隧道力學(xué)特征及數(shù)值模擬方法

1、2隧道力學(xué)特征及數(shù)值模擬方法2.1隧道幵挖生成的圍巖二次應(yīng)力場(chǎng)特征巖體在開挖前處于初始應(yīng)力狀態(tài)，初始應(yīng)力主要是由于巖體的自重和地質(zhì)構(gòu)造所引起的。在巖體進(jìn)行開挖后改變了巖體的初始應(yīng)力狀態(tài)，使巖體中的應(yīng)力狀態(tài)重新分布，引起巖體變形甚至破壞。在這個(gè)時(shí)間工程中，地層應(yīng)力是連續(xù)變化的，特別地，洞室開挖后在未加支護(hù)的情況下，地層應(yīng)力所達(dá)到的新的相對(duì)平衡稱為圍巖的二次應(yīng)力狀態(tài)。一般來(lái)說(shuō)，二次應(yīng)力場(chǎng)是三維場(chǎng)。在隧道施工過(guò)程中，橫向的二次應(yīng)力作用使得洞周圍巖的應(yīng)力狀態(tài)和變形狀態(tài)發(fā)生了顯著的變化，可將洞周圍巖從周邊開始逐漸向深部分為4個(gè)區(qū)域：（1）松動(dòng)區(qū)由于施工擾動(dòng)（例如施工爆破），區(qū)內(nèi)巖體被裂隙切割，越靠近洞室

2、周圍越嚴(yán)重，其內(nèi)聚力趨近于零，內(nèi)摩擦角也有所降低，強(qiáng)度明顯削弱，基本無(wú)承載能力，在重力的作用下，產(chǎn)生作用在支護(hù)上的松動(dòng)壓力。（2）塑性強(qiáng)化區(qū)這一區(qū)域是圍巖產(chǎn)生變形的根源。隧道開挖后破壞了地層的原狀力線，在洞體四周產(chǎn)生了很高的應(yīng)力集中，此時(shí)，該處只存在切向應(yīng)力和指向隧道中心的徑向不平衡力，切向應(yīng)力由承載拱承擔(dān)，而對(duì)于徑向應(yīng)力，毛洞是無(wú)法承擔(dān)的，所以要釋放（在有支護(hù)的情況下一部分被初期支護(hù)承擔(dān)）。這就造成了洞體開挖后四周的圍巖向隧道中心發(fā)生位移，周邊的徑向應(yīng)力逐漸趨向零，而切向應(yīng)力隨著徑向位移而增大。這一應(yīng)力狀態(tài)的變化導(dǎo)致巖體從初始的二軸3）（這里只考察平面應(yīng)力狀態(tài)）受壓狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)閱屋S受壓狀態(tài)，使

3、得這一區(qū)域圍巖處于非常不利的受力狀態(tài)，當(dāng)這一應(yīng)力狀態(tài)超過(guò)巖體的強(qiáng)度極限時(shí)，洞室周圍出現(xiàn)了塑性區(qū)域或者破壞區(qū)域，產(chǎn)生塑性變形。如果洞室周圍塑性區(qū)域擴(kuò)展不大，隨著徑向位移的出現(xiàn)，地層塑性區(qū)域達(dá)到穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，圍巖沒(méi)有達(dá)到承載能力的極限值；但是如果塑性區(qū)域繼續(xù)擴(kuò)展，則必須采取支護(hù)措施約束地層運(yùn)動(dòng)，才能保持洞室圍巖處于穩(wěn)定狀態(tài)，這時(shí)為了阻止地層運(yùn)動(dòng)，就顯出塑性變形壓力。彈性各點(diǎn)變形區(qū)域這一區(qū)域內(nèi)巖體在二次應(yīng)力作用下仍處于彈性變形狀態(tài)，的應(yīng)力都超過(guò)原巖的應(yīng)力，應(yīng)力解除后能恢復(fù)到原巖應(yīng)力狀態(tài)。其次，開挖面前方地層對(duì)已開挖區(qū)域的在開挖過(guò)程中不同橫斷面上的二次應(yīng)力分布和變形是不同的，這種開挖面效應(yīng)使得在開挖

