曲線擬合問題講解

1、曲線擬合問題摘要本文首先對給定數據根據不同要求進行多次直線擬合，分別求得使所擬直線預期值的偏差平方和、絕對偏差總和和最大偏差最小的三類擬合直線，然后再求得二次曲線條件下滿足三類要求的二次擬合曲線，最后運用其他曲線對給定數據進行擬合，得到吻合度最高的曲線。針對問題一，構建線性回歸方程，運用最小二乘法及l(fā)ingo軟件使得目標函數預期值的即擬合偏差平方和達到最小，從而得到擬合曲線y=0.8031048為-0.0123077。針對問題二，構建給定數據的線性回歸方程，使得目標函數即預期值的絕對偏差綜合最小，但由于絕對偏差較難處理，采用轉化的思想將對絕對偏差的求解轉化為對偏差平方和開方的求解，從而得到擬合

2、曲線y=0.65x+0.575。針對問題三，構建給定數據的線性回歸方程，運用lingo軟件使得目標函數即預期值的最大偏差最小，從而得到擬合曲線y=1.13Xj-1.879。針對問題四，構建給定數據的二次方程，運用lingo軟件分別求得三類不同條件下的最優(yōu)擬合曲線，偏差平方和達到最?。簓1=0.09703011x2-0.138534k+1.425301,絕對偏差總和達到最?。簓1=0.04148148x：+0.2711111%+1,觀測值與預測值最大偏差為最小：y1=0.02556818x：+0.7659091x-0.6923295。針對問題五，本文做出給定數據散點圖，構建不同曲線類型進行擬合，

3、得到R2即吻合度最高的曲線類型，運用Matlab軟件求得該曲線類型的方程。本文的特色在于利用圖標直觀表達擬合曲線，增強文章可靠性及真實性，并構建不同的曲線類型，得到吻合度最高的擬合曲線。關鍵詞：曲線擬合、線性回歸、lingo1.問題的重述已知一個量y依賴于另一個量x,現(xiàn)收集有數據如下:x0.00.51.01.51.92.53.03.54.04.5y1.00.90.71.52.02.43.22.02.73.5x5.05.56.06.67.67.68.59.010.0y1.04.07.62.75.74.66.06.812.3(1)求擬合以上數據的直線y=bx+a。目標為使y的各個觀察值同按直線關系

4、所預期的值的偏差平方和為最小。(2)求擬合以上數據的直線y=bx+a,目標為使y的各個觀察值同按直線關系所預期的值的絕對偏差總和為最小。(3)求擬合以上數據的直線，目標為使y的各個觀察值同按直線關系所預期的值的最大偏差為最小。(4)求擬合以上數據的曲線y=cx2+bx+a,實現(xiàn)(1)(2)(3)三種目標。(5)試一試其它的曲線，可否找出最好的？2.模型假設(1)假設數據可靠，并且數據量足夠充分來反映y與x的依賴關系;(2)假設原始數據精度較大，擬合求得的曲線足夠精確；3 .符號說明ay預測值y觀測值o觀測值與預測值的差值4 .問題一的分析與求解4.1 問題的分析對于給定的點(x，yi)(i=1

5、,2，n),假定x和y之間滿足線性模型yi=bx+a+。，。N（0產2）,cov（仃尸）=0,（i/j;i,j=1,2，n）,據此，建立線性回歸方程y=bx+a,n使得擬合偏差平方和S=v二2i1na=£y-yi=12n一2、一一r=£|yi-bxi-a達到取小,i1即利用最小二乘法求解4.2問題的求解將數據代入lingo軟件(程序代碼見附錄1),約束條件為:可解得:nminS=Syi=12a4nk2y=Lybx-ai=1y=0.8031048xi0.0123077,Smin=48.55993偏差平方和最小時的函數與數據散點圖y圖15 .問題二的分析與求解5.1 問題的分析

6、對于給定的點（x，yi）（i=1,2，n）,假定x和y之間滿足線性模型yi=bx+a+。，。N(0,。2),cov(o,o)=0,(i/j;i,j=1,2，n),據此，建立線性回歸方程y=bXi+a,使得擬合絕對偏差總和S=£同=£yi-yi=L|yi-bxi-a達到最小。但是，絕對值難以計算，因此，可將其看作S=£擰=£dyi-bxi-a5.2 問題的求解將數據代入lingo軟件（程序代碼見附錄2）,約束條件為:inryi-yi=£2yi-bXi-a可解得:y=0.65xi+0.575,Smin=18.45514絕對偏差總和最小時的函數與數據

7、散點圖y=0.65x+0.575線性(y=0.65x+0.575)6 .問題三的分析與求解6.1 問題的分析對于給定的點(x，yi)(i=12,n),假定x和y之間滿足線性模型yi=bx+a+。，。N(0,。2),cov(仃產)=0,(i#j;i,j=1,2，n),據此，建立線性回歸方程y=bXj+a,使y的各個觀察值同按直線關系所預期的值的最大偏差為最小，即求各線性方程中maxS=yi-y=|yi-bxi-a達到最小時，對應的線性方程。6.2 問題的求解將數據代入lingo軟件(程序代碼見附錄3),約束條件為：min(maxS)=min(maxyi-y)=min(maxyi-bxi-a)可解

8、得：ay=1.13xj1.879,maxSmin=2.8797 .問題四的分析與求解7.1 問題的分析該問題分析方法與上述三個問題相同，對于給定的點（刈）（i=1,2,n）,假定x和y之間滿足模型2,y=cxi+bXi+a+仃，2、二N(0,0),cov(二，二)=0,(i=j；i,j=1,2，n),據此，建立方程y=cx：+bXj+a,分別求nnS="二2='、i1i1n=£n=£y-bx-a2y-bx-a使得maxS=仃=yiy=ybxj-a達到最小7.2 問題的求解將數據代入lingo軟件（程序代碼見附錄4）,約束條件分別對應為:i-1"2

