高考數(shù)學(xué)壓軸題解題技巧和方法

1、圓錐曲線的解題技巧一、常規(guī)七大題型：（1）中點(diǎn)弦問題 具有斜率的弦中點(diǎn)問題，常用設(shè)而不求法（點(diǎn)差法）：設(shè)曲線上兩點(diǎn)為，代入方程，然后兩方程相減，再應(yīng)用中點(diǎn)關(guān)系及斜率公式（當(dāng)然在這里也要注意斜率不存在的請款討論），消去四個參數(shù)。如：（1）與直線相交于A、B，設(shè)弦AB中點(diǎn)為M(x0,y0)，則有。 （2）與直線l相交于A、B，設(shè)弦AB中點(diǎn)為M(x0,y0)則有（3）y2=2px（p>0）與直線l相交于A、B設(shè)弦AB中點(diǎn)為M(x0,y0),則有2y0k=2p,即y0k=p. 典型例題 給定雙曲線。過A（2，1）的直線與雙曲線交于兩點(diǎn) 及，求線段的中點(diǎn)P的軌跡方程。（2）焦點(diǎn)三角形問題 橢圓或雙

2、曲線上一點(diǎn)P，與兩個焦點(diǎn)、構(gòu)成的三角形問題，常用正、余弦定理搭橋。 典型例題 設(shè)P(x,y)為橢圓上任一點(diǎn)，為焦點(diǎn)，。 （1）求證離心率； （2）求的最值。（3）直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的基本方法是解方程組，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為一元二次方程后利用判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、求根公式等來處理，應(yīng)特別注意數(shù)形結(jié)合的思想，通過圖形的直觀性幫助分析解決問題，如果直線過橢圓的焦點(diǎn)，結(jié)合三大曲線的定義去解。典型例題 （1）求證：直線與拋物線總有兩個不同交點(diǎn) （2）設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)為A、B，且OAOB，求p關(guān)于t的函數(shù)f(t)的表達(dá)式。（4）圓錐曲線的相關(guān)最值（范圍）問題圓錐曲線中的有關(guān)最

3、值（范圍）問題，常用代數(shù)法和幾何法解決。 <1>若命題的條件和結(jié)論具有明顯的幾何意義，一般可用圖形性質(zhì)來解決。<2>若命題的條件和結(jié)論體現(xiàn)明確的函數(shù)關(guān)系式，則可建立目標(biāo)函數(shù)（通常利用二次函數(shù)，三角函數(shù)，均值不等式）求最值。（1），可以設(shè)法得到關(guān)于a的不等式，通過解不等式求出a的范圍，即：“求范圍，找不等式”?；蛘邔表示為另一個變量的函數(shù)，利用求函數(shù)的值域求出a的范圍；對于（2）首先要把NAB的面積表示為一個變量的函數(shù)，然后再求它的最大值,即：“最值問題，函數(shù)思想”。最值問題的處理思路： 1、建立目標(biāo)函數(shù)。用坐標(biāo)表示距離，用方程消參轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)的最值問題，關(guān)鍵是由

4、方程求x、y的范圍；2、數(shù)形結(jié)合，用化曲為直的轉(zhuǎn)化思想；3、利用判別式，對于二次函數(shù)求最值，往往由條件建立二次方程，用判別式求最值；4、借助均值不等式求最值。典型例題已知拋物線y2=2px(p>0)，過M（a,0）且斜率為1的直線L與拋物線交于不同的兩點(diǎn)A、B，|AB|2p（1）求a的取值范圍；（2）若線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)N，求NAB面積的最大值。（5）求曲線的方程問題1曲線的形狀已知-這類問題一般可用待定系數(shù)法解決。典型例題已知直線L過原點(diǎn)，拋物線C 的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸正半軸上。若點(diǎn)A（-1，0）和點(diǎn)B（0，8）關(guān)于L的對稱點(diǎn)都在C上，求直線L和拋物線C的方程。2曲線的

5、形狀未知-求軌跡方程典型例題MNQO已知直角坐標(biāo)平面上點(diǎn)Q（2，0）和圓C：x2+y2=1, 動點(diǎn)M到圓C的切線長與|MQ|的比等于常數(shù)（>0）,求動點(diǎn)M的軌跡方程，并說明它是什么曲線。（6） 存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱問題 在曲線上兩點(diǎn)關(guān)于某直線對稱問題，可以按如下方式分三步解決：求兩點(diǎn)所在的直線，求這兩直線的交點(diǎn)，使這交點(diǎn)在圓錐曲線形內(nèi)。（當(dāng)然也可以利用韋達(dá)定理并結(jié)合判別式來解決）典型例題 已知橢圓C的方程，試確定m的取值范圍，使得對于直線，橢圓C上有不同兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱（7）兩線段垂直問題 圓錐曲線兩焦半徑互相垂直問題，常用來處理或用向量的坐標(biāo)運(yùn)算來處理。典型例題 已知直線的斜率為，且過

