1.2第四節(jié)隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)ppt課件

1、高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系第四節(jié)第四節(jié) 隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)導(dǎo)數(shù)相關(guān)變化率導(dǎo)數(shù)相關(guān)變化率一一. 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 在方程F(x,y)=0中,如果當(dāng)x在某區(qū)間I上取任意一值時(shí),相應(yīng)地 總有唯一一個(gè)滿足該方程的y值存在,這種由方程所確定的函數(shù)稱為隱函數(shù),它的定義域?yàn)镮,有時(shí)也記作y=f(x).不過(guò)這里的f的具體表 示 式不一定能求得出來(lái). 例如, 方程x+3y-4=0, xy+ex - ey0都確定了y是x的隱函數(shù),對(duì)于前一個(gè)方程,可以解出,我們稱為隱函數(shù)的顯化.后面一個(gè)方程就解不出 y=f(x). 這里為

2、了滿足計(jì)算 的需要,我們用下面的例題說(shuō) 明隱函數(shù)的求導(dǎo)方法高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系解:將題設(shè)方程兩邊都對(duì)x求導(dǎo),得到例1 求由方程 xy+ex-ey=0 所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) dy/dxxeeydxdydxdyeedxdyxyyxyx0 方程兩邊對(duì)x求導(dǎo),要記住y是x的函數(shù),則y的函數(shù)是x的 復(fù)合函數(shù), 例如 1/y, y2, lny, ex 等都是x的復(fù)合函數(shù),對(duì)x求導(dǎo)應(yīng)按 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)方法做.高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系例2 求由方程y=sin(x+y)所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解: 對(duì)兩邊都對(duì)x求導(dǎo),我們

3、得到)1)(cos()(cos(yyxyxyxyx 對(duì)于隱含數(shù)還有一種求導(dǎo)數(shù)的方法 對(duì) 數(shù) 求 導(dǎo) 法 對(duì)于冪指函數(shù)或連乘除形式函數(shù)的求導(dǎo),先取對(duì)數(shù)再取 導(dǎo)數(shù),比用通常方法計(jì)算簡(jiǎn)單.yyxyx)cos()cos()cos(1)cos(yxyxy高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系例3 求冪指數(shù)函數(shù) y = uv(u0) 的導(dǎo)數(shù)，其中u, v是x的函 數(shù),且都在點(diǎn)x處可導(dǎo).分析: 先取對(duì)數(shù)uuvuvyyuvyuvyln1)ln(lnlnln例如)ln(cos,1cosuvuvuuyxvxuxyvx)ln()ln()ln(1uvuvuuuuvuvuuuvuvyyv

4、v)lnsin(cos1cosxxxxxyx高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系例4 求)7)(5()3)(1(xxxxy的導(dǎo)數(shù)時(shí)，結(jié)論成立。當(dāng)0,1)(lnxxx解：xxxxx1) 1(1 )ln()(ln,0 時(shí)當(dāng))7)(5()3)(1()7)(5()3)(1(xxxxxxxxy)7ln5ln3ln1(ln21lnxxxxy)71513111(21xxxxyy)71513111()7)(5()3)(1(21xxxxxxxx高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系例5)0)(, 0)( )()(xxyxyx求)()(lnlnxx

5、y解:)()()(ln)()()(2xxxxxxyy)()(1)(ln)()()()( 2xxxxxxx)()(1)(ln)()()()( )( 2)(xxxxxxxxyx高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系23531,(1)(2); 2,3(1 2 ) ; 3,;xxxyx xxyxyx例6 試用比較簡(jiǎn)單的方法求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)分析:1 可把右式展開后求導(dǎo),也可利用乘積求導(dǎo).后者方便.) 1()2()2)(1(),2)(1(xxxxxxyxxxy223)21 (18)2()21 (9)21 (3xxyxy 2 可把右式展開后求導(dǎo),也可用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo).后者方便.

6、263223 2222xxxxxxxx231(1)4,ln; 5,; 6,.1(1)a bxxxxyyya bxxx高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系3 用商的求導(dǎo)公式,也可先化簡(jiǎn)后求導(dǎo)的方法,后者方便23212215.3535xyxxxxxxy4 可用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)或?qū)?shù)性質(zhì)把函數(shù)變形后再求導(dǎo).后者好)ln()ln(lnbxabxabxabxay5 (1)可用商的求導(dǎo)方法(2)用乘積求導(dǎo)方法(3)可化簡(jiǎn)后再求導(dǎo);2)1 (2 1121)1 (211xyxxxxxy)(2bxabxaabbxabbxaby高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢

