22第2課時(shí)等差數(shù)列的性質(zhì)

1、第2課時(shí) 等差數(shù)列的性質(zhì)1.1.理解等差數(shù)列、等差中項(xiàng)的概念，會(huì)用定義判定一個(gè)數(shù)理解等差數(shù)列、等差中項(xiàng)的概念，會(huì)用定義判定一個(gè)數(shù) 列是否是等差數(shù)列；列是否是等差數(shù)列；( (重點(diǎn)）重點(diǎn)）2.2.進(jìn)一步加深對(duì)等差數(shù)列通項(xiàng)公式的理解、認(rèn)識(shí)和應(yīng)用；進(jìn)一步加深對(duì)等差數(shù)列通項(xiàng)公式的理解、認(rèn)識(shí)和應(yīng)用；（難點(diǎn)）（難點(diǎn)）3.3.掌握等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)掌握等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)N（一一）等等差差數(shù)數(shù)列列的的概概念念 一一般般地地，如如果果一一個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)列列從從第第2 2項(xiàng)項(xiàng)起起，每每一一項(xiàng)項(xiàng)與與它它的的前前一一項(xiàng)項(xiàng)的的差差等等差差數(shù)數(shù)等等于于同同一一個(gè)個(gè)常常數(shù)數(shù)，那那么么這這個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)列列就就做做列列叫叫 *1.()nn

2、aadn （二二）等等差差中中項(xiàng)項(xiàng)的的概概念念由由三三個(gè)個(gè)數(shù)數(shù) ， ， 組組成成的的等等差差數(shù)數(shù)列列可可以以看看成成最最簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單的的等等差差數(shù)數(shù)列列，這這時(shí)時(shí)， 叫叫做做 與與 的的等等差差中中項(xiàng)項(xiàng).aAbAab（三三）等等差差數(shù)數(shù)列列的的通通項(xiàng)項(xiàng)公公式式推推導(dǎo)導(dǎo)方方法法：迭迭加加法法. .推推廣廣的的通通項(xiàng)項(xiàng)公公式式：. .1(1)()nnmaandaanm d N等等差差數(shù)數(shù)列列的的性性質(zhì)質(zhì) 在在等等差差數(shù)數(shù)列列中中， 若若 則則 特特別別地地：若若則則思思考考：若若， 則則成成立立嗎嗎？*1., , ,2 ,2.33nmnpqmnppqnmamnpq m n p qaaaamnpaaap

3、qnmaaaa答：答：成立成立 若若是是公公差差為為 的的等等差差數(shù)數(shù)列列 則則和和也也是是等等差差數(shù)數(shù)列列. .2212.,nnnadaa 思考：思考：在上述兩個(gè)數(shù)列中，首項(xiàng)和公差各是多少？在上述兩個(gè)數(shù)列中，首項(xiàng)和公差各是多少？ 數(shù)數(shù)列列的的首首項(xiàng)項(xiàng)是是公公差差是是 數(shù)數(shù)列列結(jié)結(jié)論論項(xiàng)項(xiàng)差差：的的首首是是公公是是22211,2 ;,2 .nnaadaad 例例1 1 某市出租車(chē)的計(jì)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)為某市出租車(chē)的計(jì)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)為1.21.2元元/km/km，起步價(jià)為，起步價(jià)為1010元，元，即最初的即最初的4 km4 km（不含（不含4 4千米）計(jì)費(fèi)千米）計(jì)費(fèi)1010元元. .如果某人乘坐該如果某人乘坐該市的

