光學(xué)薄膜理論基礎(chǔ)2

1、復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)光學(xué)導(dǎo)納光學(xué)導(dǎo)納修正導(dǎo)納修正導(dǎo)納菲涅爾公式菲涅爾公式單一界面的反射率和透射率單一界面的反射率和透射率000000/rHNYNNykE coscosNTMNTEps波：波：01010 S012SSSSSSSSrt0101000112coscosPPPPPPPPPrt2201012010122111012200001cos4cosrriittsisiEIRrIENEITtINE 第二章第二章 光學(xué)薄膜理論基礎(chǔ)光學(xué)薄膜理論基礎(chǔ)等效界面思想等效界面思想單層薄膜的等效界面單層薄膜的等效界面等效介質(zhì)的等效光學(xué)導(dǎo)納等效介質(zhì)的等效光學(xué)導(dǎo)納單層介質(zhì)膜的光學(xué)特性單層介質(zhì)膜的光學(xué)特性多層介質(zhì)膜的光學(xué)特性多層

2、介質(zhì)膜的光學(xué)特性吸收薄膜的光學(xué)特性吸收薄膜的光學(xué)特性主要內(nèi)容主要內(nèi)容等效界面思想等效界面思想等效介質(zhì)：等效介質(zhì)：薄膜系統(tǒng)薄膜系統(tǒng)和和基底基底組合而成。組合而成。將入射介質(zhì)和等效介質(zhì)之間的界面稱為將入射介質(zhì)和等效介質(zhì)之間的界面稱為等效界面等效界面，即等效界面兩，即等效界面兩側(cè)分別是入射介質(zhì)和等效介質(zhì)。側(cè)分別是入射介質(zhì)和等效介質(zhì)。入射介質(zhì)的折射率仍舊是入射介質(zhì)的折射率仍舊是N0，等效介質(zhì)具有等效光學(xué)導(dǎo)納，等效介質(zhì)具有等效光學(xué)導(dǎo)納Y。因。因此，此，整個(gè)薄膜系統(tǒng)的反射率就是等效界面的反射率整個(gè)薄膜系統(tǒng)的反射率就是等效界面的反射率，等效界面的，等效界面的反射率計(jì)算公式為：反射率計(jì)算公式為：等效界面思想：

3、等效界面思想：任意光學(xué)多層膜，無(wú)論是介質(zhì)薄膜或是金任意光學(xué)多層膜，無(wú)論是介質(zhì)薄膜或是金屬薄膜組合，都可以用一虛擬的屬薄膜組合，都可以用一虛擬的等效界面等效界面代替，而且等效代替，而且等效界面的導(dǎo)納為界面的導(dǎo)納為 ，如圖，如圖1所示。所示。200YRY圖圖1 多層膜的等效界面多層膜的等效界面00HYE單層薄膜的等效界面單層薄膜的等效界面單層薄膜的兩個(gè)界面在數(shù)學(xué)上可以用一個(gè)等效的界面來表示，如圖2。膜層和基底組合的導(dǎo)納是Y。式中（已將前兩式代入）。義為等效介質(zhì)的光學(xué)導(dǎo)納定即：強(qiáng)度的切向分量連續(xù)，界面兩側(cè)的電場(chǎng)、磁場(chǎng)根據(jù)邊界條件，在等效00/2/2/20/20,EHEHYHHEE圖2 單層薄膜的等效

4、界面/2/2,EH根據(jù)邊界條件可以知道：Y=H0/E0。于是如同單一界面的情形，單層膜的反射率可表示為：200YRY只要確定了組合導(dǎo)納只要確定了組合導(dǎo)納Y，就可以方便地計(jì)算單層膜的反射和，就可以方便地計(jì)算單層膜的反射和透射特性。因此問題就歸結(jié)為求取入射界面上的透射特性。因此問題就歸結(jié)為求取入射界面上的H0和和E0的比的比值。下面推導(dǎo)組合導(dǎo)納的表達(dá)式。值。下面推導(dǎo)組合導(dǎo)納的表達(dá)式。如圖如圖3在薄膜上下界面上都有無(wú)數(shù)次反射，為便于處理，我在薄膜上下界面上都有無(wú)數(shù)次反射，為便于處理，我們歸并所有同方向的波，正方向取們歸并所有同方向的波，正方向取+號(hào)，負(fù)方向取號(hào)，負(fù)方向取號(hào)。號(hào)。圖圖3 單層薄膜的電場(chǎng)

