邊際誤差與區(qū)間估計(jì)備課講稿

1、邊際誤差與區(qū)間估計(jì)邊際誤差與區(qū)間估計(jì)邊際誤差與區(qū)間估計(jì)第第8章章 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì) 第第292頁頁 點(diǎn)估計(jì)量的值不會(huì)恰好等於母體參數(shù)值，。區(qū)間估計(jì)值區(qū)間估計(jì)值 (interval estimate) 通常是由點(diǎn)估計(jì)值加或減某個(gè)值求得，我們稱此加減值是邊際誤差邊際誤差 (margin of error)。區(qū)間估計(jì)值的一般形式是： 點(diǎn)估計(jì)值 邊際誤差區(qū)間估計(jì)值可以讓人瞭解，由樣本得到的點(diǎn)估計(jì)值與母體參數(shù)值的接近程度。邊際誤差與區(qū)間估計(jì)邊際誤差與區(qū)間估計(jì)第第8章章 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì) 第第293頁頁 母體平均數(shù)的區(qū)間估計(jì)值的通式如下： 邊際誤差母體比例的區(qū)間估計(jì)值的通式如下： 邊際誤差xp8.1 母體

2、平均數(shù)：母體平均數(shù)： 已知已知第第8章章 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì) 第第293-296頁頁 邊際誤差與區(qū)間估計(jì) 實(shí)務(wù)建議母體平均數(shù)：母體平均數(shù)： 已知已知第第8章章 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì) 第第293頁頁 為求算母體平均數(shù)的區(qū)間估計(jì)值，必須知道母體標(biāo)準(zhǔn)差 或樣本標(biāo)準(zhǔn)差 s 以計(jì)算邊際誤差。大部分應(yīng)用的 很少是已知數(shù)值，而以 s 來計(jì)算邊際誤差。某些應(yīng)用有大量現(xiàn)成歷史資料，可以在抽樣前先用來估計(jì)母體標(biāo)準(zhǔn)差。在此情況下，可視母體標(biāo)準(zhǔn)差已知，我們稱此為 已知已知 ( known) 的情況。母體平均數(shù)的區(qū)間估計(jì)：母體平均數(shù)的區(qū)間估計(jì)： 已知已知樣本平均數(shù)的抽樣誤差等於或少於 的機(jī)率為 1 - 。 /2 /2所有值的

3、 1 的抽樣分配 /2xZ第第8章章 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)xxxxZ2/xZ2/母體平均數(shù)的區(qū)間估計(jì)：母體平均數(shù)的區(qū)間估計(jì)： 已知已知第第8章章 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì) /2/2此區(qū)間不包含 此區(qū)間包含 此區(qū)間包含 所有值的 1 iiiw xxw 的抽樣分配 xxZ2/xZ2/xxxx母體平均數(shù)的區(qū)間估計(jì)：母體平均數(shù)的區(qū)間估計(jì)： 已知已知第第8章章 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì) 第第293頁頁 母體平均數(shù)的區(qū)間估計(jì)值： 已知其中 = 樣本平均數(shù) 1- = 信賴係數(shù) = 右尾面積/2 的標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)分配的 z 值 = 母體標(biāo)準(zhǔn)差 n = 樣本大小xnzx2/2/ z邊際誤差與區(qū)間估計(jì)：邊際誤差與區(qū)間估計(jì)：已知實(shí)例已知實(shí)例

