IIR濾波器設(shè)計值頻率轉(zhuǎn)化

1、23單位抽樣響應(yīng)是有限長的，濾波器一定是穩(wěn)定的單位抽樣響應(yīng)是有限長的，濾波器一定是穩(wěn)定的。只要經(jīng)。只要經(jīng)過一定的延時，任何非因果有限長序列都變成過一定的延時，任何非因果有限長序列都變成的有限的有限序列。序列。FIR數(shù)字濾波器具有數(shù)字濾波器具有、。10)()(NnnznhzH4( )( )(1) 121( 01)2hNnh NNNnn ，5N N又分兩種情況又分兩種情況：l 偶數(shù)偶數(shù) 奇數(shù)奇數(shù)此時，幅度為：101( )( )cos2NnNHh nn60( ) 0122(1( )2)(1),201h nh NnnNNN 7N N分兩種情況：分兩種情況：l 偶數(shù)偶數(shù) 奇數(shù)奇數(shù)101( )( )sin

2、2NnNHh nn此時，幅度為：8選擇有限長選擇有限長，得到系統(tǒng)函數(shù)，得到系統(tǒng)函數(shù) ，使得：，使得： ；。( )h n( )H z( )H( ) 擬設(shè)計：一個FIR濾波器頻率響應(yīng)：去逼近。10)()(NnnjjenheH()jdHe9( )dhn()jdHe其中：其中：0)()(nhnhd0nN-1 其他 ()jH e( )h n10,()0,jcjdceHe 若沒有若沒有90相移的特殊要求，一般選擇濾波器具有相移的特殊要求，一般選擇濾波器具有線性線性相位：相位： ( ) j(e )dH12N11jj1( )()21d2sin()()ccjj ndncdh nHeedeenn如果很復(fù)雜或不能直

3、接計算積分，則必須用求和代替積分，以便在計算機(jī)上計算，也就是要計算離散，一般都采用采用FFT來計算來計算。( )dh nj(e )dH12由由及及的要求，可的要求，可，并，并窗口長度窗口長度 。原則是在保證阻帶衰減滿足要求的情況下，。原則是在保證阻帶衰減滿足要求的情況下，：計算所設(shè)計的計算所設(shè)計的FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)（濾波器的單位脈沖響應(yīng)（）：）：( )( ) ( )dh nhn w n由由h(n)求求FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z) ：10)()(NnnznhzH( )w n13設(shè)計一個線性相位的FIR低通濾波器，指標(biāo)如下：l 采樣頻率fs=15kHzl 通帶截止頻率p=

4、21.5103 rad/sl 阻帶起始頻率s=23103 rad/sl 阻帶最小衰減-50 dB|H(j)|1.00.50pcs0 dB50 dB14【解】解】 首先給出的， 求出對應(yīng)的： 通帶截止頻率 2 . 0sppf阻帶截止頻率 sss0.4f最后，得到理想低通濾波器的頻響：-jcjde|(e )0H其他再求3dB截止頻率：rad/s)(102.252)(213spc其對應(yīng)的數(shù)字頻率: 3 . 0sccfT15進(jìn)一步得到時域表達(dá)式：cc-j-j-j ()cd-sin()11( )eeded22()nnnh nn12N由于2=50dB，查表7.2.2，可選，其阻帶最小衰減-53dB滿足要求

5、。所要求的過渡帶寬：2 . 0ps由于哈明窗過渡帶寬滿足 ，因此，得到： 6.66.6330.21162NNN6 . 6)(12cos46.054.0)(nRNnnwN)(nhdN16確定FIR濾波器的h(n)：d( )( )( )sin0.3(16)0.54 0.46cos( )(16)16Nh nh n w nnnRnn由h(n)求H(ej)，檢驗(yàn)各項(xiàng)指標(biāo)是否滿足要求。17MATLAB提供了提供了fir1函數(shù)，以實(shí)現(xiàn)線性相位函數(shù)，以實(shí)現(xiàn)線性相位FIR濾波器。濾波器。調(diào)用格式如下：調(diào)用格式如下：nN：階數(shù)：階數(shù)nwc：歸一化的數(shù)字頻率，：歸一化的數(shù)字頻率，0wc1。當(dāng)當(dāng)ftype=high時

