時(shí)間序列分析講義協(xié)方差平穩(wěn)向量過(guò)程_第1頁(yè)
時(shí)間序列分析講義協(xié)方差平穩(wěn)向量過(guò)程_第2頁(yè)
時(shí)間序列分析講義協(xié)方差平穩(wěn)向量過(guò)程_第3頁(yè)
時(shí)間序列分析講義協(xié)方差平穩(wěn)向量過(guò)程_第4頁(yè)
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1、時(shí)間序列分析方法講義第10章協(xié)方差平穩(wěn)向量過(guò)程和向量自回歸模型第十章協(xié)方差平穩(wěn)向量過(guò)程和向量自回歸模型在時(shí)間序列理論當(dāng)中,涉及到向量時(shí)間序列的主要有兩部分內(nèi)容,一部分是多元?jiǎng)討B(tài)系統(tǒng),另一部分是向量自回歸模型的估計(jì)和檢驗(yàn)。在本章當(dāng)中,我們主要討論一些基本概念。§10.1向量自回歸導(dǎo)論仍然利用小寫(xiě)字母表示隨機(jī)變量或者實(shí)現(xiàn),只是現(xiàn)在討論nx1向量之間的動(dòng)態(tài)交互作(10.1)用。假設(shè)一個(gè)p階向量自回歸模型可以表示為VAR(p):Yt=c+RY+2丫匕+",+pYt_p+.其中1,p是nn階系數(shù)矩陣,*是白噪聲向量,滿足:E(£s£t)="0,s=t0,

2、s#t其中。是nxn階正定矩陣??梢岳梅至啃问綄⑸鲜龇匠探M的第一個(gè)方程表示為:y1t=c1吐培必1(n)yn,t,;12)y1,t/,gyzt/.CntN-(10.2)必p(n-e-十y2(P12-e-十由此可見(jiàn),在VAR(p)模型當(dāng)中,每個(gè)變量都表示成為常數(shù)項(xiàng)和其他所有變量的p階自回歸的形式。此時(shí)與一元情形的一個(gè)顯著的不同是,每個(gè)方程的殘差項(xiàng)之間可能是相關(guān)的。利用滯后算子形式,可以將VAR(p)模型表示成為:In-iL2L2一pLpyt=c+£t(10.3)其中滯后算子多項(xiàng)式的元素可以表示成為:中ij(L)=:.0-i(1)L-i(2)L2-"-i(P)Lp其中樂(lè)=1=

3、j,樂(lè)=0,i*j定義10.1如果一個(gè)向量過(guò)程的一階矩和二階矩與時(shí)間無(wú)關(guān),則稱其是協(xié)方差平穩(wěn)過(guò)程。此時(shí)下述變量與初始時(shí)間t無(wú)關(guān):E(yt)和E(yty;_J命題10.1如果一個(gè)向量過(guò)程滿足VAR(p)模型,且該過(guò)程是向量協(xié)方差平穩(wěn)過(guò)程,則該過(guò)程的性質(zhì)有:(1)該過(guò)程的均值向量可以表示成為:產(chǎn)In-1-2-p尸C(10.4) 2 )VAR(p)模型可以表示成為中心化形式:(yt-m)=中1(%一力十中2(yt/g+p(yi田+。(10.5) 3 10.2向量自回歸方程的表示和平穩(wěn)性條件與將高階線性差分方程表示為一階差分方程一樣,我們也可以將一個(gè)普通的VAR(p)模型表示成為VAR(1)的形式。為

4、此,我們定義更高階的向量為:ipX(yt-內(nèi)yt-1-內(nèi),yt-p+1-日Vnp1=(;t,01,0)時(shí)間序列分析方法講義第10章協(xié)方差平穩(wěn)向量過(guò)程和向量自回歸模型初In620中30606P0F-np>np-0In000-n-一1000In0利用上述表示,可以將VAR(p)模型表示成為緊湊形式為:(10.6)此時(shí)向量誤差的協(xié)方差矩陣為:E(vtvs)此處協(xié)方差矩陣為:00000000-Q00000Qnpj<ip=000aaa000對(duì)方程(10.6)進(jìn)行疊代,可以得到:8s=VtsFvtsF2vtSNFs,vtiF飛顯然,當(dāng)向量過(guò)程是平穩(wěn)過(guò)程時(shí),任何給定的誤差過(guò)程的影響一定要隨著時(shí)間

5、消失,這時(shí)矩陣F的所有特征根都要落在單位圓內(nèi)。類(lèi)似的命題有:命題10.2pI1n,矩陣F的特征根滿足下列方程:(10.7)-/f九PN-。|=0與此對(duì)應(yīng),VAR(p)模型是向量協(xié)方差平穩(wěn)過(guò)程的條件是下述方程的特征根全部落在單位圓外:11n-iz-2z-*3z0|=0對(duì)向量協(xié)方差平穩(wěn)過(guò)程而言,我們也可以類(lèi)似地定義和討論它的協(xié)方差性質(zhì)。例如,時(shí)間間隔為j的協(xié)方差矩陣為:=EKyt-叭yt4-田(10.8)但是需要注意的是,此時(shí)不滿足等式:弓=一,正確的對(duì)應(yīng)關(guān)系為:rr=r.jj針對(duì)協(xié)方差平穩(wěn)的VAR(p)模型,假設(shè):時(shí)間序列分析方法講義第10章協(xié)方差平穩(wěn)向量過(guò)程和向量自回歸模型“yt-、y11-u

