計量分位數(shù)回歸 eviews

1、分位數(shù)回歸（QRM）方法及其應用夏先鋒夏先鋒管理與經(jīng)濟學院主要內(nèi)容：分位數(shù)回歸的基本介紹系數(shù)協(xié)方差的估計方法模型評價與檢驗基于Eviews的分位數(shù)回歸 傳統(tǒng)的回歸分析主要關注均值，即采用因變量條件均值的函數(shù)來描述自變量每一特定數(shù)值下的因變量均值，從而揭示自變量與因變量的關系。這類回歸模型實際上是研究被解釋變量的條件期望,描述了因變量條件均值的變化。 人們當然也關心解釋變量與被解釋變量分布的中位數(shù)，分位數(shù)呈何種關系。這就是分位數(shù)回歸，它最早由凱恩克（Koenker Roger）和巴西特（Bassett Gilbert Jr）于1978年提出，是估計一組回歸變量X與被解釋變量Y的分位數(shù)之間線性關系

2、的建模方法，強調條件分位數(shù)的變化。 分位數(shù)回歸（分位數(shù)回歸（Quantile Regression）最早由）最早由科恩克科恩克和和巴塞特巴塞特 (Koenker 和和Bassett, 1978)于于1978年提出年提出 ，它，它提供了回歸變量提供了回歸變量 X 和因變量和因變量Y 的分位數(shù)之間線性關系的的分位數(shù)之間線性關系的估計方法。絕大多數(shù)的回歸模型都關注因變量的條件均估計方法。絕大多數(shù)的回歸模型都關注因變量的條件均值，但是人們對于因變量條件分布的其他方面的模擬方值，但是人們對于因變量條件分布的其他方面的模擬方法也越來越有興趣，尤其是能夠更加全面地描述因變量法也越來越有興趣，尤其是能夠更加全

3、面地描述因變量的條件分布的分位數(shù)回歸。的條件分布的分位數(shù)回歸。 利用分位數(shù)回歸解決經(jīng)濟學問題的文獻越來越多，利用分位數(shù)回歸解決經(jīng)濟學問題的文獻越來越多，尤其是在勞動經(jīng)濟學中取得了廣泛應用。如在教育回報和尤其是在勞動經(jīng)濟學中取得了廣泛應用。如在教育回報和勞動市場歧視等方面都出現(xiàn)了很好的研究成果。在經(jīng)濟學勞動市場歧視等方面都出現(xiàn)了很好的研究成果。在經(jīng)濟學中的應用研究還包括諸如財富分配不均問題、失業(yè)持續(xù)時中的應用研究還包括諸如財富分配不均問題、失業(yè)持續(xù)時間問題、食品支出的恩格爾曲線問題、酒精需求問題和日間問題、食品支出的恩格爾曲線問題、酒精需求問題和日間用電需求問題等。在金融學領域也涌現(xiàn)出大量使用分

4、位間用電需求問題等。在金融學領域也涌現(xiàn)出大量使用分位數(shù)回歸的應用研究成果，主要應用領域包括風險價值數(shù)回歸的應用研究成果，主要應用領域包括風險價值（Value at Risk, VaR）研究和刻畫共同基金投資類型的指）研究和刻畫共同基金投資類型的指數(shù)模型。數(shù)模型。 正如普通最小二乘正如普通最小二乘OLS回歸估計量的計算回歸估計量的計算是基于最小化殘差平方和一樣，分位數(shù)回是基于最小化殘差平方和一樣，分位數(shù)回歸估計量的計算也是基于一種非對稱形式歸估計量的計算也是基于一種非對稱形式的絕對值殘差最小化，其中，中位數(shù)回歸的絕對值殘差最小化，其中，中位數(shù)回歸運用的是最小絕對值離差估計運用的是最小絕對值離差估