6、，設(shè)計高通時，設(shè)計高通FIR濾波器；當(dāng)濾波器；當(dāng)ftype=stop時，設(shè)計帶阻時，設(shè)計帶阻FIR濾波器。注意，在設(shè)計高通和濾波器。注意，在設(shè)計高通和帶阻濾波器時，階數(shù)帶阻濾波器時，階數(shù)N只能取偶數(shù)只能取偶數(shù)(h(n)長度長度N+1為奇數(shù)為奇數(shù))。不過，當(dāng)用。不過，當(dāng)用戶將戶將N設(shè)置為奇數(shù)時，設(shè)置為奇數(shù)時，fir1會自動對會自動對N加加1。hamming窗窗18%使用使用Bartlett窗設(shè)計窗設(shè)計%使用使用Chebyshev窗設(shè)計窗設(shè)計%N=h(n)的長度減的長度減119用窗函數(shù)法設(shè)計線性相位的用窗函數(shù)法設(shè)計線性相位的FIR低通濾波器，實(shí)現(xiàn)對模擬信號采樣后低通濾波器，實(shí)現(xiàn)對模擬信號采樣后進(jìn)行

7、數(shù)字低通濾波，對進(jìn)行數(shù)字低通濾波，對的濾波要求如下：的濾波要求如下：l 通帶截止頻率：通帶截止頻率：=2 kHzl 阻帶截止頻率：阻帶截止頻率：=3 kHzl 阻帶最小衰減：阻帶最小衰減：40 dBl 采樣頻率：采樣頻率： =10 kHz選擇合適的窗函數(shù)及其長度，求出選擇合適的窗函數(shù)及其長度，求出 ，并畫出幅頻特性衰，并畫出幅頻特性衰減曲線和相頻特性曲線。減曲線和相頻特性曲線。pfsfsF( )h n20【解】【解】根據(jù)題意確定相應(yīng)的數(shù)字濾波器指標(biāo)：根據(jù)題意確定相應(yīng)的數(shù)字濾波器指標(biāo)：l 通帶截止頻率：通帶截止頻率：l 阻帶截止頻率：阻帶截止頻率：l 阻帶最小衰減：阻帶最小衰減： 過渡帶寬度：過

8、渡帶寬度： 240000.410000ppsfF260000.610000sssfF0.2spB40 dB21選擇窗函數(shù)選擇窗函數(shù)w(n)，計算窗函數(shù)長度，計算窗函數(shù)長度N由阻帶衰減為由阻帶衰減為40 dB知道，知道，hanning和和hamming窗函數(shù)都滿足要求，這窗函數(shù)都滿足要求，這兩種窗函數(shù)過渡帶寬度相同。這里選兩種窗函數(shù)過渡帶寬度相同。這里選hamming窗：窗：hamming窗函數(shù)的過渡帶寬度為：窗函數(shù)的過渡帶寬度為：所以應(yīng)當(dāng)滿足：所以應(yīng)當(dāng)滿足：解之得到：解之得到：8N8BN840NB22確定希望逼近的理想低通濾波器截止頻率確定希望逼近的理想低通濾波器截止頻率我們知道，我們知道，

9、頻率點(diǎn)頻率點(diǎn) (該點(diǎn)為過渡帶中心該點(diǎn)為過渡帶中心)處濾波器頻響幅度為處濾波器頻響幅度為0.5(等等價于衰減價于衰減6dB)，所以：所以：c0.40.10.52cpBc%初始化初始化%參數(shù)轉(zhuǎn)化參數(shù)轉(zhuǎn)化%計算過渡帶的寬度計算過渡帶的寬度% 計算階數(shù)計算階數(shù)N，ceil(x)取取x 的整數(shù)的整數(shù)%設(shè)置理想帶通截止頻率設(shè)置理想帶通截止頻率()23% 求求h(n)% 以下為計算頻率相應(yīng)函數(shù)和繪圖部分以下為計算頻率相應(yīng)函數(shù)和繪圖部分% 求求h(n)的的FFT變換變換% 繪制繪制h(n)的火柴桿圖的火柴桿圖% 繪制繪制h(n)的角頻譜圖的角頻譜圖(rad/s)24所設(shè)計的濾波器如下：所設(shè)計的濾波器如下：25

10、26( )3sin(2 10030 /180)1.5cos(2 25090 /180)5cos(2 270)x tttt27clear all;A1=3; % 信號信號1的幅度的幅度A2=1.5; % 信號信號2的幅度的幅度A3=5; % 信號信號3的幅度的幅度f1=100; % 信號信號1的頻率的頻率(Hz)f2=250; % 信號信號2的頻率的頻率(Hz)f3=270; % 信號信號3的頻率的頻率(Hz)Fs=1024; % 采樣頻率采樣頻率(Hz)P1=-30; % 信號信號1的相位的相位(度度)P2=90; % 信號信號2的相位的相位(度度)P3=0; % 信號信號3的相位的相位(度度