5、單層薄膜的電場(chǎng)同樣的意義。等具有和，和，符號(hào)上的和是指在界面和1211-12-111121121HHEEEEE等效介質(zhì)的等效介質(zhì)的等效光學(xué)導(dǎo)納等效光學(xué)導(dǎo)納 若要求出若要求出r，必須要先知道必須要先知道Y，下面即為等效光學(xué)導(dǎo)納，下面即為等效光學(xué)導(dǎo)納Y的推導(dǎo)及的推導(dǎo)及計(jì)算。其基本過程為：計(jì)算。其基本過程為：首先，根據(jù)界面首先，根據(jù)界面1上的邊界條件，建立上的邊界條件，建立E0、H0與與E11+、 E11-的聯(lián)系；的聯(lián)系；然后，根據(jù)平面電磁波傳播規(guī)律，找出然后，根據(jù)平面電磁波傳播規(guī)律，找出E11+、 E11-與與E12+、 E12-的關(guān)的關(guān)系，從而建立系，從而建立E0、H0與與E12+、 E12-

6、的聯(lián)系；的聯(lián)系；之后，再根據(jù)界面之后，再根據(jù)界面2上的邊界條件，找出上的邊界條件，找出E12+、 E12-與與E2、H2的關(guān)系，的關(guān)系，從而建立從而建立E0、H0與與E2、H2的聯(lián)系（具體的數(shù)值關(guān)系與膜系和基底的參的聯(lián)系（具體的數(shù)值關(guān)系與膜系和基底的參數(shù)數(shù)N1 、 N2、d1等有關(guān)等有關(guān))；最后，基于等效界面思想，結(jié)合等效介質(zhì)的等效光學(xué)導(dǎo)納最后，基于等效界面思想，結(jié)合等效介質(zhì)的等效光學(xué)導(dǎo)納Y和基底和基底光學(xué)導(dǎo)納的定義式，最終建立光學(xué)導(dǎo)納的定義式，最終建立Y與膜系和基底的參數(shù)的關(guān)系。與膜系和基底的參數(shù)的關(guān)系。等效介質(zhì)的等效介質(zhì)的等效光學(xué)導(dǎo)納等效光學(xué)導(dǎo)納推導(dǎo)01101100011111100011

7、1111000111101110111011101111,()()()(EHEEEEEEEEEEHHHHHHkEkEEHHkEkEkEk（）用 和的切向分量在界面兩側(cè)連續(xù)的邊界條件寫出在界面 上：于是，可得：01111111121112110001111012)21 2exp(),2exp()cos,()iiEiin dEE eEE ekEkEEkEe（ ）在界面 ， 的內(nèi)側(cè)，不同縱坐標(biāo)、相同橫坐標(biāo)的兩點(diǎn)，只要改變波的位相因子，就可確定它們?cè)谕凰矔r(shí)的狀況。正向行進(jìn)的波的位相因子應(yīng)乘以而負(fù)向行進(jìn)的波的位相因子應(yīng)乘以，其中。即：，所以（）0120101101101210121)()iiiikEe