5、計(LAD，least absolute deviations estimator)。它和它和OLS主要區(qū)別在于回歸系數(shù)的估計方主要區(qū)別在于回歸系數(shù)的估計方法和其漸近分布的估計。法和其漸近分布的估計。分位數(shù)回歸參數(shù)估計的思想分位數(shù)回歸參數(shù)估計的思想分位數(shù)回歸參數(shù)估計的思想分位數(shù)回歸參數(shù)估計的思想 與與LRLR估計量明顯不同的估計量明顯不同的QRQR估計量的特點在估計量的特點在于，在于，在QRQR中數(shù)據(jù)點到回歸線距離的測量通中數(shù)據(jù)點到回歸線距離的測量通過垂直距離的加權總和（沒有平方）而求過垂直距離的加權總和（沒有平方）而求得，這里賦予擬合線之下的數(shù)據(jù)點的權重得，這里賦予擬合線之下的數(shù)據(jù)點的權重是

6、是1-1-, ,而賦予擬合線之上的數(shù)據(jù)點的權重而賦予擬合線之上的數(shù)據(jù)點的權重則是則是. .對于對于的每一個選擇，都會產(chǎn)生各自的每一個選擇，都會產(chǎn)生各自不同的條件分位數(shù)的擬合函數(shù)，這一任務不同的條件分位數(shù)的擬合函數(shù)，這一任務是為每一個可能的尋找適合的估計量是為每一個可能的尋找適合的估計量。 中位數(shù)是一個特殊的分位數(shù)，它表示一種分中位數(shù)是一個特殊的分位數(shù)，它表示一種分布的中心位置。中位數(shù)回歸是分位數(shù)回歸的布的中心位置。中位數(shù)回歸是分位數(shù)回歸的一種特殊情況，其他分位數(shù)則可以用來描述一種特殊情況，其他分位數(shù)則可以用來描述一種分布的非中心位置。一種分布的非中心位置。第第p p個百分位數(shù)表個百分位數(shù)表示因

7、變量的數(shù)值低于這一百分位數(shù)的個數(shù)占示因變量的數(shù)值低于這一百分位數(shù)的個數(shù)占總體的總體的p%.p%.因此，分位數(shù)可以指定分布中的因此，分位數(shù)可以指定分布中的任何一個位置。任何一個位置。 假設隨機變量假設隨機變量 Y 的概率分布為：的概率分布為： （4.7.1）Y 的的 分位數(shù)定義為滿足分位數(shù)定義為滿足 F(y) 的最小的最小 y 值，即：值，即：， （4.7.2）)Prob()(yYyF)(:inf)(yFyq10 F(y)的的 分位數(shù)可以由最小化關于分位數(shù)可以由最小化關于 的目標函數(shù)得到，即：的目標函數(shù)得到，即：（4.7.3）其中，其中，argmin 函數(shù)表示取函數(shù)最小值時函數(shù)表示取函數(shù)最小值時

8、 的取值，的取值， (u) u( I(u 0) 稱為檢查函數(shù)（稱為檢查函數(shù)（check function），），依據(jù)依據(jù) u 取值符號進行非對稱的加權，這里取值符號進行非對稱的加權，這里 u y 。 )()(minarg)()1 ()(minarg)(ydFyydFyydFyqyy0,00,1)0(uuuI 0uuI u 一般的 分位數(shù)回歸的檢查函數(shù)為：其中， 為示性函數(shù)，Z是指示關系式。當分位數(shù)為0.5時，就是最小一乘回歸，即中位數(shù)回歸。 I Z 考察此最小化問題的一階條件為：考察此最小化問題的一階條件為： （4.7.4）即即F( ) = ，也就是說，也就是說F(Y)的第的第 個分位數(shù)是上述

9、優(yōu)化問題的解。個分位數(shù)是上述優(yōu)化問題的解。 F(y) 可以由如下的經(jīng)驗分布函數(shù)替代：可以由如下的經(jīng)驗分布函數(shù)替代： （4.7.5）其中其中 y1，y2，yn 為為Y 的的 N 個樣本觀測值；個樣本觀測值；I(z) 是指示函數(shù)，是指示函數(shù)，z 是條件關系式，當是條件關系式，當 z 為真時，為真時，I(z) = 1；當；當 z 為假時，為假時，I(z) = 0。式。式（4.7.3）中條件關系式）中條件關系式 z 為為 yi y，當，當 yi y 時，時，I(yi y) = 1，否，否則取值為則取值為0。 )()()1 ()(1 ()()1 ()(0FFFydFydFyyNiiNyyINyF1)(1

