廣石化大學(xué)物理3.4 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理

1、o 在功和能一章中我們研究了力對(duì)空間在功和能一章中我們研究了力對(duì)空間的累積效應(yīng)的累積效應(yīng)功功，在這節(jié)中要介紹力矩，在這節(jié)中要介紹力矩對(duì)空間的累積效應(yīng)對(duì)空間的累積效應(yīng)力矩的功。力矩的功。一、力矩的功一、力矩的功 將將F F分解為切分解為切向力和法向力。向力和法向力。剛體轉(zhuǎn)過剛體轉(zhuǎn)過 d, , 作用點(diǎn)的位移為作用點(diǎn)的位移為 ds, , 法向力法向力F Fn 不作功，只有切向力作功，不作功，只有切向力作功，rF FnF FF Fdds力矩功、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理力矩功、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理 / / 一、力矩的功一、力矩的功cosFdsWbardds, cosFF其中其中則則rdFW0MdW0對(duì)于恒力矩作功對(duì)于恒力矩

2、作功MMW)(0恒力矩的功為力矩與角位移的乘積。恒力矩的功為力矩與角位移的乘積。由功的定義由功的定義力矩功、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理力矩功、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理 / / 二、力矩的功率二、力矩的功率三、剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理三、剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理 剛體在力矩的作用下轉(zhuǎn)過一定角度，剛體在力矩的作用下轉(zhuǎn)過一定角度，力矩對(duì)剛體做了功，作功的效果是改變剛力矩對(duì)剛體做了功，作功的效果是改變剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)，改變了剛體的什么狀態(tài)？體的轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)，改變了剛體的什么狀態(tài)？由力矩的功定義：由力矩的功定義：MdW0力矩功、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理力矩功、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理 / / 三、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理三、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理其中力矩其中力矩JM MdW0則功

3、則功dtddJW0剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理2022121JJWddtdJ02022121JJ力矩功、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理力矩功、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理 / / 三、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理三、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理dtdJ與質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理比較：與質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理比較：2022121mvmvW221mvEk為質(zhì)點(diǎn)的為質(zhì)點(diǎn)的平動(dòng)動(dòng)能平動(dòng)動(dòng)能定義：定義：221JEk為剛體的為剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能2022121JJW剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理：剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理：合外力矩對(duì)繞定軸轉(zhuǎn)合外力矩對(duì)繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體作功的代數(shù)和等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能動(dòng)的剛體作功的代數(shù)和等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。的增量。力矩功、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理力矩功、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理 / /

4、 三、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理三、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理0kkEEkE如圖，均勻木棒如圖，均勻木棒OA可繞過其端點(diǎn)可繞過其端點(diǎn)O并與棒垂直的水平光并與棒垂直的水平光滑軸轉(zhuǎn)動(dòng)，令棒從水平位置開始下落，在棒轉(zhuǎn)到豎直位滑軸轉(zhuǎn)動(dòng)，令棒從水平位置開始下落，在棒轉(zhuǎn)到豎直位置的過程中，下列說法中正確的是置的過程中，下列說法中正確的是 （ ）（1） 角速度從小到大，角加速度從小到大。角速度從小到大，角加速度從小到大。 0 A （2） 角速度從小到大，角加速度從大到小角速度從小到大，角加速度從大到小 （3） 角速度從大到小，角加速度從大到小角速度從大到小，角加速度從大到?。?） 角速度從大到小，角加速度從小到大角速度從大到小，角加速

5、度從小到大 1. .確定研究對(duì)象。確定研究對(duì)象。2. .受力分析，確定作功的力矩。受力分析，確定作功的力矩。3. .確定始末兩態(tài)的動(dòng)能，確定始末兩態(tài)的動(dòng)能，Ek0、Ek。4. .列方程求解。列方程求解。例例1：一細(xì)桿質(zhì)量為一細(xì)桿質(zhì)量為m，長(zhǎng)度為，長(zhǎng)度為l，一端固，一端固定在軸上，靜止從水平位置擺下，求細(xì)桿定在軸上，靜止從水平位置擺下，求細(xì)桿擺到鉛直位置時(shí)的角速度。擺到鉛直位置時(shí)的角速度。0kkEEWg gmolm,解：解：以桿為研究對(duì)象，以桿為研究對(duì)象，只有重力產(chǎn)生力矩，只有重力產(chǎn)生力矩，且重力矩隨擺角變化且重力矩隨擺角變化而變化。而變化。重力矩作功重力矩作功：900MdW重900cos2dl

6、mgmgl21力矩功、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理力矩功、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理 / / 四、解題方法及舉例四、解題方法及舉例始末兩態(tài)動(dòng)能：始末兩態(tài)動(dòng)能：21 2kEJ 由動(dòng)能定理：由動(dòng)能定理：0kkEEW211022mglJ213Jml22)31(2121mlmgllg30 0kE, ,g gmolm,力矩功、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理力矩功、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理 / / 四、解題方法及舉例四、解題方法及舉例 當(dāng)系統(tǒng)中既有平動(dòng)的物體又有轉(zhuǎn)動(dòng)的當(dāng)系統(tǒng)中既有平動(dòng)的物體又有轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體，且系統(tǒng)中只有保守力作功，其它力剛體，且系統(tǒng)中只有保守力作功，其它力與力矩不作功時(shí)，物體系的機(jī)械能守恒。與力矩不作功時(shí)，物體系的機(jī)械能守恒。EE0其中其中221mv

