《線性代數(shù)》課后習(xí)習(xí)題答案(陳維新)

1、第一章 行列式習(xí)題1. 證明：（1）首先證明是數(shù)域。因?yàn)椋灾兄辽俸袃蓚€復(fù)數(shù)。任給兩個復(fù)數(shù)，我們有。因?yàn)槭菙?shù)域，所以有理數(shù)的和、差、積仍然為有理數(shù)，所以。如果，則必有不同時為零，從而。又因?yàn)橛欣頂?shù)的和、差、積、商仍為有理數(shù)，所以。綜上所述，我們有是數(shù)域。（2）類似可證明是數(shù)域，這兒是一個素?cái)?shù)。（3）下面證明：若為互異素?cái)?shù)，則。（反證法）如果，則，從而有。由于上式左端是有理數(shù)，而是無理數(shù)，所以必有。所以有或。如果，則，這與是互異素?cái)?shù)矛盾。如果，則有，從而有“有理數(shù)=無理數(shù)”成立，此為矛盾。所以假設(shè)不成立，從而有。同樣可得。（4）因?yàn)橛袩o數(shù)個互異的素?cái)?shù)，所以由（3）可知在和之間存在無窮多個不同

2、的數(shù)域。2. 解：（1）是數(shù)域，證明略（與上面類似）。（2）就是所有的實(shí)部和虛部都為有理數(shù)的復(fù)數(shù)所組成的集合。而復(fù)數(shù)域。（3）不是數(shù)域，這是因?yàn)樗P(guān)于除法不封閉。例如。3. 證明：（1）因?yàn)槎际菙?shù)域，所以，從而。故含有兩個以上的復(fù)數(shù)。任給三個數(shù)，則有且。因?yàn)槭菙?shù)域，所以有且。所以。所以是數(shù)域。（2）一般不是數(shù)域。例如，我們有，但是。習(xí)題2. 解：項(xiàng)的符號為習(xí)題1證明：根據(jù)行列式的定義=0。所以上式中(-1)的個數(shù)和(+1)的個數(shù)一樣多，(-1)是由奇排列產(chǎn)生的，而(+1)是由偶排列產(chǎn)生的。同時根據(jù)行列式的定義這里包括了所有的階排列，故可以得到全體階排列中奇排列的個數(shù)與偶排列的個數(shù)一樣多，各占一

3、半。2解 (1) =； （2）； （3） ； （4）=。 （5） 。3解：（1）。 （2）左端=右端。（3） 。 （4）原式（先依次）=。=。 （5）原式（先依次）=。=。4解：設(shè)展開后的正項(xiàng)個數(shù)為。則由行列式的定義有。又因?yàn)?（利用）（下三角行列式）。所以有。5證明：（1）左端=右端。（2）利用性質(zhì)5展開。6解：（3）與上面3（3）類似可得。7解：利用行列式的初等變換及性質(zhì)5。8解：。9證明：設(shè)原行列式=D。則對D進(jìn)行依次如下變換后所得的行列式D第一列由題設(shè)中所給的5個數(shù)字構(gòu)成。從而由行列式的定義可知D可被23整除。又由行列式的性質(zhì)知D。因?yàn)?3是素?cái)?shù)，且不可能被23整除，所以D可以被23整

4、除。習(xí)題1解：(1) =； (2) =； (3)方法一 + =； 方法二 逐次均按第2行展開可得同樣結(jié)果, 具體解法可參見下例。 (4)逐次按第2行展開 =； (5) =； (6) = ； （7）換行后可得到范德蒙行列式； （8）先把第一行加到第三行，再提取第三行的公因式，換行后可得到范德蒙行列式。2解：(1) + =； (2) =1+；（此處有筆誤）(3) =，據(jù)此當(dāng)時，原式=；當(dāng)時，原式=。3解：（1）將按第n 列展開得:=+ =。 （2）略（參考課本例中的敘述）。4解：（1）交換行、列后得到三角塊行列式，然后利用例1.4.6的結(jié)果；或者直接利用Laplace定理。 （2）左端先做變換，再

