清華大學(xué)微積分高等數(shù)學(xué)第3講無窮小量續(xù)ppt課件

1、作業(yè)作業(yè)P43 習(xí)題習(xí)題 2.3 10. 12(3)(4)(7)(10).P49 習(xí)題習(xí)題 2.4 9(1)(4)(6). 練習(xí)練習(xí)P43 習(xí)題習(xí)題 2.3 4. 5. 8.P49 習(xí)題習(xí)題 2.4 1. 2. 5.第三講第三講 ( (一一) ) 無窮小量無窮小量( (續(xù)續(xù)) ) ( (二二) )延續(xù)函數(shù)延續(xù)函數(shù)一、三個(gè)重要關(guān)系一、三個(gè)重要關(guān)系二、無窮小量的比較二、無窮小量的比較三、求極限舉例三、求極限舉例 四、函數(shù)延續(xù)性的定義四、函數(shù)延續(xù)性的定義1.無窮小與無窮大無窮小與無窮大.)(1,)(,是是無無窮窮小小則則在在這這個(gè)個(gè)變變化化過過程程中中是是無無窮窮大大化化過過程程中中若若在在自自變變

2、量量的的某某一一個(gè)個(gè)變變xfxf.)(),()()(lim時(shí)時(shí)的的無無窮窮小小是是當(dāng)當(dāng)其其中中 xxxAxfAxfx 2.極限與無窮小極限與無窮小一、三個(gè)重要關(guān)系一、三個(gè)重要關(guān)系3.無窮大與無界函數(shù)無窮大與無界函數(shù)無無界界。反反之之不不一一定定。則則是是無無窮窮大大化化過過程程中中若若在在自自變變量量的的某某一一個(gè)個(gè)變變)(,)(,xfxf問題：問題：兩個(gè)無窮小量的商能否為無窮小量？兩個(gè)無窮小量的商能否為無窮小量？ xxxxf,sin)(例例二、無窮小量的比較二、無窮小量的比較.)()(,1)()(lim,;)()(, 0)()(lim)1(.)()(,是是等等價(jià)價(jià)無無窮窮小小與與時(shí)時(shí)稱稱當(dāng)當(dāng)

3、時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)特特別別是是同同階階無無窮窮小小與與時(shí)時(shí)則則稱稱當(dāng)當(dāng)若若都都是是無無窮窮小小與與過過程程中中設(shè)設(shè)在在自自變變量量的的同同一一變變化化xgxfxxgxfxgxfxAxgxfxgxfxx 定義：定義：)()()(xxgxf記記作作).()()(.)()(, 0)()(lim)2( xxgxfxgxfxxgxfx記記作作相相比比是是高高階階無無窮窮小小與與時(shí)時(shí)則則稱稱當(dāng)當(dāng)若若.)()(, 0)()(lim)3(階無窮小階無窮小相比是相比是與與時(shí)時(shí)則稱當(dāng)則稱當(dāng)若若kxgxfxAxgxfkax ).()()()()(,)(, 0)2(00*xxxgOxfMxgxfxNxM 則則記記成成有有時(shí)時(shí)使

4、使當(dāng)當(dāng)若若)()(,)()(lim0 xgOxfAxgxfxx 則則有有若若)()(, 0)()(lim)1(0 xgxfxgxfxx 則則記記若若”“”與與“符符號號O幾個(gè)常用的等價(jià)無窮小量)0(xxxxxaxaxexxxxxxxxxx2111)1ln(ln11arctanarcsintansin 等價(jià)無窮小量的性質(zhì))(,sin,1)(sinsin,0 xxxxxxxxxx誤誤差差是是時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)例例 )()()()()()()()(,)(),(,xgxgxfxfxgxfxgxfxgxfx 或或則則無無窮窮小小均均為為時(shí)時(shí)設(shè)設(shè)當(dāng)當(dāng)性質(zhì)性質(zhì)1：)()(lim)()(lim)()(lim)(

