計(jì)算動力學(xué)第一章-大連理工

1、運(yùn)載工程與力學(xué)學(xué)部 振動定義振動定義 1. 什么叫振動？什么叫振動？ 例如：鐘表例如：鐘表擺的來回?cái)[動，交流電路中電流的交擺的來回?cái)[動，交流電路中電流的交替增減，電磁場的交替變化等等，都可以看成振動現(xiàn)替增減，電磁場的交替變化等等，都可以看成振動現(xiàn)象。象。 廣義地說，任何物理量交替增減變化的現(xiàn)象都叫廣義地說，任何物理量交替增減變化的現(xiàn)象都叫做振動。做振動。 振動的分類振動的分類 按激振情況分類按激振情況分類自由振動自由振動受迫振動受迫振動 自激振動自激振動 一、按激振情況分類一、按激振情況分類 1.1.自由振動自由振動彈性系統(tǒng)不受外界的持續(xù)作用，彈性系統(tǒng)不受外界的持續(xù)作用，只靠彈性恢復(fù)力、質(zhì)量的

2、慣性力而維持振動。當(dāng)然只靠彈性恢復(fù)力、質(zhì)量的慣性力而維持振動。當(dāng)然振動開始時必須有外力加以激發(fā)，振動的能量就是振動開始時必須有外力加以激發(fā)，振動的能量就是由初始的外力激發(fā)時給的。以后由于阻尼，振動的由初始的外力激發(fā)時給的。以后由于阻尼，振動的機(jī)械能逐漸消耗。機(jī)械能逐漸消耗。 2.2.受迫振動受迫振動外界的激勵使系統(tǒng)發(fā)生的振動。外界的激勵使系統(tǒng)發(fā)生的振動。一旦外加激勵消失，受迫振動就停止，進(jìn)入自由振一旦外加激勵消失，受迫振動就停止，進(jìn)入自由振動。動。 3.3.自激振動自激振動系統(tǒng)在振動開始及振動過程中系統(tǒng)在振動開始及振動過程中也受到外力作用，但這外力本身不是交替變化的作也受到外力作用，但這外力本

3、身不是交替變化的作用力，而系統(tǒng)在這外力的作用下自己產(chǎn)生交替變化用力，而系統(tǒng)在這外力的作用下自己產(chǎn)生交替變化作用力，以便維持振動的持續(xù)進(jìn)行。例如鐘擺，拉作用力，以便維持振動的持續(xù)進(jìn)行。例如鐘擺，拉胡琴弦等。胡琴弦等。 它與自由振動的區(qū)別在于：在振動過程中有外界能量它與自由振動的區(qū)別在于：在振動過程中有外界能量輸入。輸入。 它與受迫振動的區(qū)別在于：受迫振動中的交變力是外它與受迫振動的區(qū)別在于：受迫振動中的交變力是外加的，自激振動的交變力則是運(yùn)動本身產(chǎn)生的。加的，自激振動的交變力則是運(yùn)動本身產(chǎn)生的。 ( (摩擦自激）摩擦自激） 振動的分類振動的分類 按運(yùn)動規(guī)律分按運(yùn)動規(guī)律分 簡諧振動簡諧振動 非簡諧

4、的周期振動非簡諧的周期振動 瞬態(tài)振動瞬態(tài)振動隨機(jī)振動隨機(jī)振動 二、按運(yùn)動規(guī)律分二、按運(yùn)動規(guī)律分類類 1.1.簡諧振動簡諧振動運(yùn)動時位移隨時間按正弦或余運(yùn)動時位移隨時間按正弦或余弦規(guī)律變化。（簡稱為諧振動）弦規(guī)律變化。（簡稱為諧振動） 2.2.非簡諧的周期振動非簡諧的周期振動雖然不是諧振動，但雖然不是諧振動，但仍是周期的復(fù)雜變化。以后會講到，這類振動可分仍是周期的復(fù)雜變化。以后會講到，這類振動可分成幾個簡諧振動的疊加。成幾個簡諧振動的疊加。 x xAsintAsint 3.3.瞬態(tài)振動瞬態(tài)振動振動參量是時間的非周期函數(shù)，振動參量是時間的非周期函數(shù)，通常只在一段時間內(nèi)存在。通常只在一段時間內(nèi)存在。

5、 4.4.隨機(jī)振動隨機(jī)振動振動量不是時間的確定性函數(shù)，振動量不是時間的確定性函數(shù)，只能用概率統(tǒng)計(jì)方法研究，如汽車在不平路上的顛只能用概率統(tǒng)計(jì)方法研究，如汽車在不平路上的顛簸等等。簸等等。 振動的分類振動的分類 線性振動線性振動 按描述振動系統(tǒng)的微分方程分按描述振動系統(tǒng)的微分方程分 非線性振動非線性振動 三、按描述振動系統(tǒng)的微分方程分類三、按描述振動系統(tǒng)的微分方程分類 1.1.線性振動線性振動如如 ，振動參，振動參量量 都是一次方，是線性關(guān)系，當(dāng)我們討論都是一次方，是線性關(guān)系，當(dāng)我們討論的彈性構(gòu)件屬于小變形情況，可以略去二次及二次的彈性構(gòu)件屬于小變形情況，可以略去二次及二次以上的高階小量，于是簡

6、化成線性問題來解決。以上的高階小量，于是簡化成線性問題來解決。 0kxxrxm 2.2.非線性振動非線性振動振動參振動參量量 在微分方在微分方程中出現(xiàn)二次或是高次，這叫做非線性振動，例如程中出現(xiàn)二次或是高次，這叫做非線性振動，例如大變形情況。大變形情況。xxx, xxx, 振動的分類振動的分類 單自由度系統(tǒng)振動單自由度系統(tǒng)振動 多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 按描述振動系統(tǒng)的自由度分按描述振動系統(tǒng)的自由度分 無限自由度系統(tǒng)振動無限自由度系統(tǒng)振動 四、按描述振動系統(tǒng)的自由度分四、按描述振動系統(tǒng)的自由度分類類 1.1.單自由度系統(tǒng)振動單自由度系統(tǒng)振動用一個獨(dú)立坐標(biāo)就能用一個獨(dú)立坐標(biāo)就能確定的系統(tǒng)

7、的振動。確定的系統(tǒng)的振動。 2.2.多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動用多個獨(dú)立坐標(biāo)才能用多個獨(dú)立坐標(biāo)才能確定的系統(tǒng)的振動。確定的系統(tǒng)的振動。 3.3.無限自由度系統(tǒng)振動無限自由度系統(tǒng)振動即彈性體的振動，即彈性體的振動，需用無限多個獨(dú)立坐標(biāo)（位移函數(shù)）才能確定系統(tǒng)需用無限多個獨(dú)立坐標(biāo)（位移函數(shù)）才能確定系統(tǒng)的振動。的振動。 我們研究的是彈性體振動問題，實(shí)際上都是屬我們研究的是彈性體振動問題，實(shí)際上都是屬于無限自由度系統(tǒng)的振動。但是，這要求解偏微分于無限自由度系統(tǒng)的振動。但是，這要求解偏微分方程，只對簡單的情況才能求解。因此，對于大量方程，只對簡單的情況才能求解。因此，對于大量的工程振動問題，是按

