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文檔簡介

1、八年級數(shù)學最短路徑問題【問題概述】 最短路徑問題是圖論研究中的一個經典算法問題, 旨在尋找圖(由結點和路徑組成的)中兩結 點之間的最短路徑算法具體的形式包括: 確定起點的最短路徑問題- 即已知起始結點,求最短路徑的問題 確定終點的最短路徑問題- 與確定起點的問題相反,該問題是已知終結結點,求最短路徑的問題 確定起點終點的最短路徑問題 - 即已知起點和終點,求兩結點之間的最短路徑 全局最短路徑問題 - 求圖中所有的最短路徑【問題原型】 “將軍飲馬” ,“造橋選址” ,“費馬點” 【涉及知識】 “兩點之間線段最短” ,“垂線段最短” ,“三角形三邊關系” ,“軸對稱” ,“平移”【出題背景】 角、

2、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圓、坐標軸、拋物線等【解題思路】 找對稱點實現(xiàn)“折”轉“直” ,近兩年出現(xiàn)“三折線”轉“直”等變式問題考查【 十二個基本問題 】【問題 1】作法圖形原理AAlP兩點之間線段最短連 AB ,與 l 交點即為 PllBPA+PB 最小值為 AB在直線 l 上求一點 P,使 PA+PB 值最小B【問題 2】“將軍飲馬”作法圖形原理AABl作 B 關于 l 的對稱點 B B兩點之間線段最短連 A B ,與 l 交點即為 PlPA+PB 最小值為 A B在直線 l 上求一點 P,使 PA+PB 值最小lPB'【問題 3】作法圖形原理l1l1P'l1兩點之

3、間線段最短 PM +MN +PN 的最小值為Pl分別作點 P 關于兩直線的 對稱點 P和 P,連 PP ,MPl2在直線 l1、l2 上分別求點與兩直線交點即為 M, NPl線段 PP 的長l2N2M 、N,使 PMN 的周長 最小P''【問題 4】作法圖形原理l1QPP分別作點 Q 、P 關于直線 l1、l2 的對稱點 Q和 PQ' l 1Q'MQP兩點之間線段最短 四邊形 PQMN 周長的最小 值為線段 PP的長l2連 QP,與兩直線交點即Pl在直線 l1、l2 上分別求點為 M, Nl2NM 、 N ,使四邊形 PQMNP'的周長最小【問題 5】“

4、造橋選址”作法圖形原理AMMNnmB 直線 m n ,在 m 、 n , 上分別求點 M 、N,使 MN m ,且 AM+MN+BN 的 值最小將點 A 向下平移 MN 的長 度單位得 A,連 AB,交 n 于點 N,過 N 作 NM m 于 MA兩點之間線段最短 AM +MN +BN 的最小值為 AB+MNA' MMmnNBB【問題 6】作法圖形原理AB將點 A 向右平移 a 個長度A A'l單位得 A,作 A關于 l 的B兩點之間線段最短M a N對稱點 A,連 A B,交直線lMNAM +MN +BN 的最小值為在直線 l 上求兩點 M 、N(Ml 于點 N,將 N 點向

5、左平A B+MN在左),使 MN a ,并使移 a 個單位得 M A''AM+MN+NB 的值最小【問題 7】作法圖形原理l1P作點 P 關于 l1 的對稱點l1P' P點到直線,垂線段最短lP,作 PB l 2于 B,交l2APPA+AB 的最小值為線段 Pl2在 l1 上求點 A,在 l2 上求于 A B l2BB的長點 B,使 PA+AB 值最小【問題 8】作法圖形原理NAl2作點 A 關于 l2 的對稱點B'l1MB兩點之間線段最短A為 l1上一定點,B為 l2上A ,作點 B 關于 l1 的對稱 點 B,連 AB交l2于 M,AAM +MN +NB 的