11、)N=1024; % 采樣點(diǎn)數(shù)采樣點(diǎn)數(shù)t=0:1/Fs:2*pi; % 采樣時刻采樣時刻x=A1*sin(2*pi*f1*t+pi*P1/180)+A2*cos(2*pi*f2*t+pi*P2/180)+A3*sin(2*pi*f3*t+pi*P3/180);28fp=100; % 通帶截止頻率通帶截止頻率 實(shí)際實(shí)驗(yàn)時根據(jù)需要調(diào)整實(shí)際實(shí)驗(yàn)時根據(jù)需要調(diào)整fs=150; % 阻帶截止頻率阻帶截止頻率wp=2*pi*fp/Fs; % ：ws=2*pi*fs/Fs;B=ws-wp; % 計算過渡帶的寬度計算過渡帶的寬度M=ceil(8*pi/B); % 計算階數(shù)計算階數(shù)Mwc=(wp+B/2)/pi;

12、 % 設(shè)置理想帶通截止頻率設(shè)置理想帶通截止頻率(歸一化歸一化)hn=fir1(M-1,wc);% 得到得到h(n)29subplot(2,2,1);f=0:2*pi/100:2*pi;plot(f,x(1:101);title(濾波前的信號濾波前的信號);Xk = fft(x,N); % FFT變換變換Axx = (abs(Xk); % 取模取模Axx=Axx/(N/2); % 換算成實(shí)際幅度換算成實(shí)際幅度:An=A/(N/2)Axx(1)=Axx(1)/2; % 換算第換算第1個點(diǎn)模值：個點(diǎn)模值：A0=A/NF=(1:N-1)*Fs/N; % 換算成實(shí)際頻率值：換算成實(shí)際頻率值：F=(n-1

13、)*Fs/Nsubplot(2,2,2);plot(F(1:N/2),Axx(1:N/2); % 顯示換算后結(jié)果顯示換算后結(jié)果,僅顯示左半部分僅顯示左半部分title(濾波前信號的頻譜濾波前信號的頻譜);30Hk=fft(hn,N);Yk=Xk.*Hk;y=ifft(Yk);subplot(2,2,3);plot(f,y(1:101);title(濾波后的信號濾波后的信號);Ayy = (abs(Yk); Ayy=Ayy/(N/2); Ayy(1)=Ayy(1)/2; F=(1:N-1)*Fs/N;subplot(2,2,4);plot(F(1:N/2),Ayy(1:N/2);title(濾波

14、后信號的頻譜濾波后信號的頻譜);3132 功率譜密度函數(shù)在整個頻域內(nèi)服從均勻分布。功率譜密度函數(shù)在整個頻域內(nèi)服從均勻分布。之所以稱為之所以稱為“白白”噪聲，是因?yàn)槠漕愃朴诠鈱W(xué)中包括全部可見光頻率噪聲，是因?yàn)槠漕愃朴诠鈱W(xué)中包括全部可見光頻率在內(nèi)的白光。在內(nèi)的白光。凡是不符合上述條件的噪聲就稱為凡是不符合上述條件的噪聲就稱為。 白噪聲是一種理想化模型，白噪聲在數(shù)學(xué)處理上比較方便。白噪聲是一種理想化模型，白噪聲在數(shù)學(xué)處理上比較方便。一般地，只要一個一般地，只要一個。例如，熱噪聲和散彈噪聲在很寬的頻率范圍內(nèi)具有均勻的功率譜密度，例如，熱噪聲和散彈噪聲在很寬的頻率范圍內(nèi)具有均勻的功率譜密度，通常均認(rèn)為是

15、白噪聲通常均認(rèn)為是白噪聲. 33通信系統(tǒng)中的某些噪聲的統(tǒng)計特性或數(shù)字特征符合高斯通信系統(tǒng)中的某些噪聲的統(tǒng)計特性或數(shù)字特征符合高斯過程（正態(tài)隨機(jī)過程）的統(tǒng)計特性或數(shù)字特征，則稱該過程（正態(tài)隨機(jī)過程）的統(tǒng)計特性或數(shù)字特征，則稱該噪聲為高斯噪聲：噪聲為高斯噪聲：經(jīng)大量觀察表明，高斯噪聲始終存在于任何一種信道中，經(jīng)大量觀察表明，高斯噪聲始終存在于任何一種信道中，因而，對它的研究具有特別重要的實(shí)際意義。因而，對它的研究具有特別重要的實(shí)際意義。221()( )exp22xp x34l 概率密度函數(shù)分布的正態(tài)性概率密度函數(shù)分布的正態(tài)性l 功率譜密度函數(shù)分布的均勻性功率譜密度函數(shù)分布的均勻性當(dāng)高斯噪聲通過窄帶

