概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)期末復(fù)習(xí)20題及解答

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)期末復(fù)習(xí)20題及解答【第一章】 隨機(jī)事件與概率1、甲袋中有4個(gè)白球3個(gè)黑球，乙袋中有 2個(gè)白球3個(gè)黑球，先從甲袋中任取一球放入乙袋，再從乙袋中任取一球返還甲袋.求經(jīng)此換球過程后甲袋中黑球數(shù)增加的概率.2、某人忘記了電話號(hào)碼的最后一個(gè)數(shù)字，因而他隨意地?fù)芴?hào)，求此人撥號(hào)不超過兩次而接通所需電 話的概率.3、已知將0, 1兩字符之一輸入信道時(shí)輸出的也是字符0或1 ,且輸出結(jié)果為原字符的概率為(01).假設(shè)該信道傳輸各字符時(shí)是獨(dú)立工作的.現(xiàn)以等概率從“ 101 ”，“010 ”這兩個(gè)字符串中任取一個(gè)輸入信道.求輸出結(jié)果恰為“ 000”的概率.4、試卷中的一道選擇題有 4個(gè)答案可供選擇，

2、其中只有 1個(gè)答案是正確的.某考生如果會(huì)做這道題， 則一定能選出正確答案；若該考生不會(huì)做這道題，則不妨隨機(jī)選取一個(gè)答案.設(shè)該考生會(huì)做這道題的概率 為0.85. (1)求該考生選出此題正確答案的概率；(2)已知該考生做對(duì)了此題，求該考生確實(shí)會(huì)做這道題的概率.【第二章】 隨機(jī)變量及其分布5、設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為(1)求系數(shù)A及B ;x .(3)求X的概率密度.F (x) A B arctan x, (2)求X落在區(qū)間(1, 1)內(nèi)的概率;6、設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)ax, 0 x0, 其它求：(1)常數(shù)a ； (2)P(0.5 X 1.5); (3)X的分布函數(shù)F(x).7、設(shè)二維

3、隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為A(1 f (x, y)0,xy),1, y 1;其它.求：(1)系數(shù)A； (2)X的邊緣概率密度 fX (x) ; (3)概率P(Y8、設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為f(x, y)2x；0,其它.求：(1)(X,Y)的邊緣概率密度 fX(x), fY(y)；概率p(x1八,一一 一-,Y 1) ; (3)判斷X , Y是否相互2獨(dú)立.9、設(shè)X和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，X U 0, 0.2 , Y的概率密度函數(shù)為5e 5yMy)5e0,0.(1)求X和Y的聯(lián)合概率密度 f(x, y) ； (2)求概率P(Y X).【第三章】數(shù)字特征10、設(shè)隨機(jī)變量X

4、的概率密度為f(x)(a b)x b, 0 x 1, a(2 x),1x2,0, 其它，1已知 E(X),求：(1) a,b的值；(2) E(2X 3). 211、設(shè)隨機(jī)變量 X的概率密度為f(x)求：(1)常數(shù) A; (2) E(X)和 D(X).Ae2x, x 0, 0, x 0.(1)求X,Y的數(shù)學(xué)期望E(X),E(Y),方差D(X), D(Y) . (2)求X,Y的協(xié)方差cov(X,Y)與相 關(guān)系數(shù)R(X,Y).【第四章】正態(tài)分布13、假設(shè)某大學(xué)學(xué)生在一次概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)統(tǒng)考中的考試成績X (百分制)近似服從正態(tài)分布，已知滿分為100分平均成績?yōu)?5分，95分以上的人數(shù)占考生總數(shù)的2.

5、3%. (1)試估計(jì)本次考試的不及格率(低于60分為不及格)；(2)試估計(jì)本次考試成績?cè)?65分至85分之間的考生人數(shù)占考生總數(shù)的比例.已知 (1) 0.8413,(1.5) 0.9332,(2) 0.977214、兩臺(tái)機(jī)床分別加工生產(chǎn)軸與軸襯.設(shè)隨機(jī)變量X (單位：mm)表示軸的直徑，隨機(jī)變量 Y (單22位：mm)表不軸襯的內(nèi)徑，已知 X N(50, 0.3 ), YN(52,0.4 ),顯然X與Y是獨(dú)立的.如果軸 襯的內(nèi)徑與軸的直徑之差在13 mm之間，則軸與軸襯可以配套使用.求任取一軸與一軸襯可以配套使用的概率.已知 (2) 0.9772【第五章】 數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本知識(shí)15、設(shè)總體X N(

