大學(xué)物理質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)習(xí)題解答

1、第二章習(xí)題解答2-17質(zhì)量為2kg的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為r=(6t2-1)i?+(3t2+3t+1)?(單位：米，秒)，求證質(zhì)點(diǎn)受包力而運(yùn)動(dòng)，并求力的方向大小。解：=a=d21/dt2=12?+6?,日=病=24?+12?為一與時(shí)間無關(guān)的恒矢量，質(zhì)點(diǎn)受包力而運(yùn)動(dòng)。F=(242+122)1/2=12j5N,力與x軸之間夾角為:二二arctgFy/Fx=arctg0.5=26342-18質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在o-xy平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為:r=acosot?+bsinot?,a,b,為正常數(shù)，證明作用于質(zhì)點(diǎn)的合力總指向原點(diǎn)。證明：,a=d2r/dt2-2(acost?bsint?)-2r4f2f1

2、T，=“N2,rNi工2gF=ma=-mco2r,。作用于質(zhì)點(diǎn)的合力總指向原點(diǎn)2-19在圖示的裝置中兩物體的質(zhì)量各為m1,m2,物體之間及物體與桌面間的摩擦系數(shù)都為n,求在力F的作用下兩物體的加速度及純內(nèi)張力，不計(jì)滑輪和純的質(zhì)量及軸承摩擦，繩不可1NiT*f11Fmga*伸長。解：以地為參考系，隔離m1,m2,受力及運(yùn)動(dòng)情況如圖示，其中：f1=Ni=m1g,f2=.N2=.(N1+m2g)=.(m1+m2)g.在水平方向?qū)蓚€(gè)質(zhì)點(diǎn)應(yīng)用牛二定律：T-Nm1g=m1aF-m1g-R(m1+m2)g-T=m2a+可求得：a=F-2Nm1g_Rgmm2將a代入中，可求得：T=m1(F小mm22-20天

3、平左端掛一定滑輪，一輕繩跨過定滑輪，繩的兩端分別系上質(zhì)量為m1,m2的物體(mwm2)，天平右端的托盤上放有整碼.問天平托盤和八整碼共重若干，天平才能保持平衡？不計(jì)滑輪和純的質(zhì)量及軸以承摩擦，繩不伸長。入解：(B離m1,m2及定滑輪，受力及運(yùn)動(dòng)情況如圖示，應(yīng)用口后匕心牛頓第二定律：m1gTm2gTTT-m1g=mm2gT=m2aT=2T由可求得:2mim2g2mlm2gmim2mim2I二,I=所以，天平右端的總重量應(yīng)該等于T,天平才能保持平衡。2-2i一個(gè)機(jī)械裝置如圖所示，人的質(zhì)量為mi=60kg,人所站的底板的質(zhì)量為m2=30kgo設(shè)繩子和滑輪的質(zhì)量以及滑輪軸承的摩擦力都可略去不計(jì)，若想使

4、所站著的底板在空中靜止不動(dòng),此人應(yīng)以多大的力量拉繩子？此時(shí)人對升降機(jī)的壓力是多大?解：裝置的各部分和人的受力如圖所示，據(jù)題意有:Ti=TiT2=丁2T3=丁3N=NT2=2T3Ti=T2TiT3-N-m2g=0T3N-m1g2.21題圖IIIIIIIIIIIIIIIIIIII解方程組得:i/、T3=4gm2)g一i、N(3m)-m2)g4代入數(shù)據(jù)得:(T3=220.5N,即人應(yīng)以220。5N的力量拉繩子？此時(shí)人對升降機(jī)的壓N=367.5N力是367.5N。2-22桌面上有一質(zhì)量mi=1kg的木板，板上放一個(gè)質(zhì)量為m2=2kg的物體。已知物體和板之間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)=0.4,靜摩擦系數(shù)為Mq=0.

5、5,板和桌面間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)H=0.3o222題圖(i)今以水平力拉板，物體和板一起以加速度a=im/J運(yùn)動(dòng)，計(jì)算物體和板以及板和桌面間的相互作用力;(2)若使板從物體下抽出，至少需用多大的力？解：以地為參考系，隔離mi、m2,其受力與運(yùn)動(dòng)情況如圖所示,f2fiN2Fa2NiaifimigJNim2g,(1)物體和板之間的最大靜摩擦力可提供的最大加速度大于a=1m/s2,所以它們之間無相對運(yùn)動(dòng)。fi=1Nf2=2.94NJ=maif2=N2心解方程組并代入數(shù)據(jù)得:N2-N1-m2g=0所以物體和板以及板和桌面間的相互作用力分別為1N和2.94N(2)其中，Ni=Ni,fi=fi=noNi,f2