10、)( 相應地，經(jīng)驗分位數(shù)為：相應地，經(jīng)驗分位數(shù)為：， （4.7.6） 式（式（4.7.3）可以等價地表示為下面的形式：）可以等價地表示為下面的形式： （4.7.7） )(:inf)(yFyqNN10iiyiiyiiNyyyqii)(minarg)1 (minarg)(: 現(xiàn)假設現(xiàn)假設 Y 的條件分位數(shù)由的條件分位數(shù)由 k 個解釋變量組成的矩陣個解釋變量組成的矩陣 X 線線性表示：性表示： （4.7.8）其中，其中，xi =(x1i，x2i，xki) 為解釋變量向量，為解釋變量向量， ( ) =( 1， 2， k ) 是是 分位數(shù)下的系數(shù)向量。當分位數(shù)下的系數(shù)向量。當 在在 (0, 1) 上變動

11、時，上變動時，求解下面的最小化問題就可以得到分位數(shù)回歸不同的參數(shù)估求解下面的最小化問題就可以得到分位數(shù)回歸不同的參數(shù)估計：計： （4.7.9）)()(,|xxiiqNiiiNy1)()(minarg)(x 類似類似OLS方法，可以通過最小化方法，可以通過最小化(4.7.3)式的目標函數(shù)式的目標函數(shù)(V)獲得獲得 的第的第 個分位點回歸估計量。例如，用個分位點回歸估計量。例如，用 作為正誤差項的權重，作為正誤差項的權重，用用(1 ) 作為負誤差項的權重的非對稱絕對值誤差加權平均：作為負誤差項的權重的非對稱絕對值誤差加權平均： (4.7.10) 當當 =0.5時稱為時稱為(Least Absolu

12、te Deviations, LAD)，(4.7.10) 式的式的2倍就是倍就是LAD估計的精確的目標函數(shù)：估計的精確的目標函數(shù)： 針對針對LAD方法的回歸估計是條件分位點回歸的一種特殊情況，方法的回歸估計是條件分位點回歸的一種特殊情況，通常被人們稱為通常被人們稱為“”。 分位數(shù)回歸的系數(shù)估計需要求解線性規(guī)劃問題，很多種方法分位數(shù)回歸的系數(shù)估計需要求解線性規(guī)劃問題，很多種方法可以對此問題進行求解。可以對此問題進行求解。 xxxxiiiiyiiiyiiiyyV:)1 (NiiiyV1x1 1、條件均值、條件均值（conditional mean） 例例2.1.1：一個假想的社區(qū)有一個假想的社區(qū)有

13、99戶家庭組成，戶家庭組成，欲研究該社區(qū)每月欲研究該社區(qū)每月家庭消費支出家庭消費支出Y與每月與每月家庭家庭可支配收入可支配收入X的關系。的關系。 即如果知道了家庭的月即如果知道了家庭的月收入，能否預測該社區(qū)家庭的平均月消費支出收入，能否預測該社區(qū)家庭的平均月消費支出水平。水平。 為達到此目的，將該為達到此目的，將該99戶家庭劃分為組內(nèi)收入戶家庭劃分為組內(nèi)收入差不多的差不多的10組，以分析每一收入組的家庭消費組，以分析每一收入組的家庭消費支出。支出。表表 2.1.1 某某社社區(qū)區(qū)家家庭庭每每月月收收入入與與消消費費支支出出統(tǒng)統(tǒng)計計表表 每月家庭可支配收入X（元） 800 1100 1400 17

14、00 2000 2300 2600 2900 3200 3500 561 638 869 1023 1254 1408 1650 1969 2090 2299 594 748 913 1100 1309 1452 1738 1991 2134 2321 627 814 924 1144 1364 1551 1749 2046 2178 2530 638 847 979 1155 1397 1595 1804 2068 2266 2629 935 1012 1210 1408 1650 1848 2101 2354 2860 968 1045 1243 1474 1672 1881 2189 2

15、486 2871 1078 1254 1496 1683 1925 2233 2552 1122 1298 1496 1716 1969 2244 2585 1155 1331 1562 1749 2013 2299 2640 1188 1364 1573 1771 2035 2310 1210 1408 1606 1804 2101 1430 1650 1870 2112 1485 1716 1947 2200 每 月 家 庭 消 費 支 出 Y （元） 2002 共計 2420 4950 11495 16445 19305 23870 25025 21450 21285 15510 由于不

