弧長與扇形面積公式

1、 在田徑二百米跑比賽中，每位運(yùn)動(dòng)員的起跑位在田徑二百米跑比賽中，每位運(yùn)動(dòng)員的起跑位置相同嗎？每位運(yùn)動(dòng)員彎路的展直長度相同嗎？置相同嗎？每位運(yùn)動(dòng)員彎路的展直長度相同嗎？一、一、 情境引入情境引入 導(dǎo)入新課導(dǎo)入新課 觀察：觀察：制造彎形管道時(shí)，經(jīng)常要先按中制造彎形管道時(shí)，經(jīng)常要先按中心線計(jì)算心線計(jì)算“展直長度展直長度”(圖中虛線的長度圖中虛線的長度)，再下料，這就涉及到計(jì)算再下料，這就涉及到計(jì)算弧長弧長的問題的問題（1）半徑為R的圓,周長是多少？C=2R （3）1圓心角所對(duì)弧長是多少？ （2）圓的周長可以看作是多少度的圓心角所對(duì)的??？180RnlnABO若設(shè)O半徑為R， n的圓心角所對(duì)的弧長為 ，

2、則 l1803602RRl360(4)n圓心角所對(duì)弧長是多少？n180R1.已知弧所對(duì)的圓心角為900，半徑是4，則弧長為_ 2. 已知一條弧的半徑為9，弧長為8 ，那么這條弧所對(duì)的圓心角為_。3. 鐘表的軸心到分針針端的長為5cm,那么經(jīng)過40分鐘,分針針端轉(zhuǎn)過的弧長是( ) A. B. C. D. cm310cm320cm325cm3502160B小結(jié)： 弧長公式涉及三個(gè)量 弧長 ,圓心角的度數(shù) ,弧所在的半徑，知道其中兩個(gè)量，就可以求第三個(gè)量。 應(yīng)用：制造彎形管道時(shí)，要先按中心線計(jì)算“展直長度”，再下料，試計(jì)算圖所示管道的展直長度L(單位：mm，精確到1mm)解：由弧長公式，可得弧AB

3、的長L （mm） 1570500180900100因此所要求的展直長度 L （mm） 297015707002答：管道的展直長度為2970mm 1.已知弧所對(duì)的圓心角為90，半徑是4，則弧長為_.2. 已知一條弧的半徑為9，弧長為8 ，那么這條弧所對(duì)的圓心角為_.3. 鐘表的軸心到分針針端的長為5cm,那么經(jīng)過40分鐘,分針針端轉(zhuǎn)過的弧長是( ) A. B. C. D. cm310cm320cm325cm3502160B【跟蹤訓(xùn)練】 如下圖，由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對(duì)的弧圍成的圖形是扇形。半徑半徑圓心角圓心角弧ABOBA扇形那么： 在半徑為R 的圓中,n的圓心角所對(duì)的扇形面積的計(jì)算公式

4、為360Rn2扇扇形形S2R3602R36036022RnRn360(1) 如果圓的半徑為R，則圓的面積為多少？ (2)圓的面積可以看成多少度圓心角扇形的面積？(3) l的圓心角對(duì)應(yīng)的扇形面積為多少 ？(4) n的圓心角對(duì)應(yīng)的扇形面積為 多少？3602RnS扇形180RnlABOO比較扇形面積與弧長公式, 用弧長表示扇形面積:lRS21扇形想一想：扇形的面積公式與什么 公式類似？20 cm 23 cm 43 2240 cm 小結(jié)： 扇形面積公式涉及三個(gè)量 扇形面積 ,圓心角的度數(shù) ,弧所在的半徑，知道其中兩個(gè)量，就可以求第三個(gè)量。 1：如圖、水平放置的圓柱形排水管道的截面半徑0.6m，其中水面

5、高0.3m，求截面上有水部分的面積。（精確0.01m）。0BACD解：如圖，連接OA，OB，OD=OC-DC=0.3OC=0.6，DC=0.3OD=DC又AD DCAD上線段OC的垂直平分線AC=AO=OC從而AOD=60， AOB=120有水部分的面積為：S= S扇OAB- SOAB =3 . 036 . 02112. 00.22m2ODAB 216 . 03061202 =連接AC過點(diǎn)O作弦AB的垂線，垂足為D，交弧AB于點(diǎn)C，分析：有水部分的面積為： S= S扇OAB- SOAB拓展與應(yīng)用變式：1.如圖、水平放置的圓柱形排水管道的截面半徑是0.6m，其中水面高0.9m，求截面上有水部分的