5、)(lim1111xgxgxgxfxfxfxgxfxxxx 存存在在，且且有有均均為為無無窮窮小小時(shí)時(shí)若若當(dāng)當(dāng))()(lim),()(),()(,)(),(),(),(,111111xgxfxgxgxfxfxgxfxgxfxx性質(zhì)性質(zhì)2：)()(lim)()(lim11xgxfxgxfxx 則則有有等價(jià)代換等價(jià)代換)()(lim)()(lim1100 xgxfxgxfxx 解解54)12()2(lim)2)(12()2)(2(lim2324lim22222 xxxxxxxxxxxx)232(54)4( ;)232()4( ,22222 xxxxxxx同同階階無無窮窮小小是是與與時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)?232

6、4lim222 xxxx例例1三、求極限舉例三、求極限舉例?cos1lim20 xxx2222022220)()(sinlim214)()(sin2limxxxxxx 222020sin2limcos1limxxxxxx 21sinlimsinlim21220220 xxxxxx例例2解解)()(cos12同階xOx )()(cos1高階xx )(21cos12等價(jià)xx 階無窮小量的是2cos1xx 21cos1lim20 xxx1cos1lim2210 xxxxxxx30sinsintanlim 21lim22210 xxx?sinsintanlim30 xxxx例例3解解xxx20sinc

7、os1lim xxxxcos1sincos1lim20 )(sintan3xOxx 2sintan3xxx )(sintan2xxx 是是 x 的的 3 階無窮小階無窮小0limsinsintanlim3030 xxxxxxxxxxxxxsin,tan,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 討論：討論：代數(shù)和不能代換！代數(shù)和不能代換！?)1ln(lim0 xxx解解xxxxxx100)1ln(lim)1ln(lim 1lnlim)1(lim10 uexeuxx因因?yàn)闉?)1ln(lim0 xxx所所以以例例4?1lim0 xaxxxexaaxxxx1lim1limln00 axaxxlnlnlim0 ) 0(ln1 x

8、axax)0(1( xxex因?yàn)橐驗(yàn)榻饨饫??tan3)sin23(lim20 xxxxx解解例例6xxxxx20tan3)sin23(lim 23201)sin1(3limxxxxx 2)sin1ln(01lim32xexxx 2320)sin1ln(limxxxx 32sinlim320 xxx?)sin(cos21lim33 xxx,3ux 作作變變換換ux 3 則則0,3,ux時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)并并且且 解解 )3cos(21cos21ux 又又例例7)sin3sincos3(cos21uu uusin3cos1 3sincos1limsinsin3cos1lim)3sin(cos21lim0

9、03 uuuuuxxuux 從而32cos2sin22sin2lim20 uuuu332cos1lim2sinlim00 uuuu3lim2210 uuu3 或者連連 續(xù)續(xù) 函函 數(shù)數(shù)函數(shù)延續(xù)性的定義函數(shù)延續(xù)性的定義 函數(shù)的延續(xù)性描畫函數(shù)的漸變性態(tài)函數(shù)的延續(xù)性描畫函數(shù)的漸變性態(tài), ,在通常意義下，對函數(shù)延續(xù)性有三種在通常意義下，對函數(shù)延續(xù)性有三種描畫：描畫： 當(dāng)自變量有微小變化時(shí)，因變量的當(dāng)自變量有微小變化時(shí)，因變量的 變化也是微小的；變化也是微小的； 自變量的微小變化不會(huì)引原因變量的自變量的微小變化不會(huì)引原因變量的 跳變；跳變； 延續(xù)函數(shù)的圖形可以一筆畫成延續(xù)函數(shù)的圖形可以一筆畫成, ,不斷

10、開不斷開. .2xy xytan 例如：例如：上上連連續(xù)續(xù)在在),( 上上連連續(xù)續(xù)在在)2,2( xysin 處處間間斷斷在在點(diǎn)點(diǎn)0 x 0, 2, 0, 1)(xxxfy xyO12處處間間斷斷在在點(diǎn)點(diǎn)0 xxyO . 0, 1, 0, 0, 0, 1)(xxxxxxgy處處間間斷斷在在點(diǎn)點(diǎn)0 x.,;,)()(lim,)(0000000的的一一個(gè)個(gè)間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)是是函函數(shù)數(shù)稱稱處處間間斷斷在在點(diǎn)點(diǎn)否否則則稱稱函函數(shù)數(shù)的的一一個(gè)個(gè)連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn)是是函函數(shù)數(shù)稱稱處處連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)則則稱稱函函數(shù)數(shù)如如果果的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義在在設(shè)設(shè)fxxffxxfxfxfxxfxx 定義定義1： 以上