4、面前方和后方一定范圍內(nèi)的二次應(yīng)力場(chǎng)呈三維分布狀態(tài)，這種空間效應(yīng)可以通過(guò)隧道開挖后的位移場(chǎng)反映出來(lái)（如圖2.1）omTi矗道開挖后的位移揚(yáng)（4）原巖狀態(tài)區(qū)巖體未受影響仍處于原巖狀態(tài)。新奧法認(rèn)為圍巖壓力類型可以相互轉(zhuǎn)化，即變形壓力可以轉(zhuǎn)化為松動(dòng)壓力。支護(hù)結(jié)構(gòu)對(duì)圍巖起到約束作用，如果支護(hù)強(qiáng)度不足，圍巖位移過(guò)大進(jìn)入松弛變形階段，則形成了松弛壓力。松弛壓力的實(shí)質(zhì)是部分圍巖脫離母體后作用于支護(hù)結(jié)構(gòu)上的重力。圍巖中常分布著大量的裂隙和結(jié)構(gòu)面，而這些薄弱面的剪切強(qiáng)度遠(yuǎn)低于巖石塊體強(qiáng)度，而且不能承受拉力的作用，因此巖體力學(xué)性質(zhì)往往表現(xiàn)為各向異性，在特定方向上的強(qiáng)度遠(yuǎn)低于巖石的塊體強(qiáng)度。當(dāng)結(jié)構(gòu)面和隧道臨空面形成不

5、利組失去支撐的圍巖塊體脫離母體（圖22），其重力作用于支護(hù)結(jié)構(gòu)上形成松弛壓力，這時(shí)巖壓力將不在取決于圍巖的特征曲線。圖2.2圍巖塊體塌落是松動(dòng)壓力的主要來(lái)源2.2隧道施工過(guò)程中圍巖對(duì)支護(hù)作用力的探討隧道施工時(shí)，由于承載拱效應(yīng)，原始的地層應(yīng)力并不是全部轉(zhuǎn)化為作用在結(jié)構(gòu)上的荷載，即使在隧道建成若干年后，作用在隧道襯砌上的壓力仍然小于初始應(yīng)力。這已被大量的工程測(cè)試資料所驗(yàn)證。對(duì)于這種現(xiàn)象，比較權(quán)威的解釋是1515王夢(mèng)恕地下工程淺埋暗挖技術(shù)通論M安徽：安徽教育出版社，2005隧道開挖后洞室周圍地層應(yīng)力的釋放，隧道的拱形形狀以及地層內(nèi)部摩擦力等導(dǎo)致承載拱發(fā)揮作用，周圍地層應(yīng)力進(jìn)行重分布產(chǎn)生兩種變化，即一

6、部分被釋放，另一部分想深部和其他方向轉(zhuǎn)移。當(dāng)施作襯砌支護(hù)后，地層應(yīng)力的釋放過(guò)程受到擬制，一部分釋放荷載作用在襯砌結(jié)構(gòu)上，這部分荷載的大小正是我們需要了解的作用于襯砌結(jié)構(gòu)上的壓力。圍巖的松動(dòng)塌方與提供支護(hù)的時(shí)機(jī)有尖，如果支護(hù)愈早，提供的抗力就愈大（圖23）巖就能穩(wěn)定。反之力作用下會(huì)松動(dòng)塌落，所以要維持圍巖穩(wěn)定，既要維持巖的極限平衡，還要維持松動(dòng)區(qū)內(nèi)滑移體支護(hù)遲，提供的支護(hù)抗力愈小，不足以維持圍巖的穩(wěn)定，松動(dòng)區(qū)中的巖體在重AdvancingtunnelRasticzone圖2.3與距掌子面位置相矢的支護(hù)壓力1616劉波，韓彥輝.FLAC原理、實(shí)例與應(yīng)用指南M北京：人民交通出版社，2005所需的支護(hù)

