1.2平面曲線(xiàn)弧長(zhǎng)ppt課件

1、xoy0MA nMB 1M2M1 nM設(shè)設(shè)A、B是是曲曲線(xiàn)線(xiàn)弧弧上上的的兩兩個(gè)個(gè)端端點(diǎn)點(diǎn)，在在弧弧上上插插入入分分點(diǎn)點(diǎn)BMMMMMAnni ,110并并依依次次連連接接相相鄰鄰分分點(diǎn)點(diǎn)得得一一內(nèi)內(nèi)接接折折線(xiàn)線(xiàn)，當(dāng)當(dāng)分分點(diǎn)點(diǎn)的的數(shù)數(shù)目目無(wú)無(wú)限限增增加加且且每每個(gè)個(gè)小小弧弧段段都都縮縮向向一一點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)，此此折折線(xiàn)線(xiàn)的的長(zhǎng)長(zhǎng)|11 niiiMM的的極極限限存存在在，則則稱(chēng)稱(chēng)此此極極限限為為曲曲線(xiàn)線(xiàn)弧弧AB的的弧弧長(zhǎng)長(zhǎng).一、平面曲線(xiàn)弧長(zhǎng)的概念一、平面曲線(xiàn)弧長(zhǎng)的概念 設(shè)曲線(xiàn)弧為設(shè)曲線(xiàn)弧為)(xfy )(bxa ，其中，其中)(xf在在,ba上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)xoyabxdxx 取積分變量為

2、取積分變量為x，在，在,ba上任取小區(qū)間上任取小區(qū)間,dxxx ，以對(duì)應(yīng)小切線(xiàn)段的長(zhǎng)代替小弧段的長(zhǎng)以對(duì)應(yīng)小切線(xiàn)段的長(zhǎng)代替小弧段的長(zhǎng) dy小小切切線(xiàn)線(xiàn)段段的的長(zhǎng)長(zhǎng)22)()(dydx dxy21 弧長(zhǎng)元素弧長(zhǎng)元素dxyds21 弧長(zhǎng)弧長(zhǎng).12dxysba 二、直角坐標(biāo)情形二、直角坐標(biāo)情形例例 1 1 計(jì)計(jì)算算曲曲線(xiàn)線(xiàn)2332xy 上上相相應(yīng)應(yīng)于于x從從a到到b的的一一段段弧弧的的長(zhǎng)長(zhǎng)度度.解解,21xy dxxds2)(121 ,1dxx 所求弧長(zhǎng)為所求弧長(zhǎng)為dxxsba 1.)1()1(322323ab ab例例 2 2 計(jì)計(jì)算算曲曲線(xiàn)線(xiàn) dnynx 0sin的的弧弧長(zhǎng)長(zhǎng))0( nx.解解nn

3、xny1sin ,sinnx dxysba 21dxnxn 0sin1ntx ndtt 0sin1dtttttn 0222cos2sin22cos2sindtttn 02cos2sin.4n 曲線(xiàn)弧為曲線(xiàn)弧為,)()( tytx )( t其其中中)(),(tt 在在, 上上具具有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù).22)()(dydxds 222)()(dttt dttt)()(22 弧長(zhǎng)弧長(zhǎng).)()(22dttts 三、參數(shù)方程情形三、參數(shù)方程情形例例 3 3 求星形線(xiàn)求星形線(xiàn)323232ayx )0( a的全長(zhǎng)的全長(zhǎng).解解 星形線(xiàn)的參數(shù)方程為星形線(xiàn)的參數(shù)方程為 taytax33sincos)20( t根據(jù)

4、對(duì)稱(chēng)性根據(jù)對(duì)稱(chēng)性14ss dtyx 20224dttta 20cossin34.6a 例例 4 4 證證明明正正弦弦線(xiàn)線(xiàn)xaysin )20( x的的弧弧長(zhǎng)長(zhǎng)等等于于橢橢圓圓 taytxsin1cos2 )20( t的的周周長(zhǎng)長(zhǎng).證證設(shè)正弦線(xiàn)的弧長(zhǎng)等于設(shè)正弦線(xiàn)的弧長(zhǎng)等于1sdxys 20211dxxa 2022cos1設(shè)橢圓的周長(zhǎng)為設(shè)橢圓的周長(zhǎng)為2s,cos12022dxxa ,20222dtyxs 根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性知根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性知 dttats 02222cos1sin2dxxa 022cos12,1s 故原結(jié)論成立故原結(jié)論成立.dtta 022cos12曲線(xiàn)弧為曲線(xiàn)弧為)( )( rr