11、描畫本質(zhì)上是贊同的反復(fù)以上描畫本質(zhì)上是贊同的反復(fù), ,數(shù)學(xué)上要確切數(shù)學(xué)上要確切地描寫函數(shù)延續(xù)性地描寫函數(shù)延續(xù)性, ,必需用極限作定量地描畫必需用極限作定量地描畫. .一定義一定義缺缺一一不不可可三三個(gè)個(gè)條條件件處處連連續(xù)續(xù)蘊(yùn)蘊(yùn)涵涵以以下下在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù),0 xf留意留意1;)1(0的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義在在點(diǎn)點(diǎn) xf以上三條中帶本質(zhì)性的是第二條，極限的存在性以上三條中帶本質(zhì)性的是第二條，極限的存在性.)()lim()(lim000 xfxfxfxxxx .0換換順順序序運(yùn)運(yùn)算算與與函函數(shù)數(shù)運(yùn)運(yùn)算算可可以以交交處處連連續(xù)續(xù)意意味味著著極極限限在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)xf留意留意2;)(lim

12、)2(0存存在在極極限限xfxx.)()(lim)3(00相相等等與與函函數(shù)數(shù)值值極極限限xfxfxx;)()()(lim,()(0000處處左左連連續(xù)續(xù)在在則則稱稱且且上上有有定定義義在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)xxfxfxfxaxfxx 定義定義2：;)()()(lim,),)(0000處處右右連連續(xù)續(xù)在在則則稱稱且且上上有有定定義義在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)xxfxfxfbxxfxx 函數(shù)在一點(diǎn)的單側(cè)延續(xù)性函數(shù)在一點(diǎn)的單側(cè)延續(xù)性),(.),()(,),()()1(baCfbaxfbaxf 記記作作內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在開開區(qū)區(qū)間間則則稱稱每每一一點(diǎn)點(diǎn)處處都都連連續(xù)續(xù)的的在在開開區(qū)區(qū)間間若若函函數(shù)數(shù),.,)(,),(

13、)()2(baCfbaxfbabaxf 記記作作上上連連續(xù)續(xù)在在閉閉區(qū)區(qū)間間則則稱稱左左連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)右右連連續(xù)續(xù)且且在在點(diǎn)點(diǎn)內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在開開區(qū)區(qū)間間若若函函數(shù)數(shù)定義定義3： 函數(shù)在區(qū)間上的延續(xù)性函數(shù)在區(qū)間上的延續(xù)性二延續(xù)點(diǎn)的分類二延續(xù)點(diǎn)的分類根據(jù)延續(xù)點(diǎn)的不同情況，可以分為三類：根據(jù)延續(xù)點(diǎn)的不同情況，可以分為三類：1. 可去型延續(xù)點(diǎn)可去型延續(xù)點(diǎn))(,)(lim00 xfxfxx但但是是不不等等于于存存在在 可去型延續(xù)不是本質(zhì)性的延續(xù)可去型延續(xù)不是本質(zhì)性的延續(xù),可以重新可以重新定義定義, 使其延續(xù)使其延續(xù).)(lim)(00 xfxfxx 令令沒有定義沒有定義在點(diǎn)在點(diǎn)0sin)( xxxx

14、f例如例如是是可可去去型型間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)故故但但是是01sinlim0 xxxx 0,10,sin)(1xxxxxf若若令令的的一一個(gè)個(gè)連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn)就就成成為為則則)(01xfx 2. 第一類延續(xù)點(diǎn)第一類延續(xù)點(diǎn)但但是是不不相相等等都都存存在在和和,)(lim)(lim00 xfxfxxxx )(lim)(lim).(0()0(,)(00000 xfxfxfxfxxfxxxx 躍躍度度等等于于處處發(fā)發(fā)生生跳跳躍躍在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù) .0, 1,0, 0,0, 1sgn時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxxy例例 符號函數(shù)符號函數(shù) 是是第第一一類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)0 x至至少少一一個(gè)個(gè)不不存存在在和和)(lim