6、(10.9)(10.10)w=E(5;)=E/y-:(yt-g:(yt-1-g;,(yt-p+1-加卜yt_p+-祖-1011pJ-1J-0J-p=aaai.:耳P2Aj進(jìn)一步可以得到:E(&G=E(F0+vJ(F匕+vj】=FE(消)F'+Evtv;因此有:2=FWF'+Q上述公式建立了向量協(xié)方差之間的關(guān)系。§ 10.3 量自回歸模型的極大似然估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)顯然,在協(xié)方差平穩(wěn)過(guò)程中,向量自回歸模型是比較容易進(jìn)行估計(jì)和預(yù)測(cè)的,由于Sims(1980)做出了具有影響性的研究,使得VAR模型在進(jìn)行經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)分析中變得十分流行。下面我們主要介紹沒(méi)有限制條件的VA

7、R模型的估計(jì)問(wèn)題。1 .向量自回歸的條件似然函數(shù)假設(shè)nM1維向量Yt滿足p階高斯一向量自回歸模型:Yt=c+RY+BYt,+pY+電(10.11)其中i,p是nn階系數(shù)矩陣,齒是高斯噪聲向量,滿足:QN(0,Q)上述模型估計(jì)類(lèi)似于單變量AR模型。2 .似然比檢驗(yàn)對(duì)于VAR模型而言,檢驗(yàn)?zāi)P偷淖曰貧w階數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)可以很容易和方便地通過(guò)似然比檢驗(yàn)進(jìn)行,此時(shí)模型的原假設(shè)和備選假設(shè)為:H0:p=p°H°:p=p1Ap。(10.12)此時(shí)的似然比統(tǒng)計(jì)量為:LR=2(1-0)=Tlog|q|-log|4|2(s)這里的s是原假設(shè)的限制參數(shù)個(gè)數(shù),此時(shí)s=n2(p1-p0)§ 1

8、0.4 元變量的Granger因果關(guān)系檢驗(yàn)可以利用向量自回歸模型處理的一個(gè)重要問(wèn)題是判斷一些變量在預(yù)期其他變量時(shí)是否有用。這時(shí)我們需要描述二元變量之間的關(guān)系。這種方法最早由Granger(1969)提出,通過(guò)時(shí)間序列分析方法講義第10章協(xié)方差平穩(wěn)向量過(guò)程和向量自回歸模型Sims(1972)的應(yīng)用使其流行起來(lái)。1. 二元變量Granger因果性的定義考慮兩個(gè)單變量xt和yt,我們需要解決的問(wèn)題是如何判斷yt是否有助于預(yù)測(cè)xt。如果yt無(wú)助于預(yù)測(cè)xt,我們則稱yt對(duì)xt沒(méi)有顯著的Granger因果影響(ytdoesnotGranger-causext)o我們可以更為正式地描述這樣的關(guān)系:如果對(duì)所有

9、的s>0,基于(xt,xt,)預(yù)測(cè)xt上的均方誤差與使用(xt,xt,)和(yt,yti)預(yù)測(cè)xt卡的均方誤差是相同的,則稱yt沒(méi)有對(duì)xt產(chǎn)生Granger因果影響。如果我們僅僅考慮線性約束,則yt沒(méi)有對(duì)xt產(chǎn)生Granger因果影響的條件為:對(duì)所有s>0,有:MSE色“$|?!?)=乂5曰色“6|4人,/*,)(10.13)上述表達(dá)式還有一個(gè)等價(jià)的說(shuō)法,如果上式成立,則稱xt在時(shí)間序列的意義上相對(duì)于yt是外生的。這樣的關(guān)系還有第三種稱呼,如果上式成立,則稱yt對(duì)于未來(lái)的x不具有線性信息性。最早Granger提出如此定義的原因是,如果一個(gè)事件Y是另外一個(gè)事件X的原因的話,那么事件Y

10、應(yīng)該先于事件X發(fā)生。雖然從哲學(xué)角度這樣的關(guān)系可能是對(duì)的,但是在實(shí)踐中如何檢驗(yàn)這樣的關(guān)系則是艱難的。2. Granger因果性的另一種解釋在描述二元變量xt和yt的VAR模型中,可以利用回歸系數(shù)矩陣來(lái)說(shuō)明xt和yt之間的Granger因果關(guān)系。命題10.3如果在xt和yt的VAR模型中,對(duì)所有j,系數(shù)矩陣j都是下三角矩陣,即:/=下十冊(cè)0Wl+輝)yjb一如)蝮瓜黨+/T)01卞3+;m1色;)蛾)證明:根據(jù)整個(gè)系統(tǒng)的第一行可以知道,關(guān)于0公22)-yc(10.14)xt的最優(yōu)一階段預(yù)測(cè)僅僅依賴自身的滯后值,而不依賴yt的滯后值:目(均1|X,,;yt,yp,)=c非應(yīng)1?x4.,均_1進(jìn)一步,

