多面體外接球半徑內(nèi)切球半徑的常見(jiàn)幾種求法

1、多面體外接球、內(nèi)切球半徑常見(jiàn)的5種求法如果一個(gè)多面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，那么稱這個(gè)多面體是球的內(nèi)接多面體，這個(gè)球稱為多面體的外接球.有關(guān)多面體外接球的問(wèn)題，是立體幾何的一個(gè)重點(diǎn)，也是高考考查的一個(gè)熱點(diǎn).研究多面體的外接球問(wèn)題，既要運(yùn)用多面體的知識(shí)，又要運(yùn)用球的知識(shí)，并且還要特別注意多面體的有關(guān)幾何元素與球的半徑之間的關(guān)系，而多面體外接球半徑的求法在解題中往往會(huì)起到至關(guān)重要的作用.公式法例i一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為9-，底面周長(zhǎng)為3,則這個(gè)球的體積為8正六棱柱的底面圓的半徑6x3,x，高為h，則有9869筑解設(shè)正

2、六棱柱的底面邊長(zhǎng)為1x2,h3r-，球心到底面的距離d2外接球的半徑R.r2d21.V球一.3小結(jié)本題是運(yùn)用公式R2r2d2求球的半徑的，該公式是求球的半徑的常用公式多面體幾何性質(zhì)法例2已知各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上的正四棱柱的高為4，體積為16,則這個(gè)球的表面積是A.16B.20C.24D.3216，解得x2.解設(shè)正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為x，外接球的半徑為R，則有4x2-2R運(yùn)4"2J6,RJ6.這個(gè)球的表面積是4R224.選C.小結(jié)本題是運(yùn)用“正四棱柱的體對(duì)角線的長(zhǎng)等于其外接球的直徑”這一性質(zhì)來(lái)求解的補(bǔ)形法例3若三棱錐的三個(gè)側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)均為.3，則其外接球的表面積是_解據(jù)題意可

3、知，該三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，把這個(gè)三棱錐可以補(bǔ)成一個(gè)棱長(zhǎng)為3的正方體，于是正方體的外接球就是三棱錐的外接球設(shè)其外接球的半徑為2R，則有2R二2.32込29.R29.4故其外接球的表面積2S4R9.小結(jié)一般地，若'個(gè)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且其長(zhǎng)度分別為a、b、c,則就可以將這個(gè)三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，于是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)就是該三棱錐的外接球的直徑.設(shè)其外接球的半徑為R，則有2R，a2b2c2.尋求軸截面圓半徑法例4正四棱錐SABCD的底面邊長(zhǎng)和各側(cè)棱長(zhǎng)都為、2，點(diǎn)S、AB、C、D都在同一球面上，則此球的體積為.C解設(shè)正四棱錐的底面中心為Oi，外接球的球心為0，如圖3所示.由球的

4、截面的性質(zhì)，可得OOi平面ABCD.又SOi平面ABCD，球心0必在SO所在的直線上ASC的外接圓就是外接球的一個(gè)軸截面圓，外接圓的半徑就是外接球的半徑在ASC中，由SASC.2,AC2，得SA2SC2AC2.ASC是以AC為斜邊的RtAC,41是外接圓的半徑，也是外接球的半徑.故V球23小結(jié)根據(jù)題意，我們可以選擇最佳角度找出含有正棱錐特征元素的外接球的一個(gè)軸截面圓，于是該圓的半徑就是所求的外接球的半徑本題提供的這種思路是探求正棱錐外接球半徑的通解通法，該方法的實(shí)質(zhì)就是通過(guò)尋找外接球的一個(gè)軸截面圓，從而把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題來(lái)研究這種等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法值得我們學(xué)習(xí)確定球心位置法例

5、5在矩形ABCD中，AB4,BC3，沿AC將矩形ABCD折成一個(gè)直二面角BACD，則四面體ABCD的外接球的體積為125125125125A.B.C.D.12963C解設(shè)矩形對(duì)角線的交點(diǎn)為O，則由矩形對(duì)角線互相平分，可知OAOBOCOD.點(diǎn)O到四面體的四個(gè)頂點(diǎn)A、B、C、D的距離相等，即點(diǎn)O為四面體的外接球的球心，如圖2所示.外接球的半5,、，43125徑ROA.故V球R.選C.236出現(xiàn)多個(gè)垂直關(guān)系時(shí)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量知識(shí)求解【例題】：已知在三棱錐ABCD中，ADAC2，求該棱錐的外接球半徑解：由已知建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)BAD面ABC,BAC120,z由平面知識(shí)得設(shè)球心坐標(biāo)為O(x

6、,y,z)AOC(1,3,0)BOCO,由空間兩點(diǎn)間公式知x2y2z2(x2)2y2z2x22y2(z2)2y解得所以半徑為R12（33）12【結(jié)論】：空間兩點(diǎn)間距離公式:213PQ“XiX2)2(yiy2)2(ziZ2)2四面體是正四面體外接球與內(nèi)切球的圓心為正四面體高上的一個(gè)點(diǎn),根據(jù)勾股定理知，假設(shè)正四面體的邊長(zhǎng)為a時(shí)，它的外接球半徑為a。4內(nèi)切球的半徑正方體的內(nèi)切球：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，求（1）內(nèi)切球半徑；（2）外接球半徑；（3）與棱相切的球半徑。（1）截面圖為正方形EFGH的內(nèi)切圓，得Ra；2（2）與正方體各棱相切的球：球與正方體的各棱相切，切點(diǎn)為各棱的中點(diǎn)，如圖4作截面圖，圓0為正方

7、形EFGH的外接圓，易得Ra。2（3）正方體的外接球：正方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在球面上，如圖5，以對(duì)角面AA1作截面圖得，圓0為矩形AA1C1C的外接圓，易得R構(gòu)巧棱球合正的造角解柱的問(wèn)棱外D1C1直形,正與組題柱接球，其球心定在上下底面中心連線的中點(diǎn)處，由球心、底面中心及底面一頂點(diǎn)構(gòu)成的直角三角形便可得球半徑。例題：已知底面邊長(zhǎng)為a正三棱柱ABCA1B1C1的六個(gè)頂點(diǎn)在球01上，又知球02與此正三棱柱的5個(gè)面都相切，求球0勺與球02的體積之比與表面積之比。分析：先畫出過(guò)球心的截面圖，再來(lái)探求半徑之間的關(guān)系。解：如圖6，由題意得兩球心01、02是重合的,球心作截面，設(shè)正三棱柱底面邊長(zhǎng)為a，則R2a6正三棱柱的高為h2R2耳，由Rt322Ri2R25a12,R1"AS1:S222R12:R225:1，55:1二棱錐的內(nèi)切、外接球問(wèn)題4.正四面體的外接球和內(nèi)切球的半徑是多少分析：運(yùn)用正四面體的二心合一性質(zhì)，作出截面圖，通過(guò)點(diǎn)、線、解之。解：如圖1所示，設(shè)點(diǎn)0是內(nèi)切球的球心，正四面體棱長(zhǎng)為面關(guān)系對(duì)稱性知，點(diǎn)0也是外接球的球心.設(shè)內(nèi)切球半徑為外接球半徑為R.在RtBEO中，BO2BE2EO2，即R2r2，得R弓，a.由圖形的得R3r【點(diǎn)評(píng)】由于正四面體本身的對(duì)稱性可知,內(nèi)切球和外接球的兩個(gè)球心是重合的，為正四