4、第第8章章 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì) 第第293-294頁頁 第7章洛依德公司例子中，購(gòu)物花費(fèi)的母體是標(biāo)準(zhǔn)差 20 的常態(tài)分配。邊際誤差與區(qū)間估計(jì)：邊際誤差與區(qū)間估計(jì)： 已知實(shí)例已知實(shí)例第第8章章 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì) 第第293-294頁頁 利用標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)機(jī)率表，我們可以發(fā)現(xiàn)任何常態(tài)分配隨機(jī)變數(shù)值，有95% 會(huì)落在離平均數(shù) 1.96 個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差內(nèi)。因?yàn)?的抽樣分配是常態(tài)分配，因此有 95% 的 值必須落在 內(nèi)。洛依德例子的 的抽樣分配是常態(tài)分配，標(biāo)準(zhǔn)誤 。因?yàn)?1.96(2) 3.92 。我們的結(jié)論是：樣本大小為 n 100 得到的樣本平均數(shù)會(huì)有 95% 落在母體平均數(shù) 3.92 的範(fàn)圍內(nèi)。見圖 8.2。2

5、xx96. 1xxx96. 1x邊際誤差與區(qū)間估計(jì)：邊際誤差與區(qū)間估計(jì)： 已知實(shí)例已知實(shí)例第第8章章 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì) 第第294頁頁 邊際誤差與區(qū)間估計(jì)：邊際誤差與區(qū)間估計(jì)： 已知實(shí)例已知實(shí)例第第8章章 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì) 第第294頁頁 以洛依德公司為例，如果以 3.92 為邊際誤差，可以用 來計(jì)算 的區(qū)間估計(jì)值。為瞭解釋區(qū)間估計(jì)值的意義，我們先假定選取三個(gè)不同的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，每個(gè)樣本都有 100 名洛依德的顧客，第一個(gè)樣本的樣本平均數(shù)是圖 8.3 的 。圖 8.3 顯示，自 x1 加減 3.92 得到的區(qū)間會(huì)涵蓋母體平均數(shù) 。如果隨機(jī)樣本得到的 如圖 8.3所示，可以看到 顯然不等於 ，但

6、是自 加減 3.92 得到的區(qū)間仍會(huì)涵蓋母體平均數(shù)。然而，若第三個(gè)樣本平均數(shù)是圖 8.3 的 ，情況又是如何？可看出 形成的區(qū)間並未涵蓋母體平均數(shù) 。因?yàn)?落在抽樣分配的右尾，而且距離 超過 3.92 。92. 3x1x2x2x2x1x3x92. 33x3x邊際誤差與區(qū)間估計(jì)：邊際誤差與區(qū)間估計(jì)：已知實(shí)例已知實(shí)例第第8章章 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì) 第第294-295頁頁 圖 8.3 陰影區(qū)內(nèi)的任何樣本平均數(shù) 所建立的區(qū)間，都會(huì)包含母體平均數(shù) 。由於所有可能的樣本平均數(shù)有 95% 都落在陰影區(qū)，所以將樣本平均數(shù) 加或減 3.92 所形成的所有區(qū)間，有 95% 會(huì)包含母體平均數(shù) 。xx邊際誤差與區(qū)間估計(jì)

7、：邊際誤差與區(qū)間估計(jì)：已知實(shí)例已知實(shí)例第第8章章 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì) 第第295頁頁 邊際誤差與區(qū)間估計(jì)：邊際誤差與區(qū)間估計(jì)： 已知實(shí)例已知實(shí)例第第8章章 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì) 第第295頁頁 假定最近數(shù)週內(nèi)，洛依德的品管團(tuán)隊(duì)調(diào)查 100 位顧客，得到購(gòu)物花費(fèi)的樣本平均數(shù)是 82，以 3.92計(jì)算區(qū)間估計(jì)值，可以得到 82 3.92。因此，以最近 1 週的樣本資料得到的區(qū)間估計(jì)值是 82 3.9278.08 到 823.9285.92。由於以 3.92 建立的各種區(qū)間估計(jì)值中，有 95% 的區(qū)間估計(jì)值會(huì)包含母體平均數(shù)，因此，我們可以說有 95% 的信心，78.08 到 85.92 的區(qū)間會(huì)包含母體平