8、其具體情況，抓住主要矛盾，的工程振動問題，是按其具體情況，抓住主要矛盾，簡化為有限自由度問題去求解。簡化為有限自由度問題去求解。 例如例如 電機(jī)放在鋼梁上，由于偏心質(zhì)量引起振動，略電機(jī)放在鋼梁上，由于偏心質(zhì)量引起振動，略去鋼梁的質(zhì)量，把它簡化成一個彈簧加一個阻尼器，去鋼梁的質(zhì)量，把它簡化成一個彈簧加一個阻尼器，這就是單自由度系統(tǒng)有阻尼受迫振動的問題。這就是單自由度系統(tǒng)有阻尼受迫振動的問題。 自由度自由度決定系統(tǒng)在任何瞬時幾何位決定系統(tǒng)在任何瞬時幾何位置的獨(dú)立坐標(biāo)的個數(shù)（或參數(shù)）。置的獨(dú)立坐標(biāo)的個數(shù)（或參數(shù)）。 再如，當(dāng)我們用有限元素法求解振動問題時，再如，當(dāng)我們用有限元素法求解振動問題時，也要

9、把無限自由度系統(tǒng)簡化成有限自由度系統(tǒng)。也要把無限自由度系統(tǒng)簡化成有限自由度系統(tǒng)。 單自由度系統(tǒng)的無阻尼自由振動單自由度系統(tǒng)的無阻尼自由振動 我們前邊研究振動的運(yùn)動學(xué)時，只研究振我們前邊研究振動的運(yùn)動學(xué)時，只研究振動形態(tài)隨時間動形態(tài)隨時間t 變化的規(guī)律而不考慮發(fā)生振動的變化的規(guī)律而不考慮發(fā)生振動的原因。原因。質(zhì)量質(zhì)量 提供恢復(fù)力元件提供恢復(fù)力元件 干擾（力，初位移，初速度等）干擾（力，初位移，初速度等） 實(shí)際上，發(fā)生振動必須有三個基本條件：實(shí)際上，發(fā)生振動必須有三個基本條件： xxFkx0 我們現(xiàn)在研究圖示彈簧質(zhì)量系統(tǒng)在光滑平面上的振動。我們現(xiàn)在研究圖示彈簧質(zhì)量系統(tǒng)在光滑平面上的振動。彈簧質(zhì)量不

10、計(jì)；質(zhì)體彈簧質(zhì)量不計(jì)；質(zhì)體m當(dāng)作剛體（或一個質(zhì)點(diǎn)）；并假設(shè)當(dāng)作剛體（或一個質(zhì)點(diǎn)）；并假設(shè)彈簧的恢復(fù)力與變形成正比，即：彈簧的恢復(fù)力與變形成正比，即：Fkx注：注：k的單位的單位N N/m/m 其中其中k k剛性系數(shù)（產(chǎn)生單位位移所需的力）。加負(fù)剛性系數(shù)（產(chǎn)生單位位移所需的力）。加負(fù)號是因?yàn)椋簭椥曰謴?fù)力永遠(yuǎn)與位移號是因?yàn)椋簭椥曰謴?fù)力永遠(yuǎn)與位移x方向相反。（始終指向方向相反。（始終指向靜平衡位置）靜平衡位置） 我們來建立單自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動微分方程。我們來建立單自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動微分方程。首先回顧一下，什么叫自由振動？自由振動過程中不受外首先回顧一下，什么叫自由振動？自由振動過程中不受

11、外力作用，但振動的起因還是由于外來干擾。例如，我們把力作用，但振動的起因還是由于外來干擾。例如，我們把小車小車m m拉到偏離平衡位置后放開手，它就作自由振動。這時拉到偏離平衡位置后放開手，它就作自由振動。這時m m受到的力只有彈性恢復(fù)力受到的力只有彈性恢復(fù)力F=kx，由牛頓第二定律：，由牛頓第二定律： 或?qū)懗桑夯驅(qū)懗桑?x=cx=c1 1sinsinn nt+ct+c2 2coscosn nt t 其中常數(shù)其中常數(shù)c c1 1 ，c c2 2由初始條件確定。由初始條件確定。kxxm 0 kxxm 02xxn 這里令這里令 mkn2 上式即一個自由度系統(tǒng)自由振動微分方程。這是個上式即一個自由度系

12、統(tǒng)自由振動微分方程。這是個二階齊次線性常微分方程。它的通解是：二階齊次線性常微分方程。它的通解是：設(shè)：當(dāng)設(shè)：當(dāng)t t0 0時時 00,vxxx把初始條件代入上式，可得把初始條件代入上式，可得0201,xcvcn)sin(cossin00tAtxtvxnnnn2020)(nvxA00vxtgn其中其中討論：討論： 1 1、單自由度系統(tǒng)的自由振動是個簡諧振動，、單自由度系統(tǒng)的自由振動是個簡諧振動，其振幅其振幅A A和初相位和初相位由初始條件決定。從這里可以由初始條件決定。從這里可以看到自由振動最初發(fā)生的原因，必須有初位移看到自由振動最初發(fā)生的原因，必須有初位移x x0 0或或初速度初速度v v0

13、0或兩者都有才有振動或兩者都有才有振動xAsin(nt)，否，否則則x0 0 無振動無振動（弧度（弧度/秒）秒） 2 2、自由振動的圓頻率、自由振動的圓頻率mkn就是說就是說是否發(fā)生自由振動是否發(fā)生自由振動由由xo，vo決定決定 振動頻率振動頻率系統(tǒng)固有頻率系統(tǒng)固有頻率 它取決于系統(tǒng)的質(zhì)量及彈簧剛度，因此是系統(tǒng)它取決于系統(tǒng)的質(zhì)量及彈簧剛度，因此是系統(tǒng)所固有的，與運(yùn)動的初始條件無關(guān)（也解釋說，與所固有的，與運(yùn)動的初始條件無關(guān)（也解釋說，與系統(tǒng)是否發(fā)生振動無關(guān)）故把系統(tǒng)是否發(fā)生振動無關(guān)）故把n稱為固有頻率。一稱為固有頻率。一座建筑物，一臺機(jī)器，一架飛機(jī)等等，一旦制造出座建筑物，一臺機(jī)器，一架飛機(jī)等

14、等，一旦制造出來，其來，其m，k就都是確定的了，于是固有頻率也就確就都是確定的了，于是固有頻率也就確定了。定了。求法：求法： mkn固有自然頻率及周期為固有自然頻率及周期為 kmfnn212mkfTn211 前邊研究的無阻尼自由振動是一種理想狀態(tài)，前邊研究的無阻尼自由振動是一種理想狀態(tài)，按照那里阻尼為零的假設(shè)，遵循機(jī)械能守恒定律，按照那里阻尼為零的假設(shè)，遵循機(jī)械能守恒定律，振動中設(shè)有能量消耗，因而可以無休止地振動下去。振動中設(shè)有能量消耗，因而可以無休止地振動下去。但事實(shí)上阻尼總是存在的，它使振動能量不斷減少，但事實(shí)上阻尼總是存在的，它使振動能量不斷減少，于是自由振動逐漸衰減直至停止。于是自由振

15、動逐漸衰減直至停止。單自由度系統(tǒng)單自由度系統(tǒng)有阻尼的自由有阻尼的自由振動振動粘性阻尼粘性阻尼 其中其中r r粘性阻尼系數(shù)粘性阻尼系數(shù) 當(dāng)質(zhì)量在介質(zhì)中振動時，阻尼力一般表現(xiàn)速度的當(dāng)質(zhì)量在介質(zhì)中振動時，阻尼力一般表現(xiàn)速度的函數(shù)：函數(shù)：)(xRR 若物體以較大速度在空氣或液體中運(yùn)動，阻尼與若物體以較大速度在空氣或液體中運(yùn)動，阻尼與速度平方成正比。但當(dāng)物體以低速度在粘性介質(zhì)中運(yùn)速度平方成正比。但當(dāng)物體以低速度在粘性介質(zhì)中運(yùn)動（包括兩接觸面之間有潤滑劑時）可以認(rèn)為阻尼與動（包括兩接觸面之間有潤滑劑時）可以認(rèn)為阻尼與速度成正比，即：速度成正比，即： xrR振動微分方程振動微分方程 令令 按牛頓第二定律：按

