lry-偏微分方程的推導-1ppt課件

1、第第2章章 偏微分方程偏微分方程2.1引言引言n方程的階數(shù)：方程中出現(xiàn)的偏導數(shù)的最高階數(shù)。n線性方程：方程經(jīng)過有理化并消去分式后，若方程中沒有未知函數(shù)及其偏導數(shù)的乘積或冪等非線性項。n非線性方程：方程經(jīng)過有理化并消去分式后，若方程中有未知函數(shù)及其偏導數(shù)的乘積或冪等非線性項。n擬線性方程：在非線性方程中，若僅對未知函數(shù)的所有最高階導數(shù)是線性的。n自由項：在線性方程中，不含未知函數(shù)及其偏導數(shù)的項。n齊次方程：自由項為零。n非齊次方程：自由項不為零。222222222( , )( , )( , )( , )()0( , )zza x yb x yc x yxyuua x yxyuuf x yxy一階

2、、線性、非齊次二階、擬線性、齊次二階、非線性、非齊次在偏微分方程中，通解具有特定形式的任意函數(shù)。2222222222()0(),sin(),4 ()cos()xyzf xyyzxzfzxyzxyzxyxy是的通解，其中 是任意函數(shù)。如：都是該方程的特解。22222222,cos ,ln()0 xuuuxy uey uxyxy都滿足：22cos ,sinttuuuex uextx都是方程的通解。結(jié)論：n偏微分方程的通解包含有任意函數(shù)，或者說其通解形式是不確定的。n 因此解偏微分方程，一般不是先求通解，后由定解條件確定特解只有少數(shù)情況例外），而是直接求特解。n一個特定形式的偏微分方程可以描述許多物

3、理現(xiàn)象的共性規(guī)律，它可以有很多不同形式的特解。所以可稱為泛定方程。2.2二階偏微分方程的分類( , )( , , ,)0 xyxxxyyyu x yF x y u u u uuu只討論兩個自變量的二階線性方程。若未知函數(shù)與它的一階、二階偏導數(shù)存在關(guān)系式：22222,20, , , , ,xyxxxyyyxxxyyyxyuuuuuuuuuuxyxx yyAuBuCuDuEuGufA B C D E G fx y 其中：具體表示為：若都只是的函數(shù) 則上式稱為線性二階偏微分方程。( , )( , )0ff x yf x y若系數(shù)為常數(shù)，則稱為常系數(shù)線性二階方程，其中為已知函數(shù)，即自由項。當，方程為齊

4、次的，反之為非齊次方程。2, ,( , )10,0 xxxyA B CMM x yMBACuu方程中系數(shù)的取值決定二階線性方程的分類：為方程中自變量域內(nèi)的任意一點。（)若在點有：則方程在該點處為雙曲線型的。例如：220,0yxxMBACuu（ )若在點 有：則方程在該點處為拋物線型的。例如：230,0 xxyyMBACuu（ )若在點有：則方程在該點處為橢圓型的。例如：, ,A B Cx yM由于可以是的函數(shù) 所以同一方程，對于不同區(qū)域的點可以是不同類型的方程。2200 xxyyxyxuyuyuxuBACxyxy 例如：000 xyxyxy當時，雙曲線型；當時，拋物線型；當時，橢圓型。22()

5、 () 0 ttxxyyzztxxyyzzxxyyzzua uuuua uuuuuu雙曲線型：波動方程拋物線型：熱傳導方程橢圓型：拉普拉斯方程或穩(wěn)態(tài)方程2.3 基本方程的導出基本方程的導出泛定方程的建立也就是把物理規(guī)律泛定方程的建立也就是把物理規(guī)律“翻譯成數(shù)學物理方程。翻譯成數(shù)學物理方程。微元法：先選擇表示系統(tǒng)運動狀態(tài)的物理量，再任取體系中的微元法：先選擇表示系統(tǒng)運動狀態(tài)的物理量，再任取體系中的一個小部分，分析這一部分所受的作用，以及它在物理規(guī)律的一個小部分，分析這一部分所受的作用，以及它在物理規(guī)律的支配下所引起的運動變化情況，導出泛定方程。支配下所引起的運動變化情況，導出泛定方程。一、弦的橫