16、系統(tǒng)時，即形成窄帶高斯噪聲當(dāng)高斯噪聲通過窄帶系統(tǒng)時，即形成窄帶高斯噪聲 。351. 產(chǎn)生產(chǎn)生高斯白噪聲高斯白噪聲ly = wgn(m,n,p) 產(chǎn)生產(chǎn)生m行行n列高斯白噪聲矩陣，列高斯白噪聲矩陣，p指定輸出噪聲的強(qiáng)度。指定輸出噪聲的強(qiáng)度。ly = wgn(m,n,p,imp) 以歐姆以歐姆(Ohm)為單位指定負(fù)載阻抗。為單位指定負(fù)載阻抗。ly = wgn(m,n,p,imp,state) 重置重置RANDN的狀態(tài)。的狀態(tài)。在數(shù)值變量后還可附加一些標(biāo)志性參數(shù)：在數(shù)值變量后還可附加一些標(biāo)志性參數(shù)：ly = wgn(,POWERTYPE) 指定指定p的單位。的單位。POWERTYPE可以是可以是dB

17、W,dBm或或linear。線性強(qiáng)。線性強(qiáng)度度(linear power)以瓦特以瓦特(Watt)為單位。為單位。ly = wgn(,OUTPUTTYPE) 指定輸出類型。指定輸出類型。OUTPUTTYPE可以是可以是real或或complex。36372. 在信號在信號x中加入高斯白噪聲中加入高斯白噪聲ly = awgn(x,SNR) 信噪比信噪比SNR以以dB為單位。為單位。x的強(qiáng)度假定為的強(qiáng)度假定為0dBW。ly = awgn(x,SNR,SIGPOWER) 如果如果SIGPOWER是數(shù)值，則其代表以是數(shù)值，則其代表以dBW為單位的信號強(qiáng)度；如果為單位的信號強(qiáng)度；如果SIGPOWER為為

18、measured，則函數(shù)將在加入噪聲之前測定信號強(qiáng)度。，則函數(shù)將在加入噪聲之前測定信號強(qiáng)度。ly = awgn(x,SNR,SIGPOWER,STATE) 重置重置RANDN的狀態(tài)。的狀態(tài)。ly = awgn(,POWERTYPE) 指定指定SNR和和SIGPOWER單位。單位。POWERTYPE可以是可以是dB或或linear。如果。如果POWERTYPE是是dB，那么，那么SNR以以dB為單為單 位，而位，而SIGPOWER以以dBW為單位。如果為單位。如果POWERTYPE是是linear，那么，那么SNR作為比值來度量，而作為比值來度量，而SIGPOWER以瓦特為單位。以瓦特為單位。3

19、8N=1000;t=linspace(0,50,N);x=3*sin(2*pi*0.2*t); y=(x,15,measured); subplot(2,1,1);plot(t,x);subplot(2,1,2);plot(t,y);39MATLAB提供了高斯噪聲的濾除函數(shù)：提供了高斯噪聲的濾除函數(shù)：40bt = . 3; o = 8; n = 2；h = gaussfir(bt,n,o);% 產(chǎn)生高斯濾波器產(chǎn)生高斯濾波器t=linspace(0,50,1000);x=3*sin(2*pi*0.2*t); y=awgn(x,15,measured); subplot(3,1,1);plot(t

20、,x);% 原信號原信號subplot(3,1,2);plot(t,y);% 加噪后的信號加噪后的信號Signal=conv(y,h);% 時域?yàn)V波（通過卷積運(yùn)算）時域?yàn)V波（通過卷積運(yùn)算）subplot(3,1,3);plot(Signal);% 濾波后信號濾波后信號41 Fs=256; N=256; t=0:1/N:1;% 產(chǎn)生原始信號產(chǎn)生原始信號 tt=0:2*pi/100:2*pi; ut=2*sin(2*pi*30*t); figure(1)；subplot(3,2,1); plot(tt,ut(1:101);grid on; title(原始信號波形原始信號波形); ylabel(u

21、(t); Uk = fft(ut,N); Axx = (abs(Uk); Axx=Axx/(N/2); Axx(1)=Axx(1)/2; F=(1:N-1)*Fs/N; subplot(3,2,2); plot(F(1:N/2),Axx(1:N/2); ylabel(FFT(u); title(原始信號頻譜原始信號頻譜);( )2sin(60)u tt42 xt=awgn(ut,10,0); %加入高斯白噪聲加入高斯白噪聲 subplot(3,2,3); plot(tt,xt(1:101);grid on; title(加噪后的信號波形加噪后的信號波形); ylabel(x(t); Xk=ff

