242拋物線的簡單幾何性質1

1、X定義：在平面定義：在平面內內,與一個定點與一個定點F和一條定直和一條定直線線l(l不經過點不經過點F)的的距離相等距離相等的點的軌跡叫的點的軌跡叫拋物線拋物線.拋物線的定義及標準方程拋物線的定義及標準方程準線方程準線方程焦點坐標焦點坐標標準方程標準方程圖圖 形形x xF FOy ylx xF FOy ylx xF FOy ylx xFOy yl)0 ,2p(2px)0 ,2p(2px)2p0( ，2py)2p0(，2py 一、溫故知新一、溫故知新范圍范圍1、yox)0 ,2(pF由拋物線由拋物線y2 =2px（p0）220pxy有有 0p 0 x 所以拋物線的范圍為所以拋物線的范圍為0 x

2、二、探索新知二、探索新知如何研究拋物線如何研究拋物線y2 =2px（p0）的幾何性質）的幾何性質?拋物線在拋物線在y軸的右側，當軸的右側，當x的值增大時，的值增大時，y也也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸。增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸。對稱性對稱性2、yox)0 ,2(pF( , )x y關于關于x軸軸對稱對稱( ,)xy即點即點(x,-y) 也在拋物線上也在拋物線上,故故 拋物線拋物線y2 = 2px(p0)關于關于x軸軸對稱對稱.則則 (-y)2 = 2px若點若點(x,y)在拋物線上在拋物線上, 即滿足即滿足y2 = 2px，對稱軸叫拋物線的軸頂點頂點3、yox)

3、0 ,2(pF 定義：拋物線與定義：拋物線與它的軸的交點叫做拋它的軸的交點叫做拋物線的物線的頂點頂點。y2 = 2px (p0)中，中，令令y=0,則則x=0.即：拋物線即：拋物線y2 = 2px (p0)的的頂點（頂點（0，0）.注注:這與橢圓有四個頂點這與橢圓有四個頂點,雙曲線有兩個頂點不同。雙曲線有兩個頂點不同。離心率離心率4、yox)0 ,2(pFP(x,y) 拋物線上的點與拋物線上的點與焦點的距離和它到準焦點的距離和它到準線的距離之比，叫做線的距離之比，叫做拋物線的離心率。拋物線的離心率。 由定義知，由定義知， 拋物線拋物線y2 = 2px (p0)的離心率為的離心率為e=1. 下面

4、請大家得出其余三種標準方程拋下面請大家得出其余三種標準方程拋物線的幾何性質。物線的幾何性質。（二）歸納：拋物線（二）歸納：拋物線的的幾何性質幾何性質圖圖 形形方程方程焦點焦點準線準線 范圍范圍 頂點頂點 對稱軸對稱軸elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2 = 2px（p0）y2 = -2px（p0）x2 = 2py（p0）x2 = -2py（p0）)0 ,2(pF)0 ,2(pF )2, 0(pF)2, 0(pF2px 2px 2py 2pyx0yRx0yRy0 xRy 0 xR(0,0)x軸軸y軸軸1特點：特點：1.拋物線只位于半個坐標平面內拋物線只位于半個坐標平面內,雖然它可以無雖

5、然它可以無限延伸限延伸,但它沒有漸近線但它沒有漸近線;2.拋物線只有一條對稱軸拋物線只有一條對稱軸,沒有沒有對稱中心對稱中心;3.拋物線只有一個頂點、拋物線只有一個頂點、一個焦點、一條準線一個焦點、一條準線;4.拋物線的離心率是確定的拋物線的離心率是確定的,為為1;yox)0 ,2(pFP(x,y)（2）通徑：）通徑：通過焦點且垂直對稱軸的直線，與拋物線相交于通過焦點且垂直對稱軸的直線，與拋物線相交于兩點，連接這兩點的線段叫做拋物線的兩點，連接這兩點的線段叫做拋物線的通徑通徑。|PF|=x0+p/2xOyFP通徑的長度通徑的長度：2P補充補充：（：（1 1）焦半徑：）焦半徑：連接拋物線任意一點