5、做變換，然后利用P30推論。5解：（1）=；（2）=；（3）利用初等變換。附加：P30推論的證明：證 (1) 將第r+1列與r列交換, 由將新的r列與r-1列交換, 如此繼續(xù), 直到將第r+1列交換到第1列, 這樣共交換r次; 再將第r+2列如上方法交換至第2列, 也交換了r次, 如此繼續(xù)直到將r+s列交換至第s列. 于是交換了rs次后得到=將所得行列式的第r+1行依次與第r行, r-1行, , 第1行交換. 交換r 次后, r+1行交換至第1行. 類似地交換r次后將r+2行交換至第2行, , 交換r次后將第r+s行交換至第s行, 于是交換rs次后得: (2), (3) 思路與(1)

6、類似, 證明過程略去。習(xí)題 2解：計(jì)算得 =根據(jù)克拉默法則, 當(dāng)時, 即時, 原方程組只有零解。習(xí)題1證明：方法一 歸化 =右端.方法二 歸納法 當(dāng)時, = 結(jié)論成立. 假設(shè)時結(jié)論成立, 即有 則當(dāng)時, 將 的第n列看成1+0,1+0,1+, 故可表示為2個行列式之和, 而第2個行列式按第n列展開可算出為從而 =+ 而=.所以=+=+=右端.方法三 遞推由證明(二)可知與存在以下遞推關(guān)系:=+所以=+= =右端.方法四 加邊法 = =右端。2證明：（1）注意當(dāng)把行列式按第n列展開時，得到的遞推公式中有三項(xiàng)，故歸納法第一步應(yīng)驗(yàn)證n=1，2時均成立。而歸納法第二步應(yīng)假設(shè)當(dāng)時成立，去證明當(dāng)n=k時成

7、立。3解：（2）先把除第一列外的所有列都加到第一列，然后提出第一列的公因子；再依次；然后按第一列展開，再依次；最后按最后一列展開。4解：通過倍加行變換易知f(x)的次數(shù)最大為1；又因?yàn)槿绻×?，則有f(x)=0。所以選(D)。5看自己或別人的作業(yè)。6解：方法一：利用課本中例1.4.3的方法。 方法二：設(shè)。則有f(x)中的系數(shù)為。又因?yàn)?（范德蒙行列式），所以f(x)中的系數(shù)為。 所以可得。第二章 線性方程組習(xí)題2證明. 因,說明不全為零,故當(dāng)某個,通過適當(dāng)?shù)男谢Q,可使得位于左上角,用來乘第一行,然后將其余行減去第一行的適當(dāng)倍數(shù),矩陣A可以化為:,由于,此時必有,故可以對重復(fù)對A的討論, 此

8、時A可經(jīng)初等行變換化為, 然后再將第行的倍加到第行(),再將第行的倍加到第行(),這樣繼續(xù)下去,一直到將第2行的倍加到第1行,此時A就化為, 故所證結(jié)論成立。3證明：以行互換為例: 列互換可以同樣證明.若, 這相當(dāng)于A中交換第i行和第j行, 所以結(jié)論成立。習(xí)題1 解：中一定存在不為零的階子式,否則秩,與題設(shè)秩（）矛盾. 由秩（）知，中至少存在一個階子式不為零, 這表明中的階子式只要有一個不為零即可,其余可以等于零,也可以不等于零. 中一定不存在不為零的階子式,否則的秩至少是, 這也與題設(shè)秩（）矛盾。2 提示：利用矩陣的行秩和向量的極大無關(guān)組證明。3 略。4 思路：可將矩陣寫成一個列向量和一個行

9、向量的乘積，從而由秩；進(jìn)而因?yàn)榫仃嚥坏扔诹?，所以?。5 略。習(xí)題略。習(xí)題2證明：()的增廣矩陣為=,因?yàn)橄禂?shù)矩陣的秩不超過增廣矩陣的秩, 所以有秩()秩().觀察可知, 矩陣其實(shí)就是在增廣矩陣下面加了一行, 所以秩()秩(). 由題意知, 秩()=秩(), 據(jù)此可得秩()秩(). 綜上知秩()=秩(), 故()有解。3解：將增廣矩陣只用初等行變換化為階梯形矩陣. 當(dāng)時, 秩()秩(), 所以線性方程組無解;當(dāng)時, 秩()=秩()<未知量個數(shù), 所以線性方程組有無窮多解. 原方程組同解于 故通解為 其中為任意常數(shù)。4證明：該線性方程組的增廣矩陣=, 由題意知秩()=. 但是系數(shù)矩陣是一個