11、可以得到:.、X2-G11xt111xt11xt-p2-1,t2根據(jù)投影的疊代定律,以及數(shù)學(xué)歸納法,我們可以證明對(duì)任意超前s>0階段的預(yù)測(cè)都僅僅依賴(xt,xy,)。Sims(1972)給出了Granger因果關(guān)系的另外一種通俗的解釋,可以歸納為下面的命題:命題10.4考慮yt基于xt的過(guò)去、現(xiàn)在和將來(lái)值的投影:QOQ0yt=c'bjxt_j八dj%jt(10.15)j=0jt時(shí)間序列分析方法講義第10章協(xié)方差平穩(wěn)向量過(guò)程和向量自回歸模型這里bj和dj均是母體投影系數(shù),即滿足:對(duì)所有t和t,E(7xJ=0則yt沒(méi)有對(duì)xt產(chǎn)生Granger因果影響的充分必要條件為:dj=0,j=1

12、,2,(10.16)這個(gè)命題說(shuō)明,如果乂沒(méi)有對(duì)產(chǎn)生Granger因果影響,則未來(lái)的X值對(duì)解釋當(dāng)期的乂沒(méi)有任何幫助。3. Granger因果性的計(jì)量檢驗(yàn)上面我們給出了三種Granger因果關(guān)系的解釋,任何一種解釋都可以用來(lái)進(jìn)行計(jì)量檢驗(yàn)。其中最為簡(jiǎn)單也可能是最好的方法是在VAR模型中檢驗(yàn)系數(shù)約束。為了進(jìn)行如此檢驗(yàn),我們利用OLS對(duì)下述方程進(jìn)行估計(jì):(10.17)Xt=Ci.平.:2”.二pX”1乂2%立yyut我們對(duì)下面的原假設(shè)進(jìn)行F一檢驗(yàn):H0:1二:2=:p=0這里進(jìn)行F一檢驗(yàn)的一種辦法是計(jì)算回歸方程(10.17)的殘差平方和(我們需要T+p個(gè)樣本):T(10.18)(10.19)(10.20

13、)(10.21)y沒(méi)有對(duì)“產(chǎn)生RSG::u2tW在原假設(shè)成立下,我們計(jì)算下面OLS回歸的殘差平方和:Xt=C0-1X12Xt工pXt-et對(duì)應(yīng)的殘差平方和為:Trswe11此時(shí)定義檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為:c_(RSS0-RS§)/pS1RSS/(T-2p-1)如果該統(tǒng)計(jì)量大于F(p,T-2p-1)分布的5%臨界值,則我們拒絕Granger因果影響”的原假設(shè);這就是說(shuō),當(dāng)統(tǒng)計(jì)量§充分大以后,我們將得“乂對(duì)Xt產(chǎn)生Granger因果影響”的結(jié)論。F一分(10.22)Granger顯然,對(duì)于具有固定回歸因子和殘差高斯分布的假設(shè)下,上述統(tǒng)計(jì)量具有確切的布。但是,在自回歸方程中由于解釋變量具有

14、相依性,因此這些分布性質(zhì)則是漸近成立的。因此,一個(gè)等價(jià)的漸近檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為:c_T(RSS0-RSS)S2一RS§如果該統(tǒng)計(jì)量大于/2(p)分布的5%臨界值,則我們拒絕“yt沒(méi)有對(duì)Xt產(chǎn)生因果影響”的原假設(shè);這就是說(shuō),當(dāng)統(tǒng)計(jì)量S2充分大以后,我們將得“yt對(duì)Xt產(chǎn)生Granger因果影響”的結(jié)論。顯然,還有多種Granger因果關(guān)系的檢驗(yàn)方法,但大都不具有普遍性。時(shí)間序列分析方法講義第10章協(xié)方差平穩(wěn)向量過(guò)程和向量自回歸模型4.解釋Granger因果關(guān)系檢驗(yàn)顯然,什么是“Granger因果性”與“因果關(guān)系”標(biāo)準(zhǔn)含義之間的關(guān)聯(lián),我們可以通過(guò)一些例子來(lái)加以說(shuō)明。例10.1Granger因果

15、關(guān)系檢驗(yàn)與前瞻性行為假設(shè)投資者在時(shí)刻t以價(jià)格R購(gòu)買(mǎi)一股股票,則在時(shí)刻t+1該投資者可以獲得紅利Dt+,并以價(jià)格P卡出售該股票。該股票的事后收益率(表示為rt41)滿足:(1Fl)?三JDt1(10.23)如果任何時(shí)期的股票預(yù)期收益率總是r的話,則簡(jiǎn)單的股票價(jià)格公式可以表示為:(1r)R=EJP1Dt1(10.24)這個(gè)簡(jiǎn)單定價(jià)公式蘊(yùn)涵著有效市場(chǎng)假說(shuō)(efficientmarketshypothesis)o如果具有邊界條件的話,可以得到下面公式:二1jP=EtDtj(10.25)j3111-r按照這樣的理論,則股票價(jià)格中蘊(yùn)涵著未來(lái)紅利現(xiàn)值的最優(yōu)預(yù)測(cè)。如果這種預(yù)測(cè)是基于比過(guò)去紅利更多的信息基礎(chǔ)上,

