1.2定積分——定積分的應(yīng)用ppt課件

1、 內(nèi)容提要內(nèi)容提要 1.元素法；元素法； 2.平面圖形的面積；平面圖形的面積； 3.立體的體積。立體的體積。 教學(xué)要求教學(xué)要求 1.熟練掌握應(yīng)用微元法去解決積熟練掌握應(yīng)用微元法去解決積分中的實(shí)分中的實(shí) 際應(yīng)用題際應(yīng)用題 ； 2.熟悉各種平面面積的積分表達(dá)熟悉各種平面面積的積分表達(dá)方法；方法； 3.熟練掌握應(yīng)用微元法求體積熟練掌握應(yīng)用微元法求體積的方法；的方法； 4. 能用定積分表達(dá)某些物理量能用定積分表達(dá)某些物理量 。第五講第五講 定積分的應(yīng)用定積分的應(yīng)用 badxxfA)(回憶回憶 用定積分求曲邊梯形面積的問題：用定積分求曲邊梯形面積的問題：0 , , ybxax，且且0)( xf及直線及直

2、線所圍成的曲邊梯形的面積所圍成的曲邊梯形的面積其求解步驟如下：其求解步驟如下：上上連連續(xù)續(xù)，在在設(shè)設(shè),)(baxfy 、則則由由曲曲線線)(xfy ab xyo)(xfy Aab xoy)(xfy iiixfA )( 即即 ,1iiixx 任任取取第一步：分割第一步：分割 將區(qū)間將區(qū)間,ba任意分成任意分成n個(gè)小區(qū)間個(gè)小區(qū)間), 2 , 1(,1nixxii 由此曲邊梯形就相應(yīng)地分成由此曲邊梯形就相應(yīng)地分成個(gè)小曲邊梯形。個(gè)小曲邊梯形。第二步：近似第二步：近似形面積之和形面積之和即即 niiAA1所求的曲邊梯形面積所求的曲邊梯形面積A為每個(gè)小曲邊梯為每個(gè)小曲邊梯為為高高，以以)(if iiixx

3、x 1為底為底的小矩形面積的小矩形面積iixf )( 近似代替小曲邊梯形面積近似代替小曲邊梯形面積iA iA i n1 ixix第三步：第三步： 求和求和第四步：第四步： 取極限取極限Aiinixf )(lim10 max1inix 其中其中總結(jié)：總結(jié)： 上述四步中，由第一步知，上述四步中，由第一步知，,ba有關(guān)，有關(guān)，部分量的和，部分量的和，可加性可加性. .,ba分成許多小區(qū)間，分成許多小區(qū)間，的面積的面積A這個(gè)量就相應(yīng)地分成許多部分量，這個(gè)量就相應(yīng)地分成許多部分量，如果把區(qū)間如果把區(qū)間,ba具有具有這種性質(zhì)稱為所求量這種性質(zhì)稱為所求量A對區(qū)間對區(qū)間則所求則所求而而A是所有是所有.)(1i

4、inixf ab xoy)(xfy iA i 1 ixix A所求面積所求面積A這個(gè)量與這個(gè)量與是是定定積積分分的的積積分分區(qū)區(qū)間間。,ba badxxf)(就是定積分的被積表達(dá)式就是定積分的被積表達(dá)式ab xoy)(xfy iA 1 ixix上述第二步中的近似表達(dá)式上述第二步中的近似表達(dá)式iiixfA )( 可確定定積分的被積表達(dá)式可確定定積分的被積表達(dá)式dxxf)(方法是：方法是：,1 iix 取取于是有于是有iiixxfA )(1再將區(qū)間再將區(qū)間,1dxxxxxii 記為記為那么那么iixxf )(1可寫為可寫為dxxf)(稱稱dxxf)(為面積為面積A的微元，的微元，于是于是 badA

5、AdAdxxfdA)( 即即xdxx i 記為記為dA badxxf)( iA A一般地，當(dāng)所求量一般地，當(dāng)所求量F符合下列條件：符合下列條件：以上方法稱為以上方法稱為有關(guān)的量；有關(guān)的量；的變化區(qū)間的變化區(qū)間是與變量是與變量,)1(baxF具具有有可可加加性性，對對于于區(qū)區(qū)間間,)2(baF,ba即如果把即如果把，分分成成許許多多部部分分區(qū)區(qū)間間許許多多部部相相應(yīng)應(yīng)地地分分成成則則F，分量分量許許多多部部分分量量的的和和；等等于于而而F可可這是量這是量F.以以用用定定積積分分表表示示的的前前提提上上，的的任任意意小小區(qū)區(qū)間間在在,)3(dxxxba 相相應(yīng)應(yīng)分分量量，的近似值可表示為的近似值可