16、牛頓第二定律： xrkxxm 0 xrkxxm 0 xmkxmrx mr2mkn2xkr0mkxxr則得標(biāo)準(zhǔn)型單自由度阻尼自由振動的微分方程則得標(biāo)準(zhǔn)型單自由度阻尼自由振動的微分方程 022xxxn （1 1） 衰減系數(shù)（衰減系數(shù)（r/2mr/2m） 其中其中r r阻尼系數(shù)阻尼系數(shù) 現(xiàn)在求解方程（現(xiàn)在求解方程（1 1），這是一個二階常系數(shù)齊），這是一個二階常系數(shù)齊次微分方程。該方程的主要特點(diǎn)是：不用積分只用次微分方程。該方程的主要特點(diǎn)是：不用積分只用代數(shù)方法就能求出方程的通解。代數(shù)方法就能求出方程的通解。 我們先設(shè)我們先設(shè)x=x=e eptpt （p p常數(shù)）常數(shù)） 那么，那么， 代入方程（代入

17、方程（1 1）得：）得： ptpex ptepx2 e eptpt(p(p2 2+2p+2p+n n2 2)=0)=0 但但e eptpt00，故有：，故有：p p2 2+2p+2p+n n2 2=0=0 （2 2）特征方程特征方程 可見，若可見，若p p是二次代數(shù)方程（是二次代數(shù)方程（2 2）的一個根，則）的一個根，則e eptpt能使微分方程（能使微分方程（1 1）滿足，也就是說，是它的一）滿足，也就是說，是它的一個特解。代數(shù)方程（個特解。代數(shù)方程（2 2）叫做微分方程（）叫做微分方程（1 1）的特征）的特征方程。方程。 特征方程（特征方程（2 2）的兩個根是：）的兩個根是： 這是一個單調(diào)

18、衰減運(yùn)動這是一個單調(diào)衰減運(yùn)動（隨著（隨著t t增大，增大，x x越來越小，越來越小，直到零），而不是振動。直到零），而不是振動。 22np可能有三種情況，我們分別討論之?？赡苡腥N情況，我們分別討論之。 1 1、當(dāng)當(dāng) ( (臨界阻尼狀態(tài)臨界阻尼狀態(tài)) )，得兩個相，得兩個相同的實(shí)根：同的實(shí)根：p p1 1=p=p2 2=-=-，即方程之解為：，即方程之解為： 022nttteDeCx110tx式中式中e e的指數(shù)分別為的指數(shù)分別為 它們都是負(fù)數(shù)它們都是負(fù)數(shù) 2 2、當(dāng)當(dāng) （強(qiáng)阻尼狀態(tài)），得兩個不同（強(qiáng)阻尼狀態(tài)），得兩個不同負(fù)根，方程解為：負(fù)根，方程解為： 022nttnneDeCx)(1)(1

19、2222221np222np 因此這里因此這里x xx(tx(t) )也是一個單調(diào)衰減運(yùn)動而也是一個單調(diào)衰減運(yùn)動而不是振動。不是振動。 22n也就是說，微分方程（也就是說，微分方程（1 1）的兩個特解是）的兩個特解是 由線性齊次微分方程的性質(zhì)，由線性齊次微分方程的性質(zhì)，x x1 1與與x x2 2的線性組的線性組合也是方程（合也是方程（1 1）的解，故）的解，故 3 3、當(dāng)、當(dāng) （弱阻尼狀態(tài)），得兩個復(fù)數(shù)根：（弱阻尼狀態(tài)），得兩個復(fù)數(shù)根： 022n221nip222niptinex)(122tinex)(222teeeeeexxxnttitittitinnnn22)()(211cos22222

20、222222teeeeeexxxnttitittitinnnn22)()(212sin22222222222 注：做此變換的目的是把微分方程的解寫成注：做此變換的目的是把微分方程的解寫成實(shí)數(shù)形式實(shí)數(shù)形式 2cosixixeex這里，我們利用了歐拉公式這里，我們利用了歐拉公式 2sinixixeex 很容易看出很容易看出x x1 1與與x x2 2線性無關(guān)，由齊次線性線性無關(guān)，由齊次線性微分方程通解定律，微分方程通解定律，x x1 1與與x x2 2的線性組合即方程的線性組合即方程（1 1）的通解，故：）的通解，故： )sin()sin()sincos(222222tAetAetGtEexrtn

21、tnnt（3 3） 其中其中 22GEAGEtgE E，G G為待定常數(shù)，由初始條件為待定常數(shù)，由初始條件 定出定出 00,xx22nr該衰減振動的圓頻率該衰減振動的圓頻率 （3 3）式即但自由度系統(tǒng)有阻尼振動的位移方程。）式即但自由度系統(tǒng)有阻尼振動的位移方程。 討論討論顯然，發(fā)生振動的條件又可表示為顯然，發(fā)生振動的條件又可表示為11。 引進(jìn)無因次的阻尼比（振阻因數(shù)）引進(jìn)無因次的阻尼比（振阻因數(shù)） nncmmrr22 1 1、只有在小阻尼只有在小阻尼, ,即即c c n n時時, ,才不發(fā)生振動。才不發(fā)生振動。臨界阻尼系數(shù)，臨界阻尼系數(shù)， ，c c對應(yīng)的對應(yīng)的r rc c臨界阻尼臨界阻尼系數(shù)臨

22、界的系數(shù)臨界的 ，故，故 這說明，這說明，一個彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的臨界阻尼系數(shù)是確定的，只有一個彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的臨界阻尼系數(shù)是確定的，只有當(dāng)阻尼當(dāng)阻尼rrr rc c時才能發(fā)生振動。時才能發(fā)生振動。 mr2nccmr2kmmkmmrnc222 2 2、由于阻尼的存在使系統(tǒng)的園頻率、由于阻尼的存在使系統(tǒng)的園頻率 比無阻尼固有頻率比無阻尼固有頻率n n略有下降。由于小阻尼，略有下降。由于小阻尼，值又值又可略去不計(jì)，認(rèn)為可略去不計(jì)，認(rèn)為r rn n。 22nr3 3、 其振幅隨著時間其振幅隨著時間t t的增長而衰減。的增長而衰減。 )sin(tAexrt 為了表示振幅衰減的快慢，為了表示振幅衰減的快慢，取任

23、意兩個相鄰振幅之比取任意兩個相鄰振幅之比 rrTTtteAeAeAA)(21A0A1A2Trt x式中式中T Tr r周期周期 總之，阻尼的存在，使自由振動的振幅隨時間總之，阻尼的存在，使自由振動的振幅隨時間的增長而衰減，阻尼越大，衰減越快，直到最后停的增長而衰減，阻尼越大，衰減越快，直到最后停止振動。因此自由振動并不危害結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度。止振動。因此自由振動并不危害結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度。 取對數(shù)：取對數(shù)： rTAA21ln對數(shù)衰減對數(shù)衰減 它與衰減系數(shù)它與衰減系數(shù)成正比，就是說與阻尼系數(shù)成正比，就是說與阻尼系數(shù)r r成成正比，阻尼越大，振幅衰減越快。通過變換還可找正比，阻尼越大，振幅衰減越快。通過變換還可找