16、因?yàn)橥顿Y者試圖預(yù)測(cè)紅利中的變動(dòng),因此導(dǎo)致股票價(jià)格對(duì)紅利產(chǎn)生Granger因果性。為了簡(jiǎn)單地說(shuō)明這一點(diǎn),假設(shè):Dt=dUtUtjVt(10.26)這里Ut和Vt是相互獨(dú)立的Gaussian白噪聲,d是紅利的均值。假設(shè)時(shí)刻t的投資者知道的信息有Ut,u,和Vt,Vt,則基于這些信息對(duì)Dt書(shū)的最優(yōu)預(yù)測(cè)為:工dUt,j=1(10.27)j=2,3,Et(D-)=Jd,將上述公式代入到方程d、utP=一十Lr1r顯然,在這個(gè)例子中,(10.25),可以得到股票價(jià)格為:(10.28)股票價(jià)格是白噪聲,因此無(wú)論以滯后股票價(jià)格或者紅利價(jià)格來(lái)為基礎(chǔ)進(jìn)行預(yù)測(cè)。因此,沒(méi)有任何時(shí)間序列可以對(duì)股票價(jià)格產(chǎn)生Granger

17、因果影響。另一方面,我們可以從股票價(jià)格中將Ut恢復(fù)出來(lái):1P.d°r)'Ut一(1r)p4一r注意到Ut,中包含著Dt.Dtq,中沒(méi)有的關(guān)于Dt的信息,因此股票價(jià)格將對(duì)紅利產(chǎn)生Granger因果影響,雖然紅利無(wú)法Granger影響到股票價(jià)格。股票價(jià)格和紅利序列的二元VAR模型可以表示為:(10.29)p1Td/r1+f00n+Ut/(1+r):Dt/:-d/rJVr0!叭,u+v一很有趣的事情是,在這個(gè)例子中,變量之間的影響關(guān)系與真實(shí)關(guān)系正好相反。此時(shí),紅利變量無(wú)法對(duì)股票價(jià)格產(chǎn)生Granger因果性,雖然投資者對(duì)紅利的察覺(jué)是股票價(jià)格的唯一確定因素;另一方面,股票價(jià)格卻對(duì)紅利產(chǎn)

18、生了Granger因果性,雖然現(xiàn)實(shí)中股票的市場(chǎng)變化時(shí)間序列分析方法講義第10章協(xié)方差平穩(wěn)向量過(guò)程和向量自回歸模型對(duì)紅利過(guò)程沒(méi)有作用效應(yīng)。一般來(lái)說(shuō),象股票和利率這些反映出前瞻性行為的時(shí)間序列,經(jīng)??梢宰鳛橐恍┲匾?jīng)濟(jì)時(shí)間序列的優(yōu)秀和判斷或預(yù)期因子。顯然,這并不意味著這些時(shí)間序列導(dǎo)致GNP或者通貨膨脹率上升或下降。與此相反,這些序列的值反映了判斷GNP或通貨膨脹率變化方向的最好的市場(chǎng)信息。對(duì)這些時(shí)間序列的Granger因果性的檢驗(yàn)有助于評(píng)價(jià)有效市場(chǎng)觀點(diǎn)或者探討是否市場(chǎng)關(guān)注或者能夠預(yù)測(cè)GNP或通貨膨脹,而不是用于推斷因果關(guān)系的方向。例10.2檢驗(yàn)強(qiáng)經(jīng)濟(jì)計(jì)量外生性(TestingforStrictEc

19、onometricExogeneity)二次世界大戰(zhàn)后美國(guó)經(jīng)濟(jì)衰退大都以原油價(jià)格的急劇上漲為開(kāi)始的,這是不是意味著石油危機(jī)或者石油沖擊是衰退的原因呢?一種可能性是這種相關(guān)性是巧合。即使生成這些時(shí)間序列的機(jī)制是互不相關(guān)的,也可能出現(xiàn)石油沖擊與衰退在類(lèi)似的時(shí)間上同時(shí)出現(xiàn)。為了檢驗(yàn)這種可能性,我們檢驗(yàn)“石油價(jià)格對(duì)GNP沒(méi)有Granger因果性”,但是,數(shù)據(jù)檢驗(yàn)拒絕了這個(gè)原假設(shè),這意味著“石油價(jià)格有助于推斷GNP的變化”。為了對(duì)這個(gè)因果關(guān)系給出真正意義上的因果關(guān)系的解釋,我們需要建立這樣的判斷:石油價(jià)格的提高并不反映其他宏觀經(jīng)濟(jì)因素的影響,而這些因素確實(shí)是經(jīng)濟(jì)衰退的真正原因。主要石油價(jià)格的提高大都伴隨