6、=n2N2,選圖示坐標(biāo)系o-xy,對mi,m2分別應(yīng)用牛頓二定律，有oNimiai”im1g=0JF-0N1-2N2-m2a2JN2-N1-m2g=0解方程組，得a1二0ga2=F-J0m1g-2m1g-2m2g/m2要把木板從下面抽出來，必須滿足a2ai,即F-mig-2mig-2m2gm20gFJ0J2mlm2g=0.50.3129.8=2.352N即要把木板從下面抽出來，沿水平方向必須用大于2.352N的力2.23沿鉛直向上發(fā)射玩具火箭的推力隨時(shí)間變化如圖所示，火箭質(zhì)量為2kg,t=0時(shí)處于靜止，求火箭發(fā)射后的最大速率和最大高度(注意，推力大于重力時(shí)才啟動(dòng))F(N)t(s)I解：根據(jù)推力

7、F-t圖像，可知F=4.9t(t020),令F=mg,98即4.9t=2X9.8,t=4s,因此，火箭發(fā)射可分為三個(gè)階段：t=0為第一階段，由于推力小于重力，火箭靜止，v=0,y=0;t=420sJ：為第二階段，火箭作變加速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)t=20S時(shí)，y=yi,V=Vmaxt20s為第三階段，火箭只受重力作用，作豎直上拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)達(dá)最大高度時(shí)的坐標(biāo)y=y2.第二階段的動(dòng)力學(xué)方程為：F-mg=mdv/dtdv=F/mdt-gdt=4.9/2tdt-9.8dtvttodv=4.9/2Jdt-9.8工出t20._.2v=4.9/4t-9.8t44.9t20vmax=v(20)=314m/sdy=vdt=

8、(4.9/4t2-9.8t44.9)dty12022020j.|0dy=4.9/44tdt9.8；tdt+4M4.91dty1=1672m第三階段運(yùn)動(dòng)學(xué)方程2_v=314-9.8(t-20)(1),y-y1=314(t-20)-4.9(t-20)2(2)令v=0,由（1）求得達(dá)最大高度y2時(shí)所用時(shí)間（t-20）=32,代入（2）中，得y2-y1=5030y2=ymax=5030+1672=6702（m）2.24 汽車質(zhì)量為1.2X10kN,在半徑為100m的水平圓形彎道上行駛，公路內(nèi)外側(cè)傾斜15,沿公路取自然坐標(biāo)，汽車運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為s=0.5t3+20t（m）,自t=5s開始勻速運(yùn)動(dòng)，試求公路面

9、作用于汽車與前進(jìn)方向垂直的摩擦力的大小，并指出是由公路內(nèi)側(cè)指向外側(cè)還是由外側(cè)直向內(nèi)側(cè)？解：以地為參考系，把汽車視為質(zhì)點(diǎn)，受力及運(yùn)動(dòng)情況如圖示：v=ds/dt=1.5t2+20,v|t=5=1.5X52+20=57.5m/s,an=v2/R=57.52/100=33設(shè)摩擦力f方向指向外側(cè)，取圖示坐標(biāo)o-xy,應(yīng)用牛頓第律：Ncos，fsin二二mgNcos=mg-fsinaNsin”Tcos：-manNsin久=man+fcostf=m(g0-an)cos4-sin：tg：/得：tg：=(manfcos：)/(mg-fsin二)mgtg:-fsin-tg-=manfcos：,:gtgu-an=9

10、.8tg15“-33=-30.430,二f0,說明摩擦力方向與我們事先假設(shè)方向相反，指向內(nèi)側(cè)。2.25 一輛卡車能夠沿著斜坡以15km/h的速率向上行駛，斜坡與水平面夾角的正切tga=0.02,所受阻力等于卡車重量的0.04,如果卡車以同樣的功率勻速下坡，卡車的速率是多少?解：設(shè)卡車勻速上坡時(shí)，速率為v,牽引力為F,功率為N,由質(zhì)點(diǎn)平衡方程有，F(xiàn)=(0.04+sina)mg,.N=Fv=(0.04+sina)mgv設(shè)卡車勻速下坡時(shí)，速率為v,牽引力為F,功率為N,由質(zhì)點(diǎn)平衡方程有F+mgsina=0.04mg,F=(0.04-sina)mg,N=(0.04-sina)mgv.令N=N,即(0.