6、點(diǎn)，拋物線，直線與拋物線C有兩個不同的交點(diǎn)（如圖）。 （1）求的取值范圍；（2）直線的傾斜角為何值時，A、B與拋物線C的焦點(diǎn)連線互相垂直。四、解題的技巧方面： 在教學(xué)中，學(xué)生普遍覺得解析幾何問題的計算量較大。事實上，如果我們能夠充分利用幾何圖形、韋達(dá)定理、曲線系方程，以及運(yùn)用“設(shè)而不求”的策略，往往能夠減少計算量。下面舉例說明：（1）充分利用幾何圖形 解析幾何的研究對象就是幾何圖形及其性質(zhì)，所以在處理解析幾何問題時，除了運(yùn)用代數(shù)方程外，充分挖掘幾何條件，并結(jié)合平面幾何知識，這往往能減少計算量。 典型例題 設(shè)直線與圓相交于P、Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求的值。（2） 充分利用韋達(dá)定理及“設(shè)而不求

7、”的策略我們經(jīng)常設(shè)出弦的端點(diǎn)坐標(biāo)而不求它，而是結(jié)合韋達(dá)定理求解，這種方法在有關(guān)斜率、中點(diǎn)等問題中常常用到。典型例題 已知中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在軸上的橢圓與直線相交于P、Q兩點(diǎn)，且，求此橢圓方程。（3） 充分利用曲線系方程利用曲線系方程可以避免求曲線的交點(diǎn)，因此也可以減少計算。典型例題 求經(jīng)過兩已知圓和0的交點(diǎn)，且圓心在直線：上的圓的方程。（4）充分利用橢圓的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解決相關(guān)的求最值的問題這也是我們常說的三角代換法。典型例題 P為橢圓上一動點(diǎn)，A為長軸的右端點(diǎn)，B為短軸的上端點(diǎn)，求四邊形OAPB面積的最大值及此時點(diǎn)P的坐標(biāo)。（5）線段長的幾種

8、簡便計算方法 充分利用現(xiàn)成結(jié)果，減少運(yùn)算過程 一般地，求直線與圓錐曲線相交的弦AB長的方法是：把直線方程代入圓錐曲線方程中，得到型如的方程，方程的兩根設(shè)為，判別式為，則，若直接用結(jié)論，能減少配方、開方等運(yùn)算過程。例 求直線被橢圓所截得的線段AB的長。 結(jié)合圖形的特殊位置關(guān)系，減少運(yùn)算在求過圓錐曲線焦點(diǎn)的弦長時，由于圓錐曲線的定義都涉及焦點(diǎn)，結(jié)合圖形運(yùn)用圓錐曲線的定義，可回避復(fù)雜運(yùn)算。例 、是橢圓的兩個焦點(diǎn)，AB是經(jīng)過的弦，若，求值 利用圓錐曲線的定義，把到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離例 點(diǎn)A（3，2）為定點(diǎn)，點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線上移動，若取得最小值，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。圓錐曲線解題方法技

9、巧歸納第一、知識儲備：1. 直線方程的形式（1）直線方程的形式有五件：點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、斜截式、截距式、一般式。（2）與直線相關(guān)的重要內(nèi)容傾斜角與斜率點(diǎn)到直線的距離 夾角公式：（3）弦長公式直線上兩點(diǎn)間的距離： 或（4）兩條直線的位置關(guān)系=-1 2、圓錐曲線方程及性質(zhì)(1)、橢圓的方程的形式有幾種？（三種形式） 標(biāo)準(zhǔn)方程： 距離式方程： 參數(shù)方程：(2)、雙曲線的方程的形式有兩種 標(biāo)準(zhǔn)方程： 距離式方程：(3)、三種圓錐曲線的通徑你記得嗎？ (4)、圓錐曲線的定義你記清楚了嗎？如：已知是橢圓的兩個焦點(diǎn)，平面內(nèi)一個動點(diǎn)M滿足則動點(diǎn)M的軌跡是（ ）A、雙曲線；B、雙曲線的一支；C、兩條射線；D、一條

10、射線(5)、焦點(diǎn)三角形面積公式： （其中）(6)、記住焦半徑公式：（1），可簡記為“左加右減，上加下減”。 （2） （3）(6)、橢圓和雙曲線的基本量三角形你清楚嗎？ 第二、方法儲備1、點(diǎn)差法（中點(diǎn)弦問題）設(shè)、，為橢圓的弦中點(diǎn)則有，；兩式相減得=2、聯(lián)立消元法：你會解直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一類的問題嗎？經(jīng)典套路是什么？如果有兩個參數(shù)怎么辦？ 設(shè)直線的方程，并且與曲線的方程聯(lián)立，消去一個未知數(shù)，得到一個二次方程，使用判別式，以及根與系數(shù)的關(guān)系，代入弦長公式，設(shè)曲線上的兩點(diǎn)，將這兩點(diǎn)代入曲線方程得到兩個式子，然后-，整體消元······