4、出租車(chē)去往市的出租車(chē)去往14 km14 km處的目的地，且一路暢通，等候時(shí)處的目的地，且一路暢通，等候時(shí)間為間為0 0，需要支付多少車(chē)費(fèi)，需要支付多少車(chē)費(fèi)? ? 根根據(jù)據(jù)題題意意，當(dāng)當(dāng)該該市市出出租租車(chē)車(chē)的的行行程程大大于于或或等等于于4 km4 km時(shí)時(shí)，每每增增加加1 km1 km，乘乘客客需需要要支支付付1.21.2元元. .所所以以，我我們們可可以以建建立立一一個(gè)個(gè)等等差差數(shù)數(shù)列列來(lái)來(lái)計(jì)計(jì)算算車(chē)車(chē)費(fèi)費(fèi). .令令表表示示 km km處處的的車(chē)車(chē)費(fèi)費(fèi)，公公差差d= .2d= .2：. .那那么么解解111.2,41naa 當(dāng)當(dāng)出出租租車(chē)車(chē)行行至至 處處時(shí)時(shí)，, ,此此時(shí)時(shí)需需要要支支付付車(chē)

5、車(chē)費(fèi)費(fèi)( (元元).).答答：需需要要支支付付車(chē)車(chē)費(fèi)費(fèi)元元. .1114 km1111.2(111) 1.223.223.2na 1方方法法技技巧巧. .建建立立等等差差數(shù)數(shù)列列的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)模模型型；2.2.解解得得模模型型的的結(jié)結(jié)果果. .變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練：梯子的最高一級(jí)寬：梯子的最高一級(jí)寬33 cm33 cm，最低一級(jí)寬，最低一級(jí)寬110 cm110 cm，中間，中間還有還有1010級(jí)，各級(jí)的寬度成等差數(shù)列，計(jì)算中間各級(jí)的寬級(jí)，各級(jí)的寬度成等差數(shù)列，計(jì)算中間各級(jí)的寬. .解解: : 由題意知，建立一個(gè)等差數(shù)列由題意知，建立一個(gè)等差數(shù)列aan n 來(lái)計(jì)算中間各級(jí)來(lái)計(jì)算中間各級(jí)的寬，由已知條件

6、，有的寬，由已知條件，有a a1 1=33,a=33,a1212=110=110，n=12 , n=12 , 又又a a1212=a=a1 1+(12+(12- -1)d1)d，即即110110333311d11d，所以，所以 d=7d=7， 因此，因此，a a2 2=33+7=40=33+7=40，a a3 3=40+7=47=40+7=47， ，a a1111=96+7=103.=96+7=103.答：梯子中間各級(jí)的寬從上到下依次是答：梯子中間各級(jí)的寬從上到下依次是40 cm40 cm、47 cm47 cm、54 cm54 cm、61 cm61 cm、68 cm68 cm、75 cm75

7、cm、82 cm82 cm、89 cm89 cm、96 cm96 cm、103 cm.103 cm. 例例2 2 已已知知數(shù)數(shù)列列的的通通項(xiàng)項(xiàng)公公式式為為，其其中中， 為為常常數(shù)數(shù)，那那么么這這個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)列列一一定定是是等等差差數(shù)數(shù)列列嗎嗎？napnqpqna 判判定定是是不不是是等等差差數(shù)數(shù)列列，可可以以利利用用等等差差數(shù)數(shù)列列的的定定義義，也也就就是是看看是是不不是是一一個(gè)個(gè)與與 無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)的的常常數(shù)數(shù)分分析析：. .11nnnaaann 11(1)1().nnnnnnaaanaapnqp nqpnqpnpqpna 取取數(shù)數(shù)列列中中的的任任意意相相鄰鄰兩兩項(xiàng)項(xiàng)與與, ,求求差差得得-=-=它它

8、是是一一個(gè)個(gè)與與解解無(wú)無(wú)：關(guān)關(guān)的的常常數(shù)數(shù). .所所以以是是等等差差數(shù)數(shù)列列. .證明等差數(shù)列的方法：證明等差數(shù)列的方法：1.1.利用定義利用定義; ;2.2.利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)利用等差中項(xiàng)的性質(zhì); ;3.3.利用通項(xiàng)公式是一次函數(shù)的性質(zhì)利用通項(xiàng)公式是一次函數(shù)的性質(zhì). .例例4 4 在等差數(shù)列在等差數(shù)列aan n 中，中，(1)(1)已知已知 a a6 6+a+a9 9+a+a1212+a+a1515=20=20，求，求a a1 1+a+a2020. .(2)(2)已知已知a a3 3+a+a1111=10=10，求，求a a6 6+a+a7 7+a+a8 8. .解：解：由由a a1 1+a