20、著顯著的歷史事件,例如Suezcrisis(1956-1957)、Iraq'sinvasionofKuwait(1990)等,顯然這些事件完全有美國(guó)經(jīng)濟(jì)以外的因素造成的,而且是完全不可推斷的。如果這個(gè)觀點(diǎn)正確的話,那么石油價(jià)格和GNP之間的歷史相關(guān)性就具有因果關(guān)系上的解釋。這個(gè)觀點(diǎn)具有一個(gè)值得批駁的啟示,那就是沒(méi)有時(shí)間序列能夠Granger影響到石油價(jià)格,事實(shí)上,在經(jīng)驗(yàn)研究上,很少能夠找到宏觀時(shí)間序列能夠有助于推斷石油沖擊發(fā)生的時(shí)點(diǎn)。例10.3缺損信息的作用(RoleofOmittedInformation)考慮到下面一個(gè)含有三個(gè)變量的系統(tǒng)方程(暫時(shí)略)。§ 10.5 有限制

21、的向量自回歸模型的極大似然估計(jì)我們?cè)谇懊嬉呀?jīng)介紹沒(méi)有限制的向量自回歸模型的極大似然估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題。在沒(méi)有限制的模型中,每個(gè)方程的具有相同的解釋變量,即常數(shù)項(xiàng)、系統(tǒng)中所有變量的滯后變量。雖然我們介紹了線性約束條件下如何計(jì)算Wald統(tǒng)計(jì)量,但是我們沒(méi)有介紹如何估計(jì)具有限制性條件的VAR模型估計(jì)。下面,我們就開(kāi)始介紹限制VAR模型的估計(jì)。1 .多維情形下的Granger因果性作為估計(jì)中感興趣的限制性系統(tǒng)的一個(gè)例子,我們前面分析的Granger因果性的向量推廣。假設(shè)向量VAR模型中的變量可以分為兩組,一組是一個(gè)丹父1維向量y1t,另一組是一個(gè)國(guó)父1維向量y2t,這時(shí)VAR模型可以表示為:y1t=6

22、+Ai*t+A2x王十隊(duì)(10.30)y2t=C2+B;X1t+B1x王+切(10.31)這里x#是apI維向量,包含丫骨的滯后值;x2t是nzpM1維向量,包含y2t的滯后值;具體表示為:時(shí)間序列分析方法講義第10章協(xié)方差平穩(wěn)向量過(guò)程和向量自回歸模型y1,tIyi,t_2x1t=:,:yi,u_y2,tAIy2,t_2模型中的其余符號(hào)表示系數(shù)矩陣。模型中利用變量yit表示的一組變量在時(shí)間序列意義上相對(duì)于利用變量y2t表示的另外一組變量是“塊外生”的(blocke-exogenous)是指,y2t中的所有元素在改進(jìn)對(duì)y1t基于所有自身滯后值進(jìn)行預(yù)測(cè)方面沒(méi)有任何幫助。命題10.5如果在模型系統(tǒng)(

23、10.30)-(10.31)中,矩B$a2=0,則變量y1t相對(duì)于變量y2t是塊外生的。2 .具有限制性約束的極大似然估計(jì)此時(shí)的極大似然估計(jì)是通過(guò)限制性條件對(duì)極大似然函數(shù)的影響,通過(guò)矩陣分塊運(yùn)算實(shí)現(xiàn)的,具體內(nèi)容和過(guò)程參見(jiàn)教科書(shū)。§ 10.6 VAR模型的沖擊反應(yīng)函數(shù)TheImpulse-ResponseFunction與一元情形類(lèi)似,協(xié)方差平穩(wěn)過(guò)程可以表示為向量無(wú)限移動(dòng)平均過(guò)程。因此,VAR模型可以表示為向量MA(笛)形式:yt=科+&+¥1g工+V2+(10.32)因此,系數(shù)矩陣具有如下解釋:s4=也(10.33)二1這個(gè)公式表明,當(dāng)所有時(shí)期其余擾動(dòng)都保持常數(shù)不變

24、時(shí),t時(shí)刻第j個(gè)變量擾動(dòng)力的一個(gè)單位的增加對(duì)t+s時(shí)刻變量y,t書(shū)的影響結(jié)果可以由里的第i行、第j列元素給出。如果我們同時(shí)使得耳的第一個(gè)元素改變61、第二個(gè)元素改變62、,、第n個(gè)元素改變4,則這些變化對(duì)yt+的綜合作用效果為:勾"="61+45+=嘰6(10.34)二1t二;2t二;nt這里6=9通,餌),。我們?cè)谇懊嬉呀?jīng)給出了矩陣¥s的一些解析特征。獲得這些動(dòng)態(tài)反應(yīng)乘數(shù)的一個(gè)簡(jiǎn)便方法是通過(guò)模擬進(jìn)行計(jì)算。為了實(shí)現(xiàn)這種模擬,我們假設(shè)yt=yt/=i=ytT=0,然后假設(shè)?=1,q的其余元素都是零,然后我們?cè)谙到y(tǒng):Yt=c十iYj+2丫1十十pYt卡十電(10.1)