15、)(lim00 xfxfxxxx 3. 第二類延續(xù)點(diǎn)第二類延續(xù)點(diǎn)xy1 是是第第二二類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)0 xxy1sin 例例 五、函數(shù)延續(xù)性的根本性質(zhì)五、函數(shù)延續(xù)性的根本性質(zhì)一延續(xù)性定義的等價(jià)方式：一延續(xù)性定義的等價(jià)方式：下下列列命命題題等等價(jià)價(jià)則則的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義在在設(shè)設(shè),)(0 xxf)()(lim)1(00 xfxfxx )()()()2(0 xxfxf )0)(lim(0 xxx 其其中中)()()(,0)(lim)4(00000 xfxfxfxxxxfx 既既左左連連續(xù)續(xù)又又右右連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)）（03xf)()(lim)(lim000 xfxfxfxxxx 二延續(xù)函

16、數(shù)的有界性：二延續(xù)函數(shù)的有界性：)(,000有有界界在在點(diǎn)點(diǎn)簡簡稱稱某某鄰鄰域域上上有有界界的的在在則則連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)若若函函數(shù)數(shù)xfxfxf.)()(),(, 0., 0)(,000000同同號號與與上上使使在在即即的的某某鄰鄰域域上上保保號號在在點(diǎn)點(diǎn)則則且且連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)若若函函數(shù)數(shù)xfxfxxxfxfxf 三延續(xù)函數(shù)的保號性：三延續(xù)函數(shù)的保號性：連連續(xù)續(xù)也也在在0 )2(xgf 則則連連續(xù)續(xù)都都在在點(diǎn)點(diǎn)若若,0 xgf連連續(xù)續(xù)也也在在函函數(shù)數(shù)對對任任意意常常數(shù)數(shù)0 ,)1(xgf 連連續(xù)續(xù)也也在在則則若若00, 0)()3(xgfxg 四延續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：四延續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：.)

17、(),(,)(,)()4(00000連連續(xù)續(xù)在在則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)且且連連續(xù)續(xù)在在連連續(xù)續(xù)在在若若ttgftgxxxfttgx 六初等函數(shù)的延續(xù)性六初等函數(shù)的延續(xù)性 初等函數(shù)在其定義區(qū)間上是延續(xù)的。初等函數(shù)在其定義區(qū)間上是延續(xù)的。 五五 關(guān)于反函數(shù)的延續(xù)性關(guān)于反函數(shù)的延續(xù)性.)(),()(),()(,)(1嚴(yán)嚴(yán)格格單單調(diào)調(diào)且且連連續(xù)續(xù)上上也也或或區(qū)區(qū)間間在在閉閉則則其其反反函函數(shù)數(shù)單單調(diào)調(diào)且且連連續(xù)續(xù)上上嚴(yán)嚴(yán)格格在在閉閉區(qū)區(qū)間間若若函函數(shù)數(shù)afbfbfafyfxbaxfy .,21cos)(Znnxxxf 定定義義域域?yàn)闉殡x離散散點(diǎn)點(diǎn)是是初初等等函函數(shù)數(shù)。例例：的的連連續(xù)續(xù)性性。研研究究函函數(shù)數(shù)例例nnnnnxxxxxf 2lim)( 解解 的的表表達(dá)達(dá)式式先先求求)(xf 1, 1, 0, 10, 111lim)(2222xxxxxxxfnnn.,)(,), 1(),1, 0(),0, 1(),1,(所所以以連連續(xù)續(xù)是是初初等等函函數(shù)數(shù)上上在在xf 非初等函數(shù)延續(xù)性問題舉例非初等函數(shù)延續(xù)性問題舉例1)(lim, 1)(lim11 xfxfxx1)(lim, 1)(lim11 xfxfxx1)(lim0 xfx可可去去型型間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)0 x間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)1, 0 xx第第一一類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)1 x