經(jīng)典功率譜估計

1、廣州大學(xué)物理與電子工程學(xué)院廣州大學(xué)物理與電子工程學(xué)院第六章 功率譜估計6.5 6.5 經(jīng)典功率譜估計經(jīng)典功率譜估計 其他 01, 1 , 0NkkxkxN方法基礎(chǔ)方法基礎(chǔ)卷積和卷積和:*1nxnxNnRNNx由由*DTFT1)(nxnxNPNNx )e ()e (1jjNNXXN2j)e (1NXN已知：已知：稱稱 用用IN( )表示表示10jje DTFT)e (NkkNNNkxkxX2jjDTFT)e (1)()e (NxNNXNPXkx 功率譜估計其中：其中：2DFT1mXNmPmXkxNxNN 功率譜估計102jeDFTNkmkNNNNkxkxmX用周期圖法計算功率譜估計用周期圖法計算

2、功率譜估計已知實平穩(wěn)隨機序列已知實平穩(wěn)隨機序列Xk單一樣本的單一樣本的N個觀測值為個觀測值為xk=1, 0， 1，試?yán)弥芷趫D法估計其功率譜。，試?yán)弥芷趫D法估計其功率譜。利用周期圖法計算功率譜估計的關(guān)鍵是：利用周期圖法計算功率譜估計的關(guān)鍵是：1)獲得隨機序列單一樣本獲得隨機序列單一樣本N個觀測值的傅氏變換！個觀測值的傅氏變換！2)再由下式即得功率譜估計：再由下式即得功率譜估計：2j)e (1)()(NNxXNIP 對對xk進行離散時間傅里葉變換進行離散時間傅里葉變換(DTFT)：2j10jje1e )e ( NkkNkxX)e ()e (1)e (1)(j*j2jNNNNXXNXNI )e1

3、)(e1 (312 j2 j)cos1 (32 功率譜估計為：功率譜估計為：用周期圖法計算功率譜估計用周期圖法計算功率譜估計已知實平穩(wěn)隨機序列已知實平穩(wěn)隨機序列Xk單一樣本的單一樣本的N個觀測值為個觀測值為xk=1, 0， 1，試?yán)弥芷趫D法估計其功率譜。，試?yán)弥芷趫D法估計其功率譜。利用周期圖法進行利用周期圖法進行平穩(wěn)高斯白噪聲的譜估計平穩(wěn)高斯白噪聲的譜估計產(chǎn)生產(chǎn)生30組組N點均值為零，方差為點均值為零，方差為1的平穩(wěn)高斯白噪的平穩(wěn)高斯白噪聲，分別計算聲，分別計算N=64，128，256，512時的功率譜時的功率譜估計值，并分析譜估計質(zhì)量。估計值，并分析譜估計質(zhì)量。 利用隨機信號產(chǎn)生器產(chǎn)生利

4、用隨機信號產(chǎn)生器產(chǎn)生30組組N點平穩(wěn)高斯白點平穩(wěn)高斯白噪聲，由下式：噪聲，由下式： 2j)e (1)(NxXNP分別計算出分別計算出30組信號的周期圖，再取平均即可組信號的周期圖，再取平均即可得到功率譜估計值得到功率譜估計值 。01234020020N=64FrequencyPower Spectral(dB)01234020020N=128Frequency01234020020N=256FrequencyPower Spectral(dB)01234020020N=512FrequencyPower Spectral(dB)Power Spectral(dB) 功率譜估計值在功率譜估計值在

5、0dB附近波動，波動的大小不附近波動，波動的大小不隨數(shù)據(jù)長度隨數(shù)據(jù)長度N的增加而減小，即周期圖法譜估計的的增加而減小，即周期圖法譜估計的方差較大，且不隨方差較大，且不隨N的增加而減小的增加而減小。 利用周期圖法進行利用周期圖法進行平穩(wěn)高斯白噪聲的譜估計平穩(wěn)高斯白噪聲的譜估計產(chǎn)生產(chǎn)生30組組N點均值為零，方差為點均值為零，方差為1的平穩(wěn)高斯白噪的平穩(wěn)高斯白噪聲，分別計算聲，分別計算N=64，128，256，512時的功率譜時的功率譜估計值，并分析譜估計質(zhì)量。估計值，并分析譜估計質(zhì)量。 1j(1)( ) eNnNnNNnE IR nN N，EIN( )= Px( )，漸進無偏估計漸進無偏估計sin

6、)sin(1)(var24 NNINN增加，增加， 方差不減小，不是一致估計！方差不減小，不是一致估計！周期圖法進行功率譜估計周期圖法進行功率譜估計, 方差不隨方差不隨N的的增加增加減小。減小。如何提高譜估計質(zhì)量如何提高譜估計質(zhì)量?(1) 對自相關(guān)函數(shù)估計值加窗。對自相關(guān)函數(shù)估計值加窗。(2) 將將N個觀測值分段個觀測值分段, 計算各段的周期圖計算各段的周期圖, 再取平均。再取平均。對自相關(guān)函數(shù)估計值加窗對自相關(guān)函數(shù)估計值加窗, 將誤差較大的估計值截去：將誤差較大的估計值截去：nxNNnMnRnwPj1)1(e )( 窗函數(shù)窗函數(shù)wn (MN)滿足下述條件：滿足下述條件：MnnwMnnwnww