22、t(xt,N); Axx = (abs(Xk); Axx=Axx/(N/2); Axx(1)=Axx(1)/2; F=(1:N-1)*Fs/N; subplot(3,2,4); plot(F(1:N/2),Axx(1:N/2); title(加噪后的信號頻譜加噪后的信號頻譜); ylabel(FFT(x);43 fp=30; %初始化初始化 fs=40; wp=2*pi*fp/Fs; %參數(shù)轉(zhuǎn)化參數(shù)轉(zhuǎn)化 ws=2*pi*fs/Fs; B=ws-wp; %計算過渡帶的寬度計算過渡帶的寬度 M=ceil(8*pi/B); % 計算階數(shù)計算階數(shù)N，ceil(x)取大于等于取大于等于x的整數(shù)的整數(shù) w

23、c=(wp+B/2)/pi; %設(shè)置理想截止頻率設(shè)置理想截止頻率(關(guān)于關(guān)于歸一化歸一化) hn=fir1(M-1,wc); Hk=fft(hn,N); Tempk=Xk.*Hk; yt=ifft(Tempk); % 信號濾波信號濾波44 subplot(3,2,5); plot(tt,yt(1:101); grid on; title(消噪后的信號波形消噪后的信號波形) ylabel(y(t); Yk=fft(yt,N); Axx = (abs(Yk); Axx=Axx/(N/2); Axx(1)=Axx(1)/2; F=(1:N-1)*Fs/N; subplot(3,2,6); plot(F

24、(1:N/2),Axx(1:N/2); title(消噪后的信號頻譜消噪后的信號頻譜); ylabel(FFT(y);45結(jié)果如下：結(jié)果如下：46( )3sin(2 10030/180)1.5cos(2 18090/180)5cos(2 270)x tttt47% 信號信號1的幅度的幅度% 信號信號2的幅度的幅度% 信號信號3的幅度的幅度% 信號信號1的頻率的頻率(Hz)% 信號信號2的頻率的頻率(Hz)% 信號信號3的頻率的頻率(Hz)% 信號信號1的相位的相位(度度)% 信號信號2的相位的相位(度度)% 信號信號3的相位的相位(度度)% 采樣頻率采樣頻率(Hz)% 采樣點(diǎn)數(shù)采樣點(diǎn)數(shù)% 采樣

25、時刻采樣時刻4849Fs=512; fp=250; fs=190；Rp=1;Rs=25;wp=(fp/Fs)*2*pi; ws=(fs/Fs)*2*pi;N,Wc=buttord(wp,ws,Rp,Rs,s); B1,A1=butter(N,Wc,high,s);z,p,k=(N);b,a = (z, p, k); B2,A2 = (b, a, Wc);h1,w = freqs(B1,A1);subplot(2,1,1);plot(w*Fs/(2*pi),abs(h1);axis(0,Fs,0,1.2);title(直接設(shè)計高通濾波器直接設(shè)計高通濾波器);h2,w = freqs(B2, A2

26、);subplot(2,1,2);plot(w*Fs/(2*pi), abs(h2); axis(0,Fs,0,1.2);title(頻率變換法設(shè)計高通濾波器頻率變換法設(shè)計高通濾波器);50因此，為了使設(shè)計規(guī)范化，通常將濾波器的頻率參數(shù)進(jìn)行歸一化處理。由于實(shí)際濾波器的頻率范圍直接取決于應(yīng)用，因此必然千差萬別。因此不論那一種濾波器的設(shè)計，都因此不論那一種濾波器的設(shè)計，都先將該濾波器的技術(shù)指標(biāo)先將該濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)化為頻率歸一化的低通濾波器轉(zhuǎn)化為頻率歸一化的低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)，的技術(shù)指標(biāo)，按照該指標(biāo)按照該指標(biāo)先設(shè)計低通濾波器先設(shè)計低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，的系統(tǒng)函數(shù)， 再通過再通過頻率變換頻率變換

27、，得到所需類型系統(tǒng)函數(shù)。，得到所需類型系統(tǒng)函數(shù)。51其歸一化之后的系統(tǒng)函數(shù)和頻率響應(yīng)分別為： 系統(tǒng)函數(shù)：系統(tǒng)函數(shù)： ( )aHq(j )aH頻率響應(yīng)：頻率響應(yīng)： 設(shè)所要設(shè)計的模擬高通、帶通或帶阻濾波器：( )aHs系統(tǒng)函數(shù)：系統(tǒng)函數(shù)： 頻率響應(yīng)：頻率響應(yīng)：(j )aH歸一化復(fù)變量 q 與歸一化頻率的關(guān)系為： qj將頻率歸一化處理后的原型模擬低通濾波器稱為歸一化 ：系統(tǒng)函數(shù)：系統(tǒng)函數(shù)：G ( )ap(j )aG頻率響應(yīng)：頻率響應(yīng)：52若用通帶截止頻率 進(jìn)行歸一化處理，得歸一化頻率： PS、通帶、阻帶截止頻率分別為：P1pPp顯然：歸一化通帶截止頻率SSP 歸一化阻帶截止頻率若令歸一化為 p，則有