11、，若有兩個字母未知數(shù)，則要找到它們的聯(lián)系，消去一個，比如直線過焦點(diǎn)，則可以利用三點(diǎn)A、B、F共線解決之。若有向量的關(guān)系，則尋找坐標(biāo)之間的關(guān)系，根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合消元處理。一旦設(shè)直線為，就意味著k存在。例1、已知三角形ABC的三個頂點(diǎn)均在橢圓上，且點(diǎn)A是橢圓短軸的一個端點(diǎn)（點(diǎn)A在y軸正半軸上）.（1）若三角形ABC的重心是橢圓的右焦點(diǎn)，試求直線BC的方程;（2）若角A為，AD垂直BC于D，試求點(diǎn)D的軌跡方程.分析：第一問抓住“重心”，利用點(diǎn)差法及重心坐標(biāo)公式可求出中點(diǎn)弦BC的斜率，從而寫出直線BC的方程。第二問抓住角A為可得出ABAC，從而得，然后利用聯(lián)立消元法及交軌法求出點(diǎn)D的軌跡方程；解：（

12、1）設(shè)B（,）,C(,),BC中點(diǎn)為(),F(2,0)則有兩式作差有 (1)F(2,0)為三角形重心，所以由，得，由得，代入（1）得直線BC的方程為2)由ABAC得 （2）設(shè)直線BC方程為，得， 代入（2）式得，解得或直線過定點(diǎn)（0，設(shè)D（x,y），則，即所以所求點(diǎn)D的軌跡方程是。4、設(shè)而不求法例2、如圖，已知梯形ABCD中，點(diǎn)E分有向線段所成的比為，雙曲線過C、D、E三點(diǎn)，且以A、B為焦點(diǎn)當(dāng)時，求雙曲線離心率的取值范圍。分析：本小題主要考查坐標(biāo)法、定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式、雙曲線的概念和性質(zhì)，推理、運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力。建立直角坐標(biāo)系，如圖，若設(shè)C，代入，求得，進(jìn)而求得再代入，建

13、立目標(biāo)函數(shù)，整理，此運(yùn)算量可見是難上加難.我們對可采取設(shè)而不求的解題策略,建立目標(biāo)函數(shù)，整理,化繁為簡. 解法一：如圖，以AB為垂直平分線為軸，直線AB為軸，建立直角坐標(biāo)系，則CD軸因為雙曲線經(jīng)過點(diǎn)C、D，且以A、B為焦點(diǎn)，由雙曲線的對稱性知C、D關(guān)于軸對稱 依題意，記A，C，E，其中為雙曲線的半焦距，是梯形的高，由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得 ， 設(shè)雙曲線的方程為，則離心率由點(diǎn)C、E在雙曲線上，將點(diǎn)C、E的坐標(biāo)和代入雙曲線方程得 ， 由式得 ， 將式代入式，整理得 ，故 由題設(shè)得，解得 所以雙曲線的離心率的取值范圍為 分析：考慮為焦半徑,可用焦半徑公式, 用的橫坐標(biāo)表示，回避的計算, 達(dá)到設(shè)而不求的解

14、題策略 解法二：建系同解法一，又，代入整理，由題設(shè)得，解得 所以雙曲線的離心率的取值范圍為 5、判別式法例3已知雙曲線，直線過點(diǎn)，斜率為，當(dāng)時，雙曲線的上支上有且僅有一點(diǎn)B到直線的距離為，試求的值及此時點(diǎn)B的坐標(biāo)。分析1：解析幾何是用代數(shù)方法來研究幾何圖形的一門學(xué)科，因此，數(shù)形結(jié)合必然是研究解析幾何問題的重要手段. 從“有且僅有”這個微觀入手，對照草圖，不難想到：過點(diǎn)B作與平行的直線，必與雙曲線C相切. 而相切的代數(shù)表現(xiàn)形式是所構(gòu)造方程的判別式. 由此出發(fā)，可設(shè)計如下解題思路：把直線l的方程代入雙曲線方程，消去y，令判別式直線l在l的上方且到直線l的距離為解題過程略.分析2：如果從代數(shù)推理的角

15、度去思考，就應(yīng)當(dāng)把距離用代數(shù)式表達(dá)，即所謂“有且僅有一點(diǎn)B到直線的距離為”，相當(dāng)于化歸的方程有唯一解. 據(jù)此設(shè)計出如下解題思路：轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的問題求解問題關(guān)于x的方程有唯一解簡解：設(shè)點(diǎn)為雙曲線C上支上任一點(diǎn)，則點(diǎn)M到直線的距離為： 于是，問題即可轉(zhuǎn)化為如上關(guān)于的方程.由于，所以，從而有于是關(guān)于的方程 由可知： 方程的二根同正，故恒成立，于是等價于.由如上關(guān)于的方程有唯一解，得其判別式，就可解得 .點(diǎn)評：上述解法緊扣解題目標(biāo)，不斷進(jìn)行問題轉(zhuǎn)換，充分體現(xiàn)了全局觀念與整體思維的優(yōu)越性.例4已知橢圓C:和點(diǎn)P（4，1），過P作直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，在線段AB上取點(diǎn)Q，使，求動點(diǎn)Q的軌跡所在曲

