第一節(jié) 導數的概念

1、第二章 導數與微分第一節(jié)第一節(jié) 導數的概念導數的概念 在許多實際問題中，需要從數量上研究變量的在許多實際問題中，需要從數量上研究變量的變化速度。如物體的運動速度，電流強度，線密變化速度。如物體的運動速度，電流強度，線密度，比熱，化學反應速度及生物繁殖率等，所有度，比熱，化學反應速度及生物繁殖率等，所有這些在數學上都可歸結為函數的變化率問題，即這些在數學上都可歸結為函數的變化率問題，即導數。導數。 本章將通過對實際問題的分析，引出微分學中本章將通過對實際問題的分析，引出微分學中兩個最重要的基本概念兩個最重要的基本概念導數與微分，然后再導數與微分，然后再建立求導數與微分的運算公式和法則，從而解決建

2、立求導數與微分的運算公式和法則，從而解決有關變化率的計算問題。有關變化率的計算問題。一、引例一、引例1.1.直線運動的速度直線運動的速度 設動點于時刻設動點于時刻t在直線上的位置的坐標為在直線上的位置的坐標為s s s=f(t),這段時間的平均速度；這段時間的平均速度；為為00000)()( tttttftfttss .)()(lim0000時的瞬時速度時的瞬時速度為為ttttftfvtt 速度反映了路程對時間變化的快慢程度速度反映了路程對時間變化的快慢程度 Toxy)(xfy CNM 如果割線如果割線MN繞點繞點M旋轉而趨向極限位置旋轉而趨向極限位置MT,直線直線MT就稱為曲線就稱為曲線C在

3、點在點M處的處的切線切線. 極限位置即極限位置即. 0, 0 NMTMN).,(),(00yxNyxM設設0 xx的斜率為的斜率為割線割線MN如圖如圖,00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf ,0 xxMNC沿曲線沿曲線的斜率為的斜率為切線切線MT.)()(limtanlimtan000 xxxfxfkxx 2.切線問題切線問題以上兩個問題都歸結為如下的極限以上兩個問題都歸結為如下的極限:)3(.)()(lim000 xxxfxfxx ).()()()(,:)()()(000000 xfxxfxfxfyxxxyxxfyxfxfxx 和和函函數數值值的的增增量量增增量量的的自自變變量量

4、的的分分別別是是函函數數和和這這里里式也可以寫成式也可以寫成故故相當于相當于因因)3(, 00 xxxxyx 0limxxfxxfx )()(lim000或或二、導數的定義二、導數的定義定義定義),(,)(,)(,lim);()(,)(,)(0000000000 xfyxxfyxxfyxyxfxxfyyxxxxxxxfyxxx或記為處的導數在點這個極限為函數并稱處可導在點則稱函數存在如果得增量取相應地函數時仍在該鄰域內點處取得增量在當自變量有定義的某個鄰域內在點設函數,)(00 xxxxdxxdfdxdy 或或即即xxfxxfxyxfxx )()(limlim)(00000其它形式其它形式.)

5、()(lim)(0000hxfhxfxfh .)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx 二、導數的定義二、導數的定義關于導數的說明：關于導數的說明： 導數概念是概括了各種各樣的變化率而得出導數概念是概括了各種各樣的變化率而得出的一個更一般、更抽象的概念，它撇開了變量的一個更一般、更抽象的概念，它撇開了變量所代表的特殊意義，而純粹從數量方面來刻畫所代表的特殊意義，而純粹從數量方面來刻畫變化率的本質變化率的本質.,0慢程度慢程度而變化的快而變化的快因變量隨自變量的變化因變量隨自變量的變化反映了反映了它它處的變化率處的變化率點導數是因變量在點點導數是因變量在點 x平平均均變變化化率率為為端端

6、點點的的區(qū)區(qū)間間上上的的和和在在以以是是xxxyxy 00.)(,)(內可導在開區(qū)間就稱函數內的每點處都可導在開區(qū)間如果函數IxfIxfy .)(),(,.)(.)(,dxxdfdxdyxfyxfxfIx或記作的導函數這個函數叫做原來函數的一個確定的導數值都對應著對于任一xxfxxfyx )()(lim0即即.)()(lim)(0hxfhxfxfh 或或注意注意: :.)()(. 100 xxxfxf 2.導函數導函數(瞬時變化率瞬時變化率)是函數平均變化率的逼近是函數平均變化率的逼近函數函數.2.由定義求導數（三步法）由定義求導數（三步法）步驟步驟:);()()1(xfxxfy 求求增增量量

7、;)()()2(xxfxxfxy 算比值算比值.lim)3(0 xyyx 求極限求極限例例1 1.)()(的導數的導數為常數為常數求函數求函數CCxf 解解hxfhxfxfh)()(lim)(0 hCCh 0lim. 0 . 0)( C即即例例2 2.)(的導數的導數為正整數為正整數求函數求函數nxyn 解解hxhxxnnhn )(lim)(0! 2)1(lim1210 nnnhhhxnnnx1 nnx.)(1 nnnxx即即更一般地更一般地)(.)(1Rxx 例如例如,)( x12121 x.21x )(1 x11)1( x.12x 例例3 3.)(sin)(sin,sin)(4 xxxxx