16、確定因素的影響，對同一收入水平由于不確定因素的影響，對同一收入水平X，不同家庭的消費支出不完全相同；不同家庭的消費支出不完全相同； 但由于調查的完備性，給定收入水平但由于調查的完備性，給定收入水平X的消費的消費支出支出Y的分布是確定的，即以的分布是確定的，即以X的給定值為條的給定值為條件的件的Y的的條件分布條件分布（Conditional distribution）是已知的，例如：是已知的，例如：P(Y=561|X=800）=1/4。 因此，給定收入因此，給定收入X的值的值Xi，可得消費支出，可得消費支出Y的的條條件均值件均值（conditional mean）或）或條件期望條件期望（cond

17、itional expectation）：）：E(Y|X=Xi)。 該例中：該例中：E(Y | X=800)=605 描出散點圖發(fā)現(xiàn)：隨著收入的增加，消費描出散點圖發(fā)現(xiàn)：隨著收入的增加，消費“平平均地說均地說”也在增加，且也在增加，且Y的條件均值均落在一的條件均值均落在一根正斜率的直線上。根正斜率的直線上。05001000150020002500300035005001000150020002500300035004000每月可支配收入X（元）每月消費支出Y（元）2 2、總體回歸函數(shù)、總體回歸函數(shù) 在給定解釋變量在給定解釋變量Xi條件下被解釋變量條件下被解釋變量Yi的期望的期望軌跡稱為軌跡稱為

18、總體回歸線總體回歸線（population regression line），或更一般地稱為），或更一般地稱為總體回歸總體回歸曲線曲線（population regression curve）。）。 相應的函數(shù)稱為（雙變量）相應的函數(shù)稱為（雙變量）總體回歸函數(shù)總體回歸函數(shù)（population regression function, PRF）。）。)()|(iiXfXYE 含義：含義：回歸函數(shù)（回歸函數(shù)（PRF）說明被解釋變量）說明被解釋變量Y的的平均狀態(tài)（總體條件期望）隨解釋變量平均狀態(tài)（總體條件期望）隨解釋變量X變化變化的規(guī)律。的規(guī)律。 函數(shù)形式：函數(shù)形式：可以是線性或非線性的?？梢允蔷€

19、性或非線性的。 例例2.1.1中，中，將居民消費支出看成是其可支配收將居民消費支出看成是其可支配收入的線性函數(shù)時入的線性函數(shù)時: :iiXXYE10)|(為為線性函數(shù)。線性函數(shù)。其中，其中， 0 0， 1 1是未知參數(shù)，稱為是未知參數(shù)，稱為回歸系數(shù)回歸系數(shù)（regression coefficients）。）。1 1、樣本回歸函數(shù)、樣本回歸函數(shù) 問題：問題：能否從一次抽樣中獲得總體的近似信息？能否從一次抽樣中獲得總體的近似信息？如果可以，如何從抽樣中獲得總體的近似信息？如果可以，如何從抽樣中獲得總體的近似信息？ 在例在例2.1.12.1.1的總體中有如下一個樣本，的總體中有如下一個樣本，能否從

20、該能否從該樣本估計總體回歸函數(shù)？樣本估計總體回歸函數(shù)？ 回答：能回答：能表表 2.1.3 家庭消費支出與可支配收入的一個隨機樣本家庭消費支出與可支配收入的一個隨機樣本 X 800 1100 1400 1700 2000 2300 2600 2900 3200 3500 Y 594 638 1122 1155 1408 1595 1969 2078 2585 2530 該樣本的該樣本的散點圖（散點圖（scatter diagram)： 畫一條直線以盡好地擬合該散點圖，由于樣本取自總體，畫一條直線以盡好地擬合該散點圖，由于樣本取自總體，可以該直線近似地代表總體回歸線。該直線稱為可以該直線近似地代表