6、與焦點連接拋物線任意一點與焦點的線段叫做拋物線的的線段叫做拋物線的焦半徑焦半徑。焦半徑公式：焦半徑公式：),(00yx（標準方程中（標準方程中2p的幾何意義）的幾何意義）利用拋物線的利用拋物線的頂點頂點、通徑的兩個、通徑的兩個端點端點可較準確畫出可較準確畫出反映拋物線基本特征的草圖。反映拋物線基本特征的草圖。思考思考：拋物線標準方程中的：拋物線標準方程中的p對拋物線開口的影響對拋物線開口的影響.P P越大越大, ,開口越開闊開口越開闊因為拋物線關于因為拋物線關于x x軸對稱，它的頂點在坐標原軸對稱，它的頂點在坐標原點，并且經過點點，并且經過點M M（，），（，），2 2解解:所以設方程為：所以

7、設方程為：)0(22ppxy又因為點又因為點M M在拋物線上在拋物線上：所以：所以：2( 2 2)22p2p因此所求拋物線標準方程為：因此所求拋物線標準方程為：24yx例例：已知拋物線關于：已知拋物線關于坐標軸對稱，它的頂點在坐坐標軸對稱，它的頂點在坐標原點，并且經過點標原點，并且經過點M M（，），求它的標準方（，），求它的標準方程程. .2 2三、典例精析三、典例精析xyOFAB224 ,(1)4 ,yxxx代代入入方方程程得得.0162xx化簡得121221212612 ()48xxxxABxxx x。的長是所以，線段8AB例例2.斜率為斜率為1的直線的直線L經過拋物線經過拋物線 的焦點

8、的焦點F,且與拋物線相交于且與拋物線相交于A,B兩點兩點,求線段求線段AB的長的長.y2 = 4x解一解一:由已知得拋物線的焦點為由已知得拋物線的焦點為F(1,0),所以直線所以直線AB的方程為的方程為y=x-1xyOFABBA.,),(),(2211BAddlBAyxByxA的距離分別為準線到設1222,pApBAFdxBFdx由拋物線的定義可知128所以 ABAFBFxxp 例例2.斜率為斜率為1的直線的直線L經過拋物線經過拋物線 的焦點的焦點F,且與拋物線相交于且與拋物線相交于A,B兩點兩點,求線段求線段AB的長的長.y2 = 4x解二：1616課堂練習課堂練習:1.已知拋物線的頂點在原

9、點，對稱軸為已知拋物線的頂點在原點，對稱軸為x軸，軸，焦點在直線焦點在直線3x-4y-12=0上，那么拋物線通徑上，那么拋物線通徑長是長是_.X=3y2 = 8x0452.過拋物線過拋物線 的焦點的焦點,作傾斜角為作傾斜角為的直線的直線,則被拋物線截得的弦長為則被拋物線截得的弦長為_33.垂直于垂直于x軸的直線交拋物線軸的直線交拋物線y2=4x于于A、B,且且|AB|=4 ,求直線求直線AB的方程的方程. 4、 過拋物線過拋物線y2=2px的焦點的焦點F任作一條直線任作一條直線m，交這拋物線于交這拋物線于A、B兩點，判斷以兩點，判斷以AB為直徑的圓為直徑的圓和這拋物線的準線的位置關系，并給予證明和這拋物線的準線的位置關系，并給予證明證明：如圖 所以所以EH是以是以AB為直徑的為直徑的圓圓E的半徑，且的半徑，且EHl，因，因而圓而圓E和準線和準線l相切相切設設AB的中點為的中點為E，過，過A、E、B分別向準線分別向準線l引垂引垂線線AD，EH，BC，垂足為，垂足為D、H、C，則則AFAD，BFBCABAFBFADBC =2EH四、歸納總結四、歸納總結拋物線只位于半個坐標平面內，雖然它也可拋物線只位于半個坐標平面內，雖然它也可以無限延伸，但沒有漸近線；以無限延伸，但沒有漸近線；拋物線只有一條對稱軸拋物線只有一條對稱軸,沒有對稱中心沒有對稱中心;拋物線的離