16、線的方程.分析：這是一個軌跡問題，解題困難在于多動點(diǎn)的困擾，學(xué)生往往不知從何入手。其實，應(yīng)該想到軌跡問題可以通過參數(shù)法求解. 因此，首先是選定參數(shù)，然后想方設(shè)法將點(diǎn)Q的橫、縱坐標(biāo)用參數(shù)表達(dá)，最后通過消參可達(dá)到解題的目的.由于點(diǎn)的變化是由直線AB的變化引起的，自然可選擇直線AB的斜率作為參數(shù)，如何將與聯(lián)系起來？一方面利用點(diǎn)Q在直線AB上；另一方面就是運(yùn)用題目條件：來轉(zhuǎn)化.由A、B、P、Q四點(diǎn)共線，不難得到，要建立與的關(guān)系，只需將直線AB的方程代入橢圓C的方程，利用韋達(dá)定理即可.通過這樣的分析，可以看出，雖然我們還沒有開始解題，但對于如何解決本題，已經(jīng)做到心中有數(shù). 將直線方程代入橢圓方程，消去y

17、，利用韋達(dá)定理利用點(diǎn)Q滿足直線AB的方程：y = k (x4)+1，消去參數(shù)k點(diǎn)Q的軌跡方程在得到之后，如果能夠從整體上把握，認(rèn)識到：所謂消參，目的不過是得到關(guān)于的方程（不含k），則可由解得，直接代入即可得到軌跡方程。從而簡化消去參的過程。簡解：設(shè)，則由可得：，解之得： （1）設(shè)直線AB的方程為：，代入橢圓C的方程，消去得出關(guān)于 x的一元二次方程： （2） 代入（1），化簡得： (3)與聯(lián)立，消去得：在（2）中，由，解得 ，結(jié)合（3）可求得 故知點(diǎn)Q的軌跡方程為： （）.點(diǎn)評：由方程組實施消元，產(chǎn)生一個標(biāo)準(zhǔn)的關(guān)于一個變量的一元二次方程，其判別式、韋達(dá)定理模塊思維易于想到. 這當(dāng)中，難點(diǎn)在引出參

18、，活點(diǎn)在應(yīng)用參，重點(diǎn)在消去參.，而“引參、用參、消參”三步曲，正是解析幾何綜合問題求解的一條有效通道.6、求根公式法例5設(shè)直線過點(diǎn)P（0，3），和橢圓順次交于A、B兩點(diǎn)，試求的取值范圍.分析：本題中，絕大多數(shù)同學(xué)不難得到：=，但從此后卻一籌莫展, 問題的根源在于對題目的整體把握不夠. 事實上，所謂求取值范圍，不外乎兩條路：其一是構(gòu)造所求變量關(guān)于某個（或某幾個）參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式（或方程），這只需利用對應(yīng)的思想實施；其二則是構(gòu)造關(guān)于所求量的一個不等關(guān)系.分析1:從第一條想法入手，=已經(jīng)是一個關(guān)系式，但由于有兩個變量，同時這兩個變量的范圍不好控制，所以自然想到利用第3個變量直線AB的斜率k. 問題就

19、轉(zhuǎn)化為如何將轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的表達(dá)式，到此為止，將直線方程代入橢圓方程，消去y得出關(guān)于的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.所求量的取值范圍把直線l的方程y = kx+3代入橢圓方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程xA= f（k），xB = g（k）得到所求量關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式求根公式AP/PB = （xA / xB）由判別式得出k的取值范圍簡解1：當(dāng)直線垂直于x軸時，可求得;當(dāng)與x軸不垂直時，設(shè)，直線的方程為：，代入橢圓方程，消去得解之得 因為橢圓關(guān)于y軸對稱，點(diǎn)P在y軸上，所以只需考慮的情形.當(dāng)時，所以 =.由 , 解得 ，所以 ，綜上 .分析2: 如果想構(gòu)造關(guān)于所求量的不等式，則應(yīng)該考慮到：判

20、別式往往是產(chǎn)生不等的根源. 由判別式值的非負(fù)性可以很快確定的取值范圍，于是問題轉(zhuǎn)化為如何將所求量與聯(lián)系起來. 一般來說，韋達(dá)定理總是充當(dāng)這種問題的橋梁，但本題無法直接應(yīng)用韋達(dá)定理，原因在于不是關(guān)于的對稱關(guān)系式. 原因找到后，解決問題的方法自然也就有了，即我們可以構(gòu)造關(guān)于的對稱關(guān)系式.把直線l的方程y = kx+3代入橢圓方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程xA+ xB = f（k），xA xB = g（k）構(gòu)造所求量與k的關(guān)系式關(guān)于所求量的不等式韋達(dá)定理AP/PB = （xA / xB）由判別式得出k的取值范圍簡解2：設(shè)直線的方程為：，代入橢圓方程，消去得 （*）則令，則，在（*）中，由判別式

21、可得 ，從而有 ，所以 ，解得 .結(jié)合得. 綜上，.點(diǎn)評：范圍問題不等關(guān)系的建立途徑多多，諸如判別式法，均值不等式法，變量的有界性法，函數(shù)的性質(zhì)法，數(shù)形結(jié)合法等等. 本題也可從數(shù)形結(jié)合的角度入手，給出又一優(yōu)美解法.解題猶如打仗，不能只是忙于沖鋒陷陣，一時局部的勝利并不能說明問題，有時甚至?xí)痪植克m纏而看不清問題的實質(zhì)所在，只有見微知著，樹立全局觀念，講究排兵布陣，運(yùn)籌帷幄，方能決勝千里.第三、推理訓(xùn)練：數(shù)學(xué)推理是由已知的數(shù)學(xué)命題得出新命題的基本思維形式，它是數(shù)學(xué)求解的核心。以已知的真實數(shù)學(xué)命題，即定義、公理、定理、性質(zhì)等為依據(jù)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}方法，達(dá)到解題目標(biāo)，得出結(jié)論的一系列推理過程。在推