10、的矩陣, 所以秩()<秩(). 據(jù)此秩()秩(), 所以該線性方程組無解。第三章 矩陣習(xí)題4解：（1） 由矩陣乘法運(yùn)可得：；。 （2）與D乘法可換的矩陣滿足。故與的元素對應(yīng)相等，利用（）的結(jié)果，有，從而。由于（），可得：當(dāng)時，即為對角矩陣。5證明：（1）數(shù)學(xué)歸納法：當(dāng)時，計(jì)算得，故結(jié)論成立 假設(shè)當(dāng)時，結(jié)論成立，即有， 則當(dāng)時，因所以， 即當(dāng)時，結(jié)果成立由歸納法原理知，對任意大于2得正整數(shù)有（2）當(dāng)時，結(jié)果顯然成立當(dāng)時, 直接計(jì)算得. 假設(shè)當(dāng)時，結(jié)果成立，即我們要證明當(dāng)時，結(jié)果也成立，即可完成證明 第一種情況：k為奇數(shù)，則 第二種情況：k為偶數(shù)，則綜上： 即當(dāng)時，結(jié)論成立6 解：（1）先計(jì)

11、算出時的結(jié)果。然后歸納出應(yīng)該有，接下來用數(shù)學(xué)歸納法證明這一歸納出的結(jié)果。 當(dāng)時，結(jié)論顯然成立 假設(shè)當(dāng)時，結(jié)論成立，即 則當(dāng)時， 結(jié)論成立7記住結(jié)論。8證明：因?yàn)榕c所有n階方陣乘法可換，故與乘法可換, 利用第7題結(jié)果有，即設(shè)，則即為數(shù)量矩陣10證明：設(shè)，則tr 同理可得 tr 由于 ，可得trtr11證明：假如存在n階方陣滿足，則trtrtr由于，可得trtr，這與10題所得結(jié)果矛盾所以假設(shè)不成立即不存在n階方陣，滿足15證明：因，都是對稱矩陣, 故, 從而為對稱矩陣.16證明：設(shè)，則由的主對角線上元素為零, 由為實(shí)數(shù)知.證法二：利用二次型。習(xí)題4思路：注意到矩陣多項(xiàng)式的運(yùn)算和一般多項(xiàng)式的運(yùn)算一

12、樣就可以了。 證明：計(jì)算, 由題意可知, 所以.根據(jù)定理3.2.1的推論可知可逆且其逆為.5證明：計(jì)算= 計(jì)算據(jù)此,根據(jù)定理3.2.1的推論可知可逆且其逆為.6證明：因?yàn)樗杂? 由題意可知, 所以可在等式兩邊同乘上, 由此可得, 整理得,根據(jù)定理3.2.1的推論可知可逆且.7證明：(1) 由題意可得, 根據(jù)定理3.2.1的推論可知可逆并且. (2) 由題意可得, 而這個等式可化為, 即有, 同樣根據(jù)定理3.2.1的推論可知可逆并且.8思路：注意題設(shè)實(shí)際上是給出了矩陣多項(xiàng)式。所以一般情況下，如果可逆，其逆矩陣也應(yīng)該是一個矩陣多項(xiàng)式。所以我們可以假設(shè)其逆矩陣為（待定系數(shù)法），從而由逆矩陣定義知應(yīng)

13、該有，即。在注意到題設(shè)是，所以我們有，所以有，即。 證明：因?yàn)椋?。所以?證明：(1); (2)由于, 所以, 由此可得; (3); (4); (5)由(2)中分析可知, 所以; (6) 由(2)中分析可知, 則。10證明：都可逆, 所以有, 由此可知, 從而得到. 另一方面, 由于都可逆且均為階方陣, 所以也可逆, 所以有, 而. 綜合上述可得.11略。12證明：假設(shè)是可逆矩陣, 那么在等式兩邊都左乘的逆矩陣可得, 這與題設(shè)中矛盾! 所以不可逆.13證明：根據(jù)題意可知存在非零的n×t矩陣B使AB=O, B是非零矩陣所以必存在某一列上的元素不全為零, 不妨設(shè)這一列為. 由于, 所