25、中對(duì)時(shí)期t,ty,t+2等進(jìn)行計(jì)算,其中選取c,史書(shū),.七,都為零。此時(shí)模擬得到的向量yf對(duì)應(yīng)著矩陣?yán)锏牡趈歹腹以此類(lèi)推,矩陣Vs的所有各列都可以得到。將矩陣Ws的第i行、第j列元素:fts二;jt相對(duì)于時(shí)間間隔s作圖,這個(gè)函數(shù)和這個(gè)圖形被稱為沖擊反應(yīng)函數(shù)(impulse-responsefunction),它表示當(dāng)時(shí)刻t或之前所有變量保持不變的情形下,yi,t*對(duì)于出現(xiàn)在yjt中的一時(shí)間序列分析方法講義第10章協(xié)方差平穩(wěn)向量過(guò)程和向量自回歸模型次性沖擊(one-time)沖擊的反應(yīng)。那么,是否在某種意義上這種反應(yīng)乘數(shù)度量了yj相對(duì)于v的作用原因呢?上面關(guān)于Granger因果關(guān)系的討論告訴我們

26、要對(duì)此推斷保持警覺(jué)。一種重要的改進(jìn)是獲得正交沖擊反應(yīng)函數(shù),此時(shí)的沖擊反應(yīng)更為合理一些。注意到簡(jiǎn)化式誤差耳的方差矩陣Q是正定矩陣,因?yàn)槿魏握ň仃嚲梢晕ㄒ环纸鉃?Q=ADA(10.35)其中A是主對(duì)角線元素均為1的下三角矩陣,D是主對(duì)角線元素均是正值元素的對(duì)角矩陣。利用上述分解的矩陣A,我們可以構(gòu)造一個(gè)新的向量ut:1Ut三A&(10.36)如此向量的各個(gè)分量之間是互不相關(guān)的,也可以作為結(jié)構(gòu)式?jīng)_擊,也就是該沖擊僅僅作用在單獨(dú)的變量上:E(utut)=A力E(4耳')A-f=AA-r=A寸ADAA/=D(10.37)我們可以通過(guò)樣本估計(jì)和模擬獲得上述分解矩陣的估計(jì)。命題10.6下

27、述沖擊反應(yīng)公式成立:(10.38)e?(yts|yjt,yjg,x口)其中aj是矩陣A的第j列。上述沖擊反應(yīng)相對(duì)于沖擊間隔新信息的反應(yīng)。s作圖,則稱之為正交沖擊反應(yīng)函數(shù),它表示預(yù)測(cè)相對(duì)于§10.7VAR模型的方差分解VarianceDecomposition(10.39)利用VAR模型的預(yù)測(cè)公式,我們可以知道預(yù)測(cè)誤差為:yt+出卻=匕+鞏皿+%匕/+理匕因此,這個(gè)s階段超前的預(yù)測(cè)的均方誤差為:mseasj=且(yts-ys|t)(yts-田3(10.40)=Q+TiQM+乎20遇+¥sj_Q展這里:Q=E(耳耳)假設(shè)我們具有正交誤差向量Ut=(u1t,U2t,,unt)&#

28、39;,我們考慮這個(gè)正交擾動(dòng)對(duì)上述方差的貢獻(xiàn)。這里正交誤差向量滿足:§二AUt二a1ta2U2t一anUnt(10.41)這里aj表示矩陣A的第j列。注意到ujt之間是不相關(guān)的,則有:=£(/)=a1alVar(u1t)+a2a2Var(u2t)+.i+ana:Var(unt)(10.42)因此,預(yù)測(cè)的均方誤差為:nMSE(y>t")=£ar(Ujt)aja:+V1ajaR:+%ajaR2+Vsaja;聯(lián)>(10.43)j1具有這個(gè)表達(dá)式以后,我們可以計(jì)算第個(gè)正交擾動(dòng)對(duì)這個(gè)預(yù)測(cè)誤差方差的貢獻(xiàn)為:Var(Ujt)|ajaj7間2j以"

29、ajaj.也司2上限(10.44)時(shí)間序列分析方法講義第10章協(xié)方差平穩(wěn)向量過(guò)程和向量自回歸模型VectorAutoregressionsandStructural§10.7向量自回歸和結(jié)構(gòu)經(jīng)濟(jì)計(jì)量模型EconometricModels1.估計(jì)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)模型中的缺欠我們上面介紹的向量自回歸模型表示n個(gè)經(jīng)濟(jì)變量之間的動(dòng)態(tài)相關(guān)性。此時(shí),任何關(guān)于這些變量之間可能存在的理論關(guān)聯(lián)都沒(méi)有被使用到,因此也無(wú)法利用它檢驗(yàn)一些經(jīng)濟(jì)理論關(guān)系。因此,在本節(jié)中我們考慮VAR模型與結(jié)構(gòu)經(jīng)濟(jì)計(jì)量模型之間的聯(lián)系。假設(shè)我們考慮貨幣需求函數(shù),此時(shí)貨幣需求是收入和利率的函數(shù),以前使用的結(jié)構(gòu)模型為:Mt-Pt=二0%-2I

