拉格朗日插值試驗報告

1、實驗名稱：實驗一拉格朗日插值1引言我們在生產(chǎn)生活中常常會遇到這樣的問題：某個實際問題中，函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上存在且連續(xù)，但卻很難找到其表達式，只能通過實驗和觀測得到有限點上的函數(shù)表。顯然，根據(jù)這些點的函數(shù)值來求其它點的函數(shù)值是非常困難的。有些情況雖然可以寫出表達式，但結(jié)構(gòu)復(fù)雜，使用不方便。所以我們總是希望根據(jù)已有的數(shù)據(jù)點(或函數(shù)表)來構(gòu)造某個簡單函數(shù)P(x)作為f(x)的近似值。插值法是解決此類問題的一種比較古老的、但卻很常用的方法。它不僅直接廣泛地應(yīng)用于生產(chǎn)實際和科學研究中，而且也是進一步學習數(shù)值計算方法的基礎(chǔ)。2實驗?zāi)康暮鸵筮\用Matlab編寫三個.m文件，定義三種插值函數(shù)，要求一

2、次性輸入整張函數(shù)表，并利用計算機選擇在插值計算中所需的節(jié)點。分別通過分段線性插值、分段二次插值和全區(qū)間上拉格朗日插值計算f(0.15),f(0.31),f(0.47)的近似值。已知函數(shù)表如下：x0.00.10.1950.30.4010.5f(x)0.398940.396950.391420.381380.368120.352063算法原理與流程圖(1)原理設(shè)函數(shù)y二在插值區(qū)間a,b上連續(xù)，且在n+1個不同的插值節(jié)點a0,x1，,x&b上分別取值y0,y1,yn。目的是要在一個性質(zhì)優(yōu)良、便于計算的插值函數(shù)類中，求一簡單函數(shù)P(x),滿足插值條件P(xi)=yi(i=0,1,/)而在其他點

3、xE上，作為f(x)近似值。求插值函數(shù)P(x)的方法稱為插值法。在本實驗中，采用拉格朗日插值法。分段低次插值當給定了n+1個點x0<x1<-<xn上的函數(shù)值y0,y1,y后，若要計算xf處函數(shù)值f(x)的近似值，可先選取兩個節(jié)點xi-1與xi使xCxxi,然后在小區(qū)間xi-1,xi上作線性插值，即得這種分段低次插值叫分段線性插值，又稱折線插值。類似地，我們可以選取距離x最近的三個節(jié)點xi-1,xi與xi+1,然后進行二次插值，即得這種分段低次插值叫分段二次插值，又稱分段拋物線插值。全區(qū)問上拉格朗日插值對節(jié)點xi(i=0,1,州任一點xk(0&k0,n詐一n次多項式lk

4、(x),使它在該點上的取值為1,在其余點xi(i=0,1,-kk+1,nt取值為零。對應(yīng)于每一節(jié)點xk(k=0,1，,n)都能寫出一個滿足此條件的多項式，這樣寫出了n+1個多項式1o(x),1i(x),丹僅)，其中l(wèi)k(x)Ak(xx0)(xx1)L(xxk1)(xxk1)L?(xxn)；由條件lk(xk)1可得于是我們可以得出如下的拉格朗日n次插值多項式(對于全區(qū)間上的插值，n取函數(shù)表的長度)(2)流程圖分段線性插值分段二次插值全區(qū)間拉格朗日插值4程序代碼及注釋1、分段線性插值%分段線性插值functiony=piece_linear(x0,y0,x)%x0,y0為已知點，x為待求點n=le

5、ngth(x0);p=length(y0);m=length(x);%n,p,m#別為x0,y0,x長度ifn=pfprintf('Error!Pleaseinputagain!n');%*0和丫0長度不等時，報錯elsefori=1:mz=x(i);sum=0.0;l=0;%合l賦初值，根據(jù)x的值確定lifz<x0(1)|z>x0(n)fprintf('Error!x(%d)isoutofrange!n',i);break;end%當插值點超出范圍時，報錯forj=2:nifz<x0(j)l=j;endifl=0break;endend%一旦

6、l有非零值，則終止循環(huán)，選出合適的lfork=l-1:la=1.0;fors=l-1:lifs=ka=a*(z-x0(s)/(x0(k)-x0(s);endendsum=sum+y0(k)*a;endy(i)=sum;fprintf('y(%d)=%fnx1=%,3fy1=%,5f,x2=%,3fy2=%,5fnn',i,y(i),x0(l-1),y0(l-1),x0(l),y0(l);%輸出插值結(jié)果和所需節(jié)點endendend2、分段二次插值%分段二次插值functiony=piece_square(x0,y0,x)%x0,y0為已知點，x為待求點n=length(x0);p