8、均數(shù) 。我們也可以說，這個(gè)區(qū)間是在 95% 的信賴水準(zhǔn)信賴水準(zhǔn) (confidence level) 下建立的。其中，0.95 稱為信賴信賴係數(shù)係數(shù) (confidence coefficient)，區(qū)間 78.08 到 85.92 則稱為 95% 信賴區(qū)間信賴區(qū)間 (confidence interval)。xxx邊際誤差與區(qū)間估計(jì)：邊際誤差與區(qū)間估計(jì)： 已知實(shí)例已知實(shí)例第第8章章 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì) 第第295-296頁頁 我們運(yùn)用式 (8.1) 來建立洛依德的 95% 信賴區(qū)間。對(duì) 95% 信賴區(qū)間而言，其信賴係數(shù)是 (1 ) 0.95，因此 0.05。利用標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)機(jī)率表，右尾面積是 /2

9、 0.05/2 0.025，z0.025 1.96。洛依德的樣本平均數(shù)是 82、 20 及樣本大小 n = 100。我們可以得到因此，利用式(8.1)，邊際誤差是 3.92，95% 的信賴區(qū)間是82 3.92 = 78.08 到 823.92 = 85.92。92. 3821002096. 182x邊際誤差與區(qū)間估計(jì)：邊際誤差與區(qū)間估計(jì)： 已知實(shí)例已知實(shí)例第第8章章 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì) 第第296頁頁 雖然 95% 的信賴水準(zhǔn)很常使用，但其他如 90% 及 99 % 的信賴水準(zhǔn)也很常見。最常見的信賴水準(zhǔn)之 值整理在表 8.1。2/z邊際誤差與區(qū)間估計(jì)：邊際誤差與區(qū)間估計(jì)： 已知實(shí)例已知實(shí)例第第8

10、章章 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì) 第第296頁頁 使用這些值及式 (8.1) ，洛依德的 90% 信賴區(qū)間是 因此，在 90% 信賴水準(zhǔn)下，邊際誤差是 3.29，信賴區(qū)間是 82 3.2978.71 到 823.2985.29。同樣地，99% 信賴區(qū)間是因此，在 99% 信賴水準(zhǔn)下，邊際誤差是 5.15，信賴區(qū)間是 82 5.1576.85 到 825.1587.15。 比較90%、95% 及99% 三種信賴水準(zhǔn)，我們可以看到，信賴水準(zhǔn)提高時(shí)，信賴區(qū)間的寬度也會(huì)增加。29. 38210020645. 18215. 58210020576. 282實(shí)務(wù)建議實(shí)務(wù)建議第第8章章 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì) 第第296頁

11、頁 實(shí)際樣本數(shù)大部分的實(shí)際應(yīng)用中，以式 (8.1) 建立母體平均數(shù)的信賴區(qū)間時(shí)，樣本大小 n 30 就已足夠。如果母體不是常態(tài)分配，但大致上對(duì)稱，樣本大小至少為 15，式 (8.1) 即可得到良好的近似信賴區(qū)間。樣本更小時(shí)，只有分析人員相信或可以假定母體分配至少是近似常態(tài)時(shí)，才能使用式 (8.1)。評(píng)註評(píng)註第第8章章 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì) 第第297頁頁 本節(jié)討論的是在假設(shè)母體標(biāo)準(zhǔn)差 已知下所進(jìn)行的區(qū)間估計(jì)程序。 已知是指在選取樣本以求算母體平均數(shù)的估計(jì)值之前，歷史資料或其他現(xiàn)有資訊讓我們可以取得母體標(biāo)準(zhǔn)差 的良好估計(jì)值。所以，技術(shù)上來說，並非我們已知道 的確實(shí)值，而是在抽樣前就取得 的良好估計(jì)值

