高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)專題5.2 數(shù)列（解析版）新課標(biāo)試卷

1、專題5.2 數(shù)列 題組一、數(shù)列的求和與通項(xiàng)1-1、（2022屆高三第二次南通市海門去診斷測試數(shù)學(xué)）（10分）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為（1）求；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和【解析】（1）當(dāng)時(shí)，-，也滿足上式，為等比數(shù)列且首項(xiàng)為1，公比為2，（2），-,1-2、(2022江蘇金陵中學(xué)期中)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列，滿足且（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）設(shè)，若的前項(xiàng)和為，求【解析】（1），數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，即所以數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列.，數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）由（1）及得， ，-得:1-3、(2022江蘇淮陰中學(xué)、海門中學(xué)、姜堰中學(xué)期中聯(lián)考)(本題滿分10分-)在公差不為0的等差數(shù)列an中，前n項(xiàng)和為Sn，a22

2、a62a42a52(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn【解析】：設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)椋?，解?所以，所以，所以，即，所以，即，所以，解得所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）：由（1）知，所以，所以1-4、（2022屆高三年級蘇北四市第一學(xué)期期末調(diào)研考試-）(本小題滿分12分)已知數(shù)列an滿足a13，a215，(1)設(shè)，求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；(1)設(shè)cn10log2(an1)，求數(shù)列|cn|的前20項(xiàng)和T20【解析】(1)由可知，即，3分由a13，a215，知，所以bn是以12為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，所以bn的通項(xiàng)公式為 6分(2)由(1)知，所以an2)(a2，

3、9分所以，所以|cn|的前20項(xiàng)和T2086420243026012分1-5、(2022江蘇南師附中期中)設(shè)Sn是等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知S24，a323a4(1)求an和Sn；(2)設(shè)bn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn【解析】(1)設(shè)an的公比為q，則a32a2a4，而a323a4，所以解得a23，而a1a24，所以a11，q2， n1，則(2) bn2()，Tn2()2()11-6、(2022江蘇海門中學(xué)、泗陽中學(xué)期中聯(lián)考)(10分-)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為(1)求；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn【解析】（1）當(dāng)時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，由可得，兩式相減得：，即，又，所以是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以

4、（2）由（1）知，所以，兩式相減得：所以1-6、(2022江蘇鹽城期中)(12分)已知數(shù)列an是首項(xiàng)為12i(i為虛數(shù)單位)的等差數(shù)列，a1，a3成等比數(shù)列(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)an的前n項(xiàng)和為Sn，求【解析】(1)a1，a3成等比數(shù)列，a112i， 2分設(shè)的公差為d，則，d2i，4分則4)i，即的通項(xiàng)公式為 6分(2)70i， 9分 12分1-7、(2022江蘇徐州期中)(本小題滿分10分-)已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列是等比數(shù)列，(1)求，的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn【解析】(1)n1時(shí)，當(dāng)n2時(shí)，n1時(shí)也滿足，則，(2)由題意，得，Tn3，1-8、(2022江蘇南通

5、市區(qū)期中)(本題滿分10分-)已知數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，且(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn【解析】(1)根據(jù)題意，設(shè)公比為q，且q0，a12，a3a24，2q22q4，即q2q20，解得q2或q1(舍去)，(2)根據(jù)題意，得，故，因此Sn(12n)(21222n)所以Sn題組二、數(shù)列的奇偶性問題-試卷2-1、（蘇州市2021-2022學(xué)年第一學(xué)期學(xué)業(yè)質(zhì)量陽光指標(biāo)調(diào)研卷高三數(shù)學(xué)）（12分）若數(shù)列滿足（，是不等于的常數(shù)）對任意恒成立，則稱是周期為，周期公差為的“類周期等差數(shù)列”.已知在數(shù)列中，.（1）求證：是周期為的“類周期等差數(shù)列”，并求的值；（2）若數(shù)列滿足，求的前

6、項(xiàng)和.【解析】（1）法一：由，相減得，所以周期為，周期公差為的“類周期等差數(shù)列”，由，得，所以.法二：由，相減得，所以是周期為，周期公差為的“類周期等差數(shù)列”，從而的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別是公差為的等差數(shù)列，所以所以.（2）法一：由，得，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.綜上所述，法二：當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.所以當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.綜上所述，2-2、(2022江蘇新高考基地學(xué)校第一次大聯(lián)考期中)(10分-)已知等差數(shù)列滿足，nN*(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)求數(shù)列的前2n項(xiàng)和【解析】(1)因?yàn)?，所以，所以，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，可得，當(dāng)時(shí)，可得，所以.(2)當(dāng)為奇數(shù)時(shí)， ，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，所