11、04+sina)mgv=(0.04-sina)mgv,可求得：v=v(0.04+sina)/(0.04-sina).利用三角函數(shù)關(guān)系式，可求得：sina=tga=0.02,v=3v=3X15X103/602m/s=12.5m/s.2.26 如圖所示，質(zhì)量為m=0.5kg的木塊可在水平光滑直桿上滑動(dòng)，木塊與一不可伸長的輕繩相連，繩跨過一固定的光滑小環(huán)，繩端作用著大小不變的力T=50N,木塊在A點(diǎn)時(shí)具有向右的速率v=6m/s、求力T將木塊從A拉至B點(diǎn)時(shí)的速度。20.m8s/2.27題圖口2.26題圖已解：以A為原點(diǎn)建立圖示坐標(biāo)o-x,木塊由A到B,只有拉力T做功:444AWxc2dx二普：0004

12、(4-x)294/2d(4-x)29=一:2(4-x)20=50(4-x)2+9|：=50父(53)=100J設(shè)木塊到達(dá)B時(shí)的速度為v,由動(dòng)能定理：A=gmv23mv02v=j2A/m+v02=2x100/0.5+6220.88m/s,方向向右2.27 如圖所示，質(zhì)量為1.2kg的木塊套在光滑鉛直桿上，不可伸長的輕繩跨過固定的光滑小環(huán)，孔的直徑遠(yuǎn)小于它到桿的距離。繩端作用以恒力F,F=60N,木塊在A處有向上的速度v=2m/s,求木塊被拉至B時(shí)的速度。3.86m/s.解：以地為參考系，建立圖示坐標(biāo)A-xy,木塊在由A到B的運(yùn)動(dòng)過程中受三個(gè)力的作用，各力做功分別是：An=0;Aw=-mg(yB-

13、yA)=-1.2X9.8X0.5=-5.88J;F大小雖然不變，但方向在運(yùn)動(dòng)過程中不斷變化，因此是變力做功。0.50.50.505、，AF=fFydy刁FcosHdy=dy00.5T00.52(0.5-y)24/2d(0.5-y)2二-00.50.52(0.5-y)2/2d0.52(0.5-y)2=亨父20.52+(0.5y)21/2|0.5=0.5F(2-1)=0.560(-2-1)=12.43J22由動(dòng)能止理：AnAwAf=mvB-1mvA代入數(shù)據(jù)，求得vb=3.86m/s.2.28 質(zhì)量為m的物體與輕彈簧相連，最初m處于使彈簧既未壓縮也未伸長的位置,并以速度V0向右運(yùn)動(dòng)，彈簧的勁度系數(shù)為

14、k,物體與支撐面間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)為N求證物體能達(dá)到的最遠(yuǎn)距離l為1十瓦1)kmg證明：質(zhì)點(diǎn)m由彈簧原長位置運(yùn)動(dòng)到最遠(yuǎn)位置1,彈力F和滑動(dòng)摩擦力f對質(zhì)點(diǎn)做負(fù)功，導(dǎo)致質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能由mvo2/2變?yōu)?。根據(jù)動(dòng)能定理：AF+Af=0-mvo2/2其中，A=kjldl=gk12,Af=Nmgl,代入中，并整理，有：kl2+2nmgl-mvo2=0.這是一個(gè)關(guān)于l的一元二次方程，其根為：.22-2mg二(2mg)4kmv0l=2k,負(fù)根顯然不合題意，舍去，所以，l=-個(gè)。+N(Nmg)2+kmv。2=丁市+-1)2.29 滑雪運(yùn)動(dòng)員自A自由下落，經(jīng)B越過寬為d的橫溝到達(dá)平臺C時(shí)，其速度vc剛好在水平方向，已知

15、A、B兩點(diǎn)的垂直距離為25m.坡道在B點(diǎn)的切線方向與水平面成30o角，不計(jì)摩擦，求：運(yùn)動(dòng)員離開B處的速率vb;B、C的垂直高度差h及溝寬d;運(yùn)動(dòng)員到達(dá)平臺時(shí)的速率vc.工器題圖解：運(yùn)動(dòng)員在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，只有重力做功，故機(jī)械能守恒，取B點(diǎn)為勢能零點(diǎn)。mgH=mvB2/2二vb=2gH=29.825=22.1m/s運(yùn)動(dòng)員由B到C作斜拋運(yùn)動(dòng)，據(jù)題意，C點(diǎn)即為最高點(diǎn)。由斜拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可知，vc=vbcos30o=19.1m/smvB2/2=mvc2/2+mghh=(vb2-vc2)/2g=6.3m；由豎直方向的速度公式可求跨越時(shí)間：=0=vBsin30o-gt,t=vb/2g=1.13s,由水平方向的