6、最小值為一定點,在 l2 上求點 M ,交l1于 NM B l 2線段 AB的長在 l1 上 求 點 N , 使A'AM+MN+NB 的值最小【問題 9】作法圖形原理AA垂直平分上的點到線段兩Bl連 AB ,作 AB 的中垂線與 直線 l 的交點即為 PBlP端點的距離相等PA PB 0在直線 l 上求一點 P,使 PA PB 的值 最小 【問題 10】作法圖形原理AA三角形任意兩邊之差小于Bl作直線 AB,與直線 l 的交 點即為 PBl第三邊PA PBAB在直線 l 上求一點P,使PPA PB的最大值ABPA PB 的值 最大 【問題 11】作法圖形原理AA三角形任意兩邊之差小于l

7、作 B 關于 l 的對稱點 B 作直線 A B,與 l 交點即B'BB'l第三邊PA PBABP在直線 l 上求一點P,使為 P BPA PB 最大值 ABPA PB 的值 最大 【問題 12】“費馬點”作法圖形原理A所求點為“費馬點” ,即滿D足 APB BPC APC120°以 AB、 ACAEE兩點之間線段最短BC為邊向外作等邊 ABD 、PPA+PB+PC 最小值 CD ABC 中每一內角都小于ACE,連 CD、 BE 相交PBC120°,在 ABC 內求一點 P,使 PA+PB+PC 值最小于 P ,點 P 即為所求精品練習 】E 在正方形 ABC

8、D 內,在對角線 AC 上有1如圖所示,正方形 ABCD 的面積為 12, ABE 是等邊三角形,點 一點 P,使 PD+PE 的和最小,則這個最小值為( )A 2 3B 2 6C 3D 62如圖,在邊長為 2 的菱形 ABCD 中, ABC 60 °,若將 ACD 繞點 A 旋轉,當 AC、AD分別與 BC 、CD交于點 E、F,則 CEF 的周長的最小值為()A2C 2 3D 47 -M、N,使AMN 的周長最小時,3四邊形 ABCD 中, BD90°,C70°,在 BC、CD 上分別找一點 AMN+ ANM 的度數(shù)為()A120°B 130C110

9、°D 1404如圖,在銳角ABC中, AB4 2 ,BAC45°, BAC的平分線交 BC于點D,M、N分別是 AD和AB上的動點,則 BM+MN 的最小值是N5如圖, RtABC 中,C90°,B30°,AB6,點 E在AB 邊上,點 D在BC邊上(不與點 B、C重合),且 ED AE,則線段 AE 的取值范圍是6如圖, AOB30°,點 M、N分別在邊 OA、OB 上,且 OM1,ON3,點 P、 Q分別在邊 OB、OA 上, 則 MP PQ QN 的最小值是 (注“勾股定理” :直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方,即 RtABC

10、中, C 90°,則有 AC2 BC2 AB2 )7如圖,三角形 ABC中, OABAOB15°,點 B在 x軸的正半軸,坐標為 B(6 3,0)OC平分 AOB,點 M 在OC的延長線上,點 N為邊 OA上的點,則 MAMN 的最小值是 8已知 A(2,4)、B(4,2)C在 y軸上, D 在 x軸上,則四邊形此時 C、 D 兩點的坐標分別為ABCD 的周長最小值為y9已知 A( 1,1)、B(4,2)(1)P為 x軸上一動點,求 PA+PB的最小值和此時 P點的坐標;Ox2)P為x軸上一動點,求 PA PB 的值最大時 P點的坐標;yABOx3)CD為 x軸上一條動線段, D在C點右邊且 CD 1,求當 AC+CD+DB 的最小值和此時 C點的坐標;10 點 C 為 AOB 內一點( 1)在 OA 求作點 D , OB 上求作點 E,使 CDE 的周長最小,請畫出圖形;(2)在( 1)的條件下,若 AOB30°,OC10,求CDE 周長的最小值和此時 DCE的度數(shù)A11( 1 )如圖, ABD和 ACE均為等邊三角形, BE、CE交于 F,連 AF,求證: AF+BF+CFCD; (2)

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