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1、帶電球體電場與電勢的分布帶電球體電場與電勢的分布王峰南通市啟秀中學物理學科江蘇南通226006)在高三物理復習教學中,遇到帶電體的內、外部場強、電勢的分布特點問題時,我們一般以帶電金屬導體為例,指出其內部場強處處為零,在電勢上金屬體是一個等勢體,帶電體上的電勢處處相等;但對帶電金屬導體的內、外部場強、電勢的大小的分布特點及帶電絕緣介質球的內、外部電場、電勢的大小分布很少有詳細說明;而在電場一章的復習中,常常會遇到此類問題,高三學生已初步學習了簡單的微積分,筆者在此處利用微積分的數學方法,來推導出上述問題的答案,并給出相應的“E-r”和“申-r”的關系曲線圖,供大家參考。本文中對電場、電勢的分布

2、推導過程均是指在真空環(huán)境中,即相對介電常數£°二1;對電勢的推導均取無窮遠處為電勢零參考點的,即U/0。1、帶電的導體球:因為帶電導體球處于穩(wěn)定狀態(tài)時,其所帶電荷全部分布在金屬球體的表面,所以此模型與帶電球殼模型的電場、電勢分布的情況是一致的。電場分布:1.1.1內部(r<R):如圖(1)所示,在均勻帶電金屬球(殼)內的任意點P處,均有通過直徑相似對稱的兩個帶電球冠面S和S2,當兩條線夾角9很小時,S和S2可以近似看作兩個帶電圓面,且S和S2兩個面的尺寸相對它們距離P點距離很小,這樣S和S2兩個帶電面就可以近似處理為點電荷,它們在P點各自產生電場強度E1p與E2p,計

3、算如下所示:設球體帶電總量為Q,且均勻分別在導體球外表面上.Eip=k融”(計9卩=41P24R2r12兀(r2sin9)24R2E2p=K曲-=KQ血2°且E1p與E2p等大反向Ep=0,即均勻帶電導體球(或球殼)內部的電場強度處處為零。1.1.2外部(r>R):如圖(2)所示,要計算帶電金屬球(殼)的外部P點的電場強度,可以把帶電導體球的表面分割成許多的單元面ds,將每個單元面上電荷在p點產生的電場dE進行疊加,求出P點的合場強Ep。由于球面上單元面ds的對稱性特點,可知P點的電場強度Ep的方向最終應該沿OP連線的方向。圖上述求電場強度Ep的理論方法是淺顯易懂的,但數學處理

4、上比較復4"R2雜,需要采用二重積分的方法;即先要對ds和ds'所在球面上的帶電圓環(huán)進行0T2"的環(huán)積分,對求出的環(huán)形電場再進行沿直徑方向的0T"的積分,最終求出帶電球體在P點的合場強Ep。積分過程如下:如圖(2)所示,設OA二R,OP二r,AP二x,球表面電荷的面密度為二AEpods=Kcos0取球面極坐標,則ds=Rd«Rsin申d屮,其中申為沿直徑方向的從0T兀積分角,屮為帶電圓環(huán)的從0T2兀的還積分。EP胡AEp2冗冗=門K00cR2sin申d申d屮x2cos0由AOAP可知:x=r2+R2-2rRcos申又Tcos0=r-Rcos申xr

5、-Rcos申y'r2+R2-2rRcos申Ep2冗冗=Kcfd屮J00R2(r-Rcos申)sin申d申3(r2+R2-2rRcos申)2(r-Rcos申)d(-cos申)3(r2+R2-2rRcos申)2又r-RcosQ=2r2-2rRcos®r2-R2+r2+R2-2rRcos®2r2rEp=2rKoR2=IrKoR2=2rKoR2rr2-R2f-2r0rd(-cos申)3(r2+R2-2rRcos申)2r2-R212r2rR12r2rRR1d(-cos申)+f2r10(r2+R2-2rRcos申)2R11飛.1+12(r2+R2-2rRcos申)211-(r2