7、抗力小于維持圍巖極限平衡狀態(tài)所需的支護(hù)抗力，那么只需要松動(dòng)區(qū)還保持在極限平衡狀態(tài)之中，松動(dòng)區(qū)內(nèi)滑移體就不會(huì)松動(dòng)塌落。反之，則會(huì)松動(dòng)塌落。由此，我們可以把維持松動(dòng)區(qū)內(nèi)滑移體平衡所需的抗力等于維持極限平衡狀態(tài)的抗力，作為圍巖出現(xiàn)松動(dòng)塌落和確定Pimin條件。要確定最佳支護(hù)結(jié)構(gòu)或最佳支護(hù)時(shí)間，必須確定最小圍巖壓力Pimin。最小圍巖壓力和圍巖允許最大位移兩者是等價(jià)的（圖2.4）。目前，無(wú)論是確定最小圍巖壓力還是確定圍巖允許最大位移都沒(méi)有好的計(jì)算方法。對(duì)于一1的情況，可以用下面方法估算1414何滿潮，黃潤(rùn)秋王金安等.工程地質(zhì)數(shù)值方法M北京：科學(xué)出版杜，2006:AneesMJdEddnsqulKxIc

8、imfrrwvrdradialdiBpfaaQorrwrrty*圖2.4圍巖特征曲線和支護(hù)特征曲線16佝劉波，韓彥輝.FLAC原理、實(shí)例與應(yīng)用指南M北京：人民交通出版社，2005由巖體力學(xué)可知，在的情況下，圍巖松動(dòng)區(qū)內(nèi)的滑裂面為一對(duì)對(duì)數(shù)螺線。假設(shè)松動(dòng)區(qū)內(nèi)強(qiáng)度已大大下降，可以認(rèn)為滑移巖體己無(wú)自承作用，以致于松動(dòng)區(qū)內(nèi)滑移體的全部重量都要由支護(hù)抗力Pimin(2.1)來(lái)承受由此有:Pimin=G考慮到實(shí)際情況，真正作用在支護(hù)結(jié)構(gòu)上的壓力應(yīng)當(dāng)是重力與變形壓力的疊加，則式(2應(yīng)該寫為：2G(2.2)式中：G為滑移體的重量；b為滑移體的地寬?；企w的重量可以近似取下式：(2.3)G二*b(Rm.x-f0)

9、2為巖體容重式中：R為與Ri相應(yīng)的允許最大的松動(dòng)取半徑;RmaxRmin帶入式(2.2)得pimln(2.4)按塑性區(qū)半徑公式即可得：P+cctgsin半YlP2sinjRmax=ro；_L(Rmin+濁(2.5)J+sinJ計(jì)算R喻時(shí)，采用的C值應(yīng)該再降低Pimin的大小主要取決于松動(dòng)區(qū)半徑Rmax，當(dāng)原巖應(yīng)力愈大，C,值愈低和C,值損失愈多時(shí)，則入縱和Pimin就愈大。此外，還與巖體構(gòu)造狀況，施工爆破情況、外界條件等有矢，這些都會(huì)影響圍巖C值的降低。由于隧道圍巖力學(xué)性質(zhì)的復(fù)雜性及不確定性，要純粹利用解析的方法準(zhǔn)確計(jì)算巖對(duì)支護(hù)的壓力是很困難的，但是可以通過(guò)數(shù)值模擬及實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)圍巖對(duì)支護(hù)的作

10、用。來(lái)三維力學(xué)分析結(jié)果及國(guó)內(nèi)外大量的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)均表明，原始地層應(yīng)力的釋放率與地面沉降和拱頂下沉之比有很好的一致1414何滿潮，黃潤(rùn)秋王金安等工程地質(zhì)數(shù)值方法M北京：科學(xué)出版杜，2006,即=u地面/u拱頂(2.6)而/“(2.7)式中匚v為實(shí)際作用在結(jié)構(gòu)上的壓力，匚。為原始地層應(yīng)力于是.二心：匚=(U地面/U拱頂)對(duì)于拱部：:V(u地詁u拱種(2.9)對(duì)于邊墻：jv(U地詁u拱皿)koh(2.10)對(duì)于底部：W地顯U拱頂)H(2.11)DL上式中，w為襯砌結(jié)構(gòu)的自重；H為覆蓋土厚度；D為隧道結(jié)構(gòu)跨度；i為隧道側(cè)向任意一點(diǎn)力地面的距離，L為閉合長(zhǎng)度。對(duì)于作用在結(jié)構(gòu)上的圍巖壓力與覆跨比的矢系，由上面