7、=length(y0);m=length(x);%n,p,n#別為x0,y0,x長度ifn=pfprintf('Error!Pleaseinputagain!n');%x0和y0長度不等時，報錯elsefori=1:mz=x(i);sum=0.0;l=0;%合l賦初值，根據(jù)x的值確定lifz<x0(1)|z>x0(n)fprintf('Error!x(%d)isoutofrange!n',i);break;end%當插值點超出范圍時，報錯forj=1:n-2p=0.5*(x0(j)+x0(j+1);ifz<pl=j;endifl=0break;

8、end%一旦l有非零值，則終止循環(huán)，選出合適的lendifl=0l=n-1;end%輸入正確時，若l還等于零，l=n-1fork=l-1:l+1a=1.0;fors=l-1:l+1ifs=ka=a*(z-x0(s)/(x0(k)-x0(s);endendsum=sum+y0(k)*a;endy(i)=sum;fprintf('y(%d)=%fnx1=%.3fy1=%.5fnx2=%.3fy2=%.5fnx3=%.3fy3=%.5fnn',i,y(i),x0(l-1),y0(l-1),x0(l),y0(l),x0(l+1),y0(l+1);%輸出插值結(jié)果與所需節(jié)點endenden

9、d3、拉格朗日全區(qū)間插值%拉格朗日全區(qū)間插值functiony=lagrange(x0,y0,x)%x0,y0為已知點，x為待求點n=length(x0);p=length(y0);m=length(x);%n,p,m另J為x0,y0,x長度ifn=pfprintf('Error!Pleaseinputagain!n');%x0和y0長度不等時，報錯elsefori=1:mz=x(i);s=0.0;ifz<x0(1)|z>x0(n)fprintf('Error!x(%d)isoutofrange!n',i);break;end%當插值點超出范圍時，報

10、錯fork=1:np=1.0;forj=1:nifj=kp=p*(z-x0(j)/(x0(k)-x0(j);endends=p*y0(k)+s;endy(i)=s;fprintf('y(%d)=%.5fn',i,y(i);%輸出插值結(jié)果endendend5算例分析1、測試示例>>x=1234;>>y=234;>>y2=lagrange(x,y,x0)Error!Pleaseinputagain!>>x=1234;>>y=2345;>>x0=0.55.5;>>y2=lagrange(x,y,x0)

11、Error!x(1)isoutofrange!>>x=1234;>>y=2345;>>x0=1.55.5;>>y2=lagrange(x,y,x0)y(1)=2.50000Error!x(2)isoutofrange!y2=2、首先輸入函數(shù)變及待求點>>x=0.00.10.1950.30.4010.5;>>y=0.398940.396950.391420.381380.368120.35206;>>x0=0.150.310.47;注：保證在matlab工作目錄中有三個.m文件3、分段線性插值y0=piece_l

12、inear(x,y,x0)y(1)=0.394039x1=0.100y1=0.39695,x2=0.195y2=0.39142y(2)=0.380067x1=0.300y1=0.38138,x2=0.401y2=0.36812y(3)=0.356927x1=0.401y1=0.36812,x2=0.500y2=0.35206y0=4、分段二次插值>>y1=piece_square(x,y,x0)y(1)=0.394460x1=0.100y1=0.39695x2=0.195y2=0.39142x3=0.300y3=0.38138y(2)=0.380225x1=0.195y1=0.39

13、142x2=0.300y2=0.38138x3=0.401y3=0.36812y(3)=0.357247x1=0.300y1=0.38138x2=0.401y2=0.36812x3=0.500y3=0.35206y1=5、全區(qū)間拉格朗日插值>>y2=lagrange(x,y,x0)y(1)=0.39447y(2)=0.38022y(3)=0.35722y2=6討論與結(jié)論1、使用tic,toc函數(shù)計算下列四種方法計算上述問題所運行的時間Functionlagrange(x0,y0,x)piece_linear(x0,y0,x)piece_square(x0,y0,x)運行時間(s)0

14、.0002720.0003750.000272從三次實驗結(jié)果可知，三個程序的運行時間都很短。2、程序優(yōu)化由分段線性插值和分段二次插值的原理，x取值在函數(shù)表范圍內(nèi)時，插值結(jié)果有意義，而當x取值在函數(shù)表范圍以外，利用分段線性插值公式仍可以進行運算并得到一個值，但其結(jié)果不準確；分段二次插值則無法找到三個合適的點以求插值，不予以輸出結(jié)果；若輸入的函數(shù)表x與y的長度不相等，則無法插值。所以加入以下判斷以提高插值的準確性n=length(x0);p=length(y0);m=length(x);ifn=pfprintf('Error!Pleaseinputagain!n');ifz<x0(1)|z>x0(n)f