6、振動方程一、弦的橫振動方程幾個條件：幾個條件： 均勻細繩：均勻細繩：為常數(shù)，作為一維空間來處理細繩）；為常數(shù)，作為一維空間來處理細繩）； 輕繩：忽略重力影響；輕繩：忽略重力影響； 柔軟：橫截面方向上無應力無切變力），張力沿弦切線；柔軟：橫截面方向上無應力無切變力），張力沿弦切線； 微小振動：弦切線與微小振動：弦切線與x軸夾角軸夾角0或或； 橫向振動：弦上各點的振動方向垂直于振動的傳播方向橫向振動：弦上各點的振動方向垂直于振動的傳播方向.12dxduds1T2Tx,u x txux dxu設(shè)弦的平衡狀態(tài)沿設(shè)弦的平衡狀態(tài)沿x方向，且在同一平方向，且在同一平面振動面振動.2211coscos0 xT

7、T 方方向向：由于是微振動：由于是微振動：120, 0, 2411112cos124cos1, cos1, ！略略去去高高于于一一次次方方的的各各就就有有同同理理210TT 21TTT 根據(jù)牛頓第二定律：根據(jù)牛頓第二定律：222112usinsinguTTdsdst 方方向向：11222( , )(, ) sin, sin1tgu x tu xdx ttgtgxxtg 22(, )( , )u xdx tu x tuTgdxdxxxt 21udsdxdxx 120, 0, 22(, )( , )( , )( , )u xdx tu x tu x tu x tdxdxxxxxx 222222(

8、, )ux tuTg dxdxxtugt 弦弦振振速速度度化化很很快快，即即2222uuTdxdxxt 22220uTutx 222220,uutx T 令令弦的自由橫振動方程弦的自由橫振動方程2ttxxu -a u= 0或?qū)懗桑夯驅(qū)懗桑菏芷日駝忧闆r：受迫振動情況：12dxduds1T2T,u x txux dxuFdx力密度力密度F (x,t)：單位長度的弦所受的橫向外力：單位長度的弦所受的橫向外力. 2212,x dxxuuuTTF x t dxdxxxt 2222,uuTdxF x t dxdxxt 2222,F x tuTutx 2222,uTufx ttx ,F x tfx t 單位

9、質(zhì)量的單位質(zhì)量的弦所受的橫弦所受的橫向外力向外力f(x,t)u與無 關(guān) ,稱 為 自 由 項 。包 含 有 非 零 自 由 項 的 方 程 稱 為 非 齊 次 方 程 。自 由 項 恒 等 于 零 的 方 程 稱 為 齊 次 方 程 。（二熱傳導方程（二熱傳導方程熱傳導：由于溫度不均勻，熱量從溫度高向溫度低的熱傳導：由于溫度不均勻，熱量從溫度高向溫度低的地方轉(zhuǎn)移地方轉(zhuǎn)移.熱流通量：單位時間內(nèi)通過單位橫截面積的熱量熱流通量：單位時間內(nèi)通過單位橫截面積的熱量.實驗結(jié)果：實驗結(jié)果： qk u ijkxyz 哈密頓算符哈密頓算符k導熱系數(shù)導熱系數(shù)uuuqk ukikjkkxyz , , .xyzuuu