8、HkEkEkEekEe（）（等效介質(zhì)的等效介質(zhì)的等效光學(xué)導(dǎo)納等效光學(xué)導(dǎo)納2201112012021201202120120201201120112011201212122012012012120212122121212121)(2121)(21)()()()()(223HEkEkEkHEkEkHEkEkHHEkEkEkEkHHHEkEkEkEEkEEEHE寫成矩陣形式：于是，可得：上：兩側(cè)連續(xù)可寫出在界面的切向分量在界面和）同理，根據(jù)（12012011000EkEkeeeeHEkiiii寫成矩陣形式：等效介質(zhì)的等效介質(zhì)的等效光學(xué)導(dǎo)納等效光學(xué)導(dǎo)納聯(lián)系起來。的切向分量和界面的的切向分量與透過最后和

9、上式就把入射界面的可得）中的矩陣帶入（）中的矩陣將（的數(shù)值關(guān)系與），建立）和（）綜合（220022011111122011110001201201100022011120120220000cossinsincos212121212212121213324HEHEHEkiiHEkeeeeHEkEkEkeeeeHEkHEkEkEkHEkHEkiiiiiiii等效介質(zhì)的等效介質(zhì)的等效光學(xué)導(dǎo)納等效光學(xué)導(dǎo)納)(1cossinsincos1)()(cossinsincos)(cossinsincos4)(,),()(252021111110020220111111000022011111100002000

10、00020222222EkiiYEkEkEkiiEkYEkHEkiiHEkHHEkYHEEHHEkYHEkHY，即可得）的矩陣帶入（和將；將其帶入上式可得：等效界面），有根據(jù)邊界條件（針對(duì)對(duì)于等效介質(zhì)有：又根據(jù)等效界面思想，；（基底）有：對(duì)于介質(zhì)的的關(guān)系膜系和基底參數(shù)與建立）運(yùn)用等效界面思想，（等效介質(zhì)的等效介質(zhì)的等效光學(xué)導(dǎo)納等效光學(xué)導(dǎo)納111000221111112111000211111cossin11()()sincoscossin1,sincos1()()cossinsinikEkEYiiBCiBCkEkEYBYCii 令則上式可改寫為：解得矩陣1111111111cos2cos()c

11、oscosN dTMNPTESN稱為該膜層的，由薄層參數(shù)唯一確定，它包含了薄膜的全部有用參數(shù)，其中；對(duì)于（波）分量：，對(duì)于波分量：。以后我們將會(huì)看到，在分析薄膜特性是，這一矩陣是非常特征矩陣有用的。等效介質(zhì)的等效介質(zhì)的等效光學(xué)導(dǎo)納等效光學(xué)導(dǎo)納111211111111cossin1sincos2coscosiBCiYN dN d 矩陣定義為基底和膜層組合的特征矩陣。當(dāng)膜層參數(shù)已知后，其矩陣元就確定了，便可以求出等效光學(xué)導(dǎo)納 ，進(jìn)而就可以求得單層介質(zhì)膜的反射率。我們把叫做薄膜的，把叫做薄膜的有效位相厚度有效光學(xué)厚度。單層介質(zhì)膜的單層介質(zhì)膜的光學(xué)特性光學(xué)特性（3）討論BCY故振幅反射系數(shù)為：故振幅反

12、射系數(shù)為：能量反射率為：能量反射率為：由由 矩陣的表達(dá)式可以知道，當(dāng)薄膜的有效光學(xué)厚度為矩陣的表達(dá)式可以知道，當(dāng)薄膜的有效光學(xué)厚度為1/4波長(zhǎng)的整數(shù)波長(zhǎng)的整數(shù)倍時(shí)，即倍時(shí)，即或其位相厚度為或其位相厚度為 的整數(shù)倍時(shí)，即的整數(shù)倍時(shí)，即CB21111111cossinsincosiiCB單層介質(zhì)膜的單層介質(zhì)膜的光學(xué)特性光學(xué)特性（4）2在參考波長(zhǎng)處會(huì)出現(xiàn)一系列的極值。在參考波長(zhǎng)處會(huì)出現(xiàn)一系列的極值。(a)對(duì)于厚度為對(duì)于厚度為 的的奇數(shù)倍，即奇數(shù)倍，即m=1,3,5.的情形，有：的情形，有：(b)而對(duì)于厚度為而對(duì)于厚度為 的偶數(shù)倍，即的偶數(shù)倍，即m=2,4,6.的情形，有：的情形，有：這通常稱為這通常