7、E例：例：如圖所示的物體系中，勁度系數(shù)為如圖所示的物體系中，勁度系數(shù)為 k的彈簧開始時(shí)處在原長(zhǎng)，定滑輪的半徑為的彈簧開始時(shí)處在原長(zhǎng)，定滑輪的半徑為 R、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 J，質(zhì)量為，質(zhì)量為 m 的物體從靜的物體從靜止開始下落止開始下落, ,求求下落下落 h 時(shí)物體的速度時(shí)物體的速度 v。221Jmgh221kx力矩功、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理力矩功、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理 / / 五、機(jī)械能守恒定律五、機(jī)械能守恒定律k,J Rhm解：解：在物體在物體 m 下落過程中只有下落過程中只有重力和彈力保守重力和彈力保守力作功，物體系力作功，物體系機(jī)械能守恒。機(jī)械能守恒。EE0選擇彈簧原長(zhǎng)為彈性選擇彈簧原長(zhǎng)為彈性 0

8、勢(shì)點(diǎn)，勢(shì)點(diǎn)，物體下落物體下落 h 時(shí)為重力時(shí)為重力 0 勢(shì)點(diǎn)。勢(shì)點(diǎn)。221mvmgh221J221kh力矩功、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理力矩功、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理 / / 五、機(jī)械能守恒定律五、機(jī)械能守恒定律Rv求解得求解得22/2RJmkhmghv力矩功、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理力矩功、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理 / / 五、機(jī)械能守恒定律五、機(jī)械能守恒定律vovoompTR圓圓錐錐擺擺子子彈彈擊擊入入桿桿ov以子彈和桿為系統(tǒng)以子彈和桿為系統(tǒng)機(jī)械能機(jī)械能不不守恒守恒.角動(dòng)量守恒；角動(dòng)量守恒；動(dòng)量動(dòng)量不不守恒；守恒；以子彈和沙袋為系統(tǒng)以子彈和沙袋為系統(tǒng)動(dòng)量守恒；動(dòng)量守恒；角動(dòng)量守恒；角動(dòng)量守恒；機(jī)械能機(jī)械能不不守恒守恒.圓錐擺系統(tǒng)圓錐擺系

9、統(tǒng)動(dòng)量動(dòng)量不不守恒；守恒；角動(dòng)量守恒；角動(dòng)量守恒；機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒.討討 論論子子彈彈擊擊入入沙沙袋袋細(xì)細(xì)繩繩質(zhì)質(zhì)量量不不計(jì)計(jì)解此題可分解為三個(gè)簡(jiǎn)單過程：(1)棒由水平位置下擺至豎直位置但尚未與物塊相碰.此過程機(jī)械能守恒.以棒、地球?yàn)橐幌到y(tǒng)，以棒的重心在豎直位置時(shí)為重力勢(shì)能零點(diǎn)，則有例例2.25如圖如圖2.45，質(zhì)量為，質(zhì)量為m，長(zhǎng)為，長(zhǎng)為l的均勻細(xì)棒，可繞過其一端的水平的均勻細(xì)棒，可繞過其一端的水平軸軸O轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng).現(xiàn)將棒拉到水平位置現(xiàn)將棒拉到水平位置(OA)后放手，棒下擺到豎直位置后放手，棒下擺到豎直位置(OA)時(shí)，時(shí)，與靜止放置在水平面與靜止放置在水平面A處的質(zhì)量為處的質(zhì)量為M的物塊作

10、完全彈性碰撞，物體在水的物塊作完全彈性碰撞，物體在水平面上向右滑行了一段距離平面上向右滑行了一段距離s后停止后停止.設(shè)物體與水平面間的摩擦系數(shù)設(shè)物體與水平面間的摩擦系數(shù)處處處相同，求證處相同，求證226m(m3M) sl22211226lmgJml(2)棒與物塊作完全彈性碰撞，此過程角動(dòng)量守恒(并非動(dòng)量守恒)和機(jī)械能守恒，設(shè)碰撞后棒的角速度為，物塊速度為v，則有(3)碰撞后物塊在水平面滑行，其滿足動(dòng)能定理221133mlmllMv2222 21111123232mlmlMv 2102mgsMv聯(lián)立以上四式，即可證得：226m(m3M) sl 例例2 一長(zhǎng)為一長(zhǎng)為 l , 質(zhì)量為質(zhì)量為 的竿可繞支點(diǎn)的竿可繞支點(diǎn)O自由自由轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng) . 一質(zhì)量為一質(zhì)量為 、速率為、速率為 的子彈射入竿內(nèi)距支的子彈射入竿內(nèi)距支點(diǎn)為點(diǎn)為 處，使竿的偏轉(zhuǎn)角為處，使竿的偏轉(zhuǎn)角為30 . 問子彈的初速率為問子彈的初速率為多少多少 ?vamm 解解 把子彈和竿看作一個(gè)系統(tǒng)把子彈和竿看作一個(gè)系統(tǒng).子彈射入竿的過程系統(tǒng)角動(dòng)量守恒子彈射入竿的過程系