11、各式可以看出，作用在結(jié)構(gòu)上的圍巖壓力與荷載釋放率6密切相矢，而芳即為地面沉降與拱頂下沉之比因此只要研究U與H/D的尖系，就可以弄清楚作用在結(jié)構(gòu)上的圍巖壓力與覆跨比的矢系了。日本的島田隆夫通過(guò)試驗(yàn)得到以下公式:(2.12)式中，H/D為覆跨比，、:是與施工方法有矢的常數(shù)。Atkinson等人根據(jù)模型試驗(yàn)得到下式；U地面/U拱頂=1.0-:H/D(2.13)將2.12式和2.13式代入2.6式和2.11式就可以算得隧道在開挖過(guò)程中的圍巖釋放率和圍巖作用在支護(hù)上的作用力。2.3數(shù)值模擬方法隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅速發(fā)展，借助數(shù)值模擬方法與計(jì)算機(jī)圖形、圖象技術(shù)、可視化技術(shù)相結(jié)合，對(duì)地下工程的開挖步驟、支護(hù)工

12、藝的工程性態(tài)(穩(wěn)定和變形)模擬和過(guò)程再現(xiàn)已成為現(xiàn)實(shí)，這種工程性態(tài)模擬和過(guò)程的圖形顯示技術(shù)被稱為計(jì)算機(jī)仿真技術(shù)。在數(shù)值模擬中，不僅僅可以模擬巖體中的斷層、節(jié)理、裂隙等地質(zhì)結(jié)構(gòu)面，而且還可以模擬分布開挖、支護(hù)等施工過(guò)程，揭示不同施工步驟、施工工藝以及不同支護(hù)條件下的應(yīng)力與位移。尤其采用不連續(xù)分析技術(shù)，模擬和顯示洞室開挖過(guò)程，洞頂及邊墻有些部位巖塊失穩(wěn)而下落或滑移，為支護(hù)設(shè)計(jì)提過(guò)可靠依據(jù)。這些都是解析方法難以實(shí)現(xiàn)的。本文利用巖土工程界最為常用的有限單元法和有限差分法，對(duì)廈門海底隧道不同施工段進(jìn)行了施工力學(xué)行為模擬分析。2.3.1彈塑性有限元分析巖體彈塑性本構(gòu)矢系是巖石主要非線性問(wèn)題之一。巖石的彈塑性

13、是指巖石材料的應(yīng)力應(yīng)變矢系在屈服之前呈線性矢系，當(dāng)應(yīng)力達(dá)到屈服應(yīng)力時(shí)，應(yīng)力應(yīng)變矢系就變?yōu)榉蔷€性。由于彈塑性模型中應(yīng)變不僅依賴于受載的應(yīng)力狀態(tài)，而且與加載路徑有矢，因此一般彈塑性本構(gòu)矢系不能用應(yīng)力應(yīng)變?nèi)渴赶禍?zhǔn)確描述，只能用能反映與加載路徑有矢的應(yīng)力應(yīng)變?cè)隽渴赶得枋?。在巖石非線性本構(gòu)矢系有限元分析中，一般采用初應(yīng)力法和初應(yīng)變法求解非線性平衡方程組。初應(yīng)力法是將荷載以微小增量形式逐級(jí)加在模型上，每加一級(jí)荷載增量：dF./,就會(huì)產(chǎn)生相應(yīng)的位移增量dj?應(yīng)變?cè)隽縞h和應(yīng)力增量|對(duì)于具有初應(yīng)力的彈塑性應(yīng)力應(yīng)變本構(gòu)矢系可以寫J。成：-bptd:2.14):d;。：-bpid(2.15)其中Dpi為塑T生矩

