初中數(shù)學動點問題解題技巧

1、動點問題解題技巧以運動的觀點探究幾何圖形部分規(guī)律的問題，稱之為動態(tài)幾何問題。動態(tài)幾何問題充分體現(xiàn)了數(shù)學中的“變”與“不變”的和諧統(tǒng)一，其特點是圖形中的某些元素(點、線段、角等)或某部分幾何圖形按一定的規(guī)律運動變化，從而又引起了其它一些元素的數(shù)量、位置關(guān)系、圖形重疊部分的面積或某部分圖形等發(fā)生變化，但是圖形的一些元素數(shù)量和關(guān)系在運動變化的過程中卻互相依存，具有一定的規(guī)律可尋。所謂“動點型問題”是指題設圖形中存在一個或多個動點，它們在線段、射線或弧線上運動的一類開放性題目，注重對幾何圖形運動變化能力的考查。解決這類問題的關(guān)鍵是動中求靜，靈活運用有關(guān)數(shù)學知識解決問題.在變化中找到不變的性質(zhì)是解決數(shù)學

2、“動點”探究題的基本思路，這也是動態(tài)幾何數(shù)學問題中最核心的數(shù)學本質(zhì)。從變換的角度和運動變化來研究三角形、四邊形、函數(shù)圖像等圖形，通過“對稱、動點的運動”等研究手段和方法，來探索與發(fā)現(xiàn)圖形性質(zhì)及圖形變化，在解題過程中滲透空間觀念和合情推理。這些壓軸題題型繁多、題意創(chuàng)新，目的是考察學生的分析問題、解決問題的能力，內(nèi)容包括空間觀念、應用意識、推理能力等。從數(shù)學思想的層面上講需要具備以下思想：分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)思想、方程思想。常見的動點問題一、數(shù)軸上的動點問題數(shù)軸上的動點問題離不開數(shù)軸上兩點之間的距離。為了便于對這類問題的分析，先明確以下3個問題：1 .數(shù)軸上兩點間的距離，即為

3、這兩點所對應的坐標差的絕對值,也即用右邊的數(shù)減去左邊的數(shù)的差。即數(shù)軸上兩點間的距離=右邊點表示的數(shù)一左邊點表示的2 .點在數(shù)軸上運動時，由于數(shù)軸向右的方向為正方向，因此向右運動的速度看作正速度，而向左運動的速度看作負速度。這樣在起點的基礎上加上點的運動路程就可以直接得到運動后點的坐標。即一個點表示的數(shù)為a,向左運動b個單位后表示的數(shù)為ab；向右運動b個單位后所表示的數(shù)為a+bo3 .數(shù)軸是數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物，分析數(shù)軸上點的運動要結(jié)合圖形進行分析，點在數(shù)軸上運動形成的路徑可看作數(shù)軸上線段的和差關(guān)系。例1如圖.A、B、C三點在數(shù)軸上，A表示的數(shù)為-10,B表示的數(shù)為14,點C在點A與點B之間，且AC=

4、BC.(1)求A、B兩點間的距離；AS4予4Q014(2)求C點對應的數(shù)；？(3)甲、乙分別從A、B兩點同時相向運動，甲的速度是1個單位長度/s,乙的速度是2個單位長度/s,求相遇點D對應的數(shù).練習1已知數(shù)軸上兩點A、B對應的數(shù)分別為一1,3,點P為數(shù)軸上一動點，其對應的數(shù)為x0若點P到點A、點B的距離相等，求點P對應的數(shù)；數(shù)軸上是否存在點P,使點P到點A、點B的距離之和為5?若存在，請求出x的值。若不存在，請說明理由？當點P以每分鐘一個單位長度的速度從O點向左運動時，點A以每分鐘5個單位長度向左運動，點B一每分鐘20個單位長度向左運動，問它們同時出發(fā)，幾分鐘后P點到點A、點B的距離相等？二、

5、求最值問題利用軸對稱性質(zhì)實現(xiàn)“搬點移線”求幾何圖形中一些線段和最小值問題。利用軸對稱的性質(zhì)解決幾何圖形中的最值問題借助的主要基本定理有三個：(1)兩點之間線段最短；(2)三角形兩邊之和大于第三邊；(3)垂線段最短。求線段和最小值問題可以歸結(jié)為：一個動點的最值問題，兩個動點的最值問題。例2如圖，正方形ABCD的面積為12,AABE是等邊三角形，點E在正方形內(nèi)，在對角線AC上有一動點P,使PMPE的值最小，則其最小值是.特點：已知兩個定點位于一條直線的同一側(cè)，在直線上確定一動點的位置，使動點與兩定點線段和最小，求出最小值。思路:解決這類題目的方法是找出其中一定點關(guān)于直線的對稱點，連結(jié)這個對稱點與另

6、一定點，交直線于一點，交點即為動點滿足最值的位置。練習2如圖，等邊ABC勺邊長為4,AD是BC邊上的中線，F(xiàn)是AD邊上的動點,E是AC邊上一點，若AE=2,當EF+CF得最小值時，則/ECF的度數(shù)為()A.150B,22.5C.30D,45例3如圖，/AOB=30，內(nèi)有一點P且OP=6,若MN為邊OAOB上兩動點,那么PMN勺周長最小為（A.2V6B.6C，6/2D.V6特點：已知一個定點位于平面內(nèi)兩相交直線之間，分別在兩直線上確定兩個動點使線段和最小。思路：這類問題通過做這一定點關(guān)于兩條線的對稱點，實現(xiàn)“搬點移線”，把線段“移”到同一直線上來解決。練習3如圖，已知/AOB的大小為a,P是/A