12、，所以不必由同一個(gè)樣本來估計(jì)母體平均數(shù)及母體標(biāo)準(zhǔn)差。評(píng)註評(píng)註第第8章章 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì) 第第297頁頁 注意式 (8.1) 中有使用到樣本數(shù) n，如果在特定樣本數(shù)下所計(jì)算出的信賴區(qū)間太寬，以致無法提供特定用途，我們可能會(huì)增加樣本數(shù)來縮短信賴區(qū)間。由於 n 在區(qū)間估計(jì)公式的分母，如果樣本數(shù)增加，則邊際誤差會(huì)變小，所以會(huì)縮短區(qū)間，增加精確度。有關(guān)如何決定適當(dāng)樣本數(shù)以獲致所需精確度的程序，將在 8.3 節(jié)進(jìn)一步說明。8.2母體平均數(shù)：母體平均數(shù)： 未知未知第第8章章 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì) 第第298-304頁頁 邊際誤差與區(qū)間估計(jì) 實(shí)務(wù)建議 使用小樣本 區(qū)間估計(jì)程序摘要母體平均數(shù)：母體平均數(shù)： 未知未

13、知第第8章章 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì) 第第298頁頁 建立母體平均數(shù)的區(qū)間估計(jì)值時(shí)，我們通常也沒有母體標(biāo)準(zhǔn)差的良好估計(jì)值。這種情況下，就要以同一個(gè)樣本來估計(jì) 及 。此種情況稱為 未知未知 ( unknown) 的情況。若以 s 來估計(jì) ，邊際誤差及母體平均數(shù)的區(qū)間估計(jì)值是根據(jù)稱為 t 分配分配 (t distribution) 的機(jī)率分配求算而得。t 分配分配第第8章章 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì) 第第298-299頁頁 t 分配是由一群類似的機(jī)率分配組成。任一 t 分配都有名為自由度自由度 (degrees of freedom) 的特定參數(shù)?？赡苡凶杂啥葹?1、自由度為 2、自由度為 3 等不同的 t 分

14、配。t 分配分配第第8章章 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì) 第第299頁頁 當(dāng)自由度增加時(shí)，t 分配和標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)分配的差距將愈來愈小。圖 8.4 顯示 t 分配在自由度 10 和 20 時(shí)與標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)分配圖的比較。請(qǐng)注意，當(dāng)自由度較高時(shí)，t 分配較不分散，且更接近標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)機(jī)率分配。另外，也請(qǐng)注意 t 分配的平均數(shù)為 0 。t 分配分配第第8章章 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì) 第第299頁頁 t 分配分配第第8章章 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì) 第第299頁頁 我們以 t 的右下標(biāo)表示 t 分配右尾的機(jī)率，正如 z0.025 表示標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)分配右尾面積為 0.025 所對(duì)應(yīng)的z 值一樣， t0.025 代表 t 分配右尾面積為 0.025

15、 所對(duì)應(yīng)的 t 值。通常，我們以 t/2 表示 t 分配右尾面積為 /2 時(shí)所對(duì)應(yīng)的 t 值，見圖 8.5 。t 分配分配第第8章章 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì) 第第299頁頁 t 分配分配第第8章章 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì) 第第299頁頁 附錄 B 的表 2 是 t 分配表。表 8.2 為 t 分配表的一部分，表中每一列對(duì)應(yīng)到特定自由度的 t 分配。當(dāng) t 分配的自由度為 9 時(shí)，則 t0.025 2.262；同理，t 分配的自由度是 60 時(shí)， t0.025 2.000 。當(dāng)自由度繼續(xù)地增加，則 t0.025 愈逼近 z0.025 1.96 。事實(shí)上，t 分配表中自由度為無限大 () 的對(duì)應(yīng)欄位中可發(fā)現(xiàn)標(biāo)

16、準(zhǔn)常態(tài)分配的 z 值。假如自由度大於100，就可用自由度無限大的 t 值來近似。換言之，自由度超過100 的 t 分配，標(biāo)準(zhǔn)常態(tài) z 值是很好的近似值。t 分配分配第第8章章 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì) 第第300頁頁 t 分配分配第第8章章 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì) 第第300頁頁 t 分配分配第第8章章 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì) 第第300頁頁 t 分配分配第第8章章 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì) 第第300頁頁 母體平均數(shù)的區(qū)間估計(jì)：母體平均數(shù)的區(qū)間估計(jì)： 未知未知第第8章章 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì) 第第301頁頁 區(qū)間估計(jì)其中 s 是樣本標(biāo)準(zhǔn)差， (1 ) 是 信賴係數(shù)，t/2 是自由度為 n 1 的 t 分配，右尾面積為 /2