30、t%(Mj-Ptd)vD(10.45)這里Mt是公眾持有的名義貨幣余額的對(duì)數(shù),P是累積價(jià)格水平的對(duì)數(shù),Y是實(shí)際GNP的對(duì)數(shù),It是名義利率。參數(shù)月和燈表示收入和利率對(duì)貨幣持有的影響效果。收入變化時(shí),部分貨幣持有對(duì)此產(chǎn)生立即反應(yīng),部分反應(yīng)發(fā)生在下一個(gè)階段。參數(shù)P3體現(xiàn)了這種部分調(diào)整。擾動(dòng)vD表示除了收入和利率以外影響貨幣需求的因素的作用。一般情形下,此時(shí)方程的估計(jì)需要假設(shè)誤差具有一階自相關(guān)性,這意味著:VD=;?VDJutD(10.46)這里uD是白噪聲序列。利用這個(gè)方程對(duì)方程(10.45)進(jìn)行調(diào)整,可以得到:Mt-Pt"0二1丫二2丫二3It二4/D(10.47)(MtPJ'

31、(Mt?-)u:參數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以通過(guò)滯后算子運(yùn)算獲得。顯然這個(gè)方程比原來(lái)的方程的參數(shù)(P,久,1,22,打,女)多出了一個(gè)參數(shù),現(xiàn)在的參數(shù)向量為(«0,«1,«2«3,«4,a5,«6)。根據(jù)定義,擾動(dòng)vD代表了研究者沒(méi)有確定理論基礎(chǔ)的影響貨幣需求的因素,因此,對(duì)于該擾動(dòng)指定的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu),例如方程(10.46),人們也沒(méi)有充分的信心。例如,似乎沒(méi)有清楚的理論來(lái)支持排除下面關(guān)于該擾動(dòng)的假設(shè):VD"VD:2也uD(10.48)還有其他一些假設(shè),例如也可以假設(shè)vtD與收入和利率的滯后項(xiàng)是相關(guān)的。利用方程(10.45),我們可以

32、獲得貨幣需求相對(duì)于收入的動(dòng)態(tài)乘數(shù)與貨幣需求相對(duì)于名義利率的動(dòng)態(tài)乘數(shù)之間是成正比的:(10.49)(10.50)式Mt+-P+)J:3s可Mts-Ps):Yt顯然,在附加這樣的假設(shè)之前,一個(gè)好的主意是先檢驗(yàn)這個(gè)假設(shè),然后發(fā)現(xiàn)正確后再加以應(yīng)用。這說(shuō)明理論假設(shè)即使正確,也應(yīng)該從數(shù)據(jù)和模型的檢驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)和確認(rèn)。簡(jiǎn)而言之,形如方程(10.45)和(10.46)的形式,人們利用經(jīng)濟(jì)理論對(duì)模型形式給出了一些限制,但是這些限制并沒(méi)有令人滿足的經(jīng)濟(jì)理論或者基礎(chǔ),因此,在使用這里簡(jiǎn)化或者限制的模型之前,最好的方法是檢驗(yàn)更為一般的模型,看看是否從一般的模型可以推導(dǎo)出這樣簡(jiǎn)單的形式。例如一般形式的模型可以指定為:10時(shí)

33、間序列分析方法講義第10章協(xié)方差平穩(wěn)向量過(guò)程和向量自回歸模型M_k:(0)p.:(0)丫.:IMt=k1-12PtM3Yt-141t+Pi(1)MtA+Pi(2)PtA+'Pi(1)Y;_i+p1(4)It±二M二p:(2)y:(2)I4,-11Mt2-12PtJ-13Yt2-14It2;(1P)Mu:(2P)P葭舄P)Y”jItUD(10.51)類(lèi)似于方程(10.45),這里的方程的指定被稱為結(jié)構(gòu)式方程。我,和既)表示當(dāng)前收入和當(dāng)前利率對(duì)預(yù)期貨幣持有的影響。UtD表示除了通貨膨脹、名義收入和利率以外因素對(duì)貨幣需求的影響因素。這個(gè)方程顯然多方面地推廣了前面的“簡(jiǎn)化式方程”。顯

34、然,由于聯(lián)立方程偏差的存在(simultaneousequationsbias),我們無(wú)法利用普通最小二乘估計(jì)估計(jì)這個(gè)方程。這個(gè)方程的OLS估計(jì)歸納了貨幣需求、價(jià)格水平、收入和利率之間的關(guān)聯(lián)性。公眾貨幣需求的調(diào)整是這些變量相關(guān)的一個(gè)原因,但并不是唯一原因。例如,每個(gè)階段中央銀行都會(huì)將利率調(diào)整到與政策目標(biāo)相容的水平,而政策目標(biāo)依賴當(dāng)前和滯后的收入、利率、價(jià)格水平和貨幣供給:It=k4+B40)Mt+吃P+'P40)Yt+P41)Mtl+P42)Pt-+P43)Y+P44)"+吃MtJ噌p+蝶丫匕+隈心+P41P)Mtj吃十jP43p)yjPWtjuC(10.52)例如,這里P4

35、(0)描述了當(dāng)前價(jià)格水平對(duì)利率的作用,而利率則是重要銀行試圖達(dá)到的政策目標(biāo)。擾動(dòng)uC描述了除了解釋變量以外的政策變化的因素。如果貨幣需求擾動(dòng)u異乎尋常地大,則導(dǎo)致Mt也異乎尋常地大,如果P40)A0,則導(dǎo)致1t也異乎尋常地大,在這種情形下,將出現(xiàn)uD與方程中的解釋變量It正相關(guān)的現(xiàn)象,這意味著無(wú)法使用OLS估計(jì)方程。顯然,無(wú)論是中央銀行政策還是1t的內(nèi)生性,并不是導(dǎo)致聯(lián)立方程偏差的唯一原因。貨幣需求擾動(dòng)和中央銀行的政策變化也對(duì)累積產(chǎn)出和價(jià)格水平產(chǎn)生影響,和價(jià)格P也是內(nèi)生的。例如,產(chǎn)出方程可以表示為:丫-k-(0)M-:(0)P-'(0)I丫一k331Mt32P341t+P31)Mt+P