22、理過程中，必須注意所使用的命題之間的相互關(guān)系（充分性、必要性、充要性等），做到思考縝密、推理嚴(yán)密。通過編寫思維流程圖來錘煉自己的大腦，快速提高解題能力。例6橢圓長軸端點(diǎn)為，為橢圓中心，為橢圓的右焦點(diǎn)，且，（）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）記橢圓的上頂點(diǎn)為，直線交橢圓于兩點(diǎn)，問：是否存在直線，使點(diǎn)恰為的垂心？若存在，求出直線的方程;若不存在，請說明理由。思維流程：寫出橢圓方程由，（） 由F為的重心（）兩根之和，兩根之積得出關(guān)于m的方程解出m 消元 解題過程： （）如圖建系，設(shè)橢圓方程為,則又即 ， 故橢圓方程為 （）假設(shè)存在直線交橢圓于兩點(diǎn)，且恰為的垂心，則設(shè)，故，于是設(shè)直線為 ，由得， 又得 即 由韋

23、達(dá)定理得 解得或（舍） 經(jīng)檢驗符合條件點(diǎn)石成金：垂心的特點(diǎn)是垂心與頂點(diǎn)的連線垂直對邊，然后轉(zhuǎn)化為兩向量乘積為零例7、已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過、三點(diǎn)（）求橢圓的方程：（）若點(diǎn)D為橢圓上不同于、的任意一點(diǎn)，當(dāng)內(nèi)切圓的面積最大時，求內(nèi)心的坐標(biāo)；由橢圓經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)設(shè)方程為得到的方程組解出思維流程：（） 由內(nèi)切圓面積最大轉(zhuǎn)化為面積最大轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對值最大最大為橢圓短軸端點(diǎn)面積最大值為（） 得出點(diǎn)坐標(biāo)為解題過程： （）設(shè)橢圓方程為，將、代入橢圓E的方程，得解得.橢圓的方程 （），設(shè)邊上的高為 當(dāng)點(diǎn)在橢圓的上頂點(diǎn)時，最大為，所以的最大值為 設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，因為的周長

24、為定值6所以， 所以的最大值為所以內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)為.點(diǎn)石成金：例8、已知定點(diǎn)及橢圓，過點(diǎn)的動直線與橢圓相交于兩點(diǎn).（）若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，求直線的方程；（）在軸上是否存在點(diǎn)，使為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.思維流程：（）解：依題意，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，將代入， 消去整理得 設(shè) 則 由線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是， 得，解得，符合題意。所以直線的方程為 ，或 . （）解：假設(shè)在軸上存在點(diǎn)，使為常數(shù). 當(dāng)直線與軸不垂直時，由（）知 所以 將代入，整理得 注意到是與無關(guān)的常數(shù)， 從而有， 此時 當(dāng)直線與軸垂直時，此時點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，當(dāng)時， 亦有 綜上，在軸上存在定點(diǎn)，使為

25、常數(shù).點(diǎn)石成金： 例9、已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長軸長是短軸長的2倍且經(jīng)過點(diǎn)M（2，1），平行于OM的直線在y軸上的截距為m（m0），交橢圓于A、B兩個不同點(diǎn)。 （）求橢圓的方程； （）求m的取值范圍； （）求證直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形.思維流程：解：（1）設(shè)橢圓方程為則 橢圓方程為（）直線l平行于OM，且在y軸上的截距為m又KOM= 由直線l與橢圓交于A、B兩個不同點(diǎn)， （）設(shè)直線MA、MB的斜率分別為k1，k2，只需證明k1+k2=0即可設(shè) 則由而故直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形.點(diǎn)石成金：直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形例10、已知雙曲

26、線的離心率，過的直線到原點(diǎn)的距離是 （1）求雙曲線的方程； （2）已知直線交雙曲線于不同的點(diǎn)C，D且C，D都在以B為圓心的圓上，求k的值. 思維流程：解：（1）原點(diǎn)到直線AB：的距離. 故所求雙曲線方程為 （2）把中消去y，整理得 . 設(shè)的中點(diǎn)是，則 即故所求k=±.點(diǎn)石成金: C，D都在以B為圓心的圓上BC=BDBECD;例11、已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3，最小值為1 （）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； （II）若直線y=kx+m與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)（A、B不是左右頂點(diǎn)），且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的

27、坐標(biāo)思維流程：解：（）由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由已知得：， 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（II）設(shè)聯(lián)立得，則又因為以為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)，即. 解得：，且均滿足當(dāng)時，的方程，直線過點(diǎn)，與已知矛盾；當(dāng)時，的方程為，直線過定點(diǎn)所以，直線過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)石成金：以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn) CACB;例12、已知雙曲線的左右兩個焦點(diǎn)分別為,點(diǎn)P在雙曲線右支上.（）若當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為時,求雙曲線的方程；（）若,求雙曲線離心率的最值,并寫出此時雙曲線的漸進(jìn)線方程.思維流程：解：（）(法一)由題意知, , （1分）解得 . 由雙曲線定義得: , 所求雙曲線的方程為: (法二) 因,由斜率之積為,可得解.（