6、0,1), Xi,X2, ,X5是來自該總體的簡單隨機(jī)樣本，求常數(shù) k 0使k(X1 2X2)X2 X2 X52t(3).16、設(shè)總體X N(40, 52),從該總體中抽取容量為 64的樣本，求概率 P(| X 40 | 1).【第六章】參數(shù)估計(jì)17、設(shè)總體X的概率密度為f（x；）e（x2）, x 2,0,其它，其中參數(shù)0 .設(shè)Xl,X2, ,Xn是取自該總體的一組簡單隨機(jī)樣本，Xl,X2, ,Xn為樣本觀測值(1)求參數(shù) 的矩估計(jì)量.(2)求參數(shù) 的最大似然估計(jì)量.18、設(shè)總體X的概率密度為f (x；)1-xe0,x 0;x 0,其中參數(shù)0 .設(shè)X1，X2, ,Xn是取自該總體的一組簡單隨機(jī)

7、樣本 ，0x2, ,4為樣本觀測值(1)求參數(shù) 的最大似然估計(jì)量.(2)你得到的估計(jì)量是不是參數(shù)的無偏估計(jì)，請(qǐng)說明理由.【第七章】假設(shè)檢驗(yàn)19、矩形的寬與長之比為 0.618 (黃金分割)時(shí)將給人們視覺上的和諧美感.某工藝品廠生產(chǎn)矩形裱畫專用框架.根據(jù)該廠制定的技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)，一批合格產(chǎn)品的寬與長之比必須服從均值為0 0.618的正態(tài)分布.現(xiàn)從該廠某日生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取25個(gè)樣品，測得其寬與長之比的平均值為x 0.646,樣本標(biāo)準(zhǔn)差為s 0.093.試問在顯著性水平0.05水平上能否認(rèn)為這批產(chǎn)品是合格品？20、已知某種口服藥存在使服用者收縮壓(高壓)增高的副作用.臨床統(tǒng)計(jì)表明，在服用此藥的人群

8、中收縮壓的增高值服從均值為0 22 (單位：mmHg，毫米汞柱)的正態(tài)分布.現(xiàn)在研制了一種新的替代藥品，并對(duì)一批志愿者進(jìn)行了臨床試驗(yàn).現(xiàn)從該批志愿者中隨機(jī)抽取16人測量收縮壓增高值，計(jì)算得到樣本均值x 19.5(mmHg),樣本標(biāo)準(zhǔn)差s 5.2(mmHg ).試問這組臨床試驗(yàn)的樣本數(shù)據(jù)能否支持“新的替代 藥品比原藥品副作用小”這一結(jié)論(取顯著性水平0.05).解答部分【第一章】隨機(jī)事件與概率1、甲袋中有4個(gè)白球3個(gè)黑球，乙袋中有 2個(gè)白球3個(gè)黑球，先從甲袋中任取一球放入乙袋，再從乙袋中任取一球返還甲袋.求經(jīng)此換球過程后甲袋中黑球數(shù)增加的概率【解】設(shè)A表示“從甲袋移往乙袋的是白球”，B表示“從乙

9、袋返還甲袋的是黑球” ，C表示“經(jīng)此換球過程后甲袋中黑球數(shù)增加”，則C AB,一 431又P(A) ，P(B A)-于是由概率乘法定理得所求概率為762P(C) P(AB) P(A)P(BA)=4 1 7.2、某人忘記了電話號(hào)碼的最后一個(gè)數(shù)字，因而他隨意地?fù)芴?hào)，求此人撥號(hào)不超過兩次而接通所需電話的概率.【解】 設(shè)A表示“此人第i次撥號(hào)能撥通所需電話”(i 1, 2), A表示“此人撥號(hào)不超過兩次而接通所需電話”，則A A1 耳A2, 由概率加法定理與乘法定理得所求概率為P(A) P(Ai AA2) P(A) P(AlA2)19 1p(A) p(A)p(A2|A)而 6-0.2.3、已知將0,