10、qkqkqkxyz , , ,u x y z t為系統(tǒng)為系統(tǒng)x,y,z點在點在t時的溫度時的溫度xyz, ,x y z,xdx ydy zdzdzdxdyxxdxxxqxx dxqo單位時間沿單位時間沿x方向流入小六面體的熱量：方向流入小六面體的熱量：,xxxuqdydzkdydzx 單位時間沿單位時間沿x方向流出小六面體的熱量：方向流出小六面體的熱量：,xx dxx dxuqdydzkdydzx 單位時間沿單位時間沿x方向凈流入小六面體的熱量：方向凈流入小六面體的熱量：xx dxuuukdydzkdydzkdxdydzxxxx , uukdxdydzkdxdydzyyzz同理，單位時間內(nèi)沿同

11、理，單位時間內(nèi)沿y, z方向凈流入小六面體的熱量方向凈流入小六面體的熱量分別是：分別是： uuukdxdydzkdxdydzkdxdydzxxyyzz 單位時間內(nèi)沿單位時間內(nèi)沿x, y, z方向凈流入小六面體的總熱量分方向凈流入小六面體的總熱量分別是別是:單位時間內(nèi)小六面體熱量的增加是單位時間內(nèi)小六面體熱量的增加是:ucdxdydztt uuuuc dxdydzkdxdydzkdxdydzkdxdydztxxyyzz 1110uuuukkktcxxcyyczz 2222220ukuuutcxyz 在各向同性條件下：在各向同性條件下：22222220,uuuutxyz kc 溫度傳導系數(shù)溫度傳導

12、系數(shù)或?qū)懗桑夯驅(qū)懗桑?0tuu 熱傳導方程熱傳導方程一維空間：一維空間：20txxuu 二維空間：二維空間： 20txxyyuuu 討論：討論：1、有熱源存在情況下、有熱源存在情況下.熱源強度熱源強度F (x,y,z,t)：單位時間單位體積熱源放出的熱量：單位時間單位體積熱源放出的熱量。 , , ,uuuuc dxdydzkkkdxdydz F x y z t dxdydztxxyyzz 2222222, , ,F x y z tuuuutxyzc 2222222, , ,uuuufx y z ttxyz , , , , ,F x y z tfx y z tc 其其中中：f 0稱為熱源，稱為熱

13、源，f 0稱為熱匯稱為熱匯.2、穩(wěn)定的溫度分布、穩(wěn)定的溫度分布. , , 0,uuu x y zt 2fu 0u 泊松方程泊松方程拉普拉斯方程拉普拉斯方程f = 0）222222 xyz 其其中中拉拉普普拉拉斯斯算算子子2.4 數(shù)理方程的定解條件數(shù)理方程的定解條件一、初始條件一、初始條件初始條件：給出某一初始時刻整個系統(tǒng)的已知條件初始條件：給出某一初始時刻整個系統(tǒng)的已知條件 00, , 0tttu x txu x txxl 1、傳遞過程分散、熱傳導）、傳遞過程分散、熱傳導） 0, , , , , ,tu x y z tx y zx y zv 熱傳導分散問題只須給出整個系統(tǒng)的初始溫度濃度分熱傳導

14、分散問題只須給出整個系統(tǒng)的初始溫度濃度分布，而振動問題必須給出整個系統(tǒng)的初始位移何初始速度。布，而振動問題必須給出整個系統(tǒng)的初始位移何初始速度。2、振動過程弦、桿的振動）、振動過程弦、桿的振動）從數(shù)學上來看，振動方程中從數(shù)學上來看，振動方程中u對時間求二次導數(shù)，而傳遞問題對時間求二次導數(shù)，而傳遞問題中中u或或N只對時間一次導數(shù)。只對時間一次導數(shù)。（二邊界條件（二邊界條件邊界條件：給出系統(tǒng)的邊界在各個時刻的已知狀態(tài)邊界條件：給出系統(tǒng)的邊界在各個時刻的已知狀態(tài)1、第一類邊界條件：給出邊界上、第一類邊界條件：給出邊界上u的值，的值，1弦的橫振動弦的橫振動 兩端固定兩端固定 0,0 0 xlu x t