5、 其其中中)( 在在, 上上具具有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù). sin)(cos)(ryrx)( 22)()(dydxds ,)()(22 drr 弧長(zhǎng)弧長(zhǎng).)()(22 drrs 四、極坐標(biāo)情形四、極坐標(biāo)情形例例 5 5 求求極極坐坐標(biāo)標(biāo)系系下下曲曲線(xiàn)線(xiàn)33sin ar的的長(zhǎng)長(zhǎng). .)0( a解解 drrs )()(22313cos3sin32 ar,3cos3sin2 a.23a daa242623cos3sin3sin 30 d23sin 30a 0()3 例例 6 6 求求阿阿基基米米德德螺螺線(xiàn)線(xiàn) ar )0( a上上相相應(yīng)應(yīng)于于 從從0到到 2的的弧弧長(zhǎng)長(zhǎng).解解, ar drrs )()(2

6、2 .)412ln(412222 a 20 daa222 20a d12 平面曲線(xiàn)弧長(zhǎng)的概念平面曲線(xiàn)弧長(zhǎng)的概念直角坐標(biāo)系下直角坐標(biāo)系下參數(shù)方程情形下參數(shù)方程情形下極坐標(biāo)系下極坐標(biāo)系下弧微分的概念弧微分的概念求弧長(zhǎng)的公式求弧長(zhǎng)的公式 五、小結(jié)五、小結(jié)思考題思考題 閉閉區(qū)區(qū)間間,ba上上的的連連續(xù)續(xù)曲曲線(xiàn)線(xiàn))(xfy 是是否否一一定定可可求求長(zhǎng)長(zhǎng)？思考題解答思考題解答不一定僅僅有曲線(xiàn)連續(xù)還不夠，必須保證不一定僅僅有曲線(xiàn)連續(xù)還不夠，必須保證曲線(xiàn)光滑才可求長(zhǎng)曲線(xiàn)光滑才可求長(zhǎng)一、一、 填空題：填空題：1 1、 曲線(xiàn)曲線(xiàn)xyln 上相應(yīng)于上相應(yīng)于83 x的一段弧長(zhǎng)為的一段弧長(zhǎng)為_(kāi)；2 2、 漸伸線(xiàn)漸伸線(xiàn))

7、sin(costttax ，)cos(sintttay 上相應(yīng)于上相應(yīng)于變變到到從從 0t 的一段弧長(zhǎng)為的一段弧長(zhǎng)為_(kāi)；3 3、 曲 線(xiàn)曲 線(xiàn)1 r自自43 至至34 一 段 弧 長(zhǎng) 為一 段 弧 長(zhǎng) 為_(kāi) . .二二、 計(jì)計(jì)算算半半立立方方拋拋物物線(xiàn)線(xiàn)32)1(32 xy被被拋拋物物線(xiàn)線(xiàn)32xy 截截得得的的一一段段弧弧的的長(zhǎng)長(zhǎng)度度 . .三三、 計(jì)計(jì)算算星星形形線(xiàn)線(xiàn)tax3cos ，tay3sin 的的全全長(zhǎng)長(zhǎng) . .練練 習(xí)習(xí) 題題四四、 求求心心形形線(xiàn)線(xiàn))cos1( ar的的全全長(zhǎng)長(zhǎng). .五五、 證證明明：曲曲線(xiàn)線(xiàn)xysin )20( x的的弧弧長(zhǎng)長(zhǎng)等等于于橢橢圓圓2222 yx的的周周長(zhǎng)長(zhǎng). .六六、 在在擺擺線(xiàn)線(xiàn)),sin(ttax )cos1(tay 上上求求分分?jǐn)[擺線(xiàn)線(xiàn)第第一一拱拱成成3:1的的點(diǎn)點(diǎn)的的坐坐標(biāo)標(biāo). .