14、以, 據(jù)此可知是線性方程組的一個非零解. 由于有非零解, 所以=0.14略。15解：(A) 可逆的充要條件是而不是, 設(shè), 但不是可逆矩陣, 所以選項(xiàng)(A)是錯誤的. (B) 設(shè), 顯然都是可逆的, 但是不是可逆矩陣, 所以選項(xiàng)(B)是錯誤的.(C) 可逆的充要條件是而.所以選項(xiàng)(C)是正確的. (D) 不可逆的充要條件是；而中至少有一行全為零只是的充分條件。 設(shè), 但不是可逆矩陣, 所以選項(xiàng)(D)是錯誤的.習(xí)題1解：(1) 設(shè), 則原式可以分塊寫成, 利用分塊矩陣的性質(zhì)計(jì)算得而, , 據(jù)此可得. (2) 設(shè)則原式可以分塊寫成, 利用分塊矩陣的性質(zhì)計(jì)算得而,. 據(jù)此可得.2解：(1) ;(2)

15、 ;(3) ；(4) ;(5) 。3證明：(1) 先證“”, 當(dāng)可逆時, 則必有. 而, 所以有, 從而有, 因此均可逆. 再證“”, 均可逆, 則有, 所以有, 而, 所以, 據(jù)此可知可逆. 綜上即有Q可逆A，B均可逆. (2) 設(shè), 則有而, 所以有, 因?yàn)榭赡? 由(1)可知必有可逆, 所以由, 可得. 而由, 可得. 所以.5解：(1)設(shè), 則原矩陣為. 而. 因?yàn)? 所以可得.習(xí)題4解：(1) A中行與行互換相當(dāng)于用初等矩陣左乘得到. 由于, 而=, 所以相當(dāng)于右乘了初等矩陣, 即中的列與列互換. (2) A中行乘上非零數(shù)相當(dāng)于用初等矩陣左乘得到. 由于, 而=, 所以相當(dāng)于右乘了初

16、等矩陣, 即中行乘上非零數(shù). (3) A中第行乘上數(shù)加到第行相當(dāng)于用初等矩陣左乘得到. 由于, 而=, 所以相當(dāng)于右乘了初等矩陣, 即中第行乘上數(shù)-加到第行.7解：由于, 所以, 即有, 變形得, 從而有. 而, 顯然是可逆矩陣. 所以只需要求出即得到. 下面只用初等行變換把化為即可.,從而得到。習(xí)題1證明：設(shè)為秩為r的矩陣, 則它必與矩陣等價, 所以必存在兩個可逆矩陣使得成立. 而可以寫成r個只有一個元素為1其余為零的矩陣的和的形式: 所以有= =這樣就表示成了r個矩陣之和的形式. 而任一個, 由于中間那個矩陣只有一個元素非零, 所以其秩為1, 而可逆, 所以三個矩陣的積的秩仍然為1. 這樣

17、就表示成了r個秩為1的矩陣之和了.2解：設(shè) 顯然的秩都是1, 但是他們的和的秩是1而不是r. 所以該逆命題不成立.5證明：因?yàn)榱袧M秩，所以存在可逆矩陣使得，所以。進(jìn)而有。所以令即可。7證明：（1）因?yàn)?，所以結(jié)論成立。 （2）由（1）知不滿秩，所以不可逆。 （3）略。8證明：因?yàn)?，所以。所以。同理有?解：設(shè), 計(jì)算得.顯然秩()=1, 秩()=0, 兩者不相等. 所以秩()與秩()不一定相等.10解：設(shè)秩(), 秩()=, 則存在四個可逆矩陣使得成立. 令, 首先因?yàn)槎际强赡婢仃? 所以也是可逆的. 又因?yàn)橹?)+秩()n, 即+n, 所以的前行列構(gòu)成的塊是一個零塊, 因此可以寫成下面這個形式

18、. 計(jì)算 所以存在可逆矩陣使得.習(xí)題1解：(1) 設(shè), 易知, 但, 所以(1)不一定成立. (2) 設(shè), 易得, 此時, 所以(2)不一定成立. (3) 設(shè), 易得所以(3)不一定成立. (4) 設(shè), 易得, 此時, 所以(4)不一定成立. (5) (6)都是課本中提及的性質(zhì), 是成立的.(7) , 所以(7)成立.2解：(1) 設(shè), 則顯然此時, 所以該項(xiàng)不一定成立.(2) 設(shè), 則計(jì)算得, 而中由于第二第四兩行相同, 所以.因此此時, 所以此項(xiàng)不一定正確. (3) , 所以不正確. (4) , 所以不正確. (5) 因?yàn)锳，B為可逆矩陣, 所以方程兩邊同左乘, 再右乘即得. 所以是正確的

