2021年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)教案(新人教A)導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

1、13.3導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用鞏固夯實(shí)基礎(chǔ) 一、自主梳理 1.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而可解決比較大小、極值問(wèn)題、單峰函數(shù)的最值問(wèn)題2 .利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義研究曲線(xiàn)的切線(xiàn)問(wèn)題.3 .利用導(dǎo)數(shù)解決物體白運(yùn)動(dòng)速度問(wèn)題.二、點(diǎn)擊雙基1 .某物體作s=2(1-t)2的直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，則t=0.8 s時(shí)的瞬時(shí)速度為()A.4B.-4C.-4.8D.-0.8解析:s =-4(1-t),，當(dāng) t=0.8 s 時(shí)，v=-0.8. 答案:D2 .函數(shù)f(x)=x3-6bx+3b在(0,1)內(nèi)有極小值，則()A.b0B.b -C.0b -D.b122解析:f (x)=3x2-6b,令 f (x)=0 ,得 x= 2 b.-

2、3-2 f(x)在(0,1)內(nèi)有極小值，0 J2 b1.，0b1 時(shí),axlna+-logae0.x 1. f(x)為增函數(shù).當(dāng) 0a1 時(shí),axlna+ - log ae-2,n N*,比較(i+x)n與1+nx的大小.剖析:從條件最易想到歸納 猜想 證明，但證明由n=k到n=k+1時(shí)，(1+x) k+1=(1+x)k (1+x)過(guò)渡到(1+x)k時(shí)不等方向不確定，故需按 1+x的符號(hào)討論證明.但本題若用導(dǎo)數(shù)解就比較 簡(jiǎn)單了 .解:設(shè) f(x)=(1+x) n-1-nx,當(dāng) n=1 時(shí)，f(x)=0, (1+x) n=1+nx. 當(dāng) n2, nC N*時(shí)，f (x)=n(1+x) n-1-n

3、=n (1+x)n-1-1,令 f (x)=0,得 x=0.當(dāng)-2x0 時(shí)，f (x)0 時(shí)，f(x)0. f(x)在0,+8上為增函數(shù).當(dāng) x-2 時(shí)，f(x) f(0)=0.(1+x)nR 1+nx.綜上，得(1+x)n 1+nx.講評(píng):構(gòu)造函數(shù)法是比較兩個(gè)多項(xiàng)式的大小或證明不等式常用的方法鏈接拓展本題可用歸納一一猜想一一證明法解.當(dāng) n=1 時(shí)，(1+x)1=1+x.當(dāng) n=2 時(shí)，(1+x) 2=1+2x+x 2 1+2x.當(dāng) n=3 時(shí)，(1+x) 3=1+3x+3x 2+x3=1+3x+x 2(3+x) 1+3x.猜想:(1+x) n 1+nx.證明：當(dāng)x-1時(shí)，當(dāng) n=1 時(shí),(

4、1+x)n n 1+nx 成立.(2)假設(shè) n=k 時(shí),(1+x)kn 1+kx 成立,那么(1+x) k+1=(1+x)k (1+x) (1+x) (1+kx)=1+(k+1)x+kx 2 1+(k+1)x. .當(dāng) n=k+1 時(shí)，(1+x) n 1+nx 成立.由(2)可知,當(dāng) x時(shí)，對(duì) nCN*, (1+x)n 1+nx.當(dāng)-2x2 時(shí)，|1+x|1. |1+x|nl .而 1+nx1-n 1+nx.綜上，得(1+x)n1+nx正確.【例2】(2005福建高考，理)已知函數(shù)f(x)= ax 6的圖象在點(diǎn) M(-1,f(-1)處的切線(xiàn)方程為 x2 bx+2y+5=0.(1)求函數(shù)y=f(x

5、)的解析式；(2)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.剖析：(1)f (1)即為x+2y+5=0的斜率，從而得出一個(gè)關(guān)于 a、b的關(guān)系式.點(diǎn)M(-1,f(-1)在切線(xiàn)上， 又得出一個(gè)關(guān)于a、b的等量關(guān)系式.從而可求出a、b.(2)利用導(dǎo)數(shù)可求y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.解:(1)由函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)M(-1,f(-1)處的切線(xiàn)方程為 x+2y+5=0,知-1+2f(-1)+5=0,即 f(-1)=-2,f (-1)=-.22-.f (x)=a(x b) 2x(ax 6)(x2 b)22,a(1 b) 2( a 6)(1 b)2a 2b 4,即 a(1b)2(a6)12二(1b)22解得 a=2,b=