24、到對數(shù)減縮與阻尼比到對數(shù)減縮與阻尼比的關(guān)系（正比）：的關(guān)系（正比）： 222nrrfT1 1、激振力、激振力 激振力包括：激振力包括： 單自由度系統(tǒng)有阻尼的強(qiáng)迫振動單自由度系統(tǒng)有阻尼的強(qiáng)迫振動 簡諧激振力簡諧激振力 非簡諧的周期激振力非簡諧的周期激振力 沖擊激振力沖擊激振力 前幾節(jié)討論了在外界初始干擾下依靠系統(tǒng)本身前幾節(jié)討論了在外界初始干擾下依靠系統(tǒng)本身的彈性恢復(fù)力維持的自由振動。本節(jié)討論系統(tǒng)由外的彈性恢復(fù)力維持的自由振動。本節(jié)討論系統(tǒng)由外界激振所引起的振動，稱為強(qiáng)迫振動。外界激振所界激振所引起的振動，稱為強(qiáng)迫振動。外界激振所引起的系統(tǒng)的振動狀態(tài)稱為響應(yīng)。對于不同的外界引起的系統(tǒng)的振動狀態(tài)稱為

25、響應(yīng)。對于不同的外界激振，系統(tǒng)將具有不同的響應(yīng)。激振，系統(tǒng)將具有不同的響應(yīng)。 隨機(jī)激振力，等等隨機(jī)激振力，等等 我們將重點(diǎn)討論系統(tǒng)對簡諧激振力的響應(yīng)，因我們將重點(diǎn)討論系統(tǒng)對簡諧激振力的響應(yīng)，因?yàn)檫@是最基本的，是研究其他響應(yīng)的基礎(chǔ)。最后要為這是最基本的，是研究其他響應(yīng)的基礎(chǔ)。最后要討論系統(tǒng)對任意激振力的響應(yīng)。討論系統(tǒng)對任意激振力的響應(yīng)。 2 2、運(yùn)動微分方程：、運(yùn)動微分方程： （1） 按牛頓第二定律：按牛頓第二定律： tPkxxrxmsin0 得到：得到： tPkxxrxmsin0 我們現(xiàn)在解這個微分方程，我們現(xiàn)在解這個微分方程，它比有阻尼自由振動微分方程多它比有阻尼自由振動微分方程多了右端激振

26、力，是一個非齊次線了右端激振力，是一個非齊次線性微分方程。它的解包含兩部分：性微分方程。它的解包含兩部分：21xxxP=P0sin txrkmPkxxrxm 其中其中 其中其中B和和是特定常數(shù)，可以把是特定常數(shù)，可以把x2代回微分方程代回微分方程（1）求出。）求出。齊次方程解齊次方程解 )sin(1tAexrt)sin(2tBx非齊次方程（非齊次方程（1）之特解）之特解 （關(guān)于（關(guān)于x2，由方程（，由方程（1）的非齊次）的非齊次P0sint可得可得特解，也是簡諧函數(shù)，其頻率與激振力一致。）特解，也是簡諧函數(shù)，其頻率與激振力一致。）非線性動力學(xué)現(xiàn)象非線性動力學(xué)現(xiàn)象無阻尼單擺隨著初始擺角增大，擺的

27、自由振動將呈現(xiàn)非線性，自由振動頻率會隨著初始擺角的增加而降低。自激振動如果對處于平衡位置的系統(tǒng)給予一極小的擾動，系統(tǒng)會偏離平衡位置而發(fā)生幅值越來越大的振動，但當(dāng)振動幅值大到一定程度后便趨于某一定值，形成周期振動，其振幅和周期均與系統(tǒng)初始狀態(tài)無關(guān)。產(chǎn)生自激振動的原因在于這類系統(tǒng)具有不容忽略的非線性阻尼。非線性動力學(xué)現(xiàn)象非線性動力學(xué)現(xiàn)象多頻振動現(xiàn)象受簡諧激勵的非線性系統(tǒng)會發(fā)生多頻振動現(xiàn)象和多解現(xiàn)象。即系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)振動具有周期性，但具有與簡諧激勵不同的頻率，其Fourier頻譜呈現(xiàn)多個峰；系統(tǒng)存在多種可能的穩(wěn)態(tài)振動，不同的初始狀態(tài)會導(dǎo)致不同的穩(wěn)態(tài)振動?；煦绗F(xiàn)象系統(tǒng)響應(yīng)對初始狀態(tài)的微小變化極其敏感，但卻

28、不發(fā)散，致使系統(tǒng)的長時間歷程預(yù)測變得不確定。蝴蝶效應(yīng)蝴蝶效應(yīng)在巴西一只蝴蝶翅膀的拍打能夠在美國得克薩斯州產(chǎn)生一場龍卷風(fēng)嗎?混沌現(xiàn)象系統(tǒng)響應(yīng)對初始狀態(tài)的微小變化極其敏感，但卻不發(fā)散，致使系統(tǒng)的長時間歷程預(yù)測變得不確定?；靖拍罨靖拍钸\(yùn)動微分方程可分為兩類：線性和非線性運(yùn)動微分方程可分為兩類：線性和非線性自然現(xiàn)象本質(zhì)是非線性的自然現(xiàn)象本質(zhì)是非線性的- -線性近似線性近似線性微分方程有一般求解方法線性微分方程有一般求解方法非線性微分方程只有少部分是可積的，而且個非線性微分方程只有少部分是可積的，而且個性化。性化。(1)(1) 線性系統(tǒng)中的線性系統(tǒng)中的疊加原理對非線性系統(tǒng)是不適用的疊加原理對非線性系

29、統(tǒng)是不適用的，也，也就是說，如作用在非線性系統(tǒng)上有可以展成傅氏級數(shù)的周就是說，如作用在非線性系統(tǒng)上有可以展成傅氏級數(shù)的周期干擾力，其強(qiáng)迫振動的解不等于每個諧波單獨(dú)作用時解期干擾力，其強(qiáng)迫振動的解不等于每個諧波單獨(dú)作用時解的疊加。的疊加。(2)(2)在非線性系統(tǒng)中，在非線性系統(tǒng)中，對應(yīng)于平衡狀態(tài)和周期振動的定常對應(yīng)于平衡狀態(tài)和周期振動的定常解一般有數(shù)個，解一般有數(shù)個，必須研究解的穩(wěn)定性問題，才能決定哪一必須研究解的穩(wěn)定性問題，才能決定哪一個解在生產(chǎn)實(shí)際中能實(shí)現(xiàn)。個解在生產(chǎn)實(shí)際中能實(shí)現(xiàn)。非線性系統(tǒng)和線性系統(tǒng)的區(qū)別非線性系統(tǒng)和線性系統(tǒng)的區(qū)別(3)(3)在線性系統(tǒng)中，由于有阻尼存在，自由振動總是被衰在

30、線性系統(tǒng)中，由于有阻尼存在，自由振動總是被衰減掉，只有在干擾力作用下，才有定常周期解；而在非線減掉，只有在干擾力作用下，才有定常周期解；而在非線性系統(tǒng)中，有時會存在非線性阻尼，例如負(fù)阻尼、平方阻性系統(tǒng)中，有時會存在非線性阻尼，例如負(fù)阻尼、平方阻尼、遲滯阻尼等等，尼、遲滯阻尼等等，即使沒有周期性干擾力的作用，系統(tǒng)即使沒有周期性干擾力的作用，系統(tǒng)也可能出現(xiàn)周期解也可能出現(xiàn)周期解。如自激振動系統(tǒng)，在有阻尼，而無干。如自激振動系統(tǒng)，在有阻尼，而無干擾力時，也有定常的周期振動。擾力時，也有定常的周期振動。非線性系統(tǒng)和線性系統(tǒng)的區(qū)別非線性系統(tǒng)和線性系統(tǒng)的區(qū)別(4)(4)在線性系統(tǒng)中，強(qiáng)迫振動的頻率和干擾力