14、陣，它與加載前的應(yīng)力水平有矢，而與應(yīng)力增量無(wú)矢。初應(yīng)力法是通過(guò)對(duì)；0打的處理將應(yīng)力修正到正確的水平上，初應(yīng)力心亠？不僅與加載增量前應(yīng)力水平有矢，還與本級(jí)所加荷載增量引起的應(yīng)變?cè)隽?有矢。量形式平衡方程為KoId二加；:,dFi(2.16)式2.16中，K。為線彈性計(jì)算中總剛度矩陣；】為校正荷載項(xiàng)，由式2.17決定:dF1-7IB:bipId:dv(2.17)由于OF?隨位移變化而變化，所以計(jì)算時(shí)必須進(jìn)行迭代求解。初應(yīng)力法求解按照以下步驟實(shí)現(xiàn)：(1) 把全部荷載劃分成若干個(gè)增量，在每一級(jí)增量段內(nèi)，按照增量彈塑性平衡方程進(jìn)行求解(2) 計(jì)算各單元的應(yīng)力增量及當(dāng)前應(yīng)力仏j=bId3j丿叭上dj匕片二

15、匕L+的片(2.1下標(biāo)i表示第i級(jí)荷載增量；j表示第j次迭代。(3)根據(jù)巖石的屈服準(zhǔn)則，由各單元應(yīng)力判斷單元是否屈服，對(duì)于塑性單元，計(jì)算應(yīng)力修正項(xiàng)并修正應(yīng)力(2.19)(4)塑性單元通過(guò)修正項(xiàng)s計(jì)算等效節(jié)點(diǎn)力，所有塑性單元的等效結(jié)點(diǎn)力疊加構(gòu)成總的修正荷載矢量IdFi=XtdCTpj.dV(5)在修正荷載作用下進(jìn)行下次迭代運(yùn)算，此時(shí)基本方程為(2.21)Kd.j二dFi重復(fù)進(jìn)行(Q(5)步計(jì)算直至所有的塑性單元達(dá)到收斂精度要求。增量計(jì)在進(jìn)行下一步的荷載算重新施加下一級(jí)荷載增量fdFj，重復(fù)計(jì)算(1)(5)步，直至計(jì)算完畢。通過(guò)累加各級(jí)載荷作用的計(jì)算結(jié)果，求得總位移和總應(yīng)力匚門。一般初應(yīng)力法的收斂

16、速度比較緩慢，因此通常采用常剛度和變剛度法相結(jié)合的方法加速收斂。在ANSYS中巖土工程問(wèn)題的分析一般使用Drucker-Prager屈服模型(ffl2.5)，其等效應(yīng)力表達(dá)式為：ce=3TIMIS(2.22)其中：二；X，z/3為平均應(yīng)力或靜水壓；S；為偏應(yīng)力；1為材料常數(shù)；M為mises屈服準(zhǔn)則中的M-a圖25德魯克一普拉格屈服準(zhǔn)則上面的屈服準(zhǔn)則是一種修正的Mises屈服準(zhǔn)則，他考慮了靜水應(yīng)力分量的影響，靜水應(yīng)力(側(cè)向壓力)越高，則屈服強(qiáng)度越大，材料常數(shù)1的表達(dá)式如下：p2sin$*3(3_sin)(223)屈服準(zhǔn)則的表達(dá)式如下：6Ccos(2.24)y3(3-sin)最后的屈服準(zhǔn)則表達(dá)式為

17、：(2.25)2-3-2有限差分法分析概述有限差分法是較早用于求解給定初值和(或)邊值微分方程組的數(shù)值方法。在有限差分法中，基本方程組和邊界條件(一般為微分方程)近似地改用差分方程(代數(shù)方程)來(lái)表示，及由空間離散點(diǎn)處的場(chǎng)變量(應(yīng)力、位移)的代數(shù)表達(dá)式代替。這些變量在單元內(nèi)是非確定的，從而把求解微分方程的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求解代數(shù)方程的問(wèn)題。而有限元是將連續(xù)求解域離散成一組有限個(gè)相互連接的單元體，利用每一個(gè)單元內(nèi)假設(shè)的近似函數(shù)來(lái)分片求解區(qū)域上待求的未知場(chǎng)函數(shù)。單元內(nèi)的近似函數(shù)通常由未知場(chǎng)函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)在各節(jié)點(diǎn)的數(shù)值和插值函數(shù)來(lái)表示，這樣有限元分析中的未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)在各個(gè)節(jié)點(diǎn)上的數(shù)值就成為新的未知量，一經(jīng)