28、）設(shè), (法一)設(shè)P的坐標(biāo)為, 由焦半徑公式得,， 的最大值為2,無最小值. 此時,此時雙曲線的漸進(jìn)線方程為 (法二)設(shè),.(1)當(dāng)時, , 此時 .(2)當(dāng),由余弦定理得:,綜上,的最大值為2,但無最小值. (以下法一)附：1.圓錐曲線的兩個定義：（1）第一定義中要重視“括號”內(nèi)的限制條件：橢圓中，與兩個定點(diǎn)F，F(xiàn)的距離的和等于常數(shù)，且此常數(shù)一定要大于，當(dāng)常數(shù)等于時，軌跡是線段FF，當(dāng)常數(shù)小于時，無軌跡；雙曲線中，與兩定點(diǎn)F，F(xiàn)的距離的差的絕對值等于常數(shù)，且此常數(shù)一定要小于|FF|，定義中的“絕對值”與|FF|不可忽視。若|FF|，則軌跡是以F，F(xiàn)為端點(diǎn)的兩條射線，若|FF|，則軌跡不存在。

29、若去掉定義中的絕對值則軌跡僅表示雙曲線的一支。如 （1）已知定點(diǎn)，在滿足下列條件的平面上動點(diǎn)P的軌跡中是橢圓的是 A B C D（答：C）；（2）方程表示的曲線是_（答：雙曲線的左支）（2）第二定義中要注意定點(diǎn)和定直線是相應(yīng)的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線，且“點(diǎn)點(diǎn)距為分子、點(diǎn)線距為分母”，其商即是離心率。圓錐曲線的第二定義，給出了圓錐曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離與此點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線距離間的關(guān)系，要善于運(yùn)用第二定義對它們進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化。如已知點(diǎn)及拋物線上一動點(diǎn)P（x,y）,則y+|PQ|的最小值是_（答：2）2.圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（標(biāo)準(zhǔn)方程是指中心（頂點(diǎn)）在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對稱軸時的標(biāo)準(zhǔn)位置的方程）：（1）橢圓：焦點(diǎn)在軸上時（）

30、（參數(shù)方程，其中為參數(shù)），焦點(diǎn)在軸上時1（）。方程表示橢圓的充要條件是什么？（ABC0，且A，B，C同號，AB）。如（1）已知方程表示橢圓，則的取值范圍為_（答：）； （2）若，且，則的最大值是_，的最小值是_（答：）（2）雙曲線：焦點(diǎn)在軸上： =1，焦點(diǎn)在軸上：1（）。方程表示雙曲線的充要條件是什么？（ABC0，且A，B異號）。如（1）雙曲線的離心率等于，且與橢圓有公共焦點(diǎn)，則該雙曲線的方程_（答：）； （2）設(shè)中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)、在坐標(biāo)軸上，離心率的雙曲線C過點(diǎn)，則C的方程為_（答：）（3）拋物線：開口向右時，開口向左時，開口向上時，開口向下時。3.圓錐曲線焦點(diǎn)位置的判斷（首先化成標(biāo)準(zhǔn)方

31、程，然后再判斷）：（1）橢圓：由,分母的大小決定，焦點(diǎn)在分母大的坐標(biāo)軸上。如已知方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則m的取值范圍是_（答：）（2）雙曲線：由,項系數(shù)的正負(fù)決定，焦點(diǎn)在系數(shù)為正的坐標(biāo)軸上；（3）拋物線：焦點(diǎn)在一次項的坐標(biāo)軸上，一次項的符號決定開口方向。特別提醒：（1）在求解橢圓、雙曲線問題時，首先要判斷焦點(diǎn)位置，焦點(diǎn)F，F(xiàn)的位置，是橢圓、雙曲線的定位條件，它決定橢圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的類型，而方程中的兩個參數(shù)，確定橢圓、雙曲線的形狀和大小，是橢圓、雙曲線的定形條件；在求解拋物線問題時，首先要判斷開口方向； （2）在橢圓中，最大，在雙曲線中，最大，。4.圓錐曲線的幾何性質(zhì)：（1）橢圓（以（

32、）為例）：范圍：；焦點(diǎn)：兩個焦點(diǎn)；對稱性：兩條對稱軸，一個對稱中心（0,0），四個頂點(diǎn)，其中長軸長為2，短軸長為2；準(zhǔn)線：兩條準(zhǔn)線； 離心率：，橢圓，越小，橢圓越圓；越大，橢圓越扁。如（1）若橢圓的離心率，則的值是_（答：3或）；（2）以橢圓上一點(diǎn)和橢圓兩焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積最大值為1時，則橢圓長軸的最小值為_（答：）（2）雙曲線（以（）為例）：范圍：或；焦點(diǎn)：兩個焦點(diǎn)；對稱性：兩條對稱軸，一個對稱中心（0,0），兩個頂點(diǎn)，其中實軸長為2，虛軸長為2，特別地，當(dāng)實軸和虛軸的長相等時，稱為等軸雙曲線，其方程可設(shè)為；準(zhǔn)線：兩條準(zhǔn)線； 離心率：，雙曲線，等軸雙曲線，越小，開口越小，越大，開口越大