21、總體回歸線。該直線稱為樣本回歸樣本回歸線（線（sample regression lines）。 樣本回歸線的函數(shù)形式為：樣本回歸線的函數(shù)形式為：iiiXXfY10)(稱為稱為樣本回歸函數(shù)樣本回歸函數(shù)（sample regression function，SRF）。 注意：注意：這里將樣本回歸線樣本回歸線看成總體回歸線總體回歸線的近似替代則則 相對于最小二乘估計，分位數(shù)回歸模型具有四個方面相對于最小二乘估計，分位數(shù)回歸模型具有四個方面的優(yōu)勢：的優(yōu)勢： （1）分位數(shù)模型特別適合具有異方差性的模型。）分位數(shù)模型特別適合具有異方差性的模型。 （2）對條件分布的刻畫更加的細致，能給出條件分布）對條件分

22、布的刻畫更加的細致，能給出條件分布的大體特征。每個分位點上的回歸都賦予條件分布上某個特的大體特征。每個分位點上的回歸都賦予條件分布上某個特殊點（中央或尾部）一些特征；把不同的分位點上的分位數(shù)殊點（中央或尾部）一些特征；把不同的分位點上的分位數(shù)回歸集中起來就能提供一個關于條件分布的更完整的統(tǒng)計特回歸集中起來就能提供一個關于條件分布的更完整的統(tǒng)計特征描述。并且不同分位點下所給出的參數(shù)估計本身也可能有征描述。并且不同分位點下所給出的參數(shù)估計本身也可能有值得進一步探討的意義。值得進一步探討的意義。 （3）分位數(shù)回歸并不要求很強的分布假設，在擾動項）分位數(shù)回歸并不要求很強的分布假設，在擾動項非正態(tài)的情形

23、下，分位數(shù)估計量可能比最小二乘估計量更非正態(tài)的情形下，分位數(shù)估計量可能比最小二乘估計量更為有效。為有效。 （4）與最小二乘法通過使誤差平方和最小得到參數(shù)的）與最小二乘法通過使誤差平方和最小得到參數(shù)的估計不同，分位數(shù)回歸是通過使加權誤差絕對值之和最小估計不同，分位數(shù)回歸是通過使加權誤差絕對值之和最小得到參數(shù)的估計，因此估計量不容易受到異常值的影響，得到參數(shù)的估計，因此估計量不容易受到異常值的影響，從而估計更加穩(wěn)健。從而估計更加穩(wěn)健。 一般地，分位數(shù)回歸的系數(shù)估計量漸近服從正態(tài)分布，一般地，分位數(shù)回歸的系數(shù)估計量漸近服從正態(tài)分布，其漸近協(xié)方差依據(jù)模型的不同假定而具有不同形式。漸近系其漸近協(xié)方差依據(jù)

24、模型的不同假定而具有不同形式。漸近系數(shù)協(xié)方差的計算在分位數(shù)回歸分析中非常重要，有三種估計數(shù)協(xié)方差的計算在分位數(shù)回歸分析中非常重要，有三種估計方法：方法： 1獨立同分布設定下協(xié)方差矩陣的直接估計方法獨立同分布設定下協(xié)方差矩陣的直接估計方法 （1）Siddiqui 差商法差商法 （2）稀疏度的核密度估計量）稀疏度的核密度估計量 2獨立但不同分布設定下協(xié)方差矩陣的直接估計方法獨立但不同分布設定下協(xié)方差矩陣的直接估計方法 （Hubert sandwich） 3自舉法（自舉法（Bootstrap） （1）X-Y自舉法自舉法 （2）殘差自舉方法）殘差自舉方法 （3）馬爾可夫鏈邊際自舉法）馬爾可夫鏈邊際自舉

25、法 為了使用分位數(shù)回歸方法估計方程，在方程設定對話框的估計方法為了使用分位數(shù)回歸方法估計方程，在方程設定對話框的估計方法中選擇中選擇“QREG”，打開分位數(shù)回歸估計對話框：，打開分位數(shù)回歸估計對話框： “Quantile to estimate”后面輸入值，可以輸入后面輸入值，可以輸入01之間的任意數(shù)值，默之間的任意數(shù)值，默認值是認值是0.5，即進行中位數(shù)回歸。，即進行中位數(shù)回歸。 利用例利用例3.1的消費和收入數(shù)據(jù)，我們建立如下的回歸方程研的消費和收入數(shù)據(jù)，我們建立如下的回歸方程研究政府支出對居民消費的影響：究政府支出對居民消費的影響： （4.7.44）其中，其中，cs為實際居民消費，為實際