6、3( . b+1 豐 0,b=-1 舍去).2x 6所求的函數(shù)解析式是f(x)= 2x6x232(2)f (x)=2x2 12x 6(x2 3)2令-2x2+12x+6=0,解得 x1=3-2 V3 ,x2=3+2 V3 .當(dāng) x3-2 3+2 3 時(shí),f (x)0;當(dāng) 3-2 33 x0.所以f(x)= 2x 6在(-8,3-2 J3)內(nèi)是減函數(shù)，在(3-2 J3,3+2 J3)內(nèi)是增函數(shù)，在(3+2吞,+ x 38)內(nèi)是減函數(shù).講評(píng):本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.【例3】用總長(zhǎng)14.8 m的鋼條制作一個(gè)長(zhǎng)方體容器的框架.如果所制作容器

7、的底面的一邊比另一邊長(zhǎng)0.5 m,那么高為多少時(shí)容器的容積最大？并求出它的最大容積.解:設(shè)容器底面短邊長(zhǎng)為x m,則另一邊長(zhǎng)為(x+0.5) m,高為14.8 4x 4(x 0.5)=3.2-2x(m).設(shè)容積為y m3,貝U y=x(x+0.5)(3.2-2x)(0x1.6),整理，得 y=-2x 3+2.2x2+1.6x.所以 y =-6x2+4.4x+1.6.令 y =0,即-6x2+4.4x+1.6=0,所以 15x2-11x-4=0.解得x=1或x=(不合題意，舍去).15從而在定義域(0,1.6)內(nèi)只有x=1處使得v =0.由題意，若x過(guò)小(接近0)或過(guò)大(接近1.6)時(shí),y值很小

8、(接近0).因此，當(dāng)x=1時(shí),y有最大值且 ymax=-2+2.2+1.6=1.8,此時(shí)，高為 3.2-2 X 1=1.2.答:容器的高為1.2 m時(shí)，容積最大，最大容積改為1.8 m3.講評(píng):在實(shí)際問(wèn)題中，有時(shí)會(huì)遇到函數(shù)在區(qū)間內(nèi)僅有一個(gè)點(diǎn)使f (x)=0，如果函數(shù)在這點(diǎn)有極大(小)值，那么這點(diǎn)是使函數(shù)取最大 (小)值的點(diǎn).這所說(shuō)的區(qū)間不僅適用于閉區(qū)間，也適用于開(kāi)區(qū)間或無(wú)窮區(qū)間.1 C【例4】(2005湖南局考，理)已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)= -ax2+bx,aw0.2若b=2,且函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍；別交Ci、C2于點(diǎn)M、(1)解:b=2

9、 時(shí),h(x)=lnx-(2)設(shè)函數(shù)f(x)的圖象C1與函數(shù)g(x)的圖象C2交于點(diǎn)P、Q,過(guò)線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)作x軸的垂線(xiàn)分N.證明C1在點(diǎn)M處的切線(xiàn)與C2在點(diǎn)N處的切線(xiàn)不平行.ax2-2x,2則 h，(x)=工-ax-2=-x2-.ax 2x 1因?yàn)楹瘮?shù)h(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以h (x)0,則ax2+2x-10有x0的解.當(dāng)a0時(shí),y=ax2+2x-1為開(kāi)口向上的拋物線(xiàn)，ax2+2x-10總有x0的解； 當(dāng)a0有x0的解, 則A =4+4a0,且方程ax2+2x-1=0至少有一正根，此時(shí),-1a0.綜上所述,a的取值范圍為(-1,0) U (0,+ 8).(2)證明：設(shè)點(diǎn) P、Q 的坐標(biāo)分別是(x1,y1)、(x2,y2),0x1i.i t1) ,t1, t人2(t令 r(t)=lnt i2則=1-3=J.t (t i)2 t(ti)2因?yàn)閠i時(shí)r (t)0