36、32)P+P3;)Y+P34)It二+P32)mt工+P32)P+P33)Yt/+晚11/+P31P)MtjP32)pj般Y一暗心+uA這里utA代表影響累積需求的其他因素。因此方程中的產(chǎn)出丫(10.53)上述解釋的最終結(jié)論是,在結(jié)構(gòu)式方程中,所有當(dāng)期解釋變量都應(yīng)該被當(dāng)作是內(nèi)生的。2.動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)方程與VAR模型之間的聯(lián)系上述解釋的例子可以表示成為下面的向量形式:B0yt=k+ByyBzyyByut(10.54)這里:yt=(Mt,P,Y,It)',ut=(utD,utS,utA,utC)r,k=*1*2,3風(fēng))11時(shí)間序列分析方法講義第10章協(xié)方差平穩(wěn)向量過(guò)程和向量自回歸模型一1B一11

37、2畔)一113國(guó))1B0=-P20)1B一尸23-P24)-CB一產(chǎn)321-吃-CB一產(chǎn)42B一產(chǎn)431_1在這樣的假設(shè)下,我們可以假設(shè)滯后階數(shù)足夠大,以至于誤差果不是這樣,假設(shè)誤差過(guò)程服從自回歸形式:ut=FutJFzUt/FrUjetut滿足白噪聲過(guò)程。如(10.55)這樣在原來(lái)方程兩段乘以上述滯后算子多項(xiàng)式,就可以得到一個(gè)殘差過(guò)程服從白噪聲的(p+r)階的自回歸過(guò)程。對(duì)結(jié)構(gòu)式方程兩端乘以B01,可以得到:yt=c+Ryj+2yt/+%y+耳(10.56)這里:iiic=Bok,中s=BoBs,et=B0ut,s=1,2,p如果假設(shè)結(jié)構(gòu)式方程充分參數(shù)化以后,則誤差向量ut是向量白噪聲過(guò)程,

38、因此對(duì)應(yīng)地,q也是向量白噪聲過(guò)程。結(jié)論:VAR模型可以被認(rèn)為是一般動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)模型的簡(jiǎn)化式方程。3.解釋沖擊反應(yīng)函數(shù)我們前面已經(jīng)計(jì)算出沖擊反應(yīng)函數(shù)為:0yt由,s=1,2,二;jt這個(gè)沖擊反應(yīng)函數(shù)度量了發(fā)生在一個(gè)變量上的擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)中其他變量未來(lái)取值的影響。按照模型結(jié)構(gòu)式與簡(jiǎn)化式之間的關(guān)系,VAR模型中的擾動(dòng)力是結(jié)構(gòu)式擾動(dòng)ut的線性組合。例如,它可能是如下形式:1t=0.3utD-0.6utS0.1utA-0.5utC在這種情況下,如果公眾才!有的現(xiàn)金大于使用VAR模型預(yù)測(cè)的水平(如是正的),這可能是因?yàn)楣妼?duì)現(xiàn)金需求比通常情形下高,其原因是它與當(dāng)前的收入和利率水平相關(guān)(也即uD是正的);還有其

39、他一些原因?qū)е抡`差之間的線性關(guān)聯(lián)。與此對(duì)應(yīng),如果我們能夠計(jì)算:s=1,2,這個(gè)函數(shù)數(shù)值將具有更為明確的意義。如果中央銀行開(kāi)始比正常情形緊縮信貸,則這個(gè)數(shù)值度量了經(jīng)濟(jì)的動(dòng)態(tài)反應(yīng)結(jié)果,這個(gè)函數(shù)也是度量貨幣政策對(duì)經(jīng)濟(jì)運(yùn)行影響的重要指標(biāo)。前面我們已經(jīng)討論過(guò)正交沖擊反應(yīng)函數(shù)。對(duì)于Q=E(耳;),我們能夠找到唯一的下三角矩陣A和對(duì)角矩陣D,使得:Q=ADA;我們可以構(gòu)造向量A,q,然后計(jì)算這個(gè)向量中所有元素變化所導(dǎo)致的對(duì)y將來(lái)值的影響。類(lèi)似地,結(jié)構(gòu)式擾動(dòng)U與VAR擾動(dòng)&之間的關(guān)聯(lián)為:12時(shí)間序列分析方法講義第10章協(xié)方差平穩(wěn)向量過(guò)程和向量自回歸模型ut=B0鯉假設(shè)一種特殊情形為,結(jié)構(gòu)式參數(shù)矩陣B0正好等于矩陣A-,則正交化擾動(dòng)與真正的結(jié)構(gòu)擾動(dòng)重合:ut=B0耳=A耳在這種

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