18、求出這些未知量，就可以通過(guò)插值函數(shù)計(jì)算出各單元內(nèi)場(chǎng)函數(shù)的近似值，進(jìn)而得到整個(gè)求解域上的近似解。有限差分法和有限元法都產(chǎn)生一組待解方程組。盡管這些方程是通過(guò)不同方式推導(dǎo)出來(lái)的，但是兩者產(chǎn)生的方程是一致的。另外，有限元程序通常要將單元矩陣組合成大型整體剛度矩陣，而有限差分則無(wú)需如此，因?yàn)樗鄬?duì)高效的在每個(gè)計(jì)算步重新生成有限差分方程。在有限元法中，常采用隱式、矩陣求解方法，而有限差分法則通常采用顯式、時(shí)間遞步法解代數(shù)方程。FLAC采用拉格朗日分析方法，由于它不需要形成整體剛度矩陣，大變形計(jì)算時(shí)在每個(gè)計(jì)算步都很容易修正坐標(biāo)。位移增量施加到坐標(biāo)上以致網(wǎng)格隨著材料發(fā)生移動(dòng)和變形，這就是所謂的拉格朗日法；若

19、材料移動(dòng)和變形是相對(duì)于固定的網(wǎng)格，就是與此對(duì)應(yīng)的歐拉法。(2)有限差分法基本方程在彈性體上用相隔等間距h并平行于坐標(biāo)軸的兩組平行線劃分成網(wǎng)格(圖2.6)設(shè)f=fX,y為彈性體內(nèi)某個(gè)連續(xù)函數(shù)它可能是某個(gè)應(yīng)力分量或位移分量、也可能就是應(yīng)力函數(shù)、溫度、滲流等。這些函數(shù)，在平行于某軸的一根格線上，坐標(biāo)的只隨變化而改變。在臨近節(jié)點(diǎn)0處，函數(shù)f可以展開為泰勒級(jí)數(shù):1-。匚在節(jié)點(diǎn)3和節(jié)點(diǎn)1，X分別等于Xo其代入式2.26,得f3二fo-hSilr2gfi=toh丿o21入_X3)+_Jo(X_xj+(2.26)h和X。等于0h即Xo-h分別-h和h,將(2.27)(2.28)假定h充分小，因而可以不計(jì)它的三

20、次幕及更高次幕的各項(xiàng)，則式可以簡(jiǎn)化為:聯(lián)立求解(2.29)(2.30)，可得到差分公式:ef、(3刃2同樣，可以得到1f2-f4f2(2.34)(2.29)(2.30)(2.31)(2.32)(2.33)2hf2J-2bh2公式(2.31)(2.34)是基本差分公式，通過(guò)這些公式可以推導(dǎo)出其他的差分公式例如利用公式(2.31)(2.33),可以導(dǎo)出混合二階導(dǎo)數(shù)的差分公式(2.35)(cf；,cfcfIrr|r用同樣的方法，由公式(2.32)(2.33)可以導(dǎo)出四階導(dǎo)數(shù)的差分公式。(3)平面的有限差分拉格朗日法數(shù)值原理對(duì)于平面問(wèn)題，將具體的計(jì)算對(duì)象劃分成四邊形網(wǎng)格域的有限差分網(wǎng)格，每個(gè)圖2.7有

21、限差分單元?jiǎng)澐质疽鈭D三角形網(wǎng)格域的有限差分公式可以用高斯散度定理的廣義形式推導(dǎo)得出:(3.36)一工dAs“ifdSA其中：為繞閉合面積邊界積分，為對(duì)應(yīng)表面S的單位法向量，f為標(biāo)量、snjSf矢量或張量，人為位置矢量，ds為微量弧長(zhǎng)，A表示對(duì)整個(gè)面積A積分在面積A上定義f的梯度平均值為：(3-37)汙AA丄dAA;X,將式(2.36)代入上式可得：對(duì)于一個(gè)三角形的網(wǎng)格域式(2.38)的有限差分形式為:/邑-一(3.39)丿一cx(/As其中，As為三角形網(wǎng)格域的邊長(zhǎng)，求和是對(duì)該三角形的三個(gè)邊進(jìn)行；邊的平.；v取均值。平面問(wèn)題有限差分法是基于物體運(yùn)動(dòng)與平衡的基本規(guī)律。最簡(jiǎn)單的例子是物體質(zhì)量(m)