6、面積。(結(jié)果保留兩位小數(shù) )0ABDCE分析：有水部分的面積 = S扇+ SOAB解: 連接OA,OB過點(diǎn)O作弦AB的垂線,垂足為點(diǎn)E,交劣弧AB于點(diǎn)D,交優(yōu)弧ACB于點(diǎn)C ， 連接ADCD=1.2,EC=0.9,DE=CD-CE=1.2-0.9=0.3OE=OD-ED=0.6-0.3=0.3ED=0EABODAB是OD的垂直平分線OA=AD=ODAOD=60, AOB=120有水部分的面積 = S扇+ SOABOEAB216 . 03602402 =3 . 036 . 02124. 0 0.91 m2優(yōu)弧ACB所對(duì)圓心角為2401.學(xué)會(huì)幾何建模，既把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為幾何問題2.轉(zhuǎn)化思想3.S弓

7、=S扇S S弓=S扇+S0BA0圓心角是1的扇形面積是多少？圓心角為n的扇形面積是多少?圓心角是1的扇形面積是圓面積的 3601圓心角是n的扇形面積是圓面積的 360n 如果用字母 S 表示扇形的面積，n表示圓心角的度數(shù)，R 表示圓半徑，那么扇形面積的計(jì)算公式是：S扇形 S圓360n360n R2（1）當(dāng)已知弧長L和半徑R，求扇形面積時(shí)，應(yīng)選用（2）當(dāng)已知半徑和圓心角的度數(shù)，求扇形面積時(shí)，應(yīng)選用LRS21扇形3602RnS扇形扇形所對(duì)的弧長扇形的面積是180RnLLRRRnRnS2121803602扇形五、小結(jié)提高 1. 一個(gè)概念：扇形 三個(gè)公式：弧長公式 扇形面積 兩種變形：弧長公式、扇形面

8、積公式的變形；一種轉(zhuǎn)化：把陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形面積和三角形面積的和或差.180Rnl S扇形3602RnS扇形.lR21 2.思考：如何求下列兩個(gè)圖中陰影部分的面積？OBA（1）ABO（2） 圖(1)的陰影面積扇形OAB的面積+ OAB的面積 圖(2)的陰影面積扇形OAB的面積- OAB的面積2.一塊等邊三角形的木板,邊長為1,現(xiàn)將木板沿水平線翻滾(如圖),那么B點(diǎn)從開始至B2結(jié)束所走過的路徑長度_.BB1B2FB1BBBBF B234l3.3.（衡陽（衡陽中考）如圖，在中考）如圖，在 中，中， 分別以分別以ACAC、BCBC為直徑畫半圓，則為直徑畫半圓，則圖中陰影部分的面積為圖中陰影部分

9、的面積為 （結(jié)果保留（結(jié)果保留 ）CAB222211( AC)( BC)AC BC214 2522S42222222陰影9042CACBC ，RtABC【解析】答案:542 1 1、已知正三角形、已知正三角形ABCABC的邊長為的邊長為a，分，分別以別以A A、B B、C C為圓心，以為圓心，以 為半徑為半徑的圓相切于點(diǎn)的圓相切于點(diǎn)D D、 E E、F F，求圖中陰影求圖中陰影部分的面積部分的面積S.S.2a2.如圖，已知如圖，已知P、Q分別是半徑為分別是半徑為1的半圓的半圓圓周上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，圓周上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，AB是直徑，則是直徑，則陰影部分的面積等于陰影部分的面積等于 。1.1.A

10、A, , B B, , C C兩兩不相交兩兩不相交, ,且半徑且半徑都是都是1 1cmcm, ,則圖中的三個(gè)扇形的面積之則圖中的三個(gè)扇形的面積之和為多少和為多少? ?弧長的和為多少弧長的和為多少? ? （北京）（北京） 探究題：如圖，A、 B、 C、 D兩兩不相交，且半徑都是2cm，求圖中陰影部分的面積。 ABCD四個(gè)扇形的面積剛好構(gòu)成一個(gè)完整的圓，所以陰影部分的面積為三個(gè)圓的面積，即12 2.（山東）如圖所示，分別以（山東）如圖所示，分別以n邊形的頂點(diǎn)為邊形的頂點(diǎn)為圓心，以單位圓心，以單位1為半徑畫圓，則圖中陰影部分的為半徑畫圓，則圖中陰影部分的面積之和為面積之和為 個(gè)平方單位個(gè)平方單位3.3.一塊等邊三角形的木板一塊等邊三角形的木板, ,邊長為邊長為1, 1,現(xiàn)將現(xiàn)將木板沿水平線翻滾木板沿水平線翻滾( (如圖如圖), ),那么那么B B點(diǎn)從開點(diǎn)從開始至始至B B2 2結(jié)束所走過的路徑長度結(jié)束所走過的路徑長度_._.( (湖北湖北) )BB1B2UFB1BAB CD EF B22.已知矩形已知矩形ABCD的長的長AB=4,寬寬AD=3,按如圖放置在直按如圖放置在直線線AP上上,然后不滑動(dòng)地轉(zhuǎn)動(dòng)然后不滑動(dòng)地轉(zhuǎn)動(dòng),當(dāng)它轉(zhuǎn)動(dòng)一周時(shí)當(dāng)它轉(zhuǎn)動(dòng)一周時(shí)( A A/),