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1、會(huì)計(jì)學(xué)1復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)(hnsh)教學(xué)教學(xué)第一頁(yè),共32頁(yè)。2問(wèn)題問(wèn)題: : 任一個(gè)解析函數(shù)能否任一個(gè)解析函數(shù)能否(nn fu)(nn fu)用冪級(jí)數(shù)來(lái)表達(dá)?用冪級(jí)數(shù)來(lái)表達(dá)?DKz.內(nèi)任意點(diǎn)內(nèi)任意點(diǎn), )( 內(nèi)解析內(nèi)解析在區(qū)域在區(qū)域設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)Dzf , 0為中心的任一圓周為中心的任一圓周內(nèi)以內(nèi)以為為zD如圖如圖:r0z.Krz 0 圓周圓周. 0rz , , KD 記為記為它與它的內(nèi)部全包含于它與它的內(nèi)部全包含于第1頁(yè)/共31頁(yè)第二頁(yè),共32頁(yè)。3由柯西積分由柯西積分(jfn)公式公式 , 有有 Kzfizf,d)(21)( 其中其中(qzhng) K 取取正方向正方向., , 的內(nèi)部的內(nèi)
2、部在在點(diǎn)點(diǎn)上上取在圓周取在圓周因?yàn)榉e分變量因?yàn)榉e分變量KzK . 1 00 zzz 所以所以0001111zzzzz 則則第2頁(yè)/共31頁(yè)第三頁(yè),共32頁(yè)。4 200000)()(11zzzzzzz nzzz)(00 0010.)()(1nnnzzz 10010)()(d)(21)( NnnKnzzzfizf 于是于是 KNnnnzzzfi.d)()()(21010 第3頁(yè)/共31頁(yè)第四頁(yè),共32頁(yè)。5由高階導(dǎo)數(shù)由高階導(dǎo)數(shù)(do sh)公式公式, 上式又可寫(xiě)成上式又可寫(xiě)成 1000)()()(!)()(NnNnnzRzznzfzf其中其中(qzhng) KNnnnNzzzfizR d)()()
3、(21)(010, 0)(lim zRNN若若可知可知(k zh)在在K內(nèi)內(nèi) 000)()(!)()(nnnzznzfzf第4頁(yè)/共31頁(yè)第五頁(yè),共32頁(yè)。6, )( 內(nèi)可以用冪級(jí)數(shù)來(lái)表示內(nèi)可以用冪級(jí)數(shù)來(lái)表示在在即即Kzf令令qrzzzzz 000 , )( )(內(nèi)內(nèi)解解析析在在DKDzf 則在則在K上連續(xù)上連續(xù)(linx), , 10, qq且且無(wú)關(guān)的量無(wú)關(guān)的量是與積分變量是與積分變量 , )( 上上也也連連續(xù)續(xù)在在因因此此Kf , )(上上有有界界在在 Kf 第5頁(yè)/共31頁(yè)第六頁(yè),共32頁(yè)。7即存在一個(gè)即存在一個(gè)(y )正常數(shù)正常數(shù)M,.)( MfK 上上在在szzzfzRKNnnnNd
4、)()()(21)(010 KNnnszzzzfd)(21000 122nn NMqrr .1NMqq 第6頁(yè)/共31頁(yè)第七頁(yè),共32頁(yè)。8lim0NNq K0)(lim zRNN在在內(nèi)成立內(nèi)成立,從而從而(cng r)在在K內(nèi)內(nèi) 圓周圓周K的半徑可以任意增大的半徑可以任意增大,只要只要K內(nèi)成立內(nèi)成立.D在在 000)()(!)()(nnnzznzfzf的的泰勒展開(kāi)式泰勒展開(kāi)式,)(zf在在0z泰勒泰勒(ti l)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)第7頁(yè)/共31頁(yè)第八頁(yè),共32頁(yè)。9如果如果0z到到D的邊界上各點(diǎn)的最短距離為的邊界上各點(diǎn)的最短距離為,d0z那末那末)(zf在在的泰勒展開(kāi)式在內(nèi)成立的泰勒展開(kāi)式在內(nèi)成立dz
