4充分條件與必要條件公開課優(yōu)秀教案教學(xué)設(shè)計(jì)高中必修第一冊(cè)

1、第一章集合與常用邏輯用語(yǔ)1.4充分條件與必要條件教材分析本課是高中數(shù)學(xué)第一章第4節(jié)，充要條件是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的數(shù)學(xué)概念之一，它主要討論了命題的條件與結(jié)論之間的邏輯關(guān)系，目的是為今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)特別是數(shù)學(xué)推理的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。從學(xué)生學(xué)習(xí)的角度看，與舊教材相比，教學(xué)時(shí)間的前置，造成學(xué)生在學(xué)習(xí)充要條件這一概念時(shí)的知識(shí)儲(chǔ)備不夠豐富，邏輯思維能力的訓(xùn)練不夠充分，這也為教師的教學(xué)帶來(lái)一定的困難.“充要條件”這一節(jié)介紹了充分條件，必要條件和充要條件三個(gè)概念，由于這些概念比較抽象中學(xué)生不易理解，用它們?nèi)ソ鉀Q具體問(wèn)題則更為困難，因此“充要條件”的教學(xué)成為中學(xué)數(shù)學(xué)的難點(diǎn)之一，而必要條件的定義又是本節(jié)內(nèi)容的難點(diǎn).教學(xué)

2、目標(biāo)與核心需兼課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A.正確理解充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件的概念；B.會(huì)判斷命題的充分條件、必要條件、充要條件.C.通過(guò)學(xué)習(xí)，使學(xué)生明白對(duì)條件的判定應(yīng)該歸結(jié)為判斷命題的真假.D.在觀察和思考中，在解題和證明題中，培養(yǎng)學(xué)生思維能力的嚴(yán)密性品質(zhì).1 .數(shù)學(xué)抽象：充分條件、必要條件、充要條件的含義；2 .邏輯推理：判斷命題的充分條件、必要條件、充要條件；3.直觀想象：對(duì)條件的判定應(yīng)該歸結(jié)為判斷命題的真假。教學(xué)重難息1 .教學(xué)重點(diǎn)：理解充分條件、必要條件、充要條件的意義，掌握命題條件的充要性判斷及其證明方法；2 .教學(xué)難點(diǎn)：命題條件充要性的判斷及其證明。課前準(zhǔn)備多媒體教學(xué)過(guò)程教

3、學(xué)過(guò)程落實(shí)核心素養(yǎng)目標(biāo)一、情景引入，溫故知新情景1:如圖所示電路中(整個(gè)電路及燈泡一切正常),通過(guò)初中所學(xué)及實(shí)例，讓學(xué)生感知、了解，進(jìn)而概括出充分條件與必要條件的含義。提高學(xué)生用數(shù)學(xué)抽象的思維方式思考并解決問(wèn)題的能力。記p:閉合開關(guān)A,q:燈泡亮。請(qǐng)把這個(gè)電路圖改寫為“若p,則q”形式的命題并判斷真假。rl/5nCIlliI【答案】真命題情景2:記p:x>2,q:x>0。判斷命題“若x>2，則x>0”的真假?！敬鸢浮空婷}通過(guò)命題真假的判定，歸納出充分條件、必要條件的含義。二、探索新知探究一充分條件與必要條件的含義1.思考:下列“若P,則q”形式的命題中，哪些是真命題？

4、哪些是假命題？(1)若平行四邊形的對(duì)角線互相垂直，則這個(gè)平行四邊形是菱形；(2)若兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)相等，則這兩個(gè)三角形全等；(3)若x24x30,則x1;(4)若平面內(nèi)兩條直線a和b均垂直于直線1,則a/Zbo【答案】(1)真(2)假(3)假(4)真2、歸納新知(1)充分條件、必要條件的含義通過(guò)思考，進(jìn)一步理解充分條件、必要條件的含義，教會(huì)一般地，用p、q分別表示兩個(gè)命題，如果命題p成立，可以推出命題q也成立，即pq,那么p叫做q的充分條件，p叫做q的必要條件.P足以導(dǎo)致q,也就是說(shuō)條件p充分了；學(xué)生解決和研究問(wèn)q是p成立所必須具備的前提.題。通過(guò)例題進(jìn)一步鞏固充分條件的含義，提高學(xué)生解決問(wèn)題