6、表示為dxxfF)( 稱稱為為將將dxxf)(,dF且記作且記作,的微元的微元F.)(dxxfdF 即即這就給出了定積分的被積表達(dá)式這就給出了定積分的被積表達(dá)式dxxf)(于是于是 badFF badxxf)(“微元法微元法”微元法解決實(shí)際問題的一般步驟如下：微元法解決實(shí)際問題的一般步驟如下：(1) 根據(jù)問題的具體情況，根據(jù)問題的具體情況，x選取一個(gè)變量選取一個(gè)變量例如取例如取為積分變量，為積分變量， 并確定它的變化區(qū)間并確定它的變化區(qū)間; ,ba，上上任任取取一一個(gè)個(gè)小小區(qū)區(qū)間間在在,)2(dxxxba 求出所求量求出所求量，微元微元的的dxxfF)( badFF)3( badxxf)(以上

7、步驟要熟練掌握以上步驟要熟練掌握!如：平面圖形的面積；如：平面圖形的面積；引力和平均值引力和平均值;液體的壓力；液體的壓力；變力做功；變力做功；平面曲線的弧長；平面曲線的弧長；體積；體積；注意注意 微元法解決實(shí)際問題的使用對象：微元法解決實(shí)際問題的使用對象：具有可加性的量具有可加性的量等等等等.)(xfy ab xyo)(xfy axboy badxxf)(二、平面圖形的面積二、平面圖形的面積0)( xf1假設(shè)假設(shè)那么那么 badxxf)( badxxfS)(，上上如如果果在在0)(,)2 xfbaSS即即則則S上上所所圍圍的的面面積積在在,)(. 1baxf上上在在,ba（一）、在直角坐標(biāo)系

8、下的面積問題（一）、在直角坐標(biāo)系下的面積問題S )(xfy abxyo1S2S區(qū)區(qū)間間上上時(shí)時(shí)正正時(shí)時(shí)負(fù)負(fù)，在在若若,)()3baxf 21SS如圖如圖21)(SSdxxfba 那么那么 badxxf| )(|?)(xfy )(xgy abxyo badxxgxfA)()(dx.,)(),(. 2所所圍圍平平面面圖圖形形面面積積及及由由bxaxxgxf dxx x上上連連續(xù)續(xù)，在在、設(shè)設(shè),)()(baxgxf，且且)()(xgxf bxaxxgyxfy ,)(),(及及直直線線求求由由曲曲線線.A所所圍圍成成的的平平面面圖圖形形面面積積 熟記熟記用微元法：用微元法：dA.為積分變量為積分變量取

9、取x)()(xgxf cd)(yx )(yx yxo dAA.,Adycy所所圍圍成成的的平平面面圖圖形形面面積積及及直直線線 y dyy dyy dA)()(),(yyyxyx ）（且（且求由求由dyyydc )()( 熟記熟記用微元法：用微元法：.為積分變量為積分變量取取ydy)()(yy xy 1所圍成的圖形所圍成的圖形例例1 計(jì)算由拋物線計(jì)算由拋物線,xy 軸軸xx,1 的面積的面積A . 解解為為積積分分變變量量，取取x.1 , 0積積分分區(qū)區(qū)間間為為 10dAAdxx 1032 dxx x dA用微元法用微元法dxxdA 2xy xy 2xyo例例 2 2 計(jì)計(jì)算算由由兩兩條條拋拋

10、物物線線xy 2和和2xy 所所圍圍成成的的圖圖形形的的面面積積 A . 確定積分區(qū)間：確定積分區(qū)間： dA 10dAA10333223 xx31 解解方法一：選擇方法一：選擇 x 作積分變量作積分變量 xyxy22由由1從而得到積分區(qū)間從而得到積分區(qū)間,1 , 0區(qū)間上任取一小區(qū)區(qū)間上任取一小區(qū)間間,dxxx dAxdxx 1, 0 xx解解得得dxxx)(210 1 , 0在在面積微元面積微元dxxx)(2 ?ox2xy xy 2y確定積分區(qū)間：確定積分區(qū)間：面積微元面積微元 dA 10dAA10333223 yy31 方法二：選擇方法二：選擇 y 作積分變量作積分變量解得解得 y=0,

11、y=1 xyxy22由由從而得到積分區(qū)間從而得到積分區(qū)間,1 , 0區(qū)間上任取一小區(qū)區(qū)間上任取一小區(qū)間間,dyyy 1yy+dydA1 , 0在在dyyy)(210 dyyy)(2 ?xy22 4 xy例例 3 3 計(jì)計(jì)算算由由曲曲線線xy22 和和直直線線4 xy所所圍圍 解解求兩曲線的交點(diǎn)求兩曲線的交點(diǎn)).4 , 8(),2, 2( 422xyxy選選 為積分變量為積分變量y4, 2 y dA 42dAA選選 x 作積分變量時(shí)，需求作積分變量時(shí)，需求兩塊面積兩塊面積yy+dy作面積微元作面積微元 dAdA18 dyyy 42224成的圖形的面積成的圖形的面積.,242dyyy ?yxo解解