31、的頻率相同；在線性系統(tǒng)中，強(qiáng)迫振動的頻率和干擾力的頻率相同；而在非線性系統(tǒng)中，而在非線性系統(tǒng)中，在單一頻率周期性干擾力作用下，非在單一頻率周期性干擾力作用下，非線性系統(tǒng)受迫振動定常解會出現(xiàn)與干擾力同頻率成分，有線性系統(tǒng)受迫振動定常解會出現(xiàn)與干擾力同頻率成分，有時又會出現(xiàn)不同頻率成分時又會出現(xiàn)不同頻率成分，即出現(xiàn)亞諧波、超諧波和超亞，即出現(xiàn)亞諧波、超諧波和超亞諧波等。當(dāng)干擾力的頻率從大到小或從小到大連續(xù)變化時，諧波等。當(dāng)干擾力的頻率從大到小或從小到大連續(xù)變化時，系統(tǒng)受迫振動的振幅會出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象，而且頻率變化順序系統(tǒng)受迫振動的振幅會出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象，而且頻率變化順序不同時，跳躍點(diǎn)的位置也不同。不同時，

32、跳躍點(diǎn)的位置也不同。(5)(5)在線性系統(tǒng)中，固有頻率和起始條件、振幅無關(guān)；而在線性系統(tǒng)中，固有頻率和起始條件、振幅無關(guān)；而在非線性系統(tǒng)中，固有頻率則和振幅有關(guān)，同時非線性系在非線性系統(tǒng)中，固有頻率則和振幅有關(guān)，同時非線性系統(tǒng)中統(tǒng)中振動三要素振動三要素( (振幅、頻率和相位振幅、頻率和相位) )也和起始條件有關(guān)也和起始條件有關(guān)。非線性系統(tǒng)和線性系統(tǒng)的區(qū)別非線性系統(tǒng)和線性系統(tǒng)的區(qū)別(6)(6)若控制系統(tǒng)運(yùn)動的方程中含有參數(shù)，當(dāng)參數(shù)變化時，若控制系統(tǒng)運(yùn)動的方程中含有參數(shù)，當(dāng)參數(shù)變化時，解也隨之變化。有時解也隨之變化。有時在某臨界參數(shù)附近，參數(shù)有很小的變在某臨界參數(shù)附近，參數(shù)有很小的變化，解就會發(fā)生

33、根本性變化，甚至穩(wěn)定性也發(fā)生質(zhì)的變化化，解就會發(fā)生根本性變化，甚至穩(wěn)定性也發(fā)生質(zhì)的變化，這是線性振動中沒有的。工程中某些非線性問題，往往這是線性振動中沒有的。工程中某些非線性問題，往往需需要確定解的穩(wěn)定區(qū)與不穩(wěn)定區(qū)的分界線，需要研究參數(shù)變要確定解的穩(wěn)定區(qū)與不穩(wěn)定區(qū)的分界線，需要研究參數(shù)變化時，解的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的變化?；瘯r，解的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的變化。非線性系統(tǒng)和線性系統(tǒng)的區(qū)別非線性系統(tǒng)和線性系統(tǒng)的區(qū)別非線性系統(tǒng)舉例非線性系統(tǒng)舉例圖圖1-2 1-2 振動落砂機(jī)機(jī)構(gòu)圖振動落砂機(jī)機(jī)構(gòu)圖非線性系統(tǒng)舉例非線性系統(tǒng)舉例圖圖1-3 1-3 有曲線形壓板的電磁振動給料機(jī)有曲線形壓板的電磁振動給料機(jī)非線性系統(tǒng)舉例非線性系統(tǒng)

34、舉例非線性振動微分方程的常見類型非線性振動微分方程的常見類型 自治系統(tǒng)與非自治系統(tǒng)自治系統(tǒng)與非自治系統(tǒng)自治系統(tǒng)：自治系統(tǒng)：是指在微分方程中是指在微分方程中不明顯地包含時間不明顯地包含時間t t的系統(tǒng)的系統(tǒng)。）例如：dtdxxfdtxd,(22非自治系統(tǒng)：非自治系統(tǒng)：是指在微分方程中，是指在微分方程中，明顯地含時間明顯地含時間t t的系統(tǒng)。的系統(tǒng)。）例如：tdtdxxfdtxd,(22非線性振動微分方程的常見類型非線性振動微分方程的常見類型 保守系統(tǒng)保守系統(tǒng)：在保守系統(tǒng)中：在保守系統(tǒng)中沒有阻尼力沒有阻尼力，對整個系統(tǒng)來說沒，對整個系統(tǒng)來說沒有能量的損失，也沒有外加能源使該系統(tǒng)的能量增加。有能量的

35、損失，也沒有外加能源使該系統(tǒng)的能量增加。0(22）例如：xfdtxd非線性振動微分方程的常見類型非線性振動微分方程的常見類型 非保守系統(tǒng)非保守系統(tǒng)：或能量耗散系統(tǒng)。微分方程中包含：或能量耗散系統(tǒng)。微分方程中包含有阻尼力有阻尼力，阻尼力會逐漸消耗掉振動系統(tǒng)的能量。阻尼力會逐漸消耗掉振動系統(tǒng)的能量。0(22kxdtdxfdtxd）例如：非線性振動微分方程的常見類型非線性振動微分方程的常見類型 自激振動系統(tǒng)自激振動系統(tǒng)：通常：通常具有負(fù)阻尼具有負(fù)阻尼，即微分方程中有負(fù)阻尼項(xiàng)，即微分方程中有負(fù)阻尼項(xiàng)，它給系統(tǒng)補(bǔ)充能量，增加或維持其振動：或者是通道其他特殊它給系統(tǒng)補(bǔ)充能量，增加或維持其振動：或者是通道其

36、他特殊方式不斷向系統(tǒng)供給能量，增加或維持其振動。方式不斷向系統(tǒng)供給能量，增加或維持其振動。0222kxdtdxdtdxBAdtxd例如：非線性振動微分方程的常見類型非線性振動微分方程的常見類型 典型的非線性振動的微分方程式典型的非線性振動的微分方程式lgpxpdtxd22220sin單擺方程單擺方程庫侖（庫侖（Coulomb)Coulomb)摩擦振動方程摩擦振動方程0)sgn(22kxdtdxNdtxdm范德范德波（波（van van derder PolPol）方程）方程0)1 (2222xdtdxxdtxd希爾希爾( (HiIlHiIl) )方程方程0)(1tpllg 典型的非線性振動的微

37、分方程式典型的非線性振動的微分方程式非線性振動問題的常用求解方法非線性振動問題的常用求解方法 定性研究定性研究解的存在性、唯一性、周期性和穩(wěn)定性等解的存在性、唯一性、周期性和穩(wěn)定性等定性分析法，又稱幾何法或相平面法定性分析法，又稱幾何法或相平面法定量研究定量研究解的具體表達(dá)形式、數(shù)量大小和解的數(shù)目等解的具體表達(dá)形式、數(shù)量大小和解的數(shù)目等分析方法；分析方法；數(shù)值方法；數(shù)值方法；圖解方法；圖解方法；實(shí)驗(yàn)方法。實(shí)驗(yàn)方法。求近似解的方法有以下幾種：求近似解的方法有以下幾種：等價線性化法；等價線性化法；伽遼金伽遼金里茲法；里茲法； 諧波平衡法；諧波平衡法；迭代法；迭代法；傳統(tǒng)小參數(shù)法；傳統(tǒng)小參數(shù)法；多尺