5、z 0因?yàn)榉矟M足因?yàn)榉矟M足dzz 0的的z必能使必能使.dR 即即由上討論得重要定理由上討論得重要定理泰勒泰勒(ti l)展開(kāi)定理展開(kāi)定理)(zf在在0z的泰勒級(jí)數(shù)的泰勒級(jí)數(shù) 的收斂半徑的收斂半徑R至少等于,至少等于,d但但成立,成立, 000)()(!)()(nnnzznzfzf第8頁(yè)/共31頁(yè)第九頁(yè),共32頁(yè)。10, 2, 1 , 0),(!10)( nzfncnn其中其中泰勒泰勒(ti l)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)泰勒泰勒(ti l)展開(kāi)式展開(kāi)式定理定理設(shè)設(shè))(zf在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)解析內(nèi)解析,0z為為D 內(nèi)的一內(nèi)的一d為為0z到到D的邊界上各點(diǎn)的最短距離的邊界上各點(diǎn)的最短距離, 那末那末點(diǎn)點(diǎn),dzz 0
6、時(shí)時(shí), 00)()(nnnzzczf成立成立,當(dāng)當(dāng)泰勒介紹泰勒介紹第9頁(yè)/共31頁(yè)第十頁(yè),共32頁(yè)。11說(shuō)明說(shuō)明(shumng):001. ( ) , , ;f zDdzdz如如果果在在內(nèi)內(nèi)有有奇奇點(diǎn)點(diǎn) 則則等等于于到到最最近近一一個(gè)個(gè)奇奇點(diǎn)點(diǎn)之之間間的的距距離離 即即02.0,;z 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)稱稱為為麥麥克克勞勞林林級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)3.任何解析任何解析(ji x)函數(shù)在一點(diǎn)的泰勒級(jí)數(shù)是唯一的函數(shù)在一點(diǎn)的泰勒級(jí)數(shù)是唯一的. 第10頁(yè)/共31頁(yè)第十一頁(yè),共32頁(yè)。12 )( zf因?yàn)榻馕?,可以保證無(wú)限次可各因?yàn)榻馕?,可以保證無(wú)限次可各階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性; 所以復(fù)變函數(shù)展為泰勒級(jí)數(shù)的實(shí)用
7、所以復(fù)變函數(shù)展為泰勒級(jí)數(shù)的實(shí)用(shyng)范范圍就圍就要比實(shí)變函數(shù)廣闊的多要比實(shí)變函數(shù)廣闊的多.注意注意(zh y)問(wèn)題:利用泰勒級(jí)數(shù)可以將函數(shù)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù),展問(wèn)題:利用泰勒級(jí)數(shù)可以將函數(shù)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù),展開(kāi)式是否開(kāi)式是否(sh fu)(sh fu)唯一?唯一?第11頁(yè)/共31頁(yè)第十二頁(yè),共32頁(yè)。13 : )( 0已已被被展展開(kāi)開(kāi)成成冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)在在設(shè)設(shè)zzf 202010)()()(zzazzaazf,)(0 nnzza那末那末(n m),)(00azf ,)(10azf 即即, )(!10)(zfnann 因此因此(ync), 任何解析函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的結(jié)果任何解析函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的結(jié)果