7、以 .2-3、（2022屆高三南通市通州區(qū)第一學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)）（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)的最大值為，最小值為，求的值【解】（1）由， 得時(shí)， 兩式相減，可得（）， 所以，即（） 3分 因?yàn)椋?解得，所以， 所以（）， 所以是首項(xiàng)為2，公比為的等比數(shù)列 所以 6分（2）由（1）可得， 8分 當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，； 當(dāng)為奇數(shù)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，取最小值，當(dāng)時(shí)，取最大值2， 所以 12分2-4、(2022江蘇南通海安市期中)已知數(shù)列滿足a11，an1(1)從下面兩個(gè)條件中選一個(gè)，寫出b1，b2，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；bna2n13；bna2n1a2n1(2)求數(shù)列的前n

8、項(xiàng)和為Sn【解析】（1）當(dāng)奇數(shù)時(shí)，則，且，則，即，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，則，且，則，即，若選，則，則；若選，則，則，（2）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.2-5、(2022江蘇鎮(zhèn)江期中)(本小題滿分12分)已知在各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列中，且3構(gòu)成等比數(shù)列的前三項(xiàng)(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式(2)設(shè)數(shù)列 ，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn請?jiān)冢贿@三個(gè)條件中選擇一個(gè)，補(bǔ)充在上面的橫線上，并完成解答【解析】(1)由題意，因?yàn)閿?shù)列an為各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，所以a2a3a43a321，即得a37， 設(shè)公差為的，則有a21a3d16d，a318，a4a3a3da314d，又因?yàn)閍21，a31，a4a3構(gòu)成等比數(shù)列bn的前三項(xiàng)，所以(

9、a31)2(a21)(a4a3)，即64(6d)(14d)，解之可得d2，或d10(舍去)，所以a1a32d743，即得數(shù)列an是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，故可得an2n1，且由題可得，b1a214，b2a318，所以數(shù)列bn是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故可得bn422n+1，(2)若選：cnanbn；設(shè)cnanbn4(2n1)2(2n1)2n+1，則Sn322523724(2n1)2n(2n1)2n+1，在上式兩邊同時(shí)乘以2可得，2Sn323524725(2n1)2n+1(2n1)2n+2，可得，Sn3222(2324252n+1)(2n1)2n+28(34n)2n+1，即得Sn

10、(4n3)2n+18；若選：cn；可設(shè)cn，則Sn；若選：cn；可設(shè)cn(2n1)n，則Sn31527394(2n1)n，所以當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn(35)(79)(2n1)(2n1)(123n)2；由上可得當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn2(123n)(2n1)，綜上可得，Sn2-5、(2022江蘇鹽城期中)(12分)已知數(shù)列an滿足a11， (1)求證：；(2)設(shè)，求bn的前n項(xiàng)和Sn【解析】(1)證明：，即 4分(2)解：由(1)可知數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列， 7分又，數(shù)列成等比數(shù)列， 12分題組三、等差數(shù)列與等比數(shù)列的證明或判斷3-1、（2021-2022學(xué)年高郵市高三上學(xué)期12月學(xué)情調(diào)研數(shù)學(xué)試題-）設(shè)各

11、項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn滿足4Sn=(an +1)2(1)證明數(shù)列an為等差數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列an .3n的前n項(xiàng)和Tn解：（1）所以數(shù)列為等差數(shù)列，.-6分（2），-12分3-2、（2021-2022學(xué)年高郵市高三上學(xué)期12月學(xué)情調(diào)研數(shù)學(xué)試題-）. (本小題滿分12分)已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n4，數(shù)列bn的首項(xiàng)為b12.(1) 若bn是公差為3的等差數(shù)列，求證：abn也是等差數(shù)列；(2) 若abn是公比為2的等比數(shù)列，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和 證明： bn是公差為3的等差數(shù)列，bn1bn3.(2分)又an2n4，abn1abn2(bn14)2(bn4)2(bn

12、1bn)6， abn是等差數(shù)列(6分)注：寫出bn3n1得2分(2) 解： abn是公比為2的等比數(shù)列，首項(xiàng)為ab1a22248，abn82n12n2.(8分)又abn2bn42n2，bn2n12，(10分-)則數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn(222)(232)(2n12)(22232n1)2n2n22n4.(12分)3-3、(2022江蘇常州期中)(12分)已知數(shù)列滿足，且(n2且nN*)(1)設(shè)，是否存在實(shí)數(shù)，使得是等差數(shù)列?若存在，求出的值，若不存在，說明理由；(2)求的前n項(xiàng)和【解析】(1)當(dāng)n2時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)1時(shí)，為常數(shù)，所以，存在實(shí)數(shù)1，使得是等差數(shù)列4分(2)由(1)中是公差為1的等差數(shù)列