10、1兩字符之一輸入信道時(shí)輸出的也是字符0或1 ,且輸出結(jié)果為原字符的概率為(01).假設(shè)該信道傳輸各字符時(shí)是獨(dú)立工作的.現(xiàn)以等概率從“ 101 ”，“010 ”這兩個(gè)字符串中任取一個(gè)輸入信道.求輸出結(jié)果恰為“ 000”的概率.【解】設(shè)A-：輸入的是“ 101 ”，A2:輸入的是“ 010 ”，B:輸出的是“ 000 ”，則P(A1) 1/2, P(A2) 1/2, P(B|A) (1)2 , P(B A2)2(1),從而由全概率公式得P(B) P(A)P(B A1) P(A2)P(B A2)12121-(1)22(1)-(1 ).2224、試卷中的一道選擇題有 4個(gè)答案可供選擇，其中只有 1個(gè)答

11、案是正確的.某考生如果會(huì)做這道題,則一定能選出正確答案；若該考生不會(huì)做這道題，則不妨隨機(jī)選取一個(gè)答案.設(shè)該考生會(huì)做這道題的概率為0.85. (1)求該考生選出此題正確答案的概率；(2)已知該考生做對(duì)了此題，求該考生確實(shí)會(huì)做這道題的概率.【解】設(shè)A表示“該考生會(huì)解這道題” ，B表示“該考生選出正確答案”，則P(A)(1)由全概率公式得0.85, P(A) 0.2, P(B A) 1, P(B| A) 0.25.P(B) P(A)P(B A) P(A)P(B|A)0.85 1 0.2 0.25 0.9.(2)由貝葉斯公式得P(AB)P(A)P(B A)P(B)0.85 10.9一 0.944.18

12、【第二章】 隨機(jī)變量及其分布5、設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F (x) A B arctan x, x(1)求系數(shù)A及B ; (2)求X落在區(qū)間(1, 1)內(nèi)的概率；(3)求X的概率密度. 【解】(1)由分布函數(shù)的性質(zhì)可知F()lim F(x)AB (一)0,x2F()lim F(x)AB 1 ,x211由此解得A -,B -.2(2) X的分布函數(shù)為于是所求概率為F(x)arctan x ()，P( 1 X 1) F (3) X的概率密度為1111F ( 1) ( arctan1) ( arctan( 1)22f(x) F (x)1_ (1x2)6、設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)ax, 0

13、 x 1,0, 其它求：(1)常數(shù) a ； (2) P(0.5 X1.5); (3) X的分布函數(shù) F(x).【解】(1)由概率密度的性質(zhì)可知1 af (x)dx oaxdx - 1,由此得a 2. 13/2o 1(2) P(0.5 X 1.5) 2xdx 0dx x20 0.75.1/ 211 /2(3)當(dāng)x 0時(shí)，有xF(x) 0dx 0；當(dāng)0 x 1時(shí)，有0X2F (x) 0dx 0 2xdx x ;當(dāng)x 1時(shí)，有01xF (x) 0dx 2xdx 0dx 1. 01所以，X的分布函數(shù)為0, x 0, 2F(x)x2, 0 x 1,1, x 1.7、設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度

14、為f (x, y)A(1 xy),0,x 1, y 1;其它.求：(1)系數(shù)A; (2) X的邊緣概率密度fX (x) ; (3)概率P(Y X2).【解】(1)由聯(lián)合概率密度的性質(zhì)可知11f(x, y)dxdy dx A(1 xy)dy 4A 1,由此得(2)當(dāng)1 x 1時(shí)，有f (x, y)dyfX(x)當(dāng)x 1或x 1時(shí)，顯然有所以X的邊緣概率密度fx(X)(3)P(Y X2)f (x, y)dxdy2 xfx(X) 0-1/2,0,1dxix2 11 x 1;其它.xy .dy41 11(x 14 2x2 / 1)dx 2 238、設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為f(x, y)1,

15、0,x 1,0其它.y 2x；1求：(1) (X,Y)的邊緣概率密度fX(x), fY(y); (2)概率P(X - , Y 1)； (3)判斷X, Y是否相互 2獨(dú)立.【解】(1)當(dāng)0 x 1時(shí)，有2xfX(x)f(x, y)dy 0 dy 2x;當(dāng)x 0或x 1時(shí)，顯然有fX(x) 0.于是X的邊緣概率密度為2x, 0x1;fX(x)0,其它.當(dāng)0 y 2時(shí)，有1yfY(y)f (x, y)dx y dx 1 一；52當(dāng)y 0或y 2時(shí)，顯然有fY(y)0.于是Y的邊緣概率密度為0 y 2;其它.11/ 21dy dx .0y/24,11fY(y)12，、1、 P(X 2,Y 1)0,11