17、 時(shí)所對(duì)應(yīng)的 t 值。nstx2/母體平均數(shù)的區(qū)間估計(jì)：母體平均數(shù)的區(qū)間估計(jì)： 未知實(shí)例未知實(shí)例第第8章章 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì) 第第301頁頁 某個(gè)研究調(diào)查了關(guān)於美國(guó)家庭的平均信用卡債的情形。研究中共有 70 個(gè)家庭的信用卡帳戶資料的餘額，如表 8.3。因?yàn)闆]有任何歷史資料，我們並不知道信用卡帳戶餘額的母體標(biāo)準(zhǔn)差，因此，必須利用樣本標(biāo)準(zhǔn)差 s 來估計(jì)母體標(biāo)準(zhǔn)差 。接下來，我們要建立母體平均數(shù)的 95% 信賴區(qū)間。母體平均數(shù)的區(qū)間估計(jì)：母體平均數(shù)的區(qū)間估計(jì)： 未知實(shí)例未知實(shí)例第第8章章 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì) 第第301頁頁 母體平均數(shù)的區(qū)間估計(jì)：母體平均數(shù)的區(qū)間估計(jì)： 未知實(shí)例未知實(shí)例第第8章章 區(qū)間

18、估計(jì)區(qū)間估計(jì) 第第301-302頁頁 利用表 8.3 的資料算出樣本平均數(shù) $9312，樣本標(biāo)準(zhǔn)差 s $4007。信賴水準(zhǔn)是 95%，自由度為 n 169，查表 8.2 可得適當(dāng)?shù)?t0.025 值。我們可在自由度為 69 的列找到右尾是 0.025 時(shí)的 t0.025 = 1.995。母體平均數(shù)的點(diǎn)估計(jì)值是 $9312，邊際誤差是 $955，95% 信賴區(qū)間是9312 955$8357 到 9312955$10,267。9559312704007995. 19312x實(shí)務(wù)建議實(shí)務(wù)建議第第8章章 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì) 第第302頁頁 如果母體是常態(tài)分配，式 (8.2) 的區(qū)間估計(jì)公式可以適用於任

19、何大小的樣本，並產(chǎn)生確切的區(qū)間估計(jì)值。如果母體不是常態(tài)分配，則式 (8.2) 只是區(qū)間估計(jì)的近似值。此種情況下，近似值的近似程度視母體的分配及樣本大小而定。實(shí)務(wù)建議實(shí)務(wù)建議第第8章章 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì) 第第302頁頁 大部分的應(yīng)用中，以式 (8.2) 建立母體平均數(shù)的信賴區(qū)間時(shí)，樣本大小 n 30 就已足夠。但是，如果母體分配有嚴(yán)重的偏態(tài)或是離群值，許多統(tǒng)計(jì)學(xué)者建議最好將樣本大小增加到 50 或更多。如果母體不是常態(tài)分配，但大致上對(duì)稱，樣本大小至少為 15，也可以得到良好的近似信賴區(qū)間。但在樣本更小時(shí)，只有分析人員相信或可以假定母體分配至少是近似常態(tài)時(shí)，才能使用式 (8.2) 。使用小樣本實(shí)例

