二圓錐曲線參數(shù)方程

1、二 圓錐曲線的參數(shù)方程 橢圓參數(shù)方程橢圓參數(shù)方程 以原點為圓心，分以原點為圓心，分 別以別以a，b為半徑作圓。為半徑作圓。 過過o的射線交大、小圓的射線交大、小圓 于于A、B，又過，又過A、B分別作分別作y、x軸的平行線軸的平行線相交于相交于M(x，y) ，根據(jù)，根據(jù) 三角函數(shù)的定義三角函數(shù)的定義oxy)MABbacos()sinxayb為參數(shù)這是中心在原點這是中心在原點O，焦點，焦點在在x軸上的橢圓的參數(shù)方程。軸上的橢圓的參數(shù)方程。思考：思考：類比圓的參數(shù)方程中參數(shù)的意義，類比圓的參數(shù)方程中參數(shù)的意義，橢圓的參數(shù)方程中參數(shù)的意義是什么？橢圓的參數(shù)方程中參數(shù)的意義是什么？與圓的參數(shù)方程的參數(shù)類

2、似嗎？與圓的參數(shù)方程的參數(shù)類似嗎？圓：圓：橢圓：橢圓：M為 點的 旋 轉(zhuǎn) 角 ；M為 點的 離 心 角 。tantan ;ba22cossin1 橢圓的參數(shù)方程可以由方程橢圓的參數(shù)方程可以由方程 與三角恒等式與三角恒等式12222byax 相比較而得到，所以橢圓的參數(shù)方程相比較而得到，所以橢圓的參數(shù)方程的實質(zhì)是三角代換的實質(zhì)是三角代換.橢圓橢圓 的參數(shù)方程為：的參數(shù)方程為：22221xyab（ab0）說明說明：（acos ,bsin ） 這里參數(shù)這里參數(shù) 叫做橢圓的離心角叫做橢圓的離心角.橢圓上點橢圓上點M的離心角與直線的離心角與直線OM的傾斜角的傾斜角 不同：不同：cos()sinxayb為

3、參數(shù) ,2 )o通常規(guī)定探究：探究：橢圓規(guī)是用來畫橢圓的一種器械，它的構(gòu)造如圖所示。在一個十字型的橢圓規(guī)是用來畫橢圓的一種器械，它的構(gòu)造如圖所示。在一個十字型的金屬板上有兩條互相垂直的導槽，在直尺上有兩個固定滑塊金屬板上有兩條互相垂直的導槽，在直尺上有兩個固定滑塊A，B它們可以它們可以分別在縱槽和橫槽中滑動，在直尺上的點分別在縱槽和橫槽中滑動，在直尺上的點M處用套管裝上鉛筆，使直尺轉(zhuǎn)處用套管裝上鉛筆，使直尺轉(zhuǎn)動一周就畫出一個橢圓。動一周就畫出一個橢圓。 你能說明它的構(gòu)造原理嗎？你能說明它的構(gòu)造原理嗎？ABM提示：可以用直尺提示：可以用直尺AB和橫槽所成的角為參數(shù)，求出點和橫槽所成的角為參數(shù)，求

4、出點M的軌跡的參數(shù)方程。的軌跡的參數(shù)方程。0ABMxyA，B，M三點固定，設(shè)三點固定，設(shè)|AM|=a，|BM|=b， 。MBx設(shè)M(x,y)則x=acos ,y=bsin ,所以M點的軌跡為橢圓。練習、練習、1、把下列參數(shù)方程化為普通方程，普通方程、把下列參數(shù)方程化為普通方程，普通方程化為參數(shù)方程（口答）化為參數(shù)方程（口答）3cos ,5sin .xy（1）8cos ,6sin .xy（2）22149xy（3）22116yx（ 4）2 3cos ,2.(3 2sin .xy曲線為參數(shù))的焦距是 。例例1、在橢圓、在橢圓 上求一點上求一點M，使，使M到直線到直線x+2y-10=0的距離最小，并求