26、居民消費，inc為實際可支配收入，為實際可支配收入，fe為財政支出，為財政支出，考慮到財政政策通常具有時滯的特點，模型中采用滯后一期的財考慮到財政政策通常具有時滯的特點，模型中采用滯后一期的財政支出作為解釋變量。所有變量均為剔除了價格因素的年度數(shù)據(jù)，政支出作為解釋變量。所有變量均為剔除了價格因素的年度數(shù)據(jù)，樣本區(qū)間為樣本區(qū)間為19782006年。為了進行比較，我們同時給出最小二年。為了進行比較，我們同時給出最小二乘法以及三個不同分位點的分位數(shù)回歸估計結果（見表乘法以及三個不同分位點的分位數(shù)回歸估計結果（見表4.4）。）。 )ln()ln()ln()ln(131210ttttfecsinccsO

27、LS估計結果估計結果:分位數(shù)回歸估計結果分位數(shù)回歸估計結果:注：括號內(nèi)為彈性系數(shù)的注：括號內(nèi)為彈性系數(shù)的t值；值； Quant20， Quant50， Quant80分別分別 代表代表20%，50%，80%分位數(shù)。分位數(shù)。系數(shù)估計結果系數(shù)估計結果OLSQuant20Quant50Quant800.28(5.78)0.21(2.78)0.25(3.44)0.28(3.17)0.47（7.22）0.49（4.49）0.38（2.33）0.45（2.93）0.47（7.57）0.44（4.22）0.56（3.55）0.49（3.43） 0.027 （1.65）0.048（1.62）0.034（1.1

28、96）0.026（0.82）R2 或或 R10.9990.970.970.98 0123 從估計結果可以看出，對于不同的估計方法，居民實際可從估計結果可以看出，對于不同的估計方法，居民實際可支配收入、前期消費水平兩個變量的彈性系數(shù)變化不大。盡管支配收入、前期消費水平兩個變量的彈性系數(shù)變化不大。盡管在以往的研究中，政府支出對居民消費的影響還沒有得出一致在以往的研究中，政府支出對居民消費的影響還沒有得出一致的結論，但是在本例中三種估計的結果表明政府支出對居民消的結論，但是在本例中三種估計的結果表明政府支出對居民消費的彈性值均為正，說明在我們所分析的樣本區(qū)間內(nèi)政府支出費的彈性值均為正，說明在我們所分

29、析的樣本區(qū)間內(nèi)政府支出與居民消費之間是互補的，政府支出的增加有利于加強基礎設與居民消費之間是互補的，政府支出的增加有利于加強基礎設施建設和提高社會保障水平，使居民減少儲蓄，尤其是預防性施建設和提高社會保障水平，使居民減少儲蓄，尤其是預防性儲蓄，從而增加消費。最小二乘估計給出的是政府支出對消費儲蓄，從而增加消費。最小二乘估計給出的是政府支出對消費的平均影響效果，而分位數(shù)回歸給出的是消費處于不同分位水的平均影響效果，而分位數(shù)回歸給出的是消費處于不同分位水平時，政府支出對居民消費的影響。在平時，政府支出對居民消費的影響。在20%，50%和和80%的分的分位點上政府支出的彈性分別為位點上政府支出的彈性

30、分別為0.048，0.034，0.026，并且后兩，并且后兩個水平的估計是不顯著的，說明當消費水平較低時，政府支出個水平的估計是不顯著的，說明當消費水平較低時，政府支出的影響相對較大，而對于較高的消費水平，政府支出的影響變的影響相對較大，而對于較高的消費水平，政府支出的影響變小，并且是不顯著的。因為當消費水平較高時，進一步提升的小，并且是不顯著的。因為當消費水平較高時，進一步提升的空間變小，政府支出對其影響也變小空間變小，政府支出對其影響也變小。 為了解工作婦女是否受到了歧視，可以用美國統(tǒng)計局的為了解工作婦女是否受到了歧視，可以用美國統(tǒng)計局的“當前人口調查當前人口調查”中的截面數(shù)據(jù)研究男女工資

