高中數(shù)學(xué)不等式歸納講解

1、第三章 不等式定義： 用不等號(hào)將兩個(gè)解析式連結(jié)起來所成的式子。3-1 不等式的最根本性質(zhì) 對(duì)稱性：如果xy，那么yv x;如果yv x，那么xy; 傳遞性：如果x y , y z;那么x z; 加法性質(zhì)；如果xy，而z為任意實(shí)數(shù)，那么 x + zyz； 乘法性質(zhì)：如果 x y， z 0，那么 xz yz ；如果 x y，zv 0，那么 xzv yz; 符號(hào)法那么3-2 不等式的同解原理 不等式F xv G x與不等式 Gx F x同 如果不等式F xv G x的定義域被解析式 Hx丨的定義域所包含，那么不等式F :xv Gx丨與不等式F X+ H xv G x+ Hx同解。 如果不等式 F x

2、v Gx 的定義域被解析式 Hx 的定義域所包含，并且 H x 0，那么不等式 F(x) v G x 與不等式 H x Fxv H x G x 同解；如果 Hx v 0，那么不等式 F : xv G x與不等式 H (x)F x HxG x同解。 不等式F xGx 0與不等式0或0同解G(x) 0 G(x) 0不等式解集表示方式F(x)0 的解集為 x 大于大的或 x 小于小的F(x)0 的解集為 x 大于小的或 x 小于大的3-3 重要不等式3-3-1均值不等式1、調(diào)和平均數(shù):a2an2、幾何平均數(shù):丄Gn (aQ2a n)n3、算術(shù)平均數(shù):An(ai a2nan)4、平方平均數(shù):Qn(af

3、2a2a2)這四種平均數(shù)滿足Hn wGn WAn 3? abc等號(hào)僅當(dāng)a b c時(shí)成立2(8)對(duì)非負(fù)數(shù)a,b,c，有ab2ab bc ac2(9)對(duì)非負(fù)數(shù)a,b，IIa ba2 b223-3-1-1 最值定理當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和一定時(shí)，其乘積有最大值；當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的乘積一定時(shí)，其和有最小值。均值不等式求最值主要方法:1. 常見構(gòu)造條件的變換：加項(xiàng)變換，系數(shù)變換，平方變換，拆項(xiàng)變換，常量代換，三角代換等.2.當(dāng)使用均值定理時(shí)等號(hào)不能成立時(shí),應(yīng)考慮函數(shù)的單調(diào)性例如“對(duì)號(hào)函數(shù)，導(dǎo)數(shù)法3-3-2權(quán)方和不等式m 1aim 1a2m 1a3m 1an佝a2m 1a3. an)bmbmbm. bm(b1b2b3.b

4、n)ma,b, n為正整數(shù)。m為正數(shù)。3-4絕對(duì)值不等式|a+ b|W|a|+| b |a b| |a| |b|3-5不等式例題解析3-5-1 絕對(duì)值不等式1、求 |x2 5x 5| 1 的解2、右邊的常數(shù)變?yōu)榇鷶?shù)式(1)|x+1|2 x; (2)| x2 2x 6|3 x形如 | f (x) | g(x)型不等式這類不等式的簡捷解法是等價(jià)命題法，即： | f(x)| g(x) g(x) f(x) g(x) f (x) g(x)或 f (x) g(x)3、兩個(gè)絕對(duì)值不等式解不等式1|x 1|5.形如I f(x) | g(x)|型不等式1 此類不等式的簡捷解法是利用平方法，即：I f(x) II

5、 g(x)I f2(x) g2(x)f(x) g(x) f(x) g(x)02丨所謂零點(diǎn)分段法，是指：假設(shè)數(shù)xi , x2 ,焉分別使含有|x xi| , |x X2| ,|x Xn|的代數(shù)式中相應(yīng)絕對(duì)值為零，稱Xi , X2 , , Xn為相應(yīng)絕對(duì)值的零點(diǎn)，零點(diǎn)Xi , X2 , , Xn將數(shù)軸分為 m+1 段，利用絕對(duì)值的意義化去絕對(duì)值符號(hào)，得到代數(shù)式在各段上的簡化式，從而化為不含絕對(duì)值符號(hào)的一般不等式來 解，即令每項(xiàng)等于零，得到的值作為討論的分區(qū)點(diǎn)，然后再分區(qū)間 討論絕對(duì)值不等式，最后應(yīng)求出解集的并集。零點(diǎn)分段法是解含絕 對(duì)值符號(hào)的不等式的常用解法，這種方法主要表達(dá)了化歸、分類討 論等數(shù)