12、 由對稱性知總面積等于由對稱性知總面積等于4倍第一象限部分面積倍第一象限部分面積)20, 0(sincos433 tataytax求求星星形形線線例例)cos(sin43203tatdaA 注意：注意：.所所圍圍成成圖圖形形的的面面積積)cos(sin43023tatda dttta20242cossin)3(4 dttta)sin1(sin1222042 283a aaa a aydxA04dxxx ydxdA 如果曲邊梯形的曲邊如果曲邊梯形的曲邊 )()(tytx )( t的方程為參數(shù)方程：的方程為參數(shù)方程：)(xfy ), 0)(baxxf ,)(,)(ba 且且上上具具有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)

13、數(shù)數(shù)，在在,)( t.)( 連連續(xù)續(xù)ty ,)(,)(ba 或或oyxab)(xfy 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 )()( tdtdxxfAba )(由上例可知：由上例可知：dxxfAba )(或或 )()( tdtyxo 20)cos(sin4 tatdb解解 由對稱性知總面積等于由對稱性知總面積等于4倍第一象限部分面積倍第一象限部分面積 02)cos(sin4 tatdbAdttab 202sin4 .ab .)20(sincos所所圍圍成成圖圖形形的的面面積積求求橢橢圓圓 ttbytax注意：注意：abb a aydxA0練習(xí)練習(xí) xo d )( rr 面積微元面積微元 drdA2)(

14、21 曲邊扇形的面積曲邊扇形的面積.)(212 drA （二）、在極坐標(biāo)系下的面積問題（二）、在極坐標(biāo)系下的面積問題)(,)( 及及射射線線由由曲曲線線rr所圍成的圖形，所圍成的圖形，.A求其面積求其面積稱為曲邊扇形稱為曲邊扇形.解解為為積積分分變變量量，取取 ., 積積分分區(qū)區(qū)間間為為用微元法用微元法，上上任任取取一一小小區(qū)區(qū)間間, d , 在在xo ar )0(1 aar 計(jì)計(jì)算算阿阿基基米米德德螺螺線線例例的圖形的圖形的一段弧與極軸所圍成的一段弧與極軸所圍成變到變到從從 20上相應(yīng)于上相應(yīng)于.A的面積的面積a 2解解 A da222021 20323121 a3234 a da220)(

15、21 ?.)(212 drA ox解解.232a daA)cos1(21220 d)coscos21(2 2022a 2022sin41sin2232 a)0( a)cos1( ar所圍平面圖形的面積所圍平面圖形的面積A .例例2 求心形線求心形線 .)(212 drA 解解 由對稱性知總面積由對稱性知總面積=4倍第一象限部分面積倍第一象限部分面積14AA daA2cos214402 xy 2cos22a xo1A求雙紐線求雙紐線 2cos22a 所圍平面圖形的面積所圍平面圖形的面積.2a 22cos402da 4022sin a .)(212 drA 練習(xí)練習(xí) xo2. 在極坐標(biāo)系下的面積問

16、題在極坐標(biāo)系下的面積問題.)(212 dr )( rr A?三、三、 體積體積旋轉(zhuǎn)體旋轉(zhuǎn)體圓柱圓柱圓錐圓錐圓臺(tái)圓臺(tái)（一）、旋轉(zhuǎn)體的體積（一）、旋轉(zhuǎn)體的體積由一個(gè)平面圖形繞這個(gè)平面內(nèi)一條由一個(gè)平面圖形繞這個(gè)平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸y取橫坐標(biāo)取橫坐標(biāo)x x為積分變量為積分變量, , 一般地一般地, ,軸所圍成的曲邊梯形軸所圍成的曲邊梯形, ,及及 x軸旋轉(zhuǎn)一周而成軸旋轉(zhuǎn)一周而成繞繞 x?V求體積求體積由連續(xù)曲線由連續(xù)曲線)(xfy 直線直線bxax ,的立體的立體, ,yxoab)(xfy ,ba它的變化區(qū)間為它的變化區(qū)間為相應(yīng)于相應(yīng)于

17、,ba上任一小區(qū)上任一小區(qū),dxxx 間間小曲邊梯形小曲邊梯形繞繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的薄片軸旋轉(zhuǎn)而成的薄片近似地等于以近似地等于以f(x)為底面半徑、為底面半徑、dx為高的圓柱體的為高的圓柱體的體積，體積， 即體積微元為即體積微元為2)(xfdV dx于是，在閉區(qū)間于是，在閉區(qū)間a,b上作定積分，上作定積分， 得所求旋轉(zhuǎn)體得所求旋轉(zhuǎn)體體積為體積為Vdxxfba 2)( 的體積的體積xdxx 例例1 1圓錐體的體積圓錐體的體積解解xhry 取取積積分分變變量量為為x，, 0hx 直線直線 的方程為的方程為OPyrhPxoxhry 利用旋轉(zhuǎn)體體積公式，利用旋轉(zhuǎn)體體積公式，圓錐體的體積圓錐體的體積dxxf