16、位移公式可求得跨越距離d=VBcos30ot=21.6m.230題圖2.30裝置如圖所示，球的質(zhì)量為5kg,桿AB長1m,AC長0.1m,A點(diǎn)距O點(diǎn)0.5m,彈簧的勁度系數(shù)為800N/m,桿AB在水平位置時(shí)恰為彈簧自由狀態(tài)，此時(shí)釋放小球，小球由靜止開始運(yùn)動(dòng)，求小球到鉛垂位置時(shí)的速度，不計(jì)彈簧質(zhì)量及桿的質(zhì)量，不計(jì)摩擦。解：取小球在水平位置時(shí)，勢能為零，小球運(yùn)動(dòng)到豎直位置時(shí)的速度為V,彈簧原長：l=、，0.52+0.12=0.51,在小球從水平位置運(yùn)動(dòng)到豎直位置的過程中，只有保守內(nèi)力做功，因而機(jī)械能守恒：0=2mv2-mgAB+2k(OA+AC-l0)2,可求得：v=.J2gAB-k(OAAC-l

17、0)2/m-229.81-800(0.50.1-0.51)2/5-4.28m/s2.31盧瑟福在一篇文章中寫道：可以預(yù)言，當(dāng)a粒子和氫原子相碰時(shí)，可使之迅速運(yùn)動(dòng)起來.按正碰考慮很容易證明，氫原子速度可達(dá)a粒子碰撞前速度的1.6倍，即占入射a粒子能量的64%。試證明此結(jié)論(碰撞是完全彈性的，且a粒子質(zhì)量接近氫原子質(zhì)量的四倍)。證明：設(shè)氫原子質(zhì)量為m,碰前速度為零，碰后速度VH,a粒子質(zhì)量為4m,碰前速度為V.，碰后速度為VJ根據(jù)完全彈性碰撞基本公式：4mVa=4mVa+mvH日口4v0f=4v0t4VH(1)“即，1VS-%=vh-%十X4,彳#8v=5vh,vh=8vJ5=1.6vEh二mvH

18、2/2EO(4mvJ/22(1.6v-.)2-2-=0.644V2.32m為靜止車廂的質(zhì)量，質(zhì)量為M的機(jī)車在水平軌道上自右方以速率v滑行并與m碰撞掛鉤.掛鉤后前進(jìn)了距離s然后靜止。求軌道作用于車的阻力。解：整個(gè)過程可分為兩個(gè)階段：第一階段，機(jī)車與車廂發(fā)生完全非彈性碰撞而獲得共同速度v,由于軌道阻力遠(yuǎn)小于沖力，可認(rèn)為質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒，Mv=(M+m)v,v=Mv/(M+m)第二階段，機(jī)車與車廂掛鉤后，在摩擦阻力的作用下向前移動(dòng)了s,速度由v變?yōu)榱?，由?dòng)能定理，有-fs=0-(M+m)v2/2,一.22將v,代入，可求得f=m2.33 如圖所示，質(zhì)量為2g的子彈以500m/s的速度射向質(zhì)量為1kg,

19、用l=1m長的純子懸掛著的擺，子彈穿過擺后仍然有100m/s的速度，問擺沿鉛直方向升起若干？233題圖解：用v0,v分別表示子彈穿過擺前后的速度，u表示子彈穿過擺后擺的速度，設(shè)擺開起的最大高度為h由動(dòng)量守恒：mv0=mv+MV,可得V-m(v0-v)-0.002(500-100)-0.8由能量守恒：MV2=Mgh2_2h=V2/2g=0.82/(29.8)=0.033m2.34 如圖所示一質(zhì)量為200g的框架，用一彈簧懸掛起來，使彈簧伸長10cm,今有一質(zhì)量為200g的鉛快在高30cm處從靜止開始落進(jìn)框架，求此框架向下移動(dòng)的最大距離，彈簧質(zhì)量不計(jì)，空氣阻力不計(jì)。解：框架靜止時(shí)，彈簧伸長Al=0

20、.1m,由平衡條件mg=kAl,求得:k=mg/Al=0.2X9.8/0.1=19.6N/m2鉛塊洛下h=30cm后的速度v。，可由能重寸包方程求出：mgh=Wmv。2二4題圖v0=2gh=29.80.3=2.42m/s設(shè)鉛快與框架碰后的共同速度為v,由動(dòng)量守恒:mv0=2mv,v=-2v0=2.42/2=1.21m/s設(shè)框架下落的最大距離為x,由機(jī)械能守恒：*m+m)v2+2kl2=(8+x)2-2mgx,進(jìn)行整理并代入數(shù)據(jù)，可得x的一元二次方程：x2-0.2x-0.03=0,x=0.3m2.35 如圖所示，質(zhì)量為m1=0.790kg和m2=0.800kg的物體以勁度系數(shù)為10N/m的輕彈簧