38、度法：多尺度法：平均法；平均法；漸近法。漸近法。非線性振動問題的常用求解方法非線性振動問題的常用求解方法 無阻尼單擺的自由振蕩無阻尼單擺的自由振蕩v單擺:一個由擺線 l 連著的重量為mg的擺錘所組成的力學(xué)系統(tǒng)。圖1-4 數(shù)學(xué)擺單擺單擺單擺振動周期及固有頻率單擺振動周期及固有頻率dddddtddddtddtd222)(21因?yàn)榧铀俣瓤梢宰魅缦伦儞Q因?yàn)榧铀俣瓤梢宰魅缦伦儞Qlgppdtd22220sin0sin)(2122pdd0sin)(2122dpd0sin)(2122dpdmm0sin)()(21222mdpm假設(shè)質(zhì)量在端點(diǎn)假設(shè)質(zhì)量在端點(diǎn) 處的速度為零處的速度為零mxmdpsin)(2122由

39、此可以求出任意位置時速度的計(jì)算式由此可以求出任意位置時速度的計(jì)算式mdpdtdsin2 將上式改寫為將上式改寫為mdpddtsin2mmmmTdpddpdtT000)cos(cos24sin24由此可求得振動周期由此可求得振動周期該振動系統(tǒng)的固有頻率該振動系統(tǒng)的固有頻率Tp2mmdpT0222sin2sin22sin21cos2sin21cos22mm 因?yàn)橐驗(yàn)樗杂兴杂衧in2sinsin2sinmk)sin(2sinkdd2sinmk引入符號引入符號 和一個新變量和一個新變量m m，2 20；當(dāng)0；當(dāng)0時，0時，由上式可見，當(dāng)由上式可見，當(dāng) 因?yàn)橐驗(yàn)閐kdcos2cos21即即所以所以2

40、22sin1cos22sin1cos2kdkdkd2022sin14kdpT可得可得上述積分為第一類橢圓積分，可以利用橢圓積上述積分為第一類橢圓積分，可以利用橢圓積分表直接查出積分的值。進(jìn)而可計(jì)算出單擺的分表直接查出積分的值。進(jìn)而可計(jì)算出單擺的振動周期與固有頻率。該值不僅與振動周期與固有頻率。該值不僅與p p 值值( )( )，即與單擺的長度，即與單擺的長度L L有關(guān)，而且有關(guān)，而且與單擺的擺動幅角與單擺的擺動幅角 有關(guān)。有關(guān)。lgp/m主要參考書目主要參考書目：【1】胡海巖，應(yīng)用非線性動力學(xué)，航空工業(yè)出版社，2000.【2】聞邦椿，李以農(nóng)，徐培民，韓清凱，工程非線性振動，科學(xué)出版社，2007

41、【3】陳予恕，非線性振動，高等教育出版社，2002例例. .3/24lEIk EIl)(tPEIl1EI)(txm )(tx)(tPk13/12lEIk3/12lEI)()()(txmtPtkx )()(24)(3tPtxlEItxm )()()(tPtkxtxm m=1;k=1;c=0.05;P(t)=7.5*cost)()()()(tPtkxtxctxm 第一章第一章 相平面法相平面法),(xxfx 作代換作代換xy),(yxfyyx相平面相平面),(yx狀態(tài)狀態(tài)Oxkm0kxxm mk /20020 xx (2) (1) 20 xyyxyxxy20 ) 1 ()2(yxdxdy20 例1

42、-1xdxydy20120222cxcy相平面相平面: oxy: oxy稱為相平面稱為相平面相點(diǎn)相點(diǎn)：在相平面上以：在相平面上以(x(x，y)y)為坐標(biāo)的表示系統(tǒng)運(yùn)動為坐標(biāo)的表示系統(tǒng)運(yùn)動狀態(tài)變化的動點(diǎn)稱為相點(diǎn)狀態(tài)變化的動點(diǎn)稱為相點(diǎn)相跡相跡: :相點(diǎn)在相平面上運(yùn)動的軌跡稱為相跡相點(diǎn)在相平面上運(yùn)動的軌跡稱為相跡相速度相速度: : 相點(diǎn)沿相跡運(yùn)動的速度稱為相速度相點(diǎn)沿相跡運(yùn)動的速度稱為相速度yyxfdxdy),(相軌線方程相軌線方程),(yxQdtdy一般形式一般形式),(yxPdtdx),(),(yxPyxQdxdy相軌線微分方程相軌線微分方程積分上式，即可得相軌線方程。令積分上式，即可得相軌線方

43、程。令myxPyxQdxdy ),(),(得等傾線方程。得等傾線方程。奇點(diǎn)分析奇點(diǎn)分析奇點(diǎn)（平衡位置）奇點(diǎn)（平衡位置）00yx只需研究奇點(diǎn)在原點(diǎn)附近系統(tǒng)的運(yùn)動性質(zhì)只需研究奇點(diǎn)在原點(diǎn)附近系統(tǒng)的運(yùn)動性質(zhì)0),(00yxQ0),(00yxP),(),(21222111xxfxxxfx 相平面上孤立奇點(diǎn)的位置可以從下列方程0),(0),(212211 xxfxxf記yx 2在原點(diǎn)在原點(diǎn)021 xx處，處，展成臺勞級數(shù)展成臺勞級數(shù)),(),(21222212122112121111xxxaxaxxxxaxax),(jixxjiijxfa 21xxx 21 22211211aaaaa采用變換采用變換 xa

44、x xax ubx ubabuubaubxax1 21c ucu babc1111uu222uuteuu1101teuu2202211）（為兩個不同的實(shí)根為兩個不同的實(shí)根和和結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)：如果特征值：如果特征值 是同號，對應(yīng)于是同號，對應(yīng)于 此種情況的奇點(diǎn)稱為結(jié)點(diǎn)。此種情況的奇點(diǎn)稱為結(jié)點(diǎn)。21和鞍點(diǎn)鞍點(diǎn)：如果特征值：如果特征值 是異號，對應(yīng)于是異號，對應(yīng)于 此種情況的奇點(diǎn)稱為鞍點(diǎn)。此種情況的奇點(diǎn)稱為鞍點(diǎn)。21和焦點(diǎn)焦點(diǎn)：如果特征值：如果特征值 是共軛復(fù)數(shù)，對應(yīng)是共軛復(fù)數(shù)，對應(yīng) 于此種情況的奇點(diǎn)稱為焦點(diǎn)于此種情況的奇點(diǎn)稱為焦點(diǎn)。21和ii 21,)sin(cos10101titeueeuuttit

45、*12uu 211ivvuteuvtcos101teuvtsin1020a時為封閉的圓，成為中心。時為封閉的圓，成為中心。例例1-2 1-2 無阻尼單擺的自由振蕩無阻尼單擺的自由振蕩v單擺單擺: :一個由擺線一個由擺線 l 連著的重量為連著的重量為mg的的擺錘所組成的力學(xué)系統(tǒng)。擺錘所組成的力學(xué)系統(tǒng)。lgdtd 2020220sin擺錘質(zhì)量為擺錘質(zhì)量為m 的單擺的運(yùn)動方程為的單擺的運(yùn)動方程為21,xx 21xdtdx 1202sin xdtdx 21xdtdx 1202xdtdx 當(dāng)當(dāng)1x很小時，很小時，平衡點(diǎn)兩個：（平衡點(diǎn)兩個：（0 0，0 0）和（）和（ ，0 0）1. 1. 在（在（0 0