6、學(xué)思想方法，它可以把求解條理化、思路直觀化。例題.不等式|x+3|-|2x-1|v2+1的解集為。解：4 x(x 丄)21|x+3|-|2x-1|= 4x 2( 3 x -)x 4(x3)4、含參數(shù)絕對(duì)值不等式解關(guān)于x的不等式 x2 4mx 4m2 m 3解題原不等式等價(jià)于|x 2m| m 3當(dāng)m3 0即m 3時(shí)，x 2m m 3 或 x 2m (m 3)x 3m 3或x m 3當(dāng)m30即m3時(shí)，| x 6 | 0x 6當(dāng)m30 即 m3時(shí)，xR方法歸納：形如| f (x) |a(a R )型不等式 此類不等式的簡捷解法是等價(jià)命題法，即： 當(dāng) a0 時(shí)，|f(x)|a af(x)a f(x)a

7、 或 f (x)a f(x) #0 當(dāng) aa f (x)有意義。4 、含參數(shù)絕對(duì)值不等式有解、解集為空和恒成立的問題假設(shè)不等式|x 4|+|3 x|0時(shí)，先求不等式|x 4|+|3 x|4時(shí)，原不等式化為x 4+ x 3 a，即2 x 712x 7 a2 當(dāng)3 x4時(shí)，原不等式化為4 x+ x 31 當(dāng)x 3時(shí)，原不等式化為4 x+3 xv a即7 2x17 2x a 22綜合可知，當(dāng)a1時(shí)，原不等式有解，從而當(dāng)0a 1時(shí)，原不等式解集為空集。由(1)(2)知所求a取值范圍是a 1時(shí)，|x 4|+|3x| a有解從而當(dāng)a | x 4|+|3 x|x 4+3 x|=1當(dāng)a1 時(shí)，|x 4|+|3

8、 x| a 有解從而當(dāng)a 1時(shí)，原不等式解集為空集。方法總結(jié)：1一題有多法，解題時(shí)需學(xué)會(huì)尋找最優(yōu)解法。2f x a有解 a f x min ； f x a解集為空集f x min ； f xa f x min ；這兩者互補(bǔ)。x a 恒成立a f x max 。x max ； f xa f x max ；這兩者互補(bǔ)。f x a恒成立a f x min 。x max ； f xa f x max ；這兩者互補(bǔ)。fxa恒成立a f x min 。6 、絕對(duì)值三參數(shù)不等式問題函數(shù) f (x)ax2bx c (a, b, cR)，當(dāng) x 1,1時(shí)| f (x)| 1，求證：(1)| b | 1；(2)假

9、設(shè) g (x)bx2ax c (a ,b,cR) ，那么 當(dāng) x 1,1 時(shí) ， 求 證 ：| g(x)| 2。思路 此題中所給條件并缺乏以確定參數(shù) a,b,c 的值，但應(yīng)該注意到：所要求的結(jié)論不是b或g(x)確實(shí)定值，而是與條件相對(duì)應(yīng)的“取值范圍，因此，我們可以用f 1 、f()、f 1來表示a，b,c因?yàn)橛蓷l件得|f( 1)| 1，|f(0)| 1，|f(1)| 1解題證明:(1)由 f 1 ab c, f 1a bc b1-f 1 f 12,從而有11|b|尹f(1) 2(lf(1)l lf(1)l)/ l f (1)l1，lf( 1)l 1，1|b| (l f(1)l 1f( 1)l)

10、 1.由f 1 a bc, f 1 a b c b1f 1 f21 , a c1-f 12f 1 ,c f (0),從而a -f 12f 1 f(0)將以上三式代入g(x)bx收獲1二次函數(shù)的一般式y(tǒng) ax2 bx c (c 0)中有三個(gè)參數(shù)a,b,c.解 題的關(guān)鍵在于：通過三個(gè)獨(dú)立條件“確定這三個(gè)參數(shù).2此題變形技巧性強(qiáng)，同時(shí)運(yùn)用公式|a b| |a| |b| ,|a b|a| |b| ax c(a,b,cR),并整理得|g(x)| | f(0)( x211) -f(1)(x 1)21-f( 1)(12x)ll f(0)(x21)|11-l f(1)(x 1)| -22l f( 1)(1 x

11、)l|f(0)|x21|11-l f(1)llx 1l - 22l f( 1)ll1xl2 112 11x) 22l x 1|l x21ll1 xl 1 x(x 1)2 21(1x及條件進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆糯?。要求同學(xué)們做題時(shí)要有敏銳的數(shù)學(xué)觀 察能力例題2 .函數(shù)f(x)二.1 x a2 丄 1 b2 iO!回憶：1、證題時(shí)，應(yīng)注意式子兩邊代數(shù)式的聯(lián)系，找出它們 的共同點(diǎn)是證題成功的第一步。此外，綜合運(yùn)用不等式的性質(zhì)是證題成功的關(guān)鍵。如在本例中，用到了不等式的傳遞性，倒數(shù)性質(zhì)， 以及“三角形不等式等等 , a,b R，且a b ,求證|f(a)-f(b)|v|a-b|分析：要證| -.1 a21 b2