20、使用小樣本實(shí)例第第8章章 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì) 第第302頁頁 以 Scheer 工業(yè)訓(xùn)練計(jì)畫之評(píng)估為例，說明小樣本的區(qū)間估計(jì)的推算過程。Scheer 工業(yè)的生產(chǎn)部經(jīng)理想要利用新的電腦輔助訓(xùn)練計(jì)畫來訓(xùn)練員工進(jìn)行機(jī)器維修。為了完整評(píng)估此計(jì)畫，該經(jīng)理希望能夠估計(jì)在員工完成在電腦輔助訓(xùn)練的平均時(shí)間。選擇 20 名員工為樣本，接受此項(xiàng)訓(xùn)練，樣本中的每位員工所需的訓(xùn)練天數(shù)如表 8.4 ，樣本資料的直方圖如圖 8.6 。使用小樣本實(shí)例使用小樣本實(shí)例第第8章章 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì) 第第302頁頁 使用小樣本實(shí)例使用小樣本實(shí)例第第8章章 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì) 第第302頁頁 使用小樣本實(shí)例使用小樣本實(shí)例第第8章章 區(qū)間

21、估計(jì)區(qū)間估計(jì) 第第303頁頁 計(jì)算樣本平均數(shù)和樣本標(biāo)準(zhǔn)差如下。查附錄 B 的表 2，得知自由度為 n119 時(shí)，t0.0252.093，運(yùn)用式 (8.2) 可求得 母題平均數(shù)的 95% 信賴區(qū)間的估計(jì)值。母體平均數(shù)的點(diǎn)估計(jì)值為 51.5 天，邊際誤差是 3.2 天， 95%信賴區(qū)間為 51.53.248.3 天到 51.53.254.7 天。天天84. 61208891)(5 .51201030211nxsnxxx3.251.5206.842.09351.5區(qū)間估計(jì)程序摘要區(qū)間估計(jì)程序摘要第第8章章 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì) 第第304-305頁頁 圖 8.7 列出兩種情況下的母體區(qū)間估計(jì)程序。大部分

22、的應(yīng)用中，樣本大小n 30 就已足夠。如果母體是常態(tài)或近似常態(tài)分配，即使樣本大小不到 30 也可使用。但是，在 未知的情況下，如果母體有嚴(yán)重的偏態(tài)或是有離群值，建議樣本大小應(yīng)為 n 50。區(qū)間估計(jì)程序摘要區(qū)間估計(jì)程序摘要第第8章章 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì) 第第304頁頁 評(píng)註評(píng)註第第8章章 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì) 第第304頁頁 如果 已知，無論樣本大小 n 是多少，邊際誤差都固定是 。如果 未知，邊際誤差 則會(huì)隨著樣本而改變。因?yàn)闃颖緲?biāo)準(zhǔn)差 s 會(huì)隨樣本不同而改變。較大的 s，會(huì)有較大的邊際誤差；較小的 s，則有較小的邊際誤差。)/(2/nz)/(2/nst評(píng)註評(píng)註第第8章章 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì) 第第30

23、4頁頁 母體的分配形狀若呈現(xiàn)偏態(tài)，對(duì)區(qū)間估計(jì)值有何影響？以右偏母體為例，延伸的右尾中會(huì)有很大的資料值。此種偏態(tài)下，樣本平均數(shù) 與樣本標(biāo)準(zhǔn)差 s 會(huì)有正相關(guān)。愈大的 s 值，通常有愈大的 值。因此，當(dāng) 大於母體平均數(shù)時(shí)， s 也會(huì)大於母體標(biāo)準(zhǔn)差 。此種偏態(tài)會(huì)使邊際誤差 比起 已知時(shí)的邊際誤差來得大。較大的邊際誤差得到的信賴區(qū)間，比起使用正確的 得到的信賴區(qū)間，更容易包含母體平均數(shù) 。但是，當(dāng) 小於母體平均數(shù)時(shí)， 與 s 的相關(guān)會(huì)使得邊際誤差較小。此種情況下計(jì)算出的信賴區(qū)間，由於邊際誤差較小，信賴區(qū)間的長(zhǎng)度也較小。比起 已知的狀況，此種狀況比較容易發(fā)生信賴區(qū)間未包含正確母體平均數(shù)的情況。所以，我們