19、.(6) 因?yàn)? 所以秩()=1=秩(), 因此這兩個矩陣等價.3證明：(1) 因?yàn)橹?)=r, 所以與等價, 即存在兩個可逆矩陣使得, 令, 因?yàn)槭强赡娴亩闹榷紴? 所以秩 ()=秩()=r. 并且是的, 是的. 而且計(jì)算可得. (2) 只需令, 同(1)分析可知這樣構(gòu)造得到的即為所需的兩個矩陣. (3) 只需令, 同(1)分析可知這樣構(gòu)造得到的即為所需的兩個矩陣.4記住此結(jié)論。5證明：因?yàn)?，所以由題設(shè)知。又因?yàn)?，所以。第四?線性空間和線性變換習(xí)題2記住此結(jié)論。習(xí)題10證明：設(shè)使得，則有。因?yàn)榫€性無關(guān)，所以。所以。習(xí)題3證明：設(shè)向量組(I)、(II)的極大無關(guān)組分別為(III)、(IV)

20、。則有(I)與(III)等價，(II)與(IV)等價。所以(III)能用(I)線性表示，(II)能用(IV)線性表示。因?yàn)?I)能用(II)線性表示，所以(III)能用(IV)線性表示。因?yàn)?III)線性無關(guān)，所以(III)中所含向量的個數(shù)(IV)中所含向量的個數(shù)，即秩(I)秩(II)。4證明：由題設(shè)易知向量組可由線性表示，下面只需證明可由線性表示即可。 因?yàn)榭捎删€性表示，所以存在數(shù)使得。因?yàn)椴荒芙?jīng)線性表示，所以。所以，即可由線性表示。5證明：因?yàn)榫€性相關(guān)，所以存在不全為零的數(shù)使得。下面分情況對是否為零進(jìn)行討論（四種情況）。略。6證明：(1) 因?yàn)?線性無關(guān), 所以,必線形無關(guān), 又因?yàn)?線性

21、相關(guān), 所以能經(jīng),線性表示, 并且表示方法唯一.(2) 若能經(jīng),線性表示, 不妨設(shè)表達(dá)式為, 根據(jù)(1) 能經(jīng),線性表示, 不妨設(shè)表達(dá)式為, 把帶入到中得即有, 從而得到,線性相關(guān), 這與題意中,線性無關(guān)矛盾! 所以不能經(jīng),線性表示.習(xí)題3解：由=, 可得秩()=4, 這四個向量線性無關(guān), 所以該向量組是中的一組基.因?yàn)? 所以方程組的解為 所以向量在該基下的坐標(biāo)為。4解：(1)由=可知的解為 所以=2+.同樣可計(jì)算得 =+; =+3. 所以從基()到基()的過渡矩陣為.(2) =, 所以坐標(biāo)為。8解：因?yàn)? 所以秩()=4, 所以可作為的一組基. 設(shè)向量, 則它在常用基下的坐標(biāo)為. 則有,

22、即要求. 求解方程組得解為, 所以所求的向量(為任意值).習(xí)題1，2思路：驗(yàn)證3條。5思路：即證與等價。習(xí)題2思路：即說明這是解空間的一組基。4思路：注意要指出齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系只含有一個向量。7證明：(1) 因?yàn)? 所以秩()+秩(), 由于秩()=, 所以秩(), 由此秩()=0, 即得.(2) 由題意知, 所以, 利用(1)可知, 因此.9證明：先證必要性, 根據(jù)等價標(biāo)準(zhǔn)形可知存在矩陣，秩()=秩()=1, 使=. 令為的個分量, 為的個分量, 則因?yàn)橹?)=秩()=1所以和都不全為零. 同時因?yàn)?即得(=1,2,; =1,2,)成立.再證充分性, 根據(jù)題意存在個不全為零的數(shù)及n個

23、不全為零的數(shù)使 (=1,2,; =1,2,)只需令, 則=. 因?yàn)橹?)秩(), 又由于和都不全為零, 所以中必有一非零元素, 因此秩()>0, 據(jù)此可得秩()=1.10證明：(1) 由于秩()=n, 所以, 而, 在等式兩邊同乘可得, 據(jù)此可知是可逆的, 所以秩()=n. (2) 秩()n-1時, 根據(jù)矩陣秩的定義可知的所有階子式都為0, 而的元素就是的所有階子式, 所以的元素都是0, 即=, 所以秩()=0.(3) 當(dāng)秩()=n-1時, 不是滿秩的, 所以. 又因?yàn)? 所以, 據(jù)此可知秩()+秩(), 而秩()=n-1, 所以秩(). 同時由于秩()=n-1, 根據(jù)矩陣秩的定義可知至