9、+a20 20 =a=a6 6+a+a1515= a= a9 9+a+a12 12 及及a a6 6+a+a9 9+a+a1212+a+a1515=20=20，可得，可得a a1 1+a+a2020=10.=10.解：解：a a3 3+a+a11 11 =a=a6 6+a+a8 8 =2a=2a7 7 ，又又a a3 3+a+a1111=10=10， a a6 6+a+a7 7+a+a8 8= = （a a3 3+a+a1111）=15.=15.32熟記性質(zhì)熟記性質(zhì)(3)(3)已知已知 a a4 4+a+a5 5+a+a6 6+a+a7 7=56=56，a a4 4a a7 7=187=187

10、，求，求a a1414及公差及公差d.d.解解: :a a4 4+a+a5 5+a+a6 6+a+a7 7=56=56，aa4 4+a+a7 7=28=28， 又又a a4 4a a7 7=187=187， 聯(lián)立解得聯(lián)立解得a a4 4=17=17，a a7 7=11=11， a a4 4=11=11，a a7 7=17=17， 或或d= -2d= -2或或2, 2, 從而從而a a1414= -3= -3或或31.31.1.1.等差數(shù)列等差數(shù)列aan n 的前三項(xiàng)依次為的前三項(xiàng)依次為a-6a-6，2a-52a-5，-3a+2-3a+2，則，則 a a等于（等于（ ) )A. -1 B. 1

11、C.-2 D. 2A. -1 B. 1 C.-2 D. 2B B2(2a-5)=(-3a+2) +(a-6).2(2a-5)=(-3a+2) +(a-6).提示提示: :2. 2. （20122012福建高考）等差數(shù)列福建高考）等差數(shù)列aan n 中，中， 則則數(shù)列數(shù)列aan n 的公差為（的公差為（ ) )15410,7aaaA A1 1B B2 2C C3 3D D4 4B B提示提示: :1533432=10,=52aaaaaa ，, ,d d= =4. 4. 在等差數(shù)列在等差數(shù)列aan n 中中, ,(1)(1)若若a a5959=70=70，a a8080=112=112，求，求a

12、a101101；(2)(2)若若a ap p= q= q，a aq q= p ( pq )= p ( pq )，求，求a ap+qp+q. .d=2,d=2,a a101101=154=154d=-1,d=-1,a ap+qp+q =0=03.3.在數(shù)列在數(shù)列aan n 中中a a1 1=1=1，a an n= a= an+1n+1+4+4，則，則a a1010=_. =_. 提示：提示： d=ad=an+1n+1-a-an n=-4.=-4.-35-35（一）等差數(shù)列的基本性質(zhì)（一）等差數(shù)列的基本性質(zhì)1.1.在等差數(shù)列在等差數(shù)列aan n 中，若中，若m+n=p+qm+n=p+q，則，則a am m+a+an n=a=ap p+a+aq q.(m,n,p,qN.(m,n,p,qN* *) )2.2.等差中項(xiàng)：如果等差中項(xiàng)：如果a a，A A，b b成等差數(shù)列，那么成等差數(shù)列，那么A A叫做叫做a a與與b b的等差中項(xiàng)的等差中項(xiàng). .3.3.等差數(shù)列中項(xiàng)數(shù)成等差數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列等差數(shù)列中項(xiàng)數(shù)成等差數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列. .4.4.兩個(gè)等差數(shù)列兩個(gè)等差數(shù)列aan n,b,bn n 的和、差還是等差數(shù)列的