5、出最小距離。的距離最小，并求出最小距離。22194xyyXOA2A1B1B2F1F2XY解：因為橢圓的參數(shù)方程為解：因為橢圓的參數(shù)方程為 （ 為參數(shù)）為參數(shù)）所以可設(shè)點所以可設(shè)點M的坐標為的坐標為 由點到直線的距離公式，得點由點到直線的距離公式，得點M到直線的距離為到直線的距離為其中其中由三角函數(shù)的性質(zhì)知，當由三角函數(shù)的性質(zhì)知，當 時時d取最小值取最小值因此當點因此當點M位于位于 時，點時，點M到直線的距離取最小值到直線的距離取最小值,sin2cos3yxsin2 ,3cos10cos55151054sin53cos5510sin43cos0d54sin,53cos000-0558,59?5注

6、意焦點位置注意焦點位置練習練習4、(1)求出曲線求出曲線 的離心率、準線方程的離心率、準線方程cos ,1sin .2xy（2）若曲線上有一點）若曲線上有一點P（x,y）則求出）則求出3x+4y的的取值范圍取值范圍.3.曲線的參數(shù)方程 22cos,(),sin.xy為參數(shù)則此曲線是( )A 橢圓 B 橢圓的一部分C 線段 D 直線5、已知點、已知點A（1，0），橢圓），橢圓 點點P在橢圓上移動，求在橢圓上移動，求|PA|的最小值及此時的最小值及此時點點P的坐標的坐標.2214xy思考：思考： 與簡單的線性規(guī)劃問題進行類比，你能在實數(shù)與簡單的線性規(guī)劃問題進行類比，你能在實數(shù)x，y滿足滿足 的前提

7、下，求出的前提下，求出z=x-2y的最大值和最小值嗎？的最大值和最小值嗎？ 由此可以提出哪些類似的問題？由此可以提出哪些類似的問題？2212516xy（ acos ,bsin ）橢圓橢圓 的參數(shù)方程為：的參數(shù)方程為：22221xyab（ab0）cos()sinxayb為參數(shù)tantan ;ba 橢圓的參數(shù)方程可以由方程橢圓的參數(shù)方程可以由方程 與三角恒等式與三角恒等式12222byax1sincos22 相比較而得到，所以橢圓的參數(shù)方程相比較而得到，所以橢圓的參數(shù)方程的實質(zhì)是三角代換的實質(zhì)是三角代換.說明：說明： 這里參數(shù)這里參數(shù) 叫做橢圓的離心角叫做橢圓的離心角.橢圓上點橢圓上點M的離心角與

8、直線的離心角與直線OM的傾斜角的傾斜角 不同：不同：小結(jié)小結(jié)baoxy)MBABAOBBy在中，( , )M x y設(shè)| | tanBBOBtan .bOAAx在中，|cosOAOAcosbsec ,bsec()tanxaMyb所所以以的的軌軌跡跡方方程程是是為為參參數(shù)數(shù)2a22222 2xyxy消去參數(shù)后，得-=1,消去參數(shù)后，得-=1,b b這是中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線。這是中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線。探究雙曲線的參數(shù)方程探究雙曲線的參數(shù)方程 雙曲線的參數(shù)方程雙曲線的參數(shù)方程 baoxy)MBABAsec()tanxayb為參數(shù)2a222xy-=1(a0,b0)的參數(shù)方程為：

9、b3 ,2 )22o通常規(guī)定且，。22221xyab 雙曲線的參數(shù)方程可以由方程雙曲線的參數(shù)方程可以由方程 與三角恒等式與三角恒等式22sec1tan 相比較而得到，所以雙曲線的參數(shù)方程相比較而得到，所以雙曲線的參數(shù)方程 的實質(zhì)是三角代換的實質(zhì)是三角代換.說明：說明： 這里參數(shù)這里參數(shù) 叫做雙曲線的離心角與直線叫做雙曲線的離心角與直線OM的傾斜角不同的傾斜角不同.例例2、2222100(,)xyMabOabMABMAOB 如如圖圖，設(shè)設(shè)為為雙雙曲曲線線任任意意一一點點，為為原原點點，過過點點作作雙雙曲曲線線兩兩漸漸近近線線的的平平行行線線，分分別別與與兩兩漸漸近近線線交交于于 ，兩兩點點。探探