21、相連，置于光滑水平桌面上，最初彈簧自由伸張。質(zhì)量為mo=0.01kg的子彈以速率vo=100m/s沿水平方向射于mi內(nèi)，問彈簧最多壓縮了多少？解：整個(gè)過程可分為兩個(gè)階段處理。第一階段：子彈射入mi內(nèi)，發(fā)生完全非彈性碰撞，動(dòng)量守恒，設(shè)子彈質(zhì)量為m。，子彈與mi獲得的共同速度為v,則有m0V0=(mi+m0)vv=v0m0/(mi+m0)(1)第二階段：子彈與mi以共同速度v開始壓縮彈簧至mi與m2有相同的速度V,壓縮結(jié)束；在此過程中，由m0,mi,m2組成的質(zhì)點(diǎn)系，其動(dòng)量、能量均守恒，設(shè)彈簧最大壓縮量為l.由動(dòng)量守恒，有：(mim0)v=(mim2m0)Vmimm0v0V二v二m1m2mom1m

22、2mo由能量守恒:2(mim0)v2=2(mim2m0)V22kl2(3)將、代入中，可求得：,1,11、l=m0Vo():0.25mkm1mom1m2m02.36 -10g的子彈沿水平方向以速率110m/s擊中并嵌入質(zhì)量為100g的小鳥體內(nèi)，小鳥原來站在離地面4.9m高的樹枝上，求小鳥落地處與樹枝的水平距離。解：設(shè)鳥被子彈擊中后與子彈共有的速度為v,由動(dòng)m1Vo=(色mz)v=10m/sv二mivo=0.01110m1m20.010.1由平拋運(yùn)動(dòng)公式h=12gt2,可求得子彈落地時(shí)間:t=、2h/g=/2父4.9/9.8=1s,所以，水平距離S=vt=10X1=10m2.37 棒球質(zhì)量為0.

23、14kg,用棒擊棒球的力隨時(shí)間的變化如圖所示，設(shè)棒球被擊前后速度增量大小為70m/s,求力的最大值，打擊時(shí)，不計(jì)重力。2.37題圖解：由F-t圖可知:當(dāng)0MtM0.05時(shí),F=0.05Fmax當(dāng)0.05WtM0.08時(shí)，F(xiàn)=00Fmax斜截式方程y=kx+b,兩點(diǎn)式方程(y-yi)/(x-xi)=(y2-yi)/(X2-xi)0.080.050.08由動(dòng)量定理：m.v=Fdt=富tdt菊(0.08-t)dt000.05可求得Fmax=245N2.38 地球質(zhì)量為6.0X1024kg,地球與太陽相距149X106km,視地球?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)，它繞太陽做圓周運(yùn)動(dòng)，求地球?qū)τ趫A軌道中心的角動(dòng)量。2.65M10

24、40kgm2/sQ2242二(149109)2解：L=mvr=mr=6.010365246060_，-26.02二1494210365246060一一402=2.6510kgm/s2.39 一個(gè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在o-xy平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，其位置矢量為r=acoaW+bst?,其中a、b和是正常數(shù)，試以運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)觀點(diǎn)證明該質(zhì)點(diǎn)對于坐標(biāo)原點(diǎn)角動(dòng)量守恒。證明：v=dr/dt=-asint?bcost?22.02a=dv/dt=-a，cost?一b，sin，tj，=-r運(yùn)動(dòng)學(xué)觀點(diǎn)：L=rmv=(acost?bsint?)m(-asinti?bcost?)?=?=0,?=?(-?)=I?L=mabcos2t?mabsin2tl?=mabI?顯然與時(shí)間t無關(guān)，是個(gè)守恒量。動(dòng)力學(xué)觀點(diǎn)：-=rF=rmarm(-2r)-m2rr=0,該質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量守恒。,*二06同明2一4。題圖2.40質(zhì)量為200g的小球B以彈性繩在光滑水平面上與固定點(diǎn)A相連。彈性純的勁度系數(shù)為8N/m,其自由伸展長度為600mm.最初小球的位置及速度V0如圖所示。當(dāng)小球的速率變?yōu)関時(shí)，它與A點(diǎn)的距離最大，且等于800mm,求此時(shí)的速率V及初速率V0.