24、建議在母體高度偏態(tài)時(shí)，應(yīng)採(cǎi)用比較大的樣本。)/(2/nstxxxxx8.3 樣本大小的決定樣本大小的決定第第8章章 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì) 第第307頁頁 令 E = 所要的邊際誤差。 E 值是使用者在特定信賴水準(zhǔn)下願(yuàn)意接受的邊際誤差。母體平均數(shù)區(qū)間估計(jì)的樣本大小母體平均數(shù)區(qū)間估計(jì)的樣本大小第第8章章 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì) 第第307頁頁 邊際誤差母體平均數(shù)區(qū)間估計(jì)所需的樣本數(shù)nzE2/2222/)(Ezn母體平均數(shù)區(qū)間估計(jì)的樣本大小母體平均數(shù)區(qū)間估計(jì)的樣本大小第第8章章 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì) 第第307-308頁頁 即使 未知，如果先前已有 的初始值或計(jì)畫值(planning value)，仍可使用式 (

25、8.3)。實(shí)務(wù)上有下列方式可供選擇： 由以前的研究得到的母體標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值做為 的計(jì)畫值。 以前測(cè)實(shí)驗(yàn)取得初步樣本。以此樣本得到的樣本標(biāo)準(zhǔn)差做為 的計(jì)畫值。 利用判斷或最佳猜測(cè)法來決定 值。例如，先估計(jì)母體的最大值與最小值，最大值與最小值的差距可做為全距的估計(jì)值，再將全距除以 4 做為標(biāo)準(zhǔn)差的約略估計(jì)值，做為母體 的計(jì)畫值。母體平均數(shù)區(qū)間估計(jì)的樣本大小實(shí)母體平均數(shù)區(qū)間估計(jì)的樣本大小實(shí)例例第第8章章 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì) 第第308頁頁 一項(xiàng)美國(guó)租車費(fèi)用的調(diào)查發(fā)現(xiàn)，租用中型汽車的平均費(fèi)用約為每天 $55 。假設(shè)原先執(zhí)行這項(xiàng)調(diào)查的公司想要執(zhí)行另一項(xiàng)新調(diào)查，以估計(jì)現(xiàn)階段在美國(guó)租用一輛中型汽車 1 天所需

26、費(fèi)用的的母體平均數(shù)。設(shè)計(jì)此項(xiàng)新研究時(shí)，計(jì)畫主持人指定在估計(jì)每天租車費(fèi)的母體平均數(shù)時(shí)，必須採(cǎi)用的邊際誤差為 $2，信賴水準(zhǔn)為 95%。我們可以瞭解到計(jì)畫主持人指定的邊際誤差 E 2， 95% 的信賴水準(zhǔn)表示 z0.025 1.96 。母體平均數(shù)區(qū)間估計(jì)的樣本大小實(shí)母體平均數(shù)區(qū)間估計(jì)的樣本大小實(shí)例例第第8章章 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì) 第第308頁頁 如此一來只需要得到母體標(biāo)準(zhǔn)差 的計(jì)畫值，即可算出符合條件的樣本大小。此時(shí)，一位分析師看過先前研究的樣本資料後，得到樣本標(biāo)準(zhǔn)差為 $9.65，將此值當(dāng)作 的計(jì)畫值，可得因此，此項(xiàng)新研究的樣本至少是 89.43 ，才能滿足計(jì)畫主持人之邊際誤差為 $2 的要求。此

27、例算出的 n 值有小數(shù)點(diǎn)，我們採(cǎi)無條件進(jìn)位法，所以建議的樣本數(shù)是 90 個(gè)中型汽車租金的資料。43.892)65. 9()96. 1 ()(2222222/Ezn8.4 母體比例母體比例第第8章章 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì) 第第310頁頁 母體比例 p 的區(qū)間估計(jì)值的通式是 的抽樣分配在計(jì)算邊際誤差時(shí)扮演關(guān)鍵角色。若 np 5 且 n(1p) 5，則 的抽樣分配會(huì)近似常態(tài)分配。 邊際誤差ppp母體比例的區(qū)間估計(jì)母體比例的區(qū)間估計(jì)第第8章章 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì) 第第310頁頁 母體比例的區(qū)間估計(jì)母體比例的區(qū)間估計(jì)第第8章章 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì) 第第310頁頁 母體比例的區(qū)間估計(jì)值 其中， 1 為 信賴係數(shù)，