16、/2dy f (x, y)dx (3)容易驗(yàn)證f (x, y) fX(x)fy(y),故X與Y不獨(dú)立.9、設(shè)X和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，X U 0, 0.2 , Y的概率密度函數(shù)為fY(y)5e5y, y 0,0, y 0.(2)求X和Y的聯(lián)合概率密度 f(x, y) ； (2)求概率P(Y X).【解】(1)由題意知， X的概率密度函數(shù)為fX(x)5,0,0 x 0.2;其它.因?yàn)閄和Y相互獨(dú)立，故 X和Y的聯(lián)合概率密度f (x, y) fX(x)fy(y)25e 5y0,0 x 0.2, y 0;其它.(2)P(Y X) f (x,y)dxdyy x0.2dx0x25e05y ,dy0

17、.2(1e 5x)dx【第三章】數(shù)字特征10、設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)(a b)x a(2 x) 0,b,1,2,其它,1.已知 E(X),求：(1) a,b的值；(2)2【解】(1)由概率密度的性質(zhì)可知E(2X解得E(X)聯(lián)立方程組f (x) dxxf (x)dx(2) 由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，有10(ab)x bdx10(ab)xE(2X11、設(shè)隨機(jī)變量 X的概率密度為求：(1)常數(shù) A; (2) E(X)和 D(X).【解】(1)由概率密度的性質(zhì)可知由此得(2)由數(shù)學(xué)期望公式得E(X)由于2E(X2)2押2x) dxbxdx21a(2x)x dxb2 b61,12,4,b3) 2E(X

18、)f(x)Ae2x0,0,0.f (x)dxAe2xdx2x 2x ,x 2e dxtetdt1”2)2x t a2e 2xdx一4t2e0dt113)-2!故利用方差計(jì)算公式得_2_21 21(一)24D(X) E(X ) E(X)12、設(shè)(X,Y)的聯(lián)合概率分布如下:_2Y_0101 / 4011 / 41 / 2(1)求X,Y的數(shù)學(xué)期望E(X),E(Y),方差D(X), D(Y) . (2)求X,Y的協(xié)方差cov(X,Y)與相 關(guān)系數(shù)R(X,Y).【解】 由(X ,Y)的聯(lián)合概率分布知 X ,Y服從"0 1"分布:P(X 0) 1/4, P(X 1) 3/4, P(Y

19、 0) 1/2, P(Y 1) 1/2, 由"0 1"分布的期望與方差公式得E(X)3/4,D(X)3/4 (11/4)3/16,E(Y)1/2,D(Y)1/2 (11/2)1/4,由(X,Y)的聯(lián)合概率分布知cov(X,Y)E(XY) 0 0 1/4 0 1 0 1 0 1/4 1 1 1/4 1/2, 從而E(XY) E(X)E(Y) 1/2 3/4 1/2 1/8,R(X,Y)cov(X,Y)1/8,D(X)、D(Y) - 3/16. 1/4【第四章】正態(tài)分布13、假設(shè)某大學(xué)學(xué)生在一次概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)統(tǒng)考中的考試成績 知滿分為100分平均成績?yōu)?5分，95分以上的人數(shù)

20、占考生總數(shù)的X (百分制)近似服從正態(tài)分布，已2.3%. (1)試估計(jì)本次考試的不及格率(低于60分為不及格)；(2)試估計(jì)本次考試成績?cè)?65分至85分之間的考生人數(shù)占考生總數(shù)的比例.已 0.8413,(1.5) 0.9332,(2) 0.9772【解】由題意，可設(shè) X近似服從正態(tài)分布 N(75, 2).已知P(X95 75P(X 95) 1 P(X 95) 1() 195) 2.3%,即(20) 2.3%,由此得 (20) 0.977,于是絲 2,10,從而近似有 X N(75, 102).P(65 X 85)0.0668,0.6826 ,(1)P(X 60)(60 75)( 1.5) 1

