高考數(shù)學(xué)試題中的線性規(guī)劃問題

1、高考數(shù)學(xué)試題中的線性規(guī)劃問題高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的線性規(guī)劃作為樹形結(jié)合思想使用的一個(gè)典范，且承載著解決實(shí)際情況生活中的物質(zhì)調(diào)運(yùn)、產(chǎn)品安排、下料等問題，成為近年來高考中的熱點(diǎn)?？v觀近年來全國各地高考，不難發(fā)現(xiàn)對(duì)于該知識(shí)點(diǎn)主要是從“線性約束條件”和“（非）線性目標(biāo)函數(shù)”兩個(gè)角度實(shí)行考察。一、線性約束條件的考察1、對(duì)通過實(shí)際情況問題創(chuàng)建線性約束條件的水平考察例1:（2006年四川卷）某廠生產(chǎn)甲產(chǎn)品每千克需用原料A和原料B分別為a,、b,千克，生產(chǎn)乙產(chǎn)品每千克需用原料A和原料B分別為a2、b千克。甲、乙產(chǎn)品每千克可獲利分別為di、d2元。月初中一年級(jí)次性購進(jìn)本月原料A、B各Cl、C2千克。要計(jì)劃本月生產(chǎn)甲產(chǎn)

2、品和乙產(chǎn)品各多少千克才能使月利潤總額達(dá)到最大。在這個(gè)問題中，設(shè)全月生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為x千克、y千克，月利潤總額為z元，那么，用于求使總利潤z=d1x+d2y最大的數(shù)學(xué)模型中，約束條件為（）A、axa2y_cbXb2y_C2x_0y_oB、a1xy1ca2xby2Cx_0y_0ax亠a?y_5axa?y=qb1x亠b2y玄C2gxb2y=C2x亠0x_0C、y_0D、y_0解析：(略)答案:C練習(xí)：（2008年青島評(píng)估）直線x+2y+3=0上的點(diǎn)P在xy=1的上方，且P到直線2x+y6=0的距離為3J5，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是答案：P(5,1)2、求線性約束條件中的待定系數(shù)0例2:（2008年陜西

3、卷）已知實(shí)數(shù)x、y滿足y月備】，如果目標(biāo)函數(shù)z=xy的最小值為1,則實(shí)數(shù)m等于（）A、7B、5C、4D、3解析：若直線x+y=m過點(diǎn)（1,1）,即m=2時(shí)可知z=xy無最小值，同理m2時(shí)，z也無最小值。故畫可行域如圖：令z=0,則作直線I。:y=x,平移直線I。過點(diǎn)C時(shí)z有最小值，yy=2x1即c（mJ，3,m+1故Zmin=32m-1）丿，32m-1,=一1，m=5。3練習(xí)：（2007年北京卷）若不等式組;xy5_02aC表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形，則o空夕的取值范圍是（）A、a5B、a-7C、5_a73、線性約束條件中的轉(zhuǎn)化化歸思想D、a0，b0時(shí)，直線ax+by=1，Xy即1在區(qū)域的右上

4、方，如圖:11ab1由圖像得1，a得點(diǎn)P（a,b）確定的平面區(qū)域就是一個(gè)正方形，如圖：易求其面積為1。1ax+by=1練習(xí)：（2007年江蘇卷）在平面直角坐標(biāo)系xOy，已知平面區(qū)域A=（x,y）|x+y_1，且x_0，y-0/，則平面區(qū)域B=i（xy,X-y）1（X,y）A/的面積是11A、2B、1C、D、答案：B24二、線性目標(biāo)函數(shù)的考察1、求線性目標(biāo)函數(shù)的最值（最優(yōu)解）xy_2xii4y_5例4:（2009年北京卷）若實(shí)數(shù)x、y滿足，貝Us=yx的最小值為解析：畫可行域，如圖:令s=0，作直線：y=x，x+y-2=0平移直線lo知在B點(diǎn)處有最小值,即Smin-2-4-6。x=4yxy=5廠

5、結(jié)論：形如z=axby，當(dāng)a0時(shí),z隨直線右平移增大，左平移減??；當(dāng)a0時(shí)，z隨直線右平移減小，左平移增大。練習(xí):（2008年青島模擬）已知變量x、y/2x_y0滿足x護(hù)50，則z=log2（x5）的最大值為（B、log2510D、log2lOg23答案：B2、求線性目標(biāo)函數(shù)中的待定系數(shù)例5:（2008年呼和浩特模擬）已知平面區(qū)域?yàn)轫旤c(diǎn)的三角形內(nèi)部和邊界組成，若目標(biāo)函數(shù)得最小值，則a的取值范圍是解析：可行域，如圖：D是由以A(1,z=axy在區(qū)域3），B（2,0），C（3,1）D內(nèi)僅在點(diǎn)（2，0）處取令z=0，作直線10:y=ax當(dāng)a=0時(shí)，符合題意；當(dāng)a0時(shí)，需一akBc=1，即一1a0時(shí)，

6、需一akAB=3,即卩0a3。綜上述：一1a3。x+y狂1練習(xí)：（2009年陜西卷）若x、y滿足約束條件x乙目標(biāo)函數(shù)z=ax，2y僅在點(diǎn)（1,0）處取得最小值，則a的取值范圍是（）A、（1,2）B、（4,2）C、（4,0）D、（2,4）答案：B三、求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值1、z=-_-型，常轉(zhuǎn)化成斜率問題，看成過點(diǎn)（a,b）和點(diǎn)（x,y）的斜率。xa:x-y汨例6:（2008年福建卷）若實(shí)數(shù)x、y滿足取值范圍是（）A、（0,2）B、（0,2C、（2,+：）D、解析：令k=-，由題意得：即求y=kx的斜率范圍。x畫可行域，如圖：易知k亠=2，故選DXy+2蘭0y練習(xí)：（2007年遼寧卷）已知變X、y滿足約束條件X望7_，則丄的取值范圍是X好空x（）99門A、一,6B、（一：，一一.6,+：）C、（一：，3一6,+：）D、3,6答案：A552、z二.（X-a）2（y-b）2，常轉(zhuǎn)化為距離問題，看成點(diǎn)（a,b）到點(diǎn)（x,y）的距離。點(diǎn)，那么|po|的最小值等于，最大值等于。答案：42，質(zhì)例7、（2007年安徽卷）如果點(diǎn)P在平面區(qū)域/2x-y2_0X亠y-2102yV0點(diǎn)Q在曲線x2（y2）2=1上，那么|PQ|