011.sin).(4TndttntfTb000naaFn為虛數(shù)2nnnbFFj 例如周期鋸齒波是奇函數(shù).)3sin312sin21(sin)(111tttEtfE/2-E/2T1/2-T1/2f(t)t0奇諧函數(shù) ：)2()(1Ttftfl沿時間軸

8、移半個周期；l 反轉(zhuǎn)；l 波形不變；l半周期對稱奇諧函數(shù) 的波形： f(t)T1/2-T1/20t奇諧函數(shù)的傅氏級數(shù)奇諧函數(shù)的偶次諧波的系數(shù)為0dtttfTaT.cos)(4201111dtttfTbT.sin)(4201111a20 , b202nnnjbaF例：利用傅立葉級數(shù)的對稱性判別所含有的頻率分量周期偶函數(shù)，奇諧函數(shù)，只含基波和奇次諧波的余弦分量周期奇函數(shù)，奇諧函數(shù)，只含基波和奇次次諧波的正弦分量含有直流分量和正弦分量只含有正弦分量含有直流分量和余弦分量三 典型周期信號的頻譜周期矩形脈沖信號周期矩形脈沖信號周期鋸齒脈沖信號周期鋸齒脈沖信號周期三角脈沖信號周期三角脈沖信號周期半波脈沖信

9、號周期半波脈沖信號周期全波脈沖信號周期全波脈沖信號1 周期矩形脈沖信號的頻譜周期矩形脈沖信號的頻譜ntjnneFtf1)(2)2sin()()(11112/2/11221111nnTEeejnTEdtEeTFjnjntjnn)(1TnSa)2(0)2()(1ttEtfn242422112T)(,1110TnSaTEFTEFn 頻譜分析闡明頻譜分析闡明 離散頻譜，譜線間隔為基波頻率，脈沖離散頻譜，譜線間隔為基波頻率，脈沖周期越大，譜線越密。周期越大，譜線越密。 各分量的大小與脈幅成正比，與脈寬成各分量的大小與脈幅成正比，與脈寬成正比，與周期成反比。正比，與周期成反比。 各譜線的幅度按各譜線的幅度

10、按 包絡(luò)線變化。過包絡(luò)線變化。過 零點為：零點為： 主要能量在第一過零點內(nèi)。主帶寬度為：主要能量在第一過零點內(nèi)。主帶寬度為：)(1TnSam22B周期矩形的頻譜變化規(guī)律： 假設(shè)T不變，在改動的情況 假設(shè)不變，在改動T時的情況22112T12對稱方波是周期矩形的特例.5cos513cos31cos2)(111tttEtf)(11TnSaTEFnntjnneFtf1)(對稱方波的頻譜對稱方波的頻譜變化規(guī)律113151513113nnana)(tx17ntjnneFtf1)(dtetfTFtjnn2211)(1傅立葉級數(shù)傅立葉級數(shù)的系數(shù)T1 信號的周期脈寬基波頻率1傅立葉級數(shù)小結(jié)傅立葉級數(shù)小結(jié)四 非

11、周期信號的頻譜分析當(dāng)周期信號的周期T1無限大時,就演化成了非周期信號的單脈沖信號1TdT02111n頻率也變成延續(xù)變量頻譜演化的定性察看頻譜演化的定性察看)(1nF11)(nF)(1nF22112T1從周期信號從周期信號FS推導(dǎo)非周期的推導(dǎo)非周期的FTntjnenFtf1).()(1dtetfTnFTTtjn.).(1)(2121111dtetfnFtjn.).(2).(111( )( ).j tFf t edt傅立葉的逆變換傅立葉的逆變換ntjnenFtf11).()(1111.)()(tjnnenFtf)(.2)(111neFtjnndnnT)(01111n)()(1FnFdeFtftj.

12、 )(21)(三。從物理意義來討論三。從物理意義來討論FT (a) F()是一個密度函數(shù)的概念是一個密度函數(shù)的概念 (b) F()是一個延續(xù)譜是一個延續(xù)譜 (c) F()包含了從零到無限高包含了從零到無限高 頻的一切頻率分量頻的一切頻率分量 (d) 各頻率分量的頻率不成諧波各頻率分量的頻率不成諧波 關(guān)系關(guān)系傅立葉變換普通為復(fù)數(shù)FT普通為復(fù)函數(shù))()()(jeFFdeFdeFtftjtj)(2121)()()(假設(shè)f(t)為實數(shù)，那么幅頻為偶函數(shù),相頻為奇函數(shù)dtFtf)(cos()()(21傅立葉變換存在的充分條件dttf)( 單邊指數(shù)信號 雙邊指數(shù)信號 矩形脈沖信號 符號函數(shù) 沖激函數(shù)信號 沖激偶函數(shù)信號 階躍函數(shù)信號四 典型非周期信號的頻譜 信號表達式 幅頻 相頻)0(0)0()(ttetft)0(1)()(jdtetfFtj221)(F)()(arctg單邊指數(shù)信號)()(tetft222)(F0)( f(t)0t0雙邊指數(shù)信號)(0)()(22ttEtf)()sin()sin()(222222/2/SaEEdtEeFEtj)()(2SaEF)()(0)()1(4)12(2)12(24nnnn)0(1)0(1)sgn()(ttttf).sgn(lim)(lim)(010taaae