28、： jjppsp ( )( )psaapHsGp53用模擬高通濾波器的通帶截用模擬高通濾波器的通帶截止頻率止頻率 進(jìn)行歸一化：進(jìn)行歸一化：p1/pssp 54歸一化低通頻率歸一化低通頻率與高通與高通的對應(yīng)關(guān)系如下：的對應(yīng)關(guān)系如下：顯然，顯然，與與之間的頻率變換關(guān)系為：之間的頻率變換關(guān)系為： 的歸一化復(fù)變量的歸一化復(fù)變量 p 與與 的復(fù)變量的復(fù)變量 s 之間的映之間的映射關(guān)系為：射關(guān)系為：G ( )ap( )aHsj1jjjppps ( )( )paapsHsGp與與 的映射關(guān)系為：的映射關(guān)系為：G ( )ap( )aHs1ps 1p ss 0-+01 55phplshslBWphpl0phpl

29、用用 對頻率進(jìn)行歸一化處理：對頻率進(jìn)行歸一化處理：BWBWBWBWBWplslphshphplshsl、20php l56只要將只要將 的整個曲線對應(yīng)于的整個曲線對應(yīng)于 的右半邊的右半邊曲線，就可以實(shí)現(xiàn)低通到帶通的變換曲線，就可以實(shí)現(xiàn)低通到帶通的變換 ：|(j )|aG|(j )|aH57與與之間的頻率變換關(guān)系為：之間的頻率變換關(guān)系為：220 的歸一化復(fù)變量的歸一化復(fù)變量 p 與與 的復(fù)變量的復(fù)變量 s 之間的映射關(guān)系為：之間的映射關(guān)系為：G ( )ap( )aHs2222222220000BWBW(j )(j )jjjj()phplphplsspss2()( )( )phplphplsaap

30、sHsGp與與 的的G ( )ap( )aHs映射關(guān)系為：映射關(guān)系為：58其歸一化頻率為：其歸一化頻率為： BWshsl 59與與 的映射關(guān)系為：的映射關(guān)系為：G ( )ap( )aHs2()( )( )phplphplsaapsHsGp與與之間的頻率變換關(guān)系為：之間的頻率變換關(guān)系為：220邊界頻率邊界頻率 ， 滿足：滿足：1ps222200min,slshsshsl60按下式：按下式：即可求出即可求出 對應(yīng)的階次對應(yīng)的階次 N 和和 3dB 截止頻率截止頻率 。G ( )apc0.10.1110.10.122101lg2lg101(101)(101)pspssNNcsN 查表可確定查表可確定

31、巴特沃斯歸一化原型系統(tǒng)函數(shù)巴特沃斯歸一化原型系統(tǒng)函數(shù) ，則有：，則有：( )anGu( )( )cpaanuGpGu61高通：高通：psps、0BWphplshslps 、 、 、帶通、帶阻：帶通、帶阻：帶通、帶阻：帶通、帶阻：20phplshsl、1ps、高通：高通：G ( )ap1pspsG ( )ap62設(shè)計一個模擬高通濾波器，指標(biāo)如下：設(shè)計一個模擬高通濾波器，指標(biāo)如下：由題意，得到模擬高通濾波器的技術(shù)指標(biāo)（由題意，得到模擬高通濾波器的技術(shù)指標(biāo)（）：）：50Hzsf 阻帶截止頻率阻帶截止頻率3 dBp通帶最大衰減通帶最大衰減30 dBs阻帶最小衰減阻帶最小衰減100Hzpf通帶截止頻率通

32、帶截止頻率3 dBp200rad sp100rad ss30 dBs10.5pppssp歸一化頻率為：歸一化頻率為：cp3 dB截止頻率截止頻率 2 f63 歸一化原型模擬低通濾波器歸一化原型模擬低通濾波器 的技術(shù)指標(biāo)要求為：的技術(shù)指標(biāo)要求為：G ( )ap1p12ss3 dBp30 dBs 設(shè)計設(shè)計歸一化原型模擬低通歸一化原型模擬低通濾波器濾波器 G ( )ap10.125(101)1.0025rad/ssNcsN查查P157表表6.2.1得：得： 23451( )1 3.23615.23615.23613.2361anG uuuuuu( )( )caanpuGpGu1 64 確定模擬高通濾