13、稱為四分之一波長(zhǎng)法則四分之一波長(zhǎng)法則。此時(shí)，。此時(shí)，計(jì)算可得計(jì)算可得計(jì)算可得計(jì)算可得在參考波長(zhǎng)在參考波長(zhǎng) 處，它對(duì)于膜系的反射或透射特性沒有任何影響，因此被稱為處，它對(duì)于膜系的反射或透射特性沒有任何影響，因此被稱為“虛設(shè)層虛設(shè)層”。當(dāng)然在其他波長(zhǎng)上，薄膜的特征矩陣不再是單位矩陣，對(duì)膜系的。當(dāng)然在其他波長(zhǎng)上，薄膜的特征矩陣不再是單位矩陣，對(duì)膜系的特性是具有影響的。特性是具有影響的。40400單層介質(zhì)膜的單層介質(zhì)膜的光學(xué)特性光學(xué)特性例例2.01 當(dāng)厚度為當(dāng)厚度為 波長(zhǎng)波長(zhǎng)的奇數(shù)倍時(shí)，反射率是極的奇數(shù)倍時(shí)，反射率是極大還是極小，視薄膜的折大還是極小，視薄膜的折射率是大于還是小于基片射率是大于還是小于

14、基片的折射率而定。的折射率而定。 a） b)4040圖圖4 單層介質(zhì)膜的反射率隨其光學(xué)厚度的變化關(guān)系，其單層介質(zhì)膜的反射率隨其光學(xué)厚度的變化關(guān)系，其中中n0=1,n2=1.5,膜的折射率為膜的折射率為n1，入射角，入射角 。00 當(dāng)膜的光學(xué)厚度取當(dāng)膜的光學(xué)厚度取 的偶數(shù)倍時(shí)，反射率也是極的偶數(shù)倍時(shí)，反射率也是極值，且視它們的折射率而定，值，且視它們的折射率而定，只是情況恰巧相反，如圖所只是情況恰巧相反，如圖所4示。示。單層介質(zhì)膜的單層介質(zhì)膜的光學(xué)特性光學(xué)特性注意：注意：（1）因?yàn)椋┮驗(yàn)镽是是 的函數(shù)，所以，這里所說的的函數(shù)，所以，這里所說的“極值極值”、“虛虛設(shè)層設(shè)層”都是對(duì)特定波長(zhǎng)（即滿足都

15、是對(duì)特定波長(zhǎng)（即滿足 的波長(zhǎng)）而的波長(zhǎng)）而言。言。（2）單層介質(zhì)膜的反射率隨其光學(xué)厚度的變化關(guān)系：?jiǎn)螌咏橘|(zhì)膜的反射率隨其光學(xué)厚度的變化關(guān)系： a) b)（3）因?yàn)椋┮驗(yàn)?，所以，所以單層介質(zhì)膜的反射率隨膜層厚單層介質(zhì)膜的反射率隨膜層厚度的周期性變化也有可能是波長(zhǎng)度的周期性變化也有可能是波長(zhǎng) 變化所致。變化所致。4cos111mdN111cos2dN單層介質(zhì)膜的單層介質(zhì)膜的光學(xué)特性光學(xué)特性例例2.1由于由于 波長(zhǎng)厚度的薄膜在多層膜設(shè)計(jì)中用的非常廣泛，波長(zhǎng)厚度的薄膜在多層膜設(shè)計(jì)中用的非常廣泛，因而有一些簡(jiǎn)單的速寫符號(hào)。因而有一些簡(jiǎn)單的速寫符號(hào)。經(jīng)常用經(jīng)常用H表示高折射率的表示高折射率的 波長(zhǎng)的膜層