7、OB內(nèi)部的一個定點，且OP=2,點E、F分別是OA、OB上的動點，若PEF周長的最小值等于2,則aA.3090B.45C.60)D.E例4在銳角三角形ABC中,AB=4,/BAC=60,/BAC的平分線BC于D,MN分別是AD與AB上動點，則BMMN的最小值是.特點：兩動點在兩條直線上，定點和其中一個動點共線，求不共線動點分別到定點和另一動點的距離和最小值。思路：（1）利用軸對稱變換，使不共線動點在另一動點的對稱點與定點的連線段上(兩點之間線段最短).(2)這條線段垂直于另一動點的對稱點所在直線時，兩線段和最小，最小值等于這條垂線段的長。練習4如圖，在AABC中，/C=90,CB=CA=4/A

8、的平分線交BC于點D,若點P、Q分別是AC和AD上的動點,則CQ+PQ的最小值是.CpA三、動點構(gòu)成特殊圖形問題此類問題背景是特殊圖形，考查問題也是特殊圖形，所以要把握好一般與特殊的關(guān)系；分析過程中，特別要關(guān)注圖形的特性(特殊角、特殊圖形的性質(zhì)、圖形的特殊位置),分析圖形變化過程中變量和其他量之間的關(guān)系，或是找到變化中的不變量，建立方程或函數(shù)關(guān)系解決。1把握運動變化的形式及過程；思考運動初始狀態(tài)時幾何元素的關(guān)系，以及可求出的量。2先確定特定圖形中動點的位置，畫出符合題意的圖形一一化動為靜。3根據(jù)已知條件，將動點的移動距離以及解決問題時所需要的條件用含t的代數(shù)式表小出來。4根據(jù)所求，利用特殊圖形

9、的性質(zhì)或相互關(guān)系，找出等量關(guān)系列出方程來解決動點問題。例5如圖，在RtABC中，/B=90,AB=5,/C=30.點D從點C出發(fā)沿CA方向以每秒2個單位長的速度向點A勻速運動，同時點E從點A出發(fā)沿AB方向以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動.設點D、E運動的時間是t秒(t0).過點D作DF,BC于點F,連接DEEF.(1)求證：AE=DF(2)當t為何值時，DEF為直角三角形？請說明理由.例6如圖，點A在Y軸上，點B在X軸上，且OA=OB=1,經(jīng)過原點O的直線L交線段AB于點C,過C作OC的垂線，與直線X=1相交于點P,現(xiàn)將直線L繞。點旋轉(zhuǎn)，使交

10、點C從A向B運動，但C點必須在第一象限內(nèi)，并記AC的長為t,分析此圖后，對下列問題作出探究：(1)當AAOC和ABCP全等時，求出t的值。(2)通過動手測量線段OCffiCP的長來判斷它們之間的大小關(guān)系？并證明你得到的結(jié)論。鞏固提升1.如圖在銳角ABCt,AB=4,2,/BAC=45,/BAC的平分線交BC于點D,M、N分別是AD、AB上的動點，則BM+MN勺最小值是.2.已知，數(shù)軸上點A在原點左邊，到原點的距離為8個單位長度，點B在原點的右邊，從點A走到點B,要經(jīng)過32個單位長度.(1)求A、B兩點所對應的數(shù)；(2)若點C也是數(shù)軸上的點，點C到點B的距離是點C到原點的距離的3倍，求點C對應的

11、數(shù)；(3)已知，點M從點A向右出發(fā)，速度為每秒1個單位長度，同時點N從點B向右出發(fā)，速度為每秒2個單位長度，設線段NO的中點為P,線段PO-AM勺值是否變化？若不變求其值.3 .如圖，在平面直角坐標系中，點A(V3,0),B(373,2),C(0,2).動點D以每秒1個單位的速度從點0出發(fā)沿OC向終點C運動，同時動點E以每秒2個單位的速度從點A出發(fā)沿AB向終點B運動.過點E作EF上AB,交BC于點F,連結(jié)DADF.設運動時間為t秒.(1)求/ABC的度數(shù)；當t為何值時，AB/DF;4 .如圖，ABCg邊長為6的等邊三角形，P是AC邊上一動點，由A向C運動(與A、C不重合)，Q是CB延長線上一點，與點P同時以相同的速度由B向CB延長線方向運動(Q不與B重合)，過P作PELAB于E,連接P人8于。(1)當/BCD=30時，求AP白向長;(2)當運動過程中線段ED的長是否發(fā)生變化？如果不變，求出線段ED白長；如果變化請說明理由.ccab1.最短路徑問題知識拓展2.勾股定理在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。用數(shù)學語言表示：已知在ABC中，/0=90,/A、/B、/C的對邊為a、b、c。求證：a2+b2=c2。bAaDcBDCEaCABb作法原理江巴線/上求一點八便rti+pa佗最小一連八也與支點叫為幾.4f8兩點之間桀理品酊，/M+Pfi最小位