24、少有一個階子式不為零, 而的元素就是的所有階子式, 所以中至少有一個元素不為零. 由此可知秩(), 所以秩()=1.14思路：利用分塊矩陣。習(xí)題6證明：因?yàn)榕c均正交, 所以 因此, 所以與的線性組合都正交.7解：設(shè), 根據(jù)題意為單位向量可知.(1)同時與都正交, 據(jù)此可得 從而可解得 (其中為任意取值). 又因?yàn)闂l件(1)可知, 所以=.11解：(1)因?yàn)?, 所以 是的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基. (2) 由（1）知; 因?yàn)樵谙碌淖鴺?biāo)為, 而在下的坐標(biāo)為=,所以()=(,).15解：因?yàn)? 所以方程組的一個基礎(chǔ)解系為先進(jìn)行正交化得到 ; 再進(jìn)行單位化得到 ; .所以即為所求的標(biāo)準(zhǔn)正交基.習(xí)題2證明：(1

25、) 因?yàn)榈慕饩鶠榈慕? 所以的基礎(chǔ)解系中的解也都是的解, 所以的基礎(chǔ)解系中所含的向量的個數(shù)不少于的基礎(chǔ)解系中所含向量的個數(shù). 而的基礎(chǔ)解系中所含的向量的個數(shù)為n-秩(B), 的基礎(chǔ)解系中所含向量的個數(shù)為n-秩(A), 因此n-秩(B)n-秩(A), 所以秩(A)秩(B). (2) 因?yàn)榕c同解, 所以的基礎(chǔ)解系也就是的基礎(chǔ)解系, 所以兩者的基礎(chǔ)解系所含向量個數(shù)相同, 因此n-秩(B)= n-秩(A), 即有秩(A)=秩(B). (3) 因?yàn)橹?A)=秩(B), 所以n-秩(B)= n-秩(A), 據(jù)此可知和的基礎(chǔ)解系所含向量的個數(shù)相同. 因?yàn)榈慕饩鶠榈慕? 所以的某一基礎(chǔ)解系( n-秩(A)也都

26、是的解, 如果與不同解, 則的解中存在一個解不是的解, 則一定不能被線性表示, 所以線性無關(guān), 這樣的解中至少含有個解線性無關(guān), 即的基礎(chǔ)解系所含向量的個數(shù)大于等于, 這與和的基礎(chǔ)解系所含向量的個數(shù)相同矛盾. 所以與不同解的假設(shè)是不成立的, 因此與同解.(4) 設(shè), 顯然滿足秩(A)=秩(B), 但是是 的一個解, 但是不是的解. 所以不能導(dǎo)出與同解.3證明：首先由題設(shè)可得齊次線性方程組同解。然后去證明。4證明：易證明的解都是的解, 又因?yàn)橹?CA)=秩(A)，根據(jù)本節(jié)第2個習(xí)題(3)可知和同解. 同樣易證的解都是的解. 另一方面, 設(shè)是的任意一個解則有, 即, 可知是的一個解, 已經(jīng)證明和同

27、解, 所以也一定是的解, 即有, 所以也就是的解, 據(jù)此可得的解也一定是的解, 所以和同解. 根據(jù)本節(jié)第2個習(xí)題(2)可得秩(CAB)=秩(AB).5證明：6證明：（1）要證，即證，等價與證明。 因?yàn)楸３謨?nèi)積，所以由內(nèi)積的雙線性性得。第五章 特征值和特征向量 矩陣對角化習(xí)題1解：(A) 設(shè), 因?yàn)橹?)=秩()所以與等價; 但是由于tr與tr不相等, 所以與不相似. 因此(A)不正確. (B) 與相似, 即存在可逆矩陣使得, 所以秩()=秩(),因此 與等價. (B)是正確的. (C) 與(A)一樣, 設(shè),秩()=秩(), 但是由于tr與tr不相等, 所以與不相似. 因此(C)不正確. (D)