28、而 z/2 為 標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)分配 右尾面積 /2 所對(duì)應(yīng)的 z 值nppzp)1 (2/母體比例的區(qū)間估計(jì)實(shí)例母體比例的區(qū)間估計(jì)實(shí)例第第8章章 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì) 第第311頁頁 為了瞭解女性高爾夫球員對(duì)高爾夫球課程的看法，針對(duì)全美 900 位女性高爾夫球員進(jìn)行調(diào)查。調(diào)查結(jié)果發(fā)現(xiàn)，有 396 位女性高爾夫球員對(duì)練習(xí)開球的次數(shù)感到滿意，如此一來，對(duì)開球次數(shù)感到滿意的女性高爾夫球員之母體比例的點(diǎn)估計(jì)為 396/900 0.44。母體比例的區(qū)間估計(jì)實(shí)例母體比例的區(qū)間估計(jì)實(shí)例第第8章章 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì) 第第311頁頁 利用式 (8.6) 及 95% 信賴水準(zhǔn)，可得因此，在 95% 信賴水準(zhǔn)下，邊際誤差為

29、0.0324 且母體比例的區(qū)間估計(jì)為 0.4076 至 0.4724 之間。此調(diào)查結(jié)果得到的結(jié)論是：我們有 95% 的信心說，有 40.76% 至 47.24% 的女性高爾夫球員對(duì)練習(xí)開球的次數(shù)感到滿意。0324. 044. 0900)44. 01 (44. 096. 144. 0)1 ( 2/nppzp樣本大小的決定樣本大小的決定第第8章章 區(qū)間區(qū)間 第第311頁頁 令 E 表示所要的邊際誤差 所需的樣本數(shù) n 的公式如下 但請(qǐng)注意，我們並不能使用上述公式來求算特定邊際誤差下的樣本大小，因?yàn)?必須在抽樣後才能得知。因此，我們需要 的計(jì)畫值，以便計(jì)算所需樣本大小。以符號(hào) p* 表示 的計(jì)畫值。

30、pnppzE)1 (2/222/)1 ()(Eppznpp樣本大小的決定樣本大小的決定第第8章章 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì) 第第311-312頁頁 母體比例區(qū)間估計(jì)值所需的樣本數(shù)此計(jì)畫值 p* 可依下列程序獲得：利用以前來自相同或類似的樣本之樣本比例做為計(jì)畫值 p*。利用前測(cè)實(shí)驗(yàn)選擇初步的樣本，此樣本比例值即可做為計(jì)畫值 p*。利用判斷或最佳猜測(cè)來決定 p*值。在沒有先前的實(shí)驗(yàn)資料可用的情形下，可令設(shè) p*的計(jì)畫值為 0.50。2*22/)1 ()(Eppzn樣本大小的決定實(shí)例樣本大小的決定實(shí)例第第8章章 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì) 第第312頁頁 再回到女性高爾夫球員的相關(guān)調(diào)查，假設(shè)公司有意執(zhí)行一項(xiàng)新調(diào)查，以估計(jì)對(duì)練習(xí)開球的次數(shù)感到滿意之女性高爾夫球員的母體比例。假若此調(diào)查之主持人希望在 95% 信賴水準(zhǔn)下，母體比例估計(jì)的邊際誤差為 0.025，則到底需要多大的樣本？樣本大小的決定實(shí)例樣本大小的決定實(shí)例第第8章章 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì) 第第312頁頁 因?yàn)?E0.025 且z/21.96，所以我們需要一個(gè)計(jì)畫值 p*才能回