16、；而波長(zhǎng)的膜層；而L表示低表示低折射率的折射率的 波長(zhǎng)的膜層；且通常用波長(zhǎng)的膜層；且通常用M表示中間折射表示中間折射率的率的 波長(zhǎng)的膜層。波長(zhǎng)的膜層。例如用例如用 表示一個(gè)高低折射率交替的三表示一個(gè)高低折射率交替的三層膜結(jié)構(gòu)。層膜結(jié)構(gòu)。40基片”“空氣HLH404040基片”膜系“空氣圖HLH5單層介質(zhì)膜的單層介質(zhì)膜的光學(xué)特性光學(xué)特性例題例題2.1根據(jù)上述根據(jù)上述 波長(zhǎng)法則，等效界面的導(dǎo)納為波長(zhǎng)法則，等效界面的導(dǎo)納為 ，同樣對(duì)于同樣對(duì)于4144HsLnnn 單層介質(zhì)膜的單層介質(zhì)膜的光學(xué)特性光學(xué)特性基片”膜系“空氣圖LHLH6等效界面的導(dǎo)納為等效界面的導(dǎo)納為多層介質(zhì)膜的多層介質(zhì)膜的光學(xué)特性光學(xué)特

17、性上面對(duì)單層薄膜的討論可以推廣到多層膜的情況。任意光學(xué)上面對(duì)單層薄膜的討論可以推廣到多層膜的情況。任意光學(xué)多層膜，無(wú)論是介質(zhì)薄膜或是金屬薄膜組合，都可以用一虛多層膜，無(wú)論是介質(zhì)薄膜或是金屬薄膜組合，都可以用一虛擬的等效界面代替，而且等效界面的導(dǎo)納為擬的等效界面代替，而且等效界面的導(dǎo)納為 ，如圖，如圖7所示。所示。00EHY 圖圖7 多層薄膜的等效界面多層薄膜的等效界面如上節(jié)討論的，在界面如上節(jié)討論的，在界面1和界面和界面2應(yīng)用邊界條件可以得到：應(yīng)用邊界條件可以得到：在界面在界面2和界面和界面3應(yīng)用邊界條件可以得：應(yīng)用邊界條件可以得：重復(fù)這一過程，（如圖重復(fù)這一過程，（如圖8）再到在界面）再到在

18、界面K和和K+1應(yīng)用邊界條件得到：應(yīng)用邊界條件得到：圖圖8 求解多層薄膜的矩陣法求解多層薄膜的矩陣法多層介質(zhì)膜的多層介質(zhì)膜的光學(xué)特性光學(xué)特性因?yàn)閭€(gè)界面的切向分量連續(xù)，故有：因?yàn)閭€(gè)界面的切向分量連續(xù)，故有：所以經(jīng)過連續(xù)的線性變換，最后可以得到矩陣方程式所以經(jīng)過連續(xù)的線性變換，最后可以得到矩陣方程式多層介質(zhì)膜的多層介質(zhì)膜的光學(xué)特性光學(xué)特性這樣，膜系的特征矩陣為：這樣，膜系的特征矩陣為：對(duì)對(duì)p-偏振波和偏振波和s-偏振波，膜層的位相厚度都是：偏振波，膜層的位相厚度都是：矩陣矩陣稱為第稱為第j層膜的特征矩陣。層膜的特征矩陣。多層介質(zhì)膜的多層介質(zhì)膜的光學(xué)特性光學(xué)特性（4）式（式（4）在薄膜光學(xué)中具有特別重要的意義，因?yàn)樗鼛缀鯓?gòu)成了）在薄膜光學(xué)中具有特別重要的意義，因?yàn)樗鼛缀鯓?gòu)成了全部計(jì)算的基礎(chǔ)。全部計(jì)算的基礎(chǔ)。多層介質(zhì)膜的多層介質(zhì)膜的光學(xué)特性光學(xué)特性該該k層膜系的光譜特征為：層膜系的光譜特征為：（5）式（式（5）雖然是針對(duì)