31、有沒有差別。這項多元回歸分析研究所用到的變中的截面數(shù)據(jù)研究男女工資有沒有差別。這項多元回歸分析研究所用到的變量有：量有： W 雇員的工資（美元雇員的工資（美元/小時）小時） 1；若雇員為婦女；若雇員為婦女 SEX = 0；男性；男性 ED 受教育的年數(shù)受教育的年數(shù) AGE 雇員的年齡雇員的年齡 1；若雇員不是西班牙裔也不是白人；若雇員不是西班牙裔也不是白人 NONWH = 0；其他；其他 1；若雇員是西班牙裔；若雇員是西班牙裔 HISP = 0；其他；其他 對對206名雇員的樣本所進行的研究得到的回歸結果為（括號內(nèi)是名雇員的樣本所進行的研究得到的回歸結果為（括號內(nèi)是t統(tǒng)計量統(tǒng)計量的值）：的值）

32、： （22.10）（）（-3.86） R2 = 0.068 D.W.=1.79 反映雇員性別的虛擬變量反映雇員性別的虛擬變量SEX在顯著性水平在顯著性水平 1%下顯著。因為工資的總平下顯著。因為工資的總平均是均是9.60美元，該虛擬變量告訴我們，婦女的平均工資為美元，該虛擬變量告訴我們，婦女的平均工資為8.12美元，或比總平美元，或比總平均低均低1.48美元。美元。SEXW73. 293.10 系數(shù)估計結果系數(shù)估計結果OLSQuant20Quant50Quant8010.93(22.1)5.5(9.46)10.00(12.75)14.999(15.83)-2.73（-3.86）-0.75（-1

33、.04）-2.5（-2.66）-3.75（-3.29）R2 或或 R10.0680.0080.030.08注：括號內(nèi)為彈性系數(shù)的注：括號內(nèi)為彈性系數(shù)的t值；值； Quant20， Quant50， Quant80分別分別 代表代表20%，50%，80%分位數(shù)。分位數(shù)。01 與傳統(tǒng)的回歸分析的擬合優(yōu)度與傳統(tǒng)的回歸分析的擬合優(yōu)度R2類似，分位數(shù)回歸模型也類似，分位數(shù)回歸模型也可以計算擬合優(yōu)度。在分位數(shù)回歸中，參數(shù)估計是通過可以計算擬合優(yōu)度。在分位數(shù)回歸中，參數(shù)估計是通過 （4.7.29）得到的。將數(shù)據(jù)寫為得到的。將數(shù)據(jù)寫為 xi = (1，x i1) ， ( ) = ( 0( ), 1( ) )

34、，這，這樣式（樣式（4.7.29）可以寫為）可以寫為 （4.7.30）最小化最小化 分位數(shù)回歸的目標函數(shù)（分位數(shù)回歸的目標函數(shù)（objective function），得到），得到 （4.7.31） )()(,|(xxiiq)()()(,|110 xxiiqiiiyV)()(min)(110)(x 回歸方程中只包含常數(shù)項情形下，最小化分位數(shù)回歸的目回歸方程中只包含常數(shù)項情形下，最小化分位數(shù)回歸的目標函數(shù)（標函數(shù)（objective function），得到），得到 （4.7.32） 定義分位數(shù)回歸方程的定義分位數(shù)回歸方程的Machado擬合優(yōu)度為擬合優(yōu)度為 （4.7.33） R1( )位于位于

35、01之間，之間，R1( )越大說明模型估計的越好，反之越大說明模型估計的越好，反之R1( )越小模型估計越差?？梢钥闯?，這與用普通最小二乘法估越小模型估計越差?？梢钥闯?，這與用普通最小二乘法估計的傳統(tǒng)回歸方程中定義的擬合優(yōu)度計的傳統(tǒng)回歸方程中定義的擬合優(yōu)度R2類似，分位數(shù)回歸擬合類似，分位數(shù)回歸擬合優(yōu)度的計算是基于分位數(shù)回歸方程目標函數(shù)的最小值與只用常優(yōu)度的計算是基于分位數(shù)回歸方程目標函數(shù)的最小值與只用常數(shù)項作為解釋變量時的分位數(shù)回歸方程目標函數(shù)最小值的關系。數(shù)項作為解釋變量時的分位數(shù)回歸方程目標函數(shù)最小值的關系。iiyV)(min)(0)(0)(/ )(1)(1VVR定義以下兩個檢驗統(tǒng)計量：