13、，所以所以6分Sn，7分令Tn2，則2，兩式相減得，24(n1)2n210分-所以，所以12分3-4、(2022江蘇無錫期中)(12分)已知正項(xiàng)數(shù)列an的前項(xiàng)積為Tn，且滿足an(nN*)(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)若10，求n的最小值【解析】(1)證明：當(dāng)n2時(shí)，an，所以，即3Tn1Tn1(n2)，所以Tn(Tn11)，即Tn(Tn1)，而T1a1，所以T10，所以(n2)，因此數(shù)列為等比數(shù)列且首項(xiàng)為，公比為；(2)由(1)可知，Tn()()n，所以Tn1()n，所以an1，而，記的前n項(xiàng)和為Sn，因此Sn1()n1，所以10S10(9，)，a1111S11(10，)，所以，n的最小

14、值為113-5、(2022江蘇南京市第一中學(xué)期中)(本小題滿分10分-)已知數(shù)列滿足(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若 ，求數(shù)列的前n項(xiàng)和在(；三個(gè)條件中選擇一個(gè)補(bǔ)充在第(2)問中，并對其求解，如果多寫按第一個(gè)計(jì)分)【解析】(1)顯然0，由兩邊同時(shí)取倒數(shù)得，即，所以數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列故，即(2)選：由已知得bn()，那么數(shù)列bn的前n項(xiàng)和選：由已知得，那么數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn2468(1)n2n，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Tn，故選：由已知得，那么數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn(242n) 3-6、(2022江蘇連云港期中)(本題滿分10分-)已知數(shù)列an，(1)證明an

15、1是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn【解析】(1)證明：由，所以， 2分又0，所以，即 4分所以an1是以a11首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列 6分(2)解：由(1)知，所以 8分則 10分-題組四、數(shù)列中的含參問題-試卷4-1、(2022江蘇南京市中華中學(xué)期中)(10分-)設(shè)Sn是等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，a5，且S1，S3，S2成等差數(shù)列(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)t為實(shí)數(shù)，S2n為an的前2n項(xiàng)和，Tn為數(shù)列an2的前n項(xiàng)和，且S2ntTn，求t的值【解析】(1)設(shè)等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公比為q(q0)，由a5，且S1，S3，S2成等差數(shù)列，得 ，解得a11，qan1()()；(2

16、)由(1)知，S2n(1)，數(shù)列an2是以1為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，則Tn(1)，由S2ntTn，得(1)t(1)，即t4-2、(2022江蘇南通如皋市期中)(本題滿分12分)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an，bn滿足a12，b14，且an，bn，an1成等差數(shù)列，bn，an1，bn1成等比數(shù)列(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)記，記的前n項(xiàng)和為Sn，若Sk，求正整數(shù)k的最小值【解析】(1)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an，bn滿足an，bn，an+1成等差數(shù)列，則2bnanan+1；由于bn，an+1，bn+1成等比數(shù)列所以an+12bn bn+1，由于a12，b14，所以a26，b29；所以2()2，

17、(n2)，整理得2，所以數(shù)列為等差數(shù)列(2)法一：由(1)得(n1)()，整理得bn(n1)2；解得ann(n1)，所以；故Sn1，由于函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞增，由于Sk，當(dāng)k3時(shí)，S3，當(dāng)k4時(shí)，S4，當(dāng)k5時(shí)，S5，當(dāng)k6時(shí)，S6，當(dāng)k7時(shí)，S7，故k的最小值為7法二：由(1)得(n1)()，整理得bn(n1)2；解得ann(n1)，所以；故Sn1，由Sk，解得，即k25k100，解得k7，故k的最小值為74-3、(2022江蘇泰州市泰興期中)(本題滿分12分)已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足N*)(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)若100，求滿足條件的最大正整數(shù)n【解析】(1)，3(3)，

18、又，數(shù)列是以首項(xiàng)為公比的等比數(shù)列6分(不交代首項(xiàng)扣2分)(2)方法一：由(1)可知，3()，3，()23n13n，8分若100，則13n100，3n99， 令，易知f(x)在R上單調(diào)遞增，10分-且0，所以滿足條件的最大正整數(shù)n3312分方法二：由(1)可知，3()，3，()23n13n，8分設(shè)Tn，因?yàn)門nTn10(n2)，所以數(shù)列Tn為單調(diào)遞增數(shù)列，10分-且T33100100，T34103100，所以滿足條件的最大正整數(shù)n3312分題型五、數(shù)列中的不等與證明問題-試卷5-1、（濟(jì)南外國語學(xué)校高三12月月考試-題-）設(shè)是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足已知，成等差數(shù)列（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）記和分別為和的前n項(xiàng)和證明：【解析】因?yàn)槭鞘醉?xiàng)為1的等比數(shù)列且，成等差數(shù)列，所以，所以，即，解得，所以，所以.（2）證明：由（1）可得，得 ，