8、就是泰勒級(jí)數(shù)就是泰勒級(jí)數(shù), 因而是唯一的因而是唯一的.第12頁(yè)/共31頁(yè)第十三頁(yè),共32頁(yè)。14常用方法常用方法: : 直接直接(zhji)(zhji)法和間接法法和間接法. .1.直接直接(zhji)法法:,2,1 ,0, )(!10)( nzfncnn. )( 0展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)在在將函數(shù)將函數(shù)zzf由泰勒展開(kāi)定理計(jì)算系數(shù)由泰勒展開(kāi)定理計(jì)算系數(shù)第13頁(yè)/共31頁(yè)第十四頁(yè),共32頁(yè)。15例如例如(lr),. 0 的泰勒展開(kāi)式的泰勒展開(kāi)式在在求求 zez),2,1 ,0(,1)(0)( neznz故有故有 02! 21nnnznznzzze, 在復(fù)平面內(nèi)處處解析在復(fù)平面內(nèi)處處解析因?yàn)橐?/p>
9、為ze. R所以級(jí)數(shù)的收斂半徑所以級(jí)數(shù)的收斂半徑,)( )(znzee 因?yàn)橐驗(yàn)榈?4頁(yè)/共31頁(yè)第十五頁(yè),共32頁(yè)。16仿照仿照(fngzho)上例上例 , ,)!12()1(! 5! 3sin1253 nzzzzznn)( R,)!2()1(! 4! 21cos242 nzzzznn)( R. 0 cos sin 的泰勒展開(kāi)式的泰勒展開(kāi)式在在與與可得可得 zzz第15頁(yè)/共31頁(yè)第十六頁(yè),共32頁(yè)。172. 間接間接(jin ji)展開(kāi)法展開(kāi)法 : 借助于一些已知函數(shù)的展開(kāi)式借助于一些已知函數(shù)的展開(kāi)式 , 結(jié)合解析函結(jié)合解析函數(shù)的性質(zhì)數(shù)的性質(zhì)(xngzh), 冪級(jí)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)冪級(jí)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)(
10、xngzh) (逐逐項(xiàng)求導(dǎo)項(xiàng)求導(dǎo), 積分等積分等)和其它數(shù)學(xué)技巧和其它數(shù)學(xué)技巧 (代換等代換等) , 求函求函數(shù)的泰勒展開(kāi)式數(shù)的泰勒展開(kāi)式.間接間接(jin ji)(jin ji)法的優(yōu)點(diǎn)法的優(yōu)點(diǎn): : 不需要求各階導(dǎo)數(shù)與收斂半徑不需要求各階導(dǎo)數(shù)與收斂半徑 , 因而比直接因而比直接展開(kāi)更為簡(jiǎn)潔展開(kāi)更為簡(jiǎn)潔 , 使用范圍也更為廣泛使用范圍也更為廣泛 .第16頁(yè)/共31頁(yè)第十七頁(yè),共32頁(yè)。18例如例如(lr), . 0 sin 的泰勒展開(kāi)式的泰勒展開(kāi)式在在利用間接展開(kāi)法求利用間接展開(kāi)法求 zz)(21sinizizeeiz 012)!12()1(nnnnz 00!)(!)(21nnnnnizni
11、zi第17頁(yè)/共31頁(yè)第十八頁(yè),共32頁(yè)。19附附: 常見(jiàn)函數(shù)常見(jiàn)函數(shù)(hnsh)的泰勒展的泰勒展開(kāi)式開(kāi)式,! 21)102 nnnznznzzze,111)202 nnnzzzzz,) 1() 1(111)302 nnnnnzzzzz,)!12()1(! 5! 3sin)41253 nzzzzznn)1( z)1( z)( z)( z第18頁(yè)/共31頁(yè)第十九頁(yè),共32頁(yè)。20,)!2()1(! 4! 21cos)5242 nzzzznn)( z,1)1(32)1ln()6132 nzzzzznn 011)1(nnnnz)1( z 32! 3)2)(1(! 2)1(1)1( )7zzzz ,!