6、+R2-2rRcos申)2-+12r2-R2(-12r2RIr+R+_J(r+R-(r-R)2r2R=2rKoR2r2IEq=KPr2由此可以看出,帶電金屬球體或金屬球殼在外部空間某點產生的電場強度E,與其上電荷全部集中在球心時產生的電場強度相等。E外二K當r二R時,有E=KQ,所以帶電金屬球或帶電球殼的內、外電R2場強度的分布在r二R處電場強度的值有突變的情況。1.1.3圖景:如圖(3)所示,是帶電金屬球或帶電球殼(導體或絕緣體殼均相同)的電場強度E的大小隨P點到圓心O的距離r的關系圖線。電勢分布:1.2.1內部(r<R):內部某點P的電勢申P的大小可以由電場力做功和電勢差關系來確定w

7、ps=UAgq又TWpg=EQqq+E2Ar2q+E3Ar3q+EnArnq二Upg=EAq+E2Aq+E3A?hbEnArn又TUpgTa譏/.(pp一(Pg=EAq+E?Ar2+E3Ar?+E*Arn由電勢的物理意義可得,當以無窮遠點為零勢點時,該點的電勢等于對電場強度從該點到無窮遠的定積分。即:gRgQ/pp=JEdr=J0dr+fKdrrrRr2°°=kQrRgQQ/.pp=JKdr=KRr2r由上述答案可知,均勻帶電金屬球在穩(wěn)定時,其球外任一點的電勢等于把全部電荷看作集中于球心的一個點電荷在該點的電勢相同;在球體內任一點的電勢應與球面上的電勢相等,故均勻帶電金屬球

8、面及其內部是一個等勢體。1.2.2外部(r>R):由上述電勢理論同樣可得:=1Edr=fKrrdr°°=Kr當r=R時有.=kR,所以帶電金屬球的內、外電勢的分布是連續(xù)不間斷的。圖2、帶電的絕緣體球:這種帶電體的電荷是均勻分布在整個球體的各個部位,即電荷的體密度處處相同。電場的分布:2.1.1內部(r<R):如圖(5)所示,在此帶電球體內部距離圓心r處的電場強度ep等于以0為圓心、r為半徑的帶電球體在此處產生的電場E和以O為圓心從r到R的帶電球殼在此處產生的電場E2的疊加;又已知帶電球殼在內部產生的電場強度處處為零(即E2=0),所以P點處的電場強度就等于以r為

9、半徑的帶電球體產生電場E1。rOPQ3KQ=-rR3所以,帶電絕緣體內部的電場強度E的大小與P點距球心的半徑r成正比。2.1.2外部(r>R):和帶電導體球(或球殼)一樣,仍可視為集中在球心處的點電荷在該處產生的電場。E外=K(r>R)r2當r=R時,有電場強度的最大值E=KQ,所以,帶電絕緣體maxr2球的內、外部的電場強度是連續(xù)分布的;在r=R處,電場強度最大。2.1.3圖景:如圖(6)所示,是帶電絕緣體球的內、外部的電場強電勢的分布:2.2.1內部(r<R):由電勢的物理意義可得,當以無窮遠點為零勢點時,該點的電勢等于對電場場強從該點到無窮遠的積分。即:gRQgQ/申p

10、=JEdr=JKrdr+fKdrrR3RQ+(-Krr3KQKQ2申P=-r2P2R2R3rrR3Rr2P=弓r2P2R3°°)=-KQ(R2-r2)+KQR2R3R2.2.2外部(r>R):由上述電勢理論同樣可得:ggQ.申=-KQrT申=JEdr=JKdrrrrgQ=Krr當r二0時,即在球體的圓心處電勢最高,有申O=3KQO2R當r二R,即在此球殼處處電勢為申R=KQR2R所以帶電絕緣體球的內、外電勢的分布曲線是連續(xù)的223圖景:如圖(7)所示,是帶電絕緣體球的內、外部的電勢申的大小隨P點到圓心0的距離r的關系圖線。圖本文運用數學的積分思想對電場、電勢的分布進行推導,引導高三復習的同學從數學角度認識物理過程,加強了數學和物理知識的聯(lián)系,深化了學生的物理形象思維和抽象思維。但高三學生復習本節(jié)知識點時,對于積分的推導過程不必太關注,但對電場、電勢推導的結論、圖景要作為高考必備知識點給予特別記憶和儲存,以達到在高考時節(jié)省用在選擇題中時間的目的。參考書目:1、趙凱華、陳熙謀電磁學1985年6月第二版高等教育出版社2、普通

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