10、求求平平行行四四邊邊形形的的面面積積，由由此此可可以以發(fā)發(fā)現(xiàn)現(xiàn)什什么么結(jié)結(jié)論論？OBMAxy.byxa 雙曲線的漸近線方程為：解：解：tan(sec ).MbybxaaA 不妨設(shè)M為雙曲線右支上一點，其坐標為,則直線的方程為（asec ,btan ）： b將y=x代入，解得點A的橫坐標為aAax= （ s e ct a n）2.Bax = （se同理可得，點B的橫坐cta2標n為）.ba設(shè) AOx= ,則tan.MAOB所以的面積為MAOBS=|OA|OB|sin2 =ABxxsin2coscos2222a (sec-tan)=sin24costan.2baba22aa=22MAOB由此可見，

11、平行四邊形的面積恒為定值，與點M在雙曲線上的位置無關(guān)。練習練習:1.已知參數(shù)方程11xttytt(t 是參數(shù)是參數(shù), t 0)化為普通方程化為普通方程,畫出方程的曲線畫出方程的曲線.2.參數(shù)方程sectanxayb(,)22是 參 數(shù)表示什么曲線表示什么曲線?畫出圖形畫出圖形.22223.1(0),.xybaA Bab22若雙曲線上有兩點與它的中心的連線互相垂直.11求證: 為定值|OA|OB|拋物線的參數(shù)方程拋物線的參數(shù)方程oyx)HM(x，y)M設(shè) （x,y）為拋物線上除頂點外的任意一點，以射線OM為終邊的角記作 。tan.My因為點 （x,y）在 的終邊上，根據(jù)三角函數(shù)定義可得x.2又設(shè)

12、拋物線普通方程為y =2px,().y22px=tan解出x,y得到拋物線（不包括頂點）的參數(shù)方程：為參數(shù)2ptan1如果設(shè)t=,t (- ,0) (0,+ ),則有tan,().ty2x=2pt為參數(shù)2pt0t 當時，參數(shù)方程表示的點正好就是拋物線的頂點（0，0）。,().ttRy2x=2pt所以，為參數(shù)，表示整條拋物線。2pt思考：思考：參數(shù)參數(shù)t的幾何意義是什么？的幾何意義是什么？拋物線的參數(shù)方程拋物線的參數(shù)方程oyx)HM(x，y)2拋物線y =2px(p0)的參數(shù)方程為:1其中參數(shù)t=(0),當 =0時，t=0.tan幾何意義為：,().ttRy2x=2pt為參數(shù)，2pt拋物線上除頂

13、點外的任意一點與原點連線的斜率的倒數(shù)。思考：思考： 怎樣根據(jù)拋物線的定義選取參數(shù)，建立拋物線怎樣根據(jù)拋物線的定義選取參數(shù)，建立拋物線x2=2py(p0)的的參數(shù)方程？參數(shù)方程？.x即P(x,y)為拋物線上任意一點,則有t=y例例3、2OABy 如圖，是直角坐標原點， ， 是拋物線=2px(p0)上異于頂點的兩動點，且OAOB，OMAB并與AB相交于點M，求點M的軌跡方程。,0 .MAB2211221212根據(jù)條件，設(shè)點， ， 的坐標分別為（x,y）,(2pt ,2pt ),(2pt,2pt )(tt且t t）解：解：OBMAxyOMOAOBAB 211222222121則=（x,y）， =(2pt ,2pt ),=(2pt ,2pt )， =(2p(t -t ),2p(t -t ).,0,1OAOBOA OB 22121212即(2pt t ) +（2p） t t =0, t t。,0,()0OMABOM ABxy 22 2212112即2px(t -t ) +2py(t -t )=0,t +t。(0)yxx 12即t +t。AMMBAMB 221122因為=（x-2pt ,y-2pt）， =（2pt -x,2pt -y）