21、(1.5) 1 0.933210由此可知，本次考試的不及格率約為6.68% .(2)85 7565 751010(1)( 1) 2 (1) 1 2 0.8413 1由此可知，成績?cè)?65分至85分之間的考生人數(shù)約占考生總數(shù)的 68.26% .14、兩臺(tái)機(jī)床分別加工生產(chǎn)軸與軸襯.設(shè)隨機(jī)變量 X (單位：mm)表示軸的直徑，隨機(jī)變量 Y (單 位：mm)表示軸襯的內(nèi)徑，已知 X N(50, 0.32), Y N(52,0.42),顯然X與Y是獨(dú)立的.如果軸 襯的內(nèi)徑與軸的直徑之差在1 3 mm之間，則軸與軸襯可以配套使用.求任取一軸與一軸襯可以配套使用的概率.已知 (2) 0.9772【解】 設(shè)Z

22、 Y X,由X與Y的獨(dú)立性及獨(dú)立正態(tài)變量的線性組合的性質(zhì)可知,Z即ZN(2,0.52) .于是所求概率為X N(522250,0.30.4 ),P(1 Z3)3 2(-0y)2 (2) 11 2()(2)( 2)0.52 0.9772 1 0.9544.【第五章】 數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本知識(shí)15、設(shè)總體X N(0,1), X1,X2, ,X5是來自該總體的簡單隨機(jī)樣本，求常數(shù) k 0使k(X1 2X2)T r v 1=t (3).X2 X2 X52【解】 由XN(0, 1)知X1 2X2N (0,5),于X1 2X2、5 N (0,1),又由2分布的定義知所以比較可得k3)5 .X； X2X522(3)

23、,(X1 2X2)/ 52224X3 X4X5)/3X1 2X2X； X：= t(3),X516、設(shè)總體X 【解】由題設(shè)2、N(40, 5 ),從該總體中抽取容量為64的樣本，求概率 P(| X 40 | 1).64,于從而P(|X401 1)P(|X405/885)4058N (0,1)P(|u| -)5(1.6)2 0.9452 1 0.8904.【第六章】參數(shù)估計(jì)17、設(shè)總體X的概率密度為f(x;)e (x0,2)x 2, 其它，其中參數(shù)(1)(2)0 .設(shè)X1,X2, ,Xn是取自該總體的一組簡單隨機(jī)樣本，x1,x2, ,4為樣本觀測值.求參數(shù) 的矩估計(jì)量.求參數(shù) 的最大似然估計(jì)量.x

24、 2 t1(1) E(X) xf (x, )dx2 xe (x2)dx0(t 2)e t出一2,1令 X E(X),即 X 2 ,解得參數(shù)的矩估計(jì)量為(2)樣本似然函數(shù)為L()nf (K,i 1上式兩邊取對(duì)數(shù)得lnL()上式兩邊對(duì)求導(dǎo)并令導(dǎo)數(shù)為零得d ln L(d解得nnXi 12n18、設(shè)總體X的概率密度為其中參數(shù)(1)(2)nln(Xi 2)n(Xii 1nXi2n)(i1的最大似然估計(jì)量為f(x；)0,n(Xi 2n)n_ i 1e2n),0,0.設(shè)X3X2, ,Xn是取自該總體的一組簡單隨機(jī)樣本 求參數(shù) 的最大似然估計(jì)量.你得到的估計(jì)量是不是參數(shù)的無偏估計(jì)，請(qǐng)說明理由.【解】(1)樣本似然函數(shù)為L(nf (Xi , i 1n 13T Xie12n上式兩邊取對(duì)數(shù)得lnL()2n lnnlni 1Xi求導(dǎo)數(shù)得JlnL()2n1-20;0,X1, X2,Xi1,Xn為樣本觀測值.Xi1令ln L( ) 0解得 d2nnXi i 1的極大似然估計(jì)量為日ZE2n i 1Xi(2) E(X)2n inXi1X2eX/dX/X 2 x/(一)edXt2e tdXE(?)e(91-尸)12E(X)122X 一是的無偏估計(jì).2.某工藝品廠生產(chǎn)矩形裱00.618的正態(tài)分【第七章】假設(shè)檢驗(yàn)19、矩形的寬與長之比為 0.618 (黃金分割)時(shí)將給人們視覺上的和諧美感