33、；兩條漸近線：。如 （1）雙曲線的漸近線方程是，則該雙曲線的離心率等于_（答：或）； （2）雙曲線的離心率為，則=（答：4或）； （3）設(shè)雙曲線（a>0,b>0）中，離心率e,2,則兩條漸近線夾角的取值范圍是_（答：）； （3）拋物線（以為例）：范圍：；焦點(diǎn)：一個焦點(diǎn)，其中的幾何意義是：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離；對稱性：一條對稱軸，沒有對稱中心，只有一個頂點(diǎn)（0,0）；準(zhǔn)線：一條準(zhǔn)線； 離心率：，拋物線。如設(shè)，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_（答：）；5、點(diǎn)和橢圓（）的關(guān)系：（1）點(diǎn)在橢圓外；（2）點(diǎn)在橢圓上1；（3）點(diǎn)在橢圓內(nèi)6直線與圓錐曲線的位置關(guān)系：（1）相交：直線與橢圓相交； 直線與雙曲線相

34、交，但直線與雙曲線相交不一定有，當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時，直線與雙曲線相交且只有一個交點(diǎn)，故是直線與雙曲線相交的充分條件，但不是必要條件；直線與拋物線相交，但直線與拋物線相交不一定有，當(dāng)直線與拋物線的對稱軸平行時，直線與拋物線相交且只有一個交點(diǎn)，故也僅是直線與拋物線相交的充分條件，但不是必要條件。如（1）若直線y=kx+2與雙曲線x2-y2=6的右支有兩個不同的交點(diǎn)，則k的取值范圍是_（答：(-,-1)）； （2）直線ykx1=0與橢圓恒有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是_（答：1，5）（5，+）； （3）過雙曲線的右焦點(diǎn)直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，若AB4，則這樣的直線有_條（答：3）；（2）相切

35、：直線與橢圓相切；直線與雙曲線相切；直線與拋物線相切；（3）相離：直線與橢圓相離；直線與雙曲線相離；直線與拋物線相離。特別提醒：（1）直線與雙曲線、拋物線只有一個公共點(diǎn)時的位置關(guān)系有兩種情形：相切和相交。如果直線與雙曲線的漸近線平行時,直線與雙曲線相交,但只有一個交點(diǎn)；如果直線與拋物線的軸平行時,直線與拋物線相交,也只有一個交點(diǎn)；（2）過雙曲線1外一點(diǎn)的直線與雙曲線只有一個公共點(diǎn)的情況如下：P點(diǎn)在兩條漸近線之間且不含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時，有兩條與漸近線平行的直線和分別與雙曲線兩支相切的兩條切線，共四條；P點(diǎn)在兩條漸近線之間且包含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時，有兩條與漸近線平行的直線和只與雙曲線一支相切的兩條切

36、線，共四條；P在兩條漸近線上但非原點(diǎn)，只有兩條：一條是與另一漸近線平行的直線，一條是切線；P為原點(diǎn)時不存在這樣的直線；（3）過拋物線外一點(diǎn)總有三條直線和拋物線有且只有一個公共點(diǎn)：兩條切線和一條平行于對稱軸的直線。如（1）過點(diǎn)作直線與拋物線只有一個公共點(diǎn)，這樣的直線有_（答：2）； （2）過點(diǎn)(0,2)與雙曲線有且僅有一個公共點(diǎn)的直線的斜率的取值范圍為_（答：）； （3）過雙曲線的右焦點(diǎn)作直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，若4，則滿足條件的直線有_條（答：3）； （4）對于拋物線C：，我們稱滿足的點(diǎn)在拋物線的內(nèi)部，若點(diǎn)在拋物線的內(nèi)部，則直線：與拋物線C的位置關(guān)系是_（答：相離）； （5）過拋物線的焦點(diǎn)作

37、一直線交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，若線段PF與FQ的長分別是、，則_（答：1）； （6）設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，右準(zhǔn)線為，設(shè)某直線交其左支、右支和右準(zhǔn)線分別于，則和的大小關(guān)系為_(填大于、小于或等于) （答：等于）； （7）求橢圓上的點(diǎn)到直線的最短距離（答：）；（8）直線與雙曲線交于、兩點(diǎn)。當(dāng)為何值時，、分別在雙曲線的兩支上？當(dāng)為何值時，以AB為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)？（答：；）；7、焦半徑（圓錐曲線上的點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離）的計算方法：利用圓錐曲線的第二定義，轉(zhuǎn)化到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離，即焦半徑，其中表示P到與F所對應(yīng)的準(zhǔn)線的距離。如（1）已知橢圓上一點(diǎn)P到橢圓左焦點(diǎn)的距離為3，則點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離為_（答：）；