33、波器確定模擬高通濾波器( )( )paapsHsGp65l 輸入?yún)?shù)：輸入?yún)?shù)：wp，ws分別為通帶和阻帶的實(shí)際截止頻率，單位為分別為通帶和阻帶的實(shí)際截止頻率，單位為 rad/s。當(dāng)當(dāng)wpws時，此時為低通濾波器；時，此時為低通濾波器；當(dāng)當(dāng)wswp時，為高通濾波器；時，為高通濾波器；當(dāng)當(dāng)wp和和ws為二元時，為帶通或帶阻濾波器為二元時，為帶通或帶阻濾波器，此時，此時wc也是二元。也是二元。l 輸入?yún)?shù)：輸入?yún)?shù)：Rp，Rs為通帶最大衰減和阻帶最小衰減；為通帶最大衰減和阻帶最小衰減；l 輸出參數(shù)：輸出參數(shù)：N，wc將作為另一個函數(shù)將作為另一個函數(shù)butter的輸入?yún)?shù)。的輸入?yún)?shù)。用于求解巴特沃

34、斯模擬濾波器的階數(shù)用于求解巴特沃斯模擬濾波器的階數(shù)N和和3dB截止頻率截止頻率wc。格式如下：。格式如下：66% N：濾波器階數(shù)：濾波器階數(shù)返回參數(shù)返回參數(shù)z、p 和和 k 分別為零點(diǎn)、極點(diǎn)向量和增益常數(shù)。分別為零點(diǎn)、極點(diǎn)向量和增益常數(shù)。l 由于沒有零點(diǎn)，所以一般由于沒有零點(diǎn)，所以一般z為空。為空。l p為為N長的向量，表示極點(diǎn)。長的向量，表示極點(diǎn)。l k為增益因子。為增益因子。用于設(shè)計巴特沃斯用于設(shè)計巴特沃斯（ ）模擬低通原型系統(tǒng)的函數(shù)）模擬低通原型系統(tǒng)的函數(shù):1c12( )( )( )()().()anZ pkGpP ppppppp67用于將由用于將由z、p和和k表示的系統(tǒng)函數(shù)轉(zhuǎn)換為有理分

35、式的形式：表示的系統(tǒng)函數(shù)轉(zhuǎn)換為有理分式的形式：1111.b( )( )a( ).nnnammmb pb pbpGppa pa pa此時仍然是歸一化頻此時仍然是歸一化頻率的原型濾波器，即率的原型濾波器，即截止頻率為截止頻率為1 rad/s。68用于將截止頻率為用于將截止頻率為1 rad/s的的原型模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)分別原型模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)分別為指定頻率為指定頻率Wo（及帶寬（及帶寬Bw）的）的的模擬低通、高通、帶通的模擬低通、高通、帶通和帶阻濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。和帶阻濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。( )( )aaGpHs69進(jìn)行拉普拉斯變換，返回進(jìn)行拉普拉斯變換，返回S域的頻響特性。域的頻響特性

36、。l B：分子多項(xiàng)式系數(shù)；：分子多項(xiàng)式系數(shù)；l A：分母多項(xiàng)式系數(shù)；：分母多項(xiàng)式系數(shù)；l w：一個實(shí)向量，一般表示為角頻：一個實(shí)向量，一般表示為角頻 rad/s。如作為輸入?yún)?shù)向量，則表示。如作為輸入?yún)?shù)向量，則表示需要計算頻響的對應(yīng)頻率點(diǎn)。需要計算頻響的對應(yīng)頻率點(diǎn)。l n：為需計算的點(diǎn)數(shù)。此時自動產(chǎn)生一個長度為：為需計算的點(diǎn)數(shù)。此時自動產(chǎn)生一個長度為n的向量的向量w。如果省略如果省略n，則自動取，則自動取n=200個點(diǎn)。個點(diǎn)。l h：返回的復(fù)頻響應(yīng)。：返回的復(fù)頻響應(yīng)。70有的書上要求歸一化是對有的書上要求歸一化是對Wp進(jìn)行的，此時可以改進(jìn)行的，此時可以改為為w1*Wp。71此時此時wpws，