46、，0 0）處）處 01020a01)det(20 Ia0202 特征值為共軛虛根，奇點(diǎn)為中心特征值為共軛虛根，奇點(diǎn)為中心21xdtdx 1202xdtdx 2. 2. 在（在（ ，0 0）處）處 01020a01)det(20 Ia02, 1特征值為實(shí)數(shù)且符號相反，奇點(diǎn)為鞍點(diǎn)特征值為實(shí)數(shù)且符號相反，奇點(diǎn)為鞍點(diǎn)相跡的普遍性質(zhì)相跡的普遍性質(zhì)保守系統(tǒng)相跡的性質(zhì)保守系統(tǒng)相跡的性質(zhì) 0)(xfx 作代換作代換xy)(xfyyxyxfdxdy)(1.1)(1.1)上式上式h為積分常數(shù)，由起始條件確定。為積分常數(shù)，由起始條件確定。yxfdxdy)(hxuy)(22將方程將方程dxxfxu)()(分離變量，積

47、分一次分離變量，積分一次可得可得是系統(tǒng)的勢能是系統(tǒng)的勢能(1.2)(1.2)保守系統(tǒng)相跡的性質(zhì)保守系統(tǒng)相跡的性質(zhì) 系統(tǒng)的機(jī)械能守桓。系統(tǒng)的機(jī)械能守桓。 2222xy是系統(tǒng)的功能，故此式表示是系統(tǒng)的功能，故此式表示 如果我們給定一個如果我們給定一個h值，則方程值，則方程(1.2)(1.2)表示相平面上的一條曲線，它上面的各個表示相平面上的一條曲線，它上面的各個點(diǎn)對應(yīng)同一個點(diǎn)對應(yīng)同一個h值，故也稱為等能量曲線。值，故也稱為等能量曲線。它也就是微分方程它也就是微分方程的一條積分曲線，也就是相跡。故方程的一條積分曲線，也就是相跡。故方程(1.2)(1.2)是方程（是方程（1.1)1.1)的積分曲線族方

48、程，或?yàn)橄噗E的積分曲線族方程，或?yàn)橄噗E方程。下面先討論微分方程方程。下面先討論微分方程(1.1)(1.1)的積分曲的積分曲線線( (相跡相跡) )的某些普遍性質(zhì)的某些普遍性質(zhì). . 一一. .相跡的普遍性質(zhì)相跡的普遍性質(zhì) (1)(1)積分曲線族所有曲線均對稱于積分曲線族所有曲線均對稱于ox軸，軸，yxfdxdy)(因因?yàn)闉楫?dāng)當(dāng)y改變正負(fù)號時，式改變正負(fù)號時，式(1.2)(1.2)不變。不變。 (2)(2)相平面上同時有相平面上同時有 y0 0 和和 f(x)=0=0的點(diǎn)，這些點(diǎn)是的點(diǎn)，這些點(diǎn)是ox軸上以軸上以 f(x)=0=0的根為坐標(biāo)的點(diǎn)，它們對應(yīng)于系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。的根為坐標(biāo)的點(diǎn)，它們對應(yīng)于

49、系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。因?yàn)樵谶@些點(diǎn)上有因?yàn)樵谶@些點(diǎn)上有0, 0yx故稱這種點(diǎn)為平衡點(diǎn)。若在起始瞬間相點(diǎn)落故稱這種點(diǎn)為平衡點(diǎn)。若在起始瞬間相點(diǎn)落在平衡點(diǎn)上，則相點(diǎn)將靜止在該點(diǎn)上。同時在平衡點(diǎn)上，則相點(diǎn)將靜止在該點(diǎn)上。同時在這些點(diǎn)上有在這些點(diǎn)上有 勢能具有駐定值，或?yàn)闃O大，或?yàn)闃O小，或勢能具有駐定值，或?yàn)闃O大，或?yàn)闃O小，或?qū)?yīng)于切線成水平的拐點(diǎn)。另外，這些點(diǎn)也對應(yīng)于切線成水平的拐點(diǎn)。另外，這些點(diǎn)也是積分曲線的奇點(diǎn)，因?yàn)樵谶@些點(diǎn)上積分曲是積分曲線的奇點(diǎn)，因?yàn)樵谶@些點(diǎn)上積分曲0)()(xfxu線的斜率線的斜率 為為0 00 0型成了不定式。型成了不定式。 (3)(3)在積分曲線與在積分曲線與ox軸相交的正常

50、點(diǎn)軸相交的正常點(diǎn)( (不是不是奇點(diǎn)奇點(diǎn)) )上，積分曲線的切線垂直于上，積分曲線的切線垂直于ox釉，因?yàn)橛?，因?yàn)樵谶@些點(diǎn)上有在這些點(diǎn)上有y=0=0，且，且 故故yxfdxdy)(., 0)(dxdyxf (4)(4)在積分曲線與通過奇點(diǎn)且平行于在積分曲線與通過奇點(diǎn)且平行于oy軸的直線的交點(diǎn)軸的直線的交點(diǎn)( (不包括奇點(diǎn)不包括奇點(diǎn)) )上，積分上，積分曲線的切線與曲線的切線與ox軸平行。因?yàn)樵谶@些點(diǎn)上，軸平行。因?yàn)樵谶@些點(diǎn)上，有有 故故(5)(5)相點(diǎn)沿相跡的運(yùn)動，在相平面的上半相點(diǎn)沿相跡的運(yùn)動，在相平面的上半平面是自左向右，因?yàn)樵谏习肫矫妫衅矫媸亲宰笙蛴?，因?yàn)樵谏习肫矫?，?即即 也就是相速

51、在也就是相速在ox軸上的軸上的投影為正，反之，在下半平面，是自右向投影為正，反之，在下半平面，是自右向左，因?yàn)樵谙掳肫矫?，有左，因?yàn)樵谙掳肫矫妫幸簿褪窍嗨俣仍谝簿褪窍嗨俣仍趏x軸上的投影為負(fù)。軸上的投影為負(fù)。. 0 , 0, 0)(dxdyyxf, 0, 0 xy, 0, 0 xy二二 與能量曲線個別段對應(yīng)的相跡的形狀與能量曲線個別段對應(yīng)的相跡的形狀現(xiàn)將方程現(xiàn)將方程改變?yōu)楦淖優(yōu)?（1.31.3）hxuy)(22)(2xuhy為了根據(jù)函數(shù) 和起始條件確定的h值在相平面上構(gòu)造積分曲線(相跡)，我們利用一個輔助平面 ，在此平面上作出勢能隨x而變化的關(guān)系的曲線 ,此輔助平面稱為能量平衡平面，此曲線稱

52、為能量曲線 .oxz)(xu)(xuz 由式由式(1.3)(1.3)可知，只有當(dāng)可知，只有當(dāng) 時，時，y有有實(shí)值，實(shí)值， 積分曲線存在。對應(yīng)于積分曲線存在。對應(yīng)于 , , y無實(shí)值，積分曲線不存在。無實(shí)值，積分曲線不存在。 0)(xuh0)(xuh例1-3 已知單擺質(zhì)量為m, 擺長為l,在鉛垂平面內(nèi)擺動，如圖1-2（a）所示。試用相平面法分析單擺的運(yùn)動特征。 圖1-2 解解 以以 表示擺角，根據(jù)動量矩定理表示擺角，根據(jù)動量矩定理可得單擺的運(yùn)動微分方程為：可得單擺的運(yùn)動微分方程為：0sin2p gLgp/2式中式中 為線性單擺的固有頻率之平方，為線性單擺的固有頻率之平方，為重力加速度。引用記號：