7、nw0100(1) 利用觀測數(shù)據(jù)估計自相關(guān)序列。利用觀測數(shù)據(jù)估計自相關(guān)序列。(2) 對自相關(guān)函數(shù)估計值加窗。對自相關(guān)函數(shù)估計值加窗。(3) 計算加窗后自相關(guān)函數(shù)的計算加窗后自相關(guān)函數(shù)的DTFT。PM( )波動比波動比IN ( )小小，是，是一致估計一致估計降低了頻率分辨率降低了頻率分辨率1, 1 , 0; 1, 1 , 0;MkAikiMxkxi第第i段序列的周期圖為：段序列的周期圖為：2j)e (1)(MiMXMI 平均周期圖：平均周期圖：)(1)(10iMAiAMIAP 將隨機序列將隨機序列Xk的的N個觀測值分成個觀測值分成A段：段：)(var1)(variMAMIAP A, 方差為零，方

8、差為零，是一致估計是一致估計 1)1(je )(biaNNnnNnRNnI)(bia)(biaNiMII 平均周期圖方差減小的代價之一是平均周期圖方差減小的代價之一是偏差增大偏差增大。因為因為所以所以平均周期圖法平均周期圖法：減小方差：減小方差：增加估計的偏差，：增加估計的偏差，降低了譜的分辨率降低了譜的分辨率：分段即加窗，段越多，窗越短，主瓣寬度越大：分段即加窗，段越多，窗越短，主瓣寬度越大：將各段數(shù)據(jù)有一定程度的重疊。：將各段數(shù)據(jù)有一定程度的重疊。利用利用Welch法進行法進行平穩(wěn)高斯白噪聲的譜估計平穩(wěn)高斯白噪聲的譜估計產(chǎn)生產(chǎn)生30組組512點均值為零，方差為點均值為零，方差為1的平穩(wěn)高斯

9、的平穩(wěn)高斯白噪聲，白噪聲，利用利用Welch法法按照按照50%50%重疊分別將其分重疊分別將其分成成A=3，7，15，31段段，計算功率譜估計值，并，計算功率譜估計值，并分析譜估計質(zhì)量。分析譜估計質(zhì)量。 (1) 對每組對每組512512點數(shù)據(jù)按各段數(shù)據(jù)重疊點數(shù)據(jù)按各段數(shù)據(jù)重疊50%50%的方式的方式分成分成3 3段段256256點序列，點序列，7 7段段128128點序列，點序列，1515段段6464點序列，點序列，3131段段3232點序列。點序列。 10)(1)(AiiMAMIAP(2) 求出每段數(shù)據(jù)的周期圖：求出每段數(shù)據(jù)的周期圖：21mXMmIiMiM(3) 再取平均即得各組數(shù)據(jù)的再取平

10、均即得各組數(shù)據(jù)的功率譜估計功率譜估計 ,即：即：1）隨著分段數(shù)）隨著分段數(shù)A的增加，譜估計越來越平滑，的增加，譜估計越來越平滑，方差明顯減小。方差明顯減小。 2） Welch法的譜估計結(jié)果比周期圖法的譜估計法的譜估計結(jié)果比周期圖法的譜估計結(jié)果有顯著改善，更接近理論分析結(jié)果有顯著改善，更接近理論分析(0dB) 。利用利用Welch法進行法進行平穩(wěn)高斯白噪聲的譜估計平穩(wěn)高斯白噪聲的譜估計產(chǎn)生產(chǎn)生30組組512點均值為零，方差為點均值為零，方差為1的平穩(wěn)高斯的平穩(wěn)高斯白噪聲，白噪聲，利用利用Welch法法按照按照50%50%重疊分別將其分重疊分別將其分成成A=3，7，15，31段段，計算功率譜估計值，并，計算功率譜估計值，并分析譜估計質(zhì)量。分析譜估計質(zhì)量。 五五 、小結(jié)、小結(jié)*DTFT1)(nxnxNPNNx )e ()e (1jjNNXXN2j)e (1NXN(1) 利用觀測數(shù)據(jù)估計自相關(guān)序列；利用觀測數(shù)據(jù)估計自相關(guān)序列；(2) 對自相關(guān)函數(shù)估計值加窗；對自相關(guān)函數(shù)估計值加窗；(3) 計算加窗后自相關(guān)函數(shù)的計算加窗后自相關(guān)函數(shù)的DTFT。五五 、小結(jié)、小結(jié)1, 1 ,