37、表，表示為高通濾波器示為高通濾波器72此時的通帶、阻帶截此時的通帶、阻帶截止頻率均為二元，表止頻率均為二元，表示為帶通濾波器。示為帶通濾波器。73% 原型低通原型低通實(shí)際帶阻實(shí)際帶阻74l 確定擬設(shè)計的確定擬設(shè)計的（如數(shù)字高通）的技術(shù)（如數(shù)字高通）的技術(shù)；l 將上述指標(biāo)轉(zhuǎn)換成對應(yīng)的將上述指標(biāo)轉(zhuǎn)換成對應(yīng)的（如模擬高通）的技術(shù)（如模擬高通）的技術(shù)：l 將轉(zhuǎn)換后的模擬濾波器指標(biāo)再轉(zhuǎn)換成將轉(zhuǎn)換后的模擬濾波器指標(biāo)再轉(zhuǎn)換成；l 按前面所學(xué)的方法設(shè)計模擬低通濾波器；按前面所學(xué)的方法設(shè)計模擬低通濾波器；l 將得到的模擬低通通過頻率變換，轉(zhuǎn)換成所需類型的模擬濾波器。將得到的模擬低通通過頻率變換，轉(zhuǎn)換成所需類型的

38、模擬濾波器。l 采用雙線性變換法等，將所設(shè)計的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成所對應(yīng)類型的數(shù)采用雙線性變換法等，將所設(shè)計的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成所對應(yīng)類型的數(shù)字濾波器。字濾波器。21tan2T 75設(shè)計的數(shù)字設(shè)計的數(shù)字濾波器指標(biāo)濾波器指標(biāo)對應(yīng)的模擬對應(yīng)的模擬濾波器指標(biāo)濾波器指標(biāo)模擬低通模擬低通濾波器指標(biāo)濾波器指標(biāo)需要的需要的數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器對應(yīng)的對應(yīng)的模擬濾波器模擬濾波器76設(shè)計設(shè)計，要求如下：，要求如下：n 通帶截止頻率通帶截止頻率n 通帶最大衰減通帶最大衰減n 阻帶截止頻率阻帶截止頻率n 阻帶最小衰減阻帶最小衰減將上述指標(biāo)轉(zhuǎn)換為將上述指標(biāo)轉(zhuǎn)換為（令（令T=1）：）：15HsdB0.8 Hprad3HpdB0

39、.44 Hsrad12tan6.155/ , 3212tan1.655/ , 152HpHpHpHsHsHsrad sdBrad sdB77再轉(zhuǎn)換為再轉(zhuǎn)換為的技術(shù)指標(biāo)：的技術(shù)指標(biāo)：110.163/ , 36.155110.604/ , 151.655LpLpHpLsLsHsrad sdBrad sdB將將 和和 （這里?。ㄟ@里取 ）：）：13.71LpLppcLpLsLsscLpLsLpcLp 78設(shè)計設(shè)計模擬低通濾波器模擬低通濾波器 ：模擬低通濾波器的階數(shù)模擬低通濾波器的階數(shù)N計算如下：計算如下：0.10.11010.18031013.71lg1.31lgLpLsspssppspspkkN

40、2N 這里，?。哼@里，取：( )G p79 通過查表，可輕易得到通過查表，可輕易得到模擬模擬傳輸函數(shù)傳輸函數(shù)為為21( )21G ppp222( )2cccG sss下面進(jìn)行去歸一化。將下面進(jìn)行去歸一化。將 代入上式得到：代入上式得到：csp ( )G p8022221( )21acccHsGssss將模擬低通轉(zhuǎn)換成模擬高通：將模擬低通轉(zhuǎn)換成模擬高通：將將 中的變量進(jìn)行替換，即：中的變量進(jìn)行替換，即：即可得到模擬高通濾波器即可得到模擬高通濾波器 ： ( )G s1ss( )aHs81用用將模擬高通轉(zhuǎn)換成數(shù)字高通將模擬高通轉(zhuǎn)換成數(shù)字高通111211 2121 212( )( )0.106(1)1

41、.624 1.9470.5660.0653(1)1 1.1990.349azszH zHszzzzzz82設(shè)計一個數(shù)字帶通濾波器，技術(shù)指標(biāo)如下：設(shè)計一個數(shù)字帶通濾波器，技術(shù)指標(biāo)如下：n通帶通帶上上截止頻率截止頻率n通帶通帶下下截止頻率截止頻率n阻帶阻帶上上截止頻率截止頻率n阻帶阻帶下下截止頻率截止頻率n通帶內(nèi)最大衰減通帶內(nèi)最大衰減n阻帶內(nèi)最小衰減阻帶內(nèi)最小衰減0.4 urad0.3 lrad20.5 srad10.2 srad3 dBp18 dBs83（1）將上述指標(biāo)轉(zhuǎn)換為模擬帶通濾波器的指標(biāo)（設(shè)）將上述指標(biāo)轉(zhuǎn)換為模擬帶通濾波器的指標(biāo)（設(shè)T=1）：）：221112tan1.453/212tan1.019/212tan2/212tan0.650/2uullss