38、（2）已知拋物線方程為，若拋物線上一點(diǎn)到軸的距離等于5，則它到拋物線的焦點(diǎn)的距離等于_；（3）若該拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是4，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_（答：）；（4）點(diǎn)P在橢圓上，它到左焦點(diǎn)的距離是它到右焦點(diǎn)距離的兩倍，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為_（答：）；（5）拋物線上的兩點(diǎn)A、B到焦點(diǎn)的距離和是5，則線段AB的中點(diǎn)到軸的距離為_（答：2）；（6）橢圓內(nèi)有一點(diǎn)，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，在橢圓上有一點(diǎn)M，使 之值最小，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為_（答：）；8、焦點(diǎn)三角形（橢圓或雙曲線上的一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形）問題：常利用第一定義和正弦、余弦定理求解。設(shè)橢圓或雙曲線上的一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別為，焦點(diǎn)的面積為，則在橢圓中， ，且當(dāng)即

39、為短軸端點(diǎn)時，最大為；，當(dāng)即為短軸端點(diǎn)時，的最大值為bc；對于雙曲線的焦點(diǎn)三角形有：；。 如 （1）短軸長為，離心率的橢圓的兩焦點(diǎn)為、，過作直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，則的周長為_（答：6）；（2）設(shè)P是等軸雙曲線右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是左右焦點(diǎn)，若，|PF1|=6，則該雙曲線的方程為 （答：）；（3）橢圓的焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)P為橢圓上的動點(diǎn)，當(dāng)·<0時，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是（答：）；（4）雙曲線的虛軸長為4，離心率e，F(xiàn)1、F2是它的左右焦點(diǎn)，若過F1的直線與雙曲線的左支交于A、B兩點(diǎn)，且是與等差中項，則_（答：）；（5）已知雙曲線的離心率為2，F(xiàn)1、F2是左右焦點(diǎn)，P為雙

40、曲線上一點(diǎn)，且，求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（答：）；9、拋物線中與焦點(diǎn)弦有關(guān)的一些幾何圖形的性質(zhì)：（1）以過焦點(diǎn)的弦為直徑的圓和準(zhǔn)線相切；（2）設(shè)AB為焦點(diǎn)弦， M為準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，則AMFBMF；（3）設(shè)AB為焦點(diǎn)弦，A、B在準(zhǔn)線上的射影分別為A，B，若P為AB的中點(diǎn)，則PAPB；（4）若AO的延長線交準(zhǔn)線于C，則BC平行于x軸，反之，若過B點(diǎn)平行于x軸的直線交準(zhǔn)線于C點(diǎn)，則A，O，C三點(diǎn)共線。10、弦長公式：若直線與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)A、B，且分別為A、B的橫坐標(biāo)，則，若分別為A、B的縱坐標(biāo)，則，若弦AB所在直線方程設(shè)為，則。特別地，焦點(diǎn)弦（過焦點(diǎn)的弦）：焦點(diǎn)弦的弦長的計算，一般不用弦長公式計

41、算，而是將焦點(diǎn)弦轉(zhuǎn)化為兩條焦半徑之和后，利用第二定義求解。如（1）過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，若x1+x2=6，那么|AB|等于_（答：8）； （2）過拋物線焦點(diǎn)的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，已知|AB|=10，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則ABC重心的橫坐標(biāo)為_（答：3）；11、圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題：遇到中點(diǎn)弦問題常用“韋達(dá)定理”或“點(diǎn)差法”求解。在橢圓中，以為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率k=；在雙曲線中，以為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率k=；在拋物線中，以為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率k=。如（1）如果橢圓弦被點(diǎn)A（4，2）平分，那么這條弦所在的直線方程是 （答：）；（2

42、）已知直線y=x+1與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)在直線L：x2y=0上，則此橢圓的離心率為_（答：）；（3）試確定m的取值范圍，使得橢圓上有不同的兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱（答：）； 特別提醒：因為是直線與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)的必要條件，故在求解有關(guān)弦長、對稱問題時，務(wù)必別忘了檢驗！12你了解下列結(jié)論嗎？（1）雙曲線的漸近線方程為；（2）以為漸近線（即與雙曲線共漸近線）的雙曲線方程為為參數(shù)，0）。如與雙曲線有共同的漸近線，且過點(diǎn)的雙曲線方程為_（答：）（3）中心在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓、雙曲線方程可設(shè)為；（4）橢圓、雙曲線的通徑（過焦點(diǎn)且垂直于對稱軸的弦）為，焦準(zhǔn)距（焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離）

43、為，拋物線的通徑為，焦準(zhǔn)距為； （5）通徑是所有焦點(diǎn)弦（過焦點(diǎn)的弦）中最短的弦；（6）若拋物線的焦點(diǎn)弦為AB，則；（7）若OA、OB是過拋物線頂點(diǎn)O的兩條互相垂直的弦，則直線AB恒經(jīng)過定點(diǎn)13動點(diǎn)軌跡方程：（1）求軌跡方程的步驟：建系、設(shè)點(diǎn)、列式、化簡、確定點(diǎn)的范圍；（2）求軌跡方程的常用方法：直接法：直接利用條件建立之間的關(guān)系；如已知動點(diǎn)P到定點(diǎn)F(1,0)和直線的距離之和等于4，求P的軌跡方程（答：或）；待定系數(shù)法：已知所求曲線的類型，求曲線方程先根據(jù)條件設(shè)出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數(shù)。如線段AB過x軸正半軸上一點(diǎn)M（m，0），端點(diǎn)A、B到x軸距離之積為2m，以x軸為對稱軸，過A、O、B三點(diǎn)作拋