9、i42n=ZYi-bx-aYi-bXj-amin(maxS)=min(maxyi-Y)=min(maxyi-bx,-a)可解得:偏差平方和達到最?。簓1=0.09703011x2-0.138534xi+1.425301,Smin=36.93492偏差平方和最小時的函數與數據散點圖絕對偏差總和達到最?。篩1=0.04148148x20.2711111xi1,Smin=17.4803絕對偏差總和最小時的函數與數據散點圖Y=0.04148148xA2+0.2711111x+1多項式(y=0.04148148xA2+0.2711111x+1)觀測值與預測值最大偏差為最小：y=aebxHc+d,maxS

10、min=2.77642觀測值與預測值觀測值與預測值最大偏差為最小時的函數與數據散點圖多項式(y=0,025o6818x2W.7659。91苫-。.6g23295)y=0.02556818k7659091x'0,69232958 .問題五的分析與求解8.1 問題的分析該問題分析方法主要是采用最小二乘法擬合函數圖像，利用觀測值與預測值的平方nn和達到最小，即S=£仃2=£%=1i=1a2n2-y|yi-bXi-a達到最小。采用最小二乘法進行i=1參數估計時，R2表示回歸平方和與總離差平方和的比值，這一比例越大越好，模型越精確，回歸效果越顯著。R2介于01之間，越接近1,

11、回歸擬合效果越好，一般認為超過0.8的模型擬合度比較高8.2 問題的求解將原始數據錄入Matlab擬合工具箱，觀察其散點圖分布情況，發(fā)現(xiàn)指數函數、三次多項式和三角函數能夠較好的反映散點分布，分別得擬合圖像（圖1、圖2、圖3）yi1.088e0.3728x-1.4711.028圖1通過對R值的比較R1=0.7927,R2=0.8088,R3=0.688發(fā)現(xiàn)R2相較于其他來說最大，所以采用三次多項式作為目標函數。9 .模型的優(yōu)缺點分析與改進方向9.1 優(yōu)點：(1)本文首先畫出所給數據散點圖，然后運用圖表直觀表達擬合曲線，避免了只有函數方程，增強了本文的可讀性和理解性。(2)本文在構建絕對偏差最小目

12、標函數時，由于絕對偏差較難處理，采用轉化的思想，將對絕對偏差的求解轉化為對偏差平方和開方的求解，從而巧妙地解決這一難題，使得文章更加通俗易懂。(3)本文所用程序增加注釋，增強了程序的可讀性和規(guī)范性。9.2 缺點：本文雖建立不同擬合曲線類型，但也僅限于有限的曲線類型，無法保證此曲線即是吻合度最高的曲線。9.3 改進方向：針對模型特點，在此基礎上，找到吻合度更高的擬合曲線類型，從而得到最優(yōu)的擬合曲線。10參考文獻1周鵬，許鋼.基于LabVIEW的廣義線性擬合在成本預測中的應用J,安徽工程大學學報，2013,(3)2王禮想，劉利姣，黃光明.基于EM算法的線性擬合問題研究J.廊坊師范學院學報，自然科學

13、版,2013,(4)3狄曉敏,謝紅薇.多疾病共同危險因素挖掘與MAR頸測模型研究J.電子學報，2009,(6)4郝海燕，郝春蕾，康榮雷等.我國普通高等學校生源規(guī)模預測及高職院校發(fā)展趨勢分析.承德石油高等?？茖W校學報，2013,(4)11附錄：1 .第一問：model:sets:!定義集math,屬性x,y,共119個成員數據math/1.19/:x,y;endsetsdata:x=00.511.51.92.533.544.555.566.67.67.68.5910Jy=10.90.71.522.43.222.73.5147.62.75.74.666.812.3JEnddata!約束條件；min

14、=sum(math:(a*x+b-y)A2);!解除變量a,b的非負限制；free(a);free(b);end2 .第二問：model:sets:!定義集math,屬性x,y,共119個成員數據math/1.19/:x,y;endsetsdata:00.511.51.92.533.5455.566.67.67.68.5910x=J4.5y=10.90.71.522.43.222.73.5147.62.75.74.666.812.3JEnddata!約束條件；min=sum(math(i):(y(i)-z(i)A2)A(1/2);for(math(i):z(i)=a*x(i)+b);!解除變量

15、a,b的非負限制；free(a);free(b);end3 .第三問model:sets:!定義集math,屬性x,y,共119個成員數據12math/1.19/:x,y;endsetsdata:free(a);free(b);End4 .第四問4.1model:sets:!定義集math,屬性x,y,共119個成員數據math/1.19/:x,y;endsetsdata:x=00.511.51.92.533.544.555.566.67.67.68.5910Jy=10.90.71.522.43.222.73.5147.62.75.74.666.812.3JEnddata!約束條件；min=s

16、um(math:(a*xA2+b*x+c-y)A2);!解除變量a,b,c的非負限制；free(a);free(b);free(c);End4.2model:sets:!定義集math,屬性x,y,共119個成員數據math/1.19/:x,y;endsetsdata:x=00.511.51.92.533.544.555.566.67.67.68.591013Jy=10.90.71.522.43.222.73.5147.62.75.74.666.812.3JEnddata!約束條件；min=sum(math:abs(a*xA2+b*x+c-y);!解除變量a,b,c的非負限制；free(a);free(b);free(c