28、 與(A)一樣, 設(shè),=, 但是由于tr與tr 不相等, 所以與不相似. 因此(D)不正確.7解：(1) 因?yàn)? 所以特征值為1,1,3. 求解方程組 , 得屬于特征值1的特征向量為 (其中為不同時為零的任意數(shù)). 求解方程組, 得屬于特征值3的特征向量為 (其中為不為零的任意數(shù)).習(xí)題4證明：的特征多項(xiàng)式為而是A的特征多項(xiàng)式, 所以A與有相同的特征多項(xiàng)式.6 解：因?yàn)?是A的一重根, 所以(E-A)X=O的基礎(chǔ)解系含有1個向量, 因此3-秩(E-A)=1, 從而可知秩(E-A)=2. 又因?yàn)?是A的二重根, 所以(2E-A)X=O的基礎(chǔ)解系含有向量的個數(shù)為1或2, 由于A不能與對角矩陣相似,

29、 則可知A的線形無關(guān)的特征值個數(shù)小于3, 所以(2E-A)X=O的基礎(chǔ)解系含有向量的個數(shù)只能為1, 同樣可得3-秩(2E-A)=1, 所以秩(2E-A)=2.7解：因?yàn)? 所以的特征值為-1,1,1. 因?yàn)榕c對角矩陣相似, 所以要求特征根的重?cái)?shù)與的基礎(chǔ)解系所含向量個數(shù)相等. -1是一重根所以一定滿足, 所以只要特征值1滿足即可. 也就是要求的基礎(chǔ)解系含有2個向量, 由此可知-秩()=2, 因此秩()=1.因?yàn)? 所以當(dāng)且僅當(dāng)時秩()=1,所以能與對角矩陣相似, 則必有。習(xí)題2解：因?yàn)橹?A)=1=秩(B), 所以A與B等價. 又因?yàn)閠r A=4, trB=1, 即有, 所以A與B不相似. 綜上

30、可知(B)是正確的.3解：(1) 因?yàn)? 所以。因?yàn)橛腥齻€不同的特征值，所以也可以對角化。所以 的所有特征值為。(2) =.5解：(1) 因?yàn)? 所以特征值為2,2,-7. 求解方程組, 得到屬于2的線形無關(guān)的特征向量為. 對進(jìn)行施密特正交化化為正交單位向量組得。 求解方程組, 得到屬于-7的線形無關(guān)的特征向量為.對進(jìn)行施密特正交化化為正交單位向量組得。所以, 其中. 由此可得 . (2) 的特征值為, 所以=.6解：因?yàn)榉疥嘇的n個特征值為1，2，n, 所以可以對角化。所以 A+E的特征值為2,3, , n, n+1.所以A+E=.11證明：因?yàn)? 所以是A的n重根. 如果A能與對角矩陣相似

31、, 則必有的基礎(chǔ)解系含有個向量, 即-秩()=n, 也就是秩()=0, 從而得到此時, 即, 這與條件矛盾! 所以A不能與對角矩陣相似12證明：因?yàn)?，所以，?2是A的一個特征值。設(shè)為A的特征值, 是A的屬于的特征向量, 則有, 所以, 從而可得, 即得, 所以A的特征值僅為-2.習(xí)題1證明：設(shè)是反對稱矩陣的一個特征值, 是的屬于 的特征向量, 則有 . (1) 令, 其中表示的共扼復(fù)數(shù), . 對(1)式兩邊同取共扼得. 因?yàn)槭菍?shí)矩陣, 所以有, 因此有. (2) 對(1)式兩邊轉(zhuǎn)置得, 因?yàn)槭欠磳ΨQ矩陣, 所以從而 . (3)對(2)式兩邊同左乘, 對(3)式兩邊同右乘, 分別得 , 從而得

32、=, 移項(xiàng)得, 因?yàn)? 所以, 所以為零或者純虛數(shù).2解：(3) 因?yàn)? 所以特征值為1,1,1,5.解線性方程組, 得屬于特征值1的線性無關(guān)的特征向量為. 解線性方程組, 得屬于特征值5的線性無關(guān)的特征向量為. 所以, 對角矩陣為.3解：（3）先對屬于特征值1的三個特征向量進(jìn)行正交化.; ;. 再對向量進(jìn)行單位化, 得到三個正交單位向量.,再對屬于特征值5的特征向量進(jìn)行單位化得. 由此得到, 對角矩陣為.4證明： 顯然成立. 因?yàn)锳, B有相同的特征多項(xiàng)式, 則A, B必有相同的特征根. 不妨設(shè)這些根為, 因?yàn)锳, B均為n階實(shí)對稱矩陣, 所以存在可逆矩陣使得. 由此可知, 所以有, 其中是