18、Vh20)( dxxhrh20 hxhr03223 .32hr hdxxhr0222 知：知：dxxfVba 2)( .32hrV 的的高高為為求求證證半半徑徑為為hr 例例2 計(jì)算橢圓計(jì)算橢圓12222 byax繞繞x軸旋轉(zhuǎn)而形成的旋轉(zhuǎn)體軸旋轉(zhuǎn)而形成的旋轉(zhuǎn)體的體積的體積.oxy12222 byaxa a解解 這個(gè)旋轉(zhuǎn)體可以看成這個(gè)旋轉(zhuǎn)體可以看成以半個(gè)橢圓以半個(gè)橢圓22xaaby 繞繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的立體軸旋轉(zhuǎn)而成的立體取積分變量為取積分變量為x,aax 利用旋轉(zhuǎn)體體積公式，知：利用旋轉(zhuǎn)體體積公式，知： 所求的體積為所求的體積為 aadxxaabV222 aadxxaab)(2222 aaxxa

19、ab 322231 234ab 求星形線求星形線繞繞x軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積.解解,323232xay 332322 xay,aax 由旋轉(zhuǎn)體的體積公式，知：由旋轉(zhuǎn)體的體積公式，知： dxxfVaa2)( .105323a dxxaaa33232 )0(323232 aayx練習(xí)練習(xí)xyo)(yx cd 類似地，如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線類似地，如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線)(yx 直線直線cy 、dy 及及y軸所圍成的曲邊梯形軸所圍成的曲邊梯形繞繞y y軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)體積為體積為dyy2)( dcV熟記熟記一周而成的立體，一周而成的立體，xoy12例例3 3 軸軸所所圍圍成成的的及

20、及直直線線xx1 ，求求由由拋拋物物線線22xy 旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積體積.圖形圖形解解為為軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體積積繞繞xdxyVx 102 dxx 1044 54 為為軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體積積繞繞yyV 2 212 dyx 202 dyy 202 軸軸軸軸，分分別別繞繞yx（二）、平行截面面積為已知的立體的體積（二）、平行截面面積為已知的立體的體積設(shè)一立體位于設(shè)一立體位于 過點(diǎn)過點(diǎn)x=a, x=b 且垂直于且垂直于 x 軸的兩平面之間，軸的兩平面之間，,)(dxxA .)( badxxAV 從而從而用垂直于用垂直于 x 軸的任一平面

21、截軸的任一平面截此立體所得的截面積此立體所得的截面積 A(x) 是是 x 的已知函數(shù)，的已知函數(shù)，)(xAx取取 x 為積分變量，在區(qū)間為積分變量，在區(qū)間 a, b 上任取一小區(qū)間上任取一小區(qū)間過其端點(diǎn)作垂直過其端點(diǎn)作垂直 x 軸的平面，軸的平面，)(xAxx+dx作體積微元：作體積微元：)(xAxx+dxxoaby.V求求這這個(gè)個(gè)立立體體的的體體積積dV體體積積微微元元為為x , x+dx ，以以A(x) 為底，為底，dx 為高作柱體，為高作柱體，用微元法：用微元法：xoy例例 一一平平面面經(jīng)經(jīng)過過半半徑徑為為R 的的圓圓柱柱體體的的底底圓圓中中心心，并并與與底底面面交交成成角角 ，計(jì)計(jì)算算

22、這這平平面面截截圓圓柱柱體體所所得得立立體體的的體體積積.解解 取坐標(biāo)系如圖取坐標(biāo)系如圖底半圓方程為底半圓方程為22xRy 截面面積截面面積)(xA立體體積立體體積V.323 tgR 垂垂直直于于x軸軸的的截截面面為為直直角角三三角角形形222Ryx RR tgxR)(2122 ytgy 21dxtgxRRR )(2122 RRdxxA)(,. 1的圓的圓計(jì)算底面是半徑為計(jì)算底面是半徑為 R而垂直于底面上一條固而垂直于底面上一條固定直徑的所有截面都是等邊三角形的立體的體積定直徑的所有截面都是等邊三角形的立體的體積.解解設(shè)截面面積為設(shè)截面面積為取坐標(biāo)系如圖取坐標(biāo)系如圖)(xA222Ryx 底圓方程底圓方程練習(xí)練習(xí))(xA 2260 xRtg 22221xR dxxRRR )(