22、、加速度(du/dt)與施加力F隨時(shí)間變化的矢系，牛頓定律描述的運(yùn)動(dòng)方程為：(2.40)dum=FdtF(t)圖2.8物體對(duì)隨時(shí)間變化作用力的響應(yīng)當(dāng)幾個(gè)力同時(shí)作用于該物體時(shí)，如果加速度趨于零，即aF=0(對(duì)所有作用力求和)。式(2.40)也表示該系統(tǒng)處于靜力平衡狀態(tài)。對(duì)于連續(xù)固體介質(zhì)，式(2.40河以寫成如下廣義形式:pdu_卩(2.41)dt:Xj晶為重力加速度(體式中，丁為物體的質(zhì)量密度，t為時(shí)間，薯為坐標(biāo)矢量分量，力)分量，5為應(yīng)力張量分量禾Ij用式(2.39)，將f替換成網(wǎng)格域每邊平均速度矢量，這樣，網(wǎng)格域的應(yīng)變速率ej可以用網(wǎng)格點(diǎn)速度的形式表述:e1邑;u，J2仏&6(243河以求岀

23、應(yīng)變張量的所有分量根據(jù)力學(xué)本構(gòu)定律，可以由應(yīng)變速率張量獲得新的應(yīng)力張量：G=M(G,eq,k)(2.44)式中，M.表示本構(gòu)定律的函數(shù)形式；k為歷史參數(shù)，取決于特殊本構(gòu)矢系；表示“由替換”。在FLAC程序中，單元應(yīng)變率是計(jì)算各主要參數(shù)的紐帶由于非線性應(yīng)力應(yīng)變本構(gòu)矢系不具有唯一性，一般用增量形式表示，當(dāng)已知單元舊的應(yīng)力張量和應(yīng)變速率(應(yīng)變?cè)隽?時(shí)，可以通過(guò)式(244)確定新的應(yīng)力張量。例如各向同性最簡(jiǎn)單的彈性本構(gòu)矢系張量差分形式如下：2I一i+v勺一Gekk2Gej=t(2.45)GJ：CTK3式中At為時(shí)間步，G,K分別是剪切模量和體積模量。在一個(gè)時(shí)步內(nèi)，單元的有限轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)單元應(yīng)力張量有一定的影

24、響。對(duì)于固定參照系，此轉(zhuǎn)動(dòng)使應(yīng)力分量有如(2.46)其中，打=(2.47)在大變形計(jì)算中先通過(guò)式(2.46)進(jìn)行應(yīng)力校正，然后利用式(2.45)或(2.44)計(jì)算等前時(shí)步的應(yīng)力。一旦計(jì)算出作用在網(wǎng)格域上的應(yīng)力后，就可以確定作用到每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)上的等價(jià)力。在每個(gè)三角形子網(wǎng)格域中的應(yīng)力如同在三角形邊上的作用力，每個(gè)作用力等價(jià)于作用在相應(yīng)邊端點(diǎn)上的兩個(gè)相等的力。每個(gè)角點(diǎn)受到兩個(gè)力的作用，分別來(lái)自各相鄰的邊。因此：斤二丄6(n(S(1)+nfS(2)由于每個(gè)四邊形網(wǎng)格域有兩組兩個(gè)三角形域，在每組中對(duì)每個(gè)角點(diǎn)處相遇的三角形節(jié)點(diǎn)力求和，然后將來(lái)在這兩組的力進(jìn)行平均，得到作用在該四邊形網(wǎng)格點(diǎn)上的的力。在每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)處，對(duì)于所有圍繞該網(wǎng)格點(diǎn)四邊形的力求和汗，得到作用于該節(jié)點(diǎn)的純粹節(jié)點(diǎn)力矢量。該矢量包括所有施加的荷載作用以及重力引起的體FjAg.mg(2.49)其中mg是凝聚在網(wǎng)格點(diǎn)處的質(zhì)量，定義為連接該