12、)1()1( nznn )1( z第19頁(yè)/共31頁(yè)第二十頁(yè),共32頁(yè)。21例例1 1. )1 (1 2的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)展展開(kāi)開(kāi)成成把把函函數(shù)數(shù)zz 解解 nnzzzz) 1(11121 z, 11)1(12 zzz上有一奇點(diǎn)上有一奇點(diǎn)在在由于由于,1內(nèi)處處解析內(nèi)處處解析且在且在 z,的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù)可展開(kāi)成可展開(kāi)成z第20頁(yè)/共31頁(yè)第二十一頁(yè),共32頁(yè)。22 zz11)1 (12. 1,)1(321112 znzzznn上式兩邊上式兩邊(lingbin)逐項(xiàng)求導(dǎo)逐項(xiàng)求導(dǎo),第21頁(yè)/共31頁(yè)第二十二頁(yè),共32頁(yè)。23例例2 2. 0 )1ln( 泰勒展開(kāi)式泰勒展開(kāi)式處的處的在在求對(duì)數(shù)函數(shù)的主
13、值求對(duì)數(shù)函數(shù)的主值 zz分析分析(fnx), 1 , 1 )1ln( 是它的一個(gè)奇點(diǎn)是它的一個(gè)奇點(diǎn)平面內(nèi)是解析的平面內(nèi)是解析的向左沿負(fù)實(shí)軸剪開(kāi)的向左沿負(fù)實(shí)軸剪開(kāi)的在從在從 z. 1 的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù)內(nèi)可以展開(kāi)成內(nèi)可以展開(kāi)成所以它在所以它在zz 如圖如圖,1 Ro1 1xy第22頁(yè)/共31頁(yè)第二十三頁(yè),共32頁(yè)。24NoImagezzzzzznnnd)1(d11000 即即 1)1(32)1ln(132nzzzzznn1 z 將展開(kāi)式兩端將展開(kāi)式兩端(lin dun)沿沿 C 逐項(xiàng)逐項(xiàng)積分積分, 得得解解zz 11)1ln( 02) 1() 1(1nnnnnzzzz)1( z, 0 1 的曲線的
14、曲線到到內(nèi)從內(nèi)從為收斂圓為收斂圓設(shè)設(shè)zzC 第23頁(yè)/共31頁(yè)第二十四頁(yè),共32頁(yè)。25例例3 3. 231)( 的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)展展開(kāi)開(kāi)成成把把函函數(shù)數(shù)zzzf 解解231121231zz )23()23(231 212 nzzz 1322223232321nnnzzz,2301 nnnnz. 32, 123 zz即即第24頁(yè)/共31頁(yè)第二十五頁(yè),共32頁(yè)。26例例4 4 .0arctan的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)展展開(kāi)開(kāi)式式在在求求 zz解解,1darctan02 zzzz因?yàn)橐驗(yàn)?,)()1(11 022 zzznnn且且 zzzz021darctan所以所以 znnnzz002d)()1(. 1
15、,12)1(012 znznnn第25頁(yè)/共31頁(yè)第二十六頁(yè),共32頁(yè)。27例例5 5.cos2的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)求求z解解),2cos1(21cos2zz 因?yàn)橐驗(yàn)?! 6)2(! 4)2(! 2)2(12cos642zzzz zzzz! 62! 42! 221664422)2cos1(21cos2zz 所以所以 zzzz! 62! 42! 22165432第26頁(yè)/共31頁(yè)第二十七頁(yè),共32頁(yè)。28 通過(guò)本課的學(xué)習(xí)通過(guò)本課的學(xué)習(xí), 應(yīng)理解泰勒展開(kāi)定理應(yīng)理解泰勒展開(kāi)定理,熟記熟記五個(gè)基本函數(shù)的泰勒展開(kāi)式五個(gè)基本函數(shù)的泰勒展開(kāi)式,掌握將函數(shù)展開(kāi)成掌握將函數(shù)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)的方法泰勒級(jí)數(shù)的方法, 能
16、比較熟練的把一些能比較熟練的把一些(yxi)解析函數(shù)解析函數(shù)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù).第27頁(yè)/共31頁(yè)第二十八頁(yè),共32頁(yè)。29奇、偶函數(shù)的泰勒奇、偶函數(shù)的泰勒(ti l)級(jí)數(shù)有什么特點(diǎn)級(jí)數(shù)有什么特點(diǎn)?思考題思考題第28頁(yè)/共31頁(yè)第二十九頁(yè),共32頁(yè)。30 奇函數(shù)的泰勒奇函數(shù)的泰勒(ti l)級(jí)數(shù)只含級(jí)數(shù)只含 z 的奇次冪項(xiàng)的奇次冪項(xiàng), 偶函數(shù)偶函數(shù)的泰勒的泰勒(ti l)級(jí)數(shù)只含級(jí)數(shù)只含 z 的偶次冪項(xiàng)的偶次冪項(xiàng).思考題答案思考題答案(d n)放映結(jié)束放映結(jié)束(jish)(jish),按,按EscEsc退退出出. .第29頁(yè)/共31頁(yè)第三十頁(yè),共32頁(yè)。31Born: 18 Aug 1685 in Edmonton, Middlesex, EnglandDied: 29 Dec 1731 in Somerset House, London, EnglandBrook Taylor第3
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