33、可逆的, 因此A與B相似.7 解：因?yàn)?, 所以特征值為0,2,2.（然后 驗(yàn)證可對角化，從而可對角化） 因?yàn)?其中), 所以 的特征值為 所以.習(xí)題5解：因?yàn)? 所以A的特征值為一個一重特征值 和一個重特征值. 因?yàn)橹?)=, 所以與重?cái)?shù)相同. 因?yàn)橹?)=, 所以與重?cái)?shù)相同. 所以A能對角化（也可由實(shí)對稱矩陣得到）, 與其相似的對角矩陣為.6證明：設(shè)為n階方陣A的特征值, 為A的屬于的特征向量, 則有. 所以, 即有, 因此A的特征值或?yàn)?，或?yàn)?1.7解：(1) 因?yàn)榫仃嘇與B相似, 所以trA=trB, , 由此可以得到, 從而可知.當(dāng)時, 易知A的特征值為2,2,6.求解方程組, 得

34、到屬于2的線形無關(guān)的特征向量為.求解方程組, 得到屬于6的線形無關(guān)的特征向量為.所以此時可以對角化。類似可以證明此時也可以對角化。所以由他們的特征值相同可以知道此時與合同。 （2）由（1）可知.8解：因?yàn)?, 所以A有一個兩重特征值1和一個兩重特征值2. 秩(),秩(), A能與對角矩陣相似所以必有. 因此要求秩()=秩()=2. , 要使得秩()=2, 必有; , 要使得秩()=2, 必有. 綜上, .10解：（1）由可得三個方程，解之可得結(jié)果。 （2）略。第六章 二次型習(xí)題2解：(1) ,令 因?yàn)? 所以線性替換是非退化的. 從而得到標(biāo)準(zhǔn)形. (4) 先令 則=令 則因?yàn)? 所以先行替換是

35、非退化的. 從而得到標(biāo)準(zhǔn)形.3解：(1) 錯, 因?yàn)? 所以線形替換是退化的, 所以錯.正確的為=,其中線性替換為 因?yàn)? 所以該線形替換是非退化的. (2) 錯, 因?yàn)?所以線形替換是退化的, 所以錯.正確的為 =其中線性替換為因?yàn)? 所以該線形替換是非退化的.習(xí)題1解：3解：(1) 計(jì)算特征多項(xiàng)式, 得到特征值為1,2,5. 解方程, 得到屬于1的線形無關(guān)的特征向量為.解方程, 得到屬于2的線形無關(guān)的特征向量為. 解方程, 得到屬于5的線形無關(guān)的特征向量為. 三個向量已經(jīng)兩兩正交, 所以只要單位化即可得到,.所以, 因此正交變換為, 而標(biāo)準(zhǔn)型為.6證明：(1) 設(shè),令(滿足), 則有, 再

36、令 (滿足), 則有, 因?yàn)?并且由于A是一個n階對稱矩陣所以有, 所以由可得, 因此. (2) 若存在兩個對稱矩陣使得, 則兩式相減得對任意成立. 由于都是對稱矩陣, 所以兩者的差也是對稱矩陣, 根據(jù)(1)可知, 從而得到.8證明：因?yàn)槭堑囊粋€排列, 所以可以通過若干次互換變成.而每次互換就相當(dāng)于交換的位置, 由第8個習(xí)題可知這就相當(dāng)于同時左乘右乘同一個互換得到的初等矩陣. 由此可知.設(shè), 則所以得到, 因此矩陣與合同.習(xí)題3證明：與習(xí)題類似，只不過要把右邊的可逆矩陣換成左邊的轉(zhuǎn)置。4解：因?yàn)閮蓚€矩陣合同的充要條件是有相同的秩和相同的正慣性指數(shù), 按秩從0,1,2,到n有n+1大類, 秩為0時正慣性指數(shù)只有一種可能就是0; 秩為1時正慣性指數(shù)有0,1兩種可能, 秩為2時正慣性指數(shù)有0,1,2三種可能; 秩為n時正慣性指數(shù)有0,1,2,n共n+1種可能. 所以一共有1+2+ n+1=種可能, 所以一共有多個合同類. 秩為, 正慣性指數(shù)為的合同類中最簡單的矩陣是一個對角矩陣它主對角線上前個元數(shù)為1,