5、的能力。如果“若p,則q”為假命題，那么由p推不出q,記作pq。此時(shí)，我們就說(shuō)p不是q的充分條件，q不是p的必要條件。3.思考：下列“若P,則q”形式的命題中，p是q的什么條件？(1)若平行四邊形的對(duì)角線互相垂直，則這個(gè)平行四邊形是菱形；(2)若兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)相等，則這兩個(gè)三角形全等；(3)若x24x30,則x1;(4)若平面內(nèi)兩條直線a和b均垂直于直線1,則a/Zbo【解析】(1)、(4)中，p是q的充分條件，q是p的必要條件；(2)、(3)中，p不是q的充分條件，q不是p的必要條件例1:下列“若p,則q”形式的命題中，哪些命題中的p是q的充分條件？(1)若四邊形的兩組對(duì)角分別相等，則這個(gè)

6、四邊形是平行四邊形通過(guò)思考理解充分條件的不唯一。(2)若兩個(gè)三角形的三邊成比例，則這兩個(gè)三角形相似；(3)若四邊形為菱形，則這個(gè)四邊形的對(duì)角線互相垂直；(4)若x21,則x1;(5) 若ab,貝1Jacbc;通過(guò)例題進(jìn)一步鞏固必要條件的含義，提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力。(6)若x,y為無(wú)理數(shù)，則xy為無(wú)理數(shù)?！窘馕觥?1)這是一條平行四邊形的判定定理，pq,所以p是q的充分條件；(2)這是一條相似三角形的判定定理，pq,所以p是q的充分條件；(3)這是一條菱形的性質(zhì)定理，pq,所以p是q的充分條件；(4)由于(1)21,但-11,pq,所以p不是q的充分條件。(5)由等式的性質(zhì)知，pq,所以p是q

7、的充分條件。(6) 我為無(wú)理數(shù)，但J5&2為有理數(shù)，pq,所以p不是q的充分條件。4、思考：例1中命題(1)給出了“四邊形是平行四邊形”的一個(gè)充分條件，這樣的充分條件唯一嗎？若不唯一，那么你能給出不同的充分條件嗎？通過(guò)思考理解必要條件的不唯一?！窘馕觥克倪呅蔚膬山M對(duì)邊分別相等，四邊形的一組對(duì)邊平行且相等，四邊形的兩條對(duì)角線互相平分都是其充分條件。結(jié)論：一般地，數(shù)學(xué)中的每一條判定定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立通過(guò)判斷命題及其逆命題的真假，概括歸納充要條件的定義，提高學(xué)生的抽象概括能力。提高例題進(jìn)一步鞏固充要條件。通過(guò)思考理解充要條件的不唯一。提高例題掌握充要條件的證明方法，提高學(xué)生解決問(wèn)題

8、的能力。去體驗(yàn)知識(shí)方法。發(fā)現(xiàn)并提出數(shù)學(xué)問(wèn)題，應(yīng)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言予以表達(dá)。的一個(gè)充分條件。例2:下列“若p,則q”形式的命題中，哪些命題中的q是p的必要條件？(1)若四邊形為平行四邊形，則這個(gè)四邊形的兩組對(duì)角分別相等；(2)若兩個(gè)三角形相似，則這兩個(gè)三角形的三邊成比例；(3)若四邊形的對(duì)角線互相垂直，則這個(gè)四邊形為菱形；(4)若x1,則x21;(5)若acbc,貝Uab;(6)若xy為無(wú)理數(shù)，則x、y為無(wú)理數(shù)。解：(1)這是一條平行四邊形的性質(zhì)定理，Pq,所以q是p的必要條件；(2)這是一條相似三角形的性質(zhì)定理，Pq,所以q是p的必要條件；(3)如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線互相垂直，/但它不是菱形pq

9、,所以q不是p的必要條件；/I(4)顯然Pq,所以q不是p的必要條件。"(5)由于(1)010,但11,pq,所以q不是p的必要條件；(6)由于1岳應(yīng)為無(wú)理數(shù)，但1,J2不全是無(wú)理數(shù)，pq,所以q不是p的必要條件。思考：例2中命題(1)給出了“四邊形是平行四邊形”的一個(gè)必要條件，這樣的必要條件唯一嗎？若不唯一，你能給出幾個(gè)其它的必要條件嗎？【解析】四邊形的兩組對(duì)邊分別相等，四邊形的一組對(duì)邊平行且相等，四邊形的兩條對(duì)角線互相平分都是其必要條件?！窘Y(jié)論】一般地，數(shù)學(xué)中的每一條性質(zhì)定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個(gè)必要條件。探究二充要條件的含義1 .思考：下列“若巳則q”形式的命題中，哪些