8、f及及求求設函數設函數解解hxhxxhsin)sin(lim)(sin0 22sin)2cos(lim0hhhxh .cos x .cos)(sinxx 即即44cos)(sin xxxx.22 xxsin)(cos例例4 4.)1, 0()(的導數的導數求函數求函數 aaaxfx解解haaaxhxhx 0lim)(haahhx1lim0 .lnaax .ln)(aaaxx 即即特別地特別地.)(xxee )0(ln1xaxax例例5 5.)1, 0(log的的導導數數求求函函數數 aaxya解解hxhxyaahlog)(loglim0 xxhxhah1)1(loglim0 hxahxhx)1

9、(loglim10 .ln1log1axexa .ln1)(logaxxa 即即特別地特別地.1)(lnxx 1. ( )()CC 為為常常數數3. ()xa 7. (sin )x 5. (log)ax 2. ()x4. ()xe6. (ln ) x8. (cos )x01xlnxaaxe1lnxa1xcosxsinx例例6 6.0)(處處的的可可導導性性在在討討論論函函數數 xxxf解解xy xyo,)0()0(hhhfhf hhhfhfhh 00lim)0()0(lim, 1 hhhfhfhh 00lim)0()0(lim. 1 .0)(點不可導點不可導在在函數函數 xxfy,)0()0(

10、lim0不存在不存在hfhfh 3.單側導數單側導數1.左導數左導數:;)()(lim)()(lim)(0000000hxfhxfxxxfxfxfhxx2.右導數右導數:;)()(lim)()(lim)(0000000hxfhxfxxxfxfxfhxx函函數數)(xf在在點點0 x處處可可導導左左導導數數)(0 xf 和和右右導導數數)(0 xf 都都存存在在且且相相等等.如果如果)(xf在開區(qū)間在開區(qū)間 ba,內可導，且內可導，且)(af 及及)(bf 都存在，就說都存在，就說)(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間 ba,上可導上可導. 討論討論000sin,( ).,xxf xxxx 在在處處的的可可導

11、導性性0)0()(lim)0(0 xfxffx00sinsinlim0 xxx1sinlim0 xxx0)0()(lim)0(0 xfxffx100lim0 xxx1)0( ,1)0()0(fff解：解：所以，該函數在所以，該函數在x=0處可導，并且該點的處可導，并且該點的導數為導數為1.200,( ),xxf xxx 討論討論0 x 在在處處的的連連續(xù)續(xù)性性與與可可導導性性. .2000lim( )lim;xxf xx0000( )( )lim,xf xfx 00( )f 連續(xù)連續(xù)000lim( )limxxf xx0010( )( )limxf xfx 不可導不可導三、導數的幾何意義三、導

12、數的幾何意義1.幾何意義幾何意義oxy)(xfy 0 xT )(,tan)(,)(,()()(0000為傾角為傾角即即切線的斜率切線的斜率處的處的在點在點表示曲線表示曲線 xfxfxMxfyxfM且有限時且有限時若若0)(0 xf切線方程切線方程為為的的過過)(,(00 xfx).)(000 xxxfyy 法線方程法線方程為為).()(1000 xxxfyy 時時當當0)(0 xf切線方程為切線方程為)(0 xfy 法線方程為法線方程為0 xx 時時當當 )(0 xf切線方程為切線方程為0 xx 法線方程為法線方程為)(0 xfy 例例7 7.,)2 ,21(1方程和法線方程方程和法線方程并寫

13、出在該點處的切線并寫出在該點處的切線斜率斜率處的切線的處的切線的在點在點求等邊雙曲線求等邊雙曲線xy 解解由導數的幾何意義由導數的幾何意義, 得切線斜率為得切線斜率為21 xyk21)1( xx2121 xx. 4 所求切線方程為所求切線方程為),21(42 xy. 044 yx即即法線方程為法線方程為),21(412 xy. 01582 yx即即.)4, 0(. 823的的切切線線方方程程通通過過點點求求曲曲線線例例 xy則則切切線線的的斜斜率率為為設設切切點點為為解解),(:00yx.2323)(000 xxxfxx 為為于是所求切線方程可設于是所求切線方程可設)7().(23000 xx

14、xyy )8(,),(23002300 xyxyyx 故故有有上上在在曲曲線線切切點點)9().0(234),4 , 0()7(000 xxy 故有故有通過點通過點切線切線. 043, 8, 4)9)(8(00 yxyx故故切切線線方方程程為為可可得得由由四、可導與連續(xù)的關系四、可導與連續(xù)的關系定理定理 凡可導函數都是連續(xù)函數凡可導函數都是連續(xù)函數. .證證,)(0可導可導在點在點設函數設函數xxf)(lim00 xfxyx )(0 xfxy)0(0 x xxxfy )(0)(limlim000 xxxfyxx 0 .)(0連續(xù)連續(xù)在點在點函數函數xxf注意注意: : 該定理的逆定理不成立該定

15、理的逆定理不成立.連續(xù)函數不存在導數舉例連續(xù)函數不存在導數舉例處處有有這這是是因因為為在在處處不不可可導導但但是是在在內內連連續(xù)續(xù)在在函函數數例例0.0,),(. 93 xxxy,1lim0lim)0()0(lim320300 hhhhfhfhhh. 03 xxOxy軸軸的的切切線線具具有有垂垂直直于于在在原原點點故故曲曲線線.|.0,),(|.102在在原原點點處處沒沒有有切切線線曲曲線線處處不不可可導導但但是是在在內內連連續(xù)續(xù)在在函函數數例例xyxxxy 六、小結六、小結1. 導數的實質導數的實質: 增量比的極限增量比的極限;2. axf )(0 )(0 xf;)(0axf 3. 導數的幾何意義導數的幾何意義