53、為重力加速度。引用記號： yx 則式則式(1)(1)可寫為兩個一階微分方程：可寫為兩個一階微分方程： (1)(1)(2)(2)xpyyxsin2由上式可求出系統(tǒng)在由上式可求出系統(tǒng)在 0)2,1,0(yjjx處有平衡點(diǎn)，因此，原點(diǎn)處有平衡點(diǎn)，因此，原點(diǎn)(0(0，0)0)是一個平是一個平衡點(diǎn)。衡點(diǎn)。(3)(4)由式由式(3)(3)中的兩式相除并消去中的兩式相除并消去t t ，則可得：，則可得：yxpdxdysin2再將式再將式(5)(5)改寫為改寫為(5)(5)xdxpydysin2 積分上式，可得：積分上式，可得：常量)cos1 (2122hxpy(6)(6)(7)(7)式中式中h h是一個積分

54、常數(shù)，它正比于系統(tǒng)的總能是一個積分常數(shù)，它正比于系統(tǒng)的總能量，可由初始條件來確定其值。式（量，可由初始條件來確定其值。式（7 7）既是）既是此單擺的相軌線方程根據(jù)它就可以描述單擺此單擺的相軌線方程根據(jù)它就可以描述單擺的各種可能的運(yùn)動特征。的各種可能的運(yùn)動特征。 )cos1 (22xphy勢能為下式勢能為下式)cos1 ()(2xpxujx2(8)(8)所示，勢能曲線如圖所示，勢能曲線如圖1-2(b)1-2(b)所示。所示。) 12(jx 在在處，勢能有極小值；而在處，勢能有極小值；而在另一處，另一處， 則有勢能的極大值則有勢能的極大值 。 在相平面內(nèi)，改變在相平面內(nèi)，改變h的數(shù)值，就可得到的數(shù)

55、值，就可得到相圖，如圖相圖，如圖1-21-2(c)(c)所示，為只有三條軌線的所示，為只有三條軌線的相圖。由圖可知：相圖。由圖可知： (A) (A) 對于對于 的情況，可得到封閉軌的情況，可得到封閉軌線，所以運(yùn)動是周期性的，但不一定是諧線，所以運(yùn)動是周期性的，但不一定是諧波的。只有在微幅振動的情況下，運(yùn)動才波的。只有在微幅振動的情況下，運(yùn)動才是諧波的。是諧波的。22ph 勢能相圖相圖(B) (B) 對于對于 的情況，軌線是開放的情況，軌線是開放的，擺將越過頂端而作不均勻的旋轉(zhuǎn)。最的，擺將越過頂端而作不均勻的旋轉(zhuǎn)。最大速度發(fā)生在大速度發(fā)生在 時，時，而最小速度發(fā)生在而最小速度發(fā)生在22ph ),

56、2 ,1,0(2 jjx),2 ,1,0(,) 12( jjx(C) (C) 對于對于 的情況，軌線在平衡點(diǎn)的情況，軌線在平衡點(diǎn) 上相交，并把以上兩種形式的運(yùn)動上相交，并把以上兩種形式的運(yùn)動( (即擺即擺 動與旋轉(zhuǎn)動與旋轉(zhuǎn)) )分開，因此這種軌線就是分界分開，因此這種軌線就是分界 線。線。22ph 0),2,1,0(,)12( yjjx和 由分界線所圍成的各環(huán)形區(qū)內(nèi)的相軌線由分界線所圍成的各環(huán)形區(qū)內(nèi)的相軌線是完全相同的，因此，只要取是完全相同的，因此，只要取- - 到到+ + 這一區(qū)這一區(qū)域，就能表征所有相軌線的性狀域，就能表征所有相軌線的性狀. . 題題1-4 1-4 已知某倒置單擺，如圖已

57、知某倒置單擺，如圖1-3(a)1-3(a)所示，試所示，試畫出在相平面上的相軌線，并指出分界線、平衡點(diǎn)畫出在相平面上的相軌線，并指出分界線、平衡點(diǎn)及其類型。及其類型。 解解 倒置單擺的運(yùn)動微分方程為：倒置單擺的運(yùn)動微分方程為： 圖圖1-31-30sinlg （1 1） 若若令令,xyx 則式則式(1)(1)可寫為：可寫為：xlgyyxsin（2 2） 將此兩式相除而得：將此兩式相除而得： yxlgdxdysin. （3 3） 把式把式(3)(3)分離變量，并積分，可得系統(tǒng)單位分離變量，并積分，可得系統(tǒng)單位質(zhì)量的動能與勢能之和，即系統(tǒng)的總能量質(zhì)量的動能與勢能之和，即系統(tǒng)的總能量E E： Exlg

58、ycos22（4 4） 由式由式(4)(4)可知，單擺勢能可知，單擺勢能lgu/ )cos()( 勢能曲線如圖勢能曲線如圖1-3(b)1-3(b)所示。根據(jù)式所示。根據(jù)式(4)(4)在相在相平面上作相軌線和分界線，如圖平面上作相軌線和分界線，如圖1-3(c)1-3(c)所示。所示。 由圖可知，平衡點(diǎn)有中心點(diǎn)和鞍點(diǎn)兩種，由圖可知，平衡點(diǎn)有中心點(diǎn)和鞍點(diǎn)兩種，鞍點(diǎn)是不穩(wěn)定的奇點(diǎn)，它對應(yīng)于單擺的不穩(wěn)定鞍點(diǎn)是不穩(wěn)定的奇點(diǎn)，它對應(yīng)于單擺的不穩(wěn)定平衡位置。而中心點(diǎn)是穩(wěn)定的奇點(diǎn)，它對應(yīng)于平衡位置。而中心點(diǎn)是穩(wěn)定的奇點(diǎn)，它對應(yīng)于穩(wěn)定的平衡位置。穩(wěn)定的平衡位置。， 題題1-51-5已知某保守系統(tǒng)的振動微分方程為：

59、已知某保守系統(tǒng)的振動微分方程為：03 xxx （1 1） 試畫出其在相乎面上的相軌線，指出分界線與試畫出其在相乎面上的相軌線，指出分界線與 解解 式式(1)(1)可化為一階微分方程組：可化為一階微分方程組：平衡點(diǎn)及其類型。平衡點(diǎn)及其類型。 題題1-51-5已知某保守系統(tǒng)的振動微分方程為：已知某保守系統(tǒng)的振動微分方程為：03 xxx （1 1） 試畫出其在相乎面上的相軌線，指出分界線與試畫出其在相乎面上的相軌線，指出分界線與 解解 式式(1)(1)可化為一階微分方程組：可化為一階微分方程組：平衡點(diǎn)及其類型。平衡點(diǎn)及其類型。3xxyyx （2 2）由此可得：由此可得： yxxdxdy3 （3 3）

60、令令0,03yxx，即可求得相平面上的，即可求得相平面上的平衡點(diǎn)平衡點(diǎn)(0(0，0)0) ，（，（1 1，0 0）和）和(-1(-1，0)0)。積分式。積分式(3)(3)，可得相軌線方程：可得相軌線方程：hxxy422412121（4 4）2222xy其中，其中，可視為單位質(zhì)量可視為單位質(zhì)量為單位質(zhì)量的總能量，可為單位質(zhì)量的總能量，可 的動能，的動能，h來確定。而來確定。而4/2/42xx由初始條件由初始條件為單位質(zhì)量的勢能，即為單位質(zhì)量的勢能，即 424121)(xxxu （5 5） 處有極小值處有極小值0 0。因此，平衡點(diǎn)。因此，平衡點(diǎn)(0(0，0)0)屬于中心，屬于中心，而而平衡點(diǎn)平衡點(diǎn)