12、 | |a b|，考察左邊，是否能產(chǎn)生|a-b| 2 2證明：卩-肚滬|a|b|a| |b|a b| |a b|其中 Ml a2 Ja2 |a|,同理Jib2 |b|,2、此題的背景知識(shí)與解析幾何有關(guān)。函數(shù) y 1 x2是雙曲線,1的上支，而|丄里|即|f(a) f(b)|，貝卩表示該圖象上任禺 X2a b意兩點(diǎn)連線的斜率的絕對(duì)值。學(xué)過有關(guān)知識(shí)后，很顯然這一斜率 的范圍是在-1 , 1之間。2 . 1不等式|x-3|+|x+1|va ，的解集為空集，求a的取 值范圍;2丨不等式|x-3|+|x+1|a 有解，求a的取值范圍。分析：“有解即“解集非空，可見1 2兩小題的答案集合互為補(bǔ)集全集為 R

13、當(dāng)然可以用|x-3|+|x+1|=2x 2(x4( 1 x2 2x(x3)3)這種“去絕對(duì)值的方法1)來解，但我們考慮到“三角形不等式：|a|-|b| |x-3-x-1|=4這樣 |x-3|+|x+1|a等價(jià)于 |x 3| |x 1| a(*)11 11|x 3| |x 1| 4假設(shè)*解集為，那么a 4。解略回憶：此題是“絕對(duì)值不等式性質(zhì)定理即“三角形不等式 的一個(gè)應(yīng)用。開展題：1不等式|x-3|+|x+1|a的解集非空，求a的取值范圍。2丨不等式|x-3|+|x+1| a的解集非空，求a的取值范圍。3 .f(x)的定義域?yàn)?,1，且f(0)=f(1)，如果對(duì)于任意不 同的 X1,X2 0,1

14、,都有 |f(x1)-f(x 2)|x 1-x2|,求證：|f(X1)-f(X2)|vg分析：題設(shè)中沒有給出f(x)的解析式，這給我們分析f(x)的結(jié) 構(gòu)帶來困難，事實(shí)上，可用的條件只有f(0)=f(1)，與 |f(X1)-f(X 2)|V|X 1-X2|兩個(gè)。1 1首先，假設(shè) |X1-X2| -，那么必有 |f(xi)-f(x 2)|V|X 1-X2| 2 即|f(xi)-f(x 2)| -呢？考慮到 0 W|X1-X2| 1 ,那么 1-|x 1-X2| -,看來要證明的是 |f(x 1 )-f(x 2)|1-|x 1-X2| -成立！證明：不妨設(shè)X1 X2，貝S 0X1 X211 11當(dāng)

15、 |X1-X2| 2 時(shí)，那么有 |f(x1)-f(x 2)|x 1-X2I -即1|f(X1)-f(X 2)| -時(shí)，即 X2-X1 2 時(shí)，丁0X2-X1 1必有 1-|X 1-X2| 1 即 1- X 2+X 1 -2 2也可寫成 |1- X2|+|x1|-2(*)另一方面 |f(X1)-f(X2)|=|f(1)-f(x 2)+f(x 1)-f(0)| 0 , y?0 ,且x2 1，求證:2320化為(x-2)(x-1)(x+1)0第二步：將不等號(hào)換成等號(hào)解出所有根。例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根為：x仁2，x2=1，x3=-1第二步：在數(shù)軸上從左到右依次標(biāo)出各根例如：-1

16、 1 2第三步：畫穿根線：以數(shù)軸為標(biāo)準(zhǔn)，從“最右根的右上 方穿過根，往左下畫線，然后又穿過“次右跟上去，一上一 下依次穿過各根。第四步：觀察不等號(hào)，如果不等號(hào)為“ ，那么取數(shù)軸上方，穿跟線以內(nèi)的范圍；如果不等號(hào)為“ 0 的根。在數(shù)軸上標(biāo)根得： -1 1 2畫穿根線：由右上方開始穿根。因?yàn)椴坏忍?hào)威“ 那么取數(shù)軸上方，穿跟線以內(nèi)的范圍。即： -1x2 。奇透偶不透即假設(shè)有兩個(gè)解都是同一個(gè)數(shù)字這個(gè)數(shù)字要按照兩個(gè)數(shù)字穿如x-1)A=0兩個(gè)解都是1那么穿的時(shí)候不要透過1。解題步驟：1首項(xiàng)系數(shù)化為“正2移項(xiàng)通分，不等號(hào)右側(cè)化為“ 03因式分解，化為幾個(gè)一次因式積的形式4數(shù)軸標(biāo)根。:系數(shù)非正，小于等于例2、解不等式：X：3X20-X2 7x 12解略點(diǎn)評(píng)：“W或標(biāo)根時(shí)，分子實(shí)心，分母空心例3、解不等式:2X2 9x 11x2 2x 1 口7 o點(diǎn)評(píng)：1、不能隨便去分母2、移項(xiàng)通分，必須保證右側(cè)為“ 03、注意重根問題例4、解不等式:x2 5x 6x2 3x 22、重根