15、t x = 0端位移狀態(tài)已知端位移狀態(tài)已知 0, 0 xu x tf tt 2桿的熱傳導桿的熱傳導 兩端處于恒溫兩端處于恒溫uo 0, 0 .oxluut 兩端的溫度變化已知兩端的溫度變化已知 120, , 0 .xx luftuftt 總之，這類邊界條件直接規(guī)定了邊界上的數(shù)值可以是隨時間總之，這類邊界條件直接規(guī)定了邊界上的數(shù)值可以是隨時間變化的數(shù)值）變化的數(shù)值）.(, )( , )Mu M tf s t(, )( , )Mu M tf s t00 xuTx 2、第二類邊界條件：給出邊界上、第二類邊界條件：給出邊界上u的梯度值，的梯度值，(, )Muf M tn 1桿的縱振動兩端自由）桿的縱振

16、動兩端自由）00,x=ux 2桿的熱傳導兩端絕熱）桿的熱傳導兩端絕熱）x = 0，單位時間內(nèi)流出小薄層的熱量為：，單位時間內(nèi)流出小薄層的熱量為：xxuqSkSx o lxxxq xx lq lo ll xxxYSu xx lYSu 0 x=lux 同同理理000,x=uqx 令令：，得得 0 .t x lukSq Sx xl 在在端端，00,x=luqx 令令：，得得 0 .t 00 x=lux ， 0 .t 合并寫成：合并寫成：桿的熱傳導兩端有熱流強度為桿的熱傳導兩端有熱流強度為f (t)的熱流流出）的熱流流出）在在x = 0 端端 xukSftSx o lxxxq xx lq l 0,x=

17、f tuxk 得得 0 .t 在在x = l 端端 x lukSf tSx ,x=lf tuxk 得得 0 .t 合并寫成：合并寫成： 0,x=lf tunk 0 .t 3、第三類邊界條件：、第三類邊界條件： nuhu 在這類邊界條件，即不直接規(guī)定邊界上的數(shù)值，也不直接規(guī)定在這類邊界條件，即不直接規(guī)定邊界上的數(shù)值，也不直接規(guī)定邊界上法向?qū)?shù)的數(shù)值，而是規(guī)定它們之間的某個線性關(guān)系。邊界上法向?qū)?shù)的數(shù)值，而是規(guī)定它們之間的某個線性關(guān)系。xo lxxq xx lq l f t f t桿的熱傳導兩端按牛頓冷卻定律與外界進行熱交換）桿的熱傳導兩端按牛頓冷卻定律與外界進行熱交換）牛頓冷卻定律：單位時間內(nèi)通

18、過單位橫截面積與外界熱交換流牛頓冷卻定律：單位時間內(nèi)通過單位橫截面積與外界熱交換流出的熱量為出的熱量為 ，H 牛頓冷卻系數(shù)，牛頓冷卻系數(shù)，u 系統(tǒng)邊界的溫度，系統(tǒng)邊界的溫度， 外界的溫度外界的溫度. Hu 0,x=ukHuHx 得得 0 .t 0,x=uhuhx ,Hhk 令令： 0 .t 0 xxukSH uSx 在在x = 0 端端 f tH u 將熱流強度將熱流強度f (t)寫成牛頓冷卻定律寫成牛頓冷卻定律:xo lxxq xx lq l f t f t在在x = l 端端 .x lx lukSH uSx 0,x=uhuhx 得得 0 .t 0 .t 0,x=luhuhn 合并寫成：合并寫成：齊次的邊界條件齊次的邊界條件給出的上述的值為零，則稱為是齊次的邊條件，即給出的上述的值為零，則稱為是齊次的邊條件，即f (t) =0.220(4)4,( , )( )4( )AraAAraCCVa N Dtrra C a tCtaCCtN DdtVr 積分微分邊界條件21111121122222222211221212112(5)1() 1() ( , 0)( )( , 0)( )