7、科技學(xué)院數(shù)理系 方法和5一樣,用商和乘積的方法不如用對(duì)數(shù)的方法化 簡(jiǎn)后求導(dǎo).)1ln(3)1ln(2lnln)1 ()1 (32xxxyxxxy 同樣的問(wèn)題采用好的方法,不但計(jì)算方便而且正確.通過(guò)上述研究我們知道初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是初等函數(shù).而隱函數(shù),參數(shù)方程確定的函數(shù)不一定是初等函數(shù),但可用上述求導(dǎo)方法得到它的導(dǎo)數(shù).)1)(1 (51 131211xxxxxxxyy432)1 ()51)(1 ()1)(1 (51)1 ()1 (xxxxxxxxxxy高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系例7 設(shè)f(x) x(x-1)(x-2)(x-3).(x-100) 求 f

8、 (0)分析: 本題利用乘積求導(dǎo)方法比較麻煩,不如采用導(dǎo)數(shù)定義求方便xfxffx)0()0(lim)0(0例8 求冪指函數(shù) y=xx 的導(dǎo)數(shù)) 1(ln)1(ln:lnlnxxxxxeyexyxxxxxx解用性質(zhì)用對(duì)數(shù)xxxxxx0)100).(2)(1(lim 0!100)100).(2)(1(lim 0 xxxx) 1(ln1ln1lnlnxxyxyyxxyxyxx高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系1( )( ) ln xxxyu xyu xu xxu xu x（ ） （ ） （ ）212)21ln()21 ()21(xxxxxxx利用上式可求得 隱函數(shù)

9、的二階求導(dǎo)就是在隱函數(shù)的一階求導(dǎo)的基礎(chǔ)上, 在等式兩邊再對(duì)x求導(dǎo)一次,下面舉例說(shuō)明:( ) ( ) ln ( )( )xu xu xu xxu x 高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系例9 求由方程 x-y+1/2siny=0 所確定的隱函數(shù)y的二 階導(dǎo)數(shù) y”解: 方程兩邊對(duì)x求導(dǎo),得到y(tǒng)yyyycos220cos211上述方程再對(duì)x求導(dǎo),得到0cos21)(sin212 yyyyy322)2(cossin42cos)cos22(sin2cos)(sin yyyyyyyyy高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系二二 由參數(shù)式方

10、程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)由參數(shù)式方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 設(shè)給定參數(shù)方程)(),(tytx通過(guò)參數(shù)t確定了應(yīng)用復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)公式,得到)2()()(/ttxydxdyttdtdxdtdydxdtdtdydxdy具有單調(diào)性，y 為 x 的函數(shù)有時(shí)由上面的方程消去t,得到的y=f(x)比 較復(fù)雜,有時(shí)還寫不出來(lái).它的反函數(shù)存在，并設(shè)上面函數(shù))(),(tytx都可導(dǎo),由它構(gòu)成的復(fù)合函數(shù).我們高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系例11 求曲線22213,13tatytatx在t=2處的切線方程分析: 當(dāng)t=2時(shí),所求切線的切點(diǎn)的坐標(biāo)為(6a/5,12a/5)切線的

11、斜率是 yx ，因?yàn)?222322222222)1 (6)1 (6)1 (6,)1 ()1 (3)1 (6)1 (3tattattatdtdyttatattadtdx2222322222222)1 (6)1 (6)1 (6,)1 ()1 (3)1 (6)1 (3tattattatdtdyttatattadtdx)(34|12|002222xxkyyttxydxdykttttt01234 )56)(34(512ayxaxay則切線方程為高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系 在參數(shù)方程的一階導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)上,我們來(lái)討論參數(shù)式的 二階導(dǎo)數(shù)的求法. 設(shè)函數(shù)的參數(shù)式為x=(

12、t), y=(t),)()(ttdxdy則它們的二階導(dǎo)數(shù)dxdtttdtdttdxddxyd)()()()(22 參數(shù)式的二階求導(dǎo))(1)()()()()( 2tttttt 3)()()()()( ttttt 高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系例12 求函數(shù) 的二階導(dǎo)數(shù)taytaxsincostaxtaxcos,sin 解 在求參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)時(shí),不要同函數(shù)的求導(dǎo)混淆起來(lái).要求 采用 形式dxdtdxdydtddxyd)(22.sin,cos taytay 322)sin()cos(cos)sin(sin tatatatatadxydta3sin1 高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系三三.相關(guān)變化率相關(guān)變化率 設(shè) x= x(t)及 y = y(t) 都是可導(dǎo)函數(shù)，而變量x與y之 間存在某種關(guān)系，從而變化率 dx/dt 與 dy/dt 之間也 存在一定關(guān) 系。 兩個(gè)相互依賴的變化率稱為相關(guān)變化率. 相關(guān)變化率問(wèn)題是研究這兩個(gè)變化率之間的關(guān)系，以便 從其中一個(gè)變化率求出另一個(gè)變化率.通 過(guò)舉例說(shuō)明高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系2sec, 1,500min,/1405001sec22tghmdtdhdt