36、定義以下兩個檢驗統(tǒng)計量： （4.7.34） （4.7.35）其中，其中， 和和 分別是無約束的和對原方程施加分別是無約束的和對原方程施加q個約束個約束條件后，分位數(shù)回歸的目標函數(shù)最小值。條件后，分位數(shù)回歸的目標函數(shù)最小值。LN( ) 和和 N( ) 這兩這兩個統(tǒng)計量都漸近服從自由度為個統(tǒng)計量都漸近服從自由度為q的分布。分母中的的分布。分母中的 s( ) 是稀疏是稀疏度值，在分位數(shù)回歸的冗余變量檢驗、遺漏變量檢驗中將都度值，在分位數(shù)回歸的冗余變量檢驗、遺漏變量檢驗中將都用到擬似然比檢驗的用到擬似然比檢驗的 LN( ) 和和 N( )統(tǒng)計量。統(tǒng)計量。)()1 ()()(2)(sVVLN)(/ )(

37、log)()1 ()(2)(VVsVN )(V)(V 有時候，我們不僅對某個分位數(shù)回歸感興趣，而是希望有時候，我們不僅對某個分位數(shù)回歸感興趣，而是希望對不只一個分位數(shù)回歸的系數(shù)進行聯(lián)合檢驗，比如下面將要對不只一個分位數(shù)回歸的系數(shù)進行聯(lián)合檢驗，比如下面將要研究的檢驗斜率系數(shù)是否相等，即不同分位數(shù)回歸計算出的研究的檢驗斜率系數(shù)是否相等，即不同分位數(shù)回歸計算出的斜率系數(shù)是否相等，類似這種問題需要同時估計多于一個分斜率系數(shù)是否相等，類似這種問題需要同時估計多于一個分位數(shù)回歸，這種分析稱為分位數(shù)過程（位數(shù)回歸，這種分析稱為分位數(shù)過程（Quantile Process）分）分析。定義過程系數(shù)向量：析。定義

38、過程系數(shù)向量： （4.7.36） )(,)(,)(21K 如果對于給定的如果對于給定的X，Y的分布是對稱的，則應該有：的分布是對稱的，則應該有： （4.7.42） 具體而言，假定分位數(shù)過程包含了具體而言，假定分位數(shù)過程包含了s個分位數(shù)回歸，這里個分位數(shù)回歸，這里s是奇數(shù)，中間值是奇數(shù)，中間值 (s+1)/2為為0.5，并且，并且 j = 1 ij+1, j =1,2,(s-1)/2，則對稱檢驗的原假設為：則對稱檢驗的原假設為： （4.7.43） 1, 2 , 1),()()(:210piHkiii)2/1 (2/)1 ()()2/1 (2/)1 ()( :10 jsjH2/ ) 1( , 2

39、, 1sj 例例4.10的結果輸出如下的結果輸出如下(以以0.2分位數(shù)的估計結果為例分位數(shù)的估計結果為例)： 輸出結果的上方顯示了設定的內(nèi)容，本例中設定用輸出結果的上方顯示了設定的內(nèi)容，本例中設定用“Huber Sandwich”方法估計系數(shù)協(xié)方差，用方法估計系數(shù)協(xié)方差，用“Siddiqui（mean fitted）”方法得到稀疏度，用方法得到稀疏度，用“Hall-Sheather”方方法計算帶寬。下面顯示了系數(shù)估計值、標準差、法計算帶寬。下面顯示了系數(shù)估計值、標準差、t 檢驗值和檢驗值和相應的相應的p值。最下方顯示了擬合優(yōu)度和調整值、稀疏度數(shù)值、值。最下方顯示了擬合優(yōu)度和調整值、稀疏度數(shù)值、目標函數(shù)的最小值（目標函數(shù)的最小值（“objective”）、僅包含常數(shù)的目標函）、僅包含常數(shù)的目標函數(shù)的最小值（數(shù)的最小值（“Objective (const. only)）、因變量序列的經(jīng)）、因變量