10、命題與它們的逆命題都是真命題？(1)若兩個(gè)三角形的兩角和其中一角所對(duì)的邊分別相等，則這兩個(gè)三角形全等；(2)若兩個(gè)三角形全等，則這兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)相等；(3)若一元二次方程ax2bxc0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則ac0。(4)若AUB是空集，則A與B均是空集?！窘馕觥棵}(1)、(4)與它們的逆命題都是真命題。2.定義：一般地，如果既有pq,又有qp,就記作：pq,這時(shí)p既是q的充分條件，又是q的必要條件，則p是q的充分必要條件，簡(jiǎn)稱充要條件。其中叫做等價(jià)符號(hào)。pq表示pq且qpo例3卜列各題中，哪些p是q的充要條件？(1)p:四邊形是正方形，q:四邊形的對(duì)角線互相垂直且平分；(2) P:兩個(gè)三

11、角形相似，q:兩個(gè)三角形三邊成比例；(3) p:xy>0,q:x>0,y>0;2(4) p:x=1是一兀一次萬(wàn)程axbxc0的一個(gè)根，q：abc0(a0)。解：(1)因?yàn)閷?duì)角線互相垂直平分的四邊形不一定是正方形，所以qp,所以p不是q的充要條件。(2)因?yàn)椤叭魀,則q”是相似三角形的性質(zhì)定理，“若q,則p”是相似三角形的判定定理，所以它們均是真命題，即pq,所以P是q的充要條件。(3)因?yàn)閤y>0時(shí)，x>0,y>0不一定成立，所以pq,所以p不是q的充要條件。(4)因?yàn)椤叭魀,則q”與“若q,則p”均為真命題，即pq,所以P是q的充要條件。3.探究：通過(guò)上面

12、的學(xué)習(xí)，你能給出“四邊形是平行四邊形”的充要條件嗎？【解析】四邊形的兩組對(duì)角分別相等、四邊形的兩組對(duì)邊分別相等、四邊形的一組對(duì)邊平行且相等、四邊形的對(duì)角線互相平分、四邊形的兩組對(duì)邊分別平行都是它的充要條件。例4已知：。的半徑為r,圓心O到直線L的距離為d。求證：d=r是直線l與。相切的充要條件。解析：設(shè)p：dr,q：直線l與OO相切。要證p是q的充要條件，只需證明充分性(pq)和必要性(qp)即可。解：教材P22點(diǎn)評(píng)：在處理充分和必要條件問(wèn)題時(shí)，首先應(yīng)分清條件和結(jié)論，然后才能進(jìn)行推理和判斷。三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)1、設(shè)命題甲:0x5,命題乙：|x2|3,那么甲是乙的（）.通過(guò)練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過(guò)學(xué)

13、生解決問(wèn)題的能力，感悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)。A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也必要條件【答案】B2、請(qǐng)用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”填空：（1） x=y是x2=y2的條件；（2） ab=0是a=0的條件；（3） x2>1是x<1的條件；（4） x=1或x=2是x23x+2=0的條件?！敬鸢浮浚?）充分不必要（2）必要不充分（3）既不充分也不必要（4）充要3.求證：關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0有一根為1的充要條件是a+b+c=0。證明：（1）必要性，即“若x=1是方程ax2+bx+c=0的根，則a+b

14、+c=0".,x=1是方程的根，將x=1代入方程，得a12+b1+c=0,即a+b+c=0.（2）充分性，即“若a+b+c=0,則x=1是方程ax2+bx+c=0的根”.把x=1代入方程的左邊，得a12+b1+c=a+b+c.1a+b+c=0,.x=1是方程的根.綜合（1）（2）知命題成立.通過(guò)總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固充分條件、必要條件、充要條件的概念，集合的表示方法，提高語(yǔ)言轉(zhuǎn)換和抽象概括能力，樹立用集合語(yǔ)言表示數(shù)學(xué)內(nèi)容的意識(shí)。四、小結(jié)1、充分條件、必要條件、充要條件的概念2、判斷充分、必要條件的基本步驟：認(rèn)清條件和結(jié)論；考察p市口qp是否能成立。3、判別技巧：可先簡(jiǎn)化命題；否定一個(gè)命題只要舉出一個(gè)反例即可；