1.2解三角形應(yīng)用舉例(測(cè)量距離、高度、角度)解析

1、1福建美佛兒學(xué)校自主型發(fā)展大課堂數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案福建美佛兒學(xué)校自主型發(fā)展大課堂數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案班級(jí)姓名設(shè)計(jì)者日期班級(jí)姓名設(shè)計(jì)者日期課題：課題：1.2 應(yīng)用舉例應(yīng)用舉例（第一課時(shí)測(cè)量距離問(wèn)題）（第一課時(shí)測(cè)量距離問(wèn)題）課時(shí)課時(shí): :3 3 課時(shí)課時(shí) 教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能：教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能：能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些有關(guān)測(cè)量距離的實(shí)際問(wèn)題，了解常用的測(cè)量相關(guān)術(shù)語(yǔ)過(guò)程與方法過(guò)程與方法：首先通過(guò)巧妙的設(shè)疑，順利地引導(dǎo)新課，為以后的幾節(jié)課做良好鋪墊。其次結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況，采用“提出問(wèn)題引發(fā)思考探索猜想總結(jié)規(guī)律反饋訓(xùn)練”的教學(xué)過(guò)程，根據(jù)大綱要求以及教學(xué)內(nèi)容之間的內(nèi)在關(guān)系，鋪開(kāi)例題，設(shè)計(jì)變式，幫助學(xué)

2、生掌握解法，能夠類比解決實(shí)際問(wèn)題。情感態(tài)度與價(jià)值觀：情感態(tài)度與價(jià)值觀：激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,并體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值；同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用圖形、數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)題意和應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力 教學(xué)重點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)實(shí)際問(wèn)題中抽象出一個(gè)或幾個(gè)三角形，然后逐個(gè)解決三角形，得到實(shí)際問(wèn)題的解 教學(xué)難點(diǎn)教學(xué)難點(diǎn)根據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型，畫(huà)出示意圖 教學(xué)過(guò)程教學(xué)過(guò)程一、課題導(dǎo)入一、課題導(dǎo)入1 1、復(fù)習(xí)舊知、復(fù)習(xí)舊知復(fù)習(xí)提問(wèn)什么是正弦定理、余弦定理以及它們可以解決哪些類型的三角形？2 2、設(shè)置情境、設(shè)置情境請(qǐng)學(xué)生回答完后再提問(wèn)：前面引言第一章“解三角形”中，我們遇到這么一個(gè)問(wèn)題，“遙不可及的月亮離我們地球究竟有多遠(yuǎn)呢？”

3、在古代，天文學(xué)家沒(méi)有先進(jìn)的儀器就已經(jīng)估算出了兩者的距離，是什么神奇的方法探索到這個(gè)奧秘的呢？我們知道，對(duì)于未知的距離、高度等，存在著許多可供選擇的測(cè)量方案，比如可以應(yīng)用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在實(shí)際測(cè)量問(wèn)題的真實(shí)背景下，某些方法會(huì)不能實(shí)施。如因?yàn)闆](méi)有足夠的空間，不能用全等三角形的方法來(lái)測(cè)量，所以，有些方法會(huì)有局限性。于是上面介紹的問(wèn)題是用以前的方法所不能解決的。今天我們開(kāi)始學(xué)習(xí)正弦定理、余弦定理在科學(xué)實(shí)踐中的重要應(yīng)用，首先研究如何測(cè)量距離。二、講授新課二、講授新課（1）解決實(shí)際測(cè)量問(wèn)題的過(guò)程一般要充分認(rèn)真理解題意，正確做出圖形，把實(shí)際問(wèn)題里的條件和

4、所求轉(zhuǎn)換成三角形中的已知和未知的邊、角，通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型來(lái)求解例題講解例題講解（2）例例 1 1、如圖，設(shè) A、B 兩點(diǎn)在河的兩岸，要測(cè)量?jī)牲c(diǎn)之間的距離，測(cè)量者在 A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點(diǎn) C,測(cè)出 AC 的距離是 55m,ZBAC=5151。，乙ACB=7575。求A、B 兩點(diǎn)的距離（精確到 0.1m）2啟發(fā)提問(wèn)啟發(fā)提問(wèn)：AABC 中，根據(jù)已知的邊和對(duì)應(yīng)角，運(yùn)用哪個(gè)定理比較適當(dāng)？分析：這是一道關(guān)于測(cè)量從一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離的問(wèn)題，題目條件告訴了邊AB 的對(duì)角，AC 為已知邊，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理很容易根據(jù)兩個(gè)已知角算出 AC 的對(duì)角，應(yīng)用正弦定理算出 AB

5、邊。解：根據(jù)正弦定理，得AB二ACsinZACBsinZABCAB 二ACsinZACBsinZABC二55sinZ4CBsinZABC二55sin75。sin（180P-51。-75。）二55sin75osin54。65.7（m）答:A、B 兩點(diǎn)間的距離為 65.7 米變式練習(xí)變式練習(xí)：海上有海上有 A A、B B 兩個(gè)小島相距兩個(gè)小島相距 1010 海里海里，從從 A A 島望島望 C C 島和島和 B B 島成島成 6060。的視角的視角，從從 B B島望島望 C C 島和島和 A A 島成島成 7575。的視角，問(wèn)：的視角，問(wèn)：B B、C C 間的距離間的距離例例 2 2、如圖，A、B

6、 兩點(diǎn)都在河的對(duì)岸（不可到達(dá)），設(shè)計(jì)一種測(cè)量 A、B 兩點(diǎn)間距離的方法。分析：這是例 1 的變式題，研究的是兩個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離測(cè)量問(wèn)題。首先需要構(gòu)造三角形，所以需要確定 C、D 兩點(diǎn)。根據(jù)正弦定理中已知三角形的任意兩個(gè)內(nèi)角與一邊既可求出另兩邊的方法，分別求出 AC 和 BC,再利用余弦定理可以計(jì)算出 AB 的距離。3解：測(cè)量者可以在河岸邊選定兩點(diǎn) C、D,測(cè)得 CD=a,并且在 C、D 兩點(diǎn)分別測(cè)得上BCAp,上ACD=B，上CDB=y，上BDA=5，在AADC 和ABDC 中，應(yīng)用正弦定理得BC二asinysin180P(a+P+y)計(jì)算出 AC 和 BC 后，再在AABC 中，應(yīng)用

7、余弦定理計(jì)算出 AB 兩點(diǎn)間的距離AB=AC2+BC22ACxBCcosa變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練: :若在河岸選取相距若在河岸選取相距 4040 米的米的 C C、D D 兩點(diǎn)兩點(diǎn)，測(cè)得測(cè)得ZBCA=60BCA=60。，ZACD=30ACD=30。，乙CDB=45CDB=45。，ZBDABDA=60=60。，求，求 ABAB 間的距離間的距離解：AB=20；6評(píng)注評(píng)注：在研究三角形時(shí)，靈活根據(jù)兩個(gè)定理可以尋找到多種解決問(wèn)題的方案，但有些過(guò)程較繁復(fù)，如何找到最優(yōu)的方法，最主要的還是分析兩個(gè)定理的特點(diǎn)，結(jié)合題目條件來(lái)選擇最佳的計(jì)算方式。三、當(dāng)堂訓(xùn)練三、當(dāng)堂訓(xùn)練1、海上有 A、B、C 三個(gè)小島，已知 A、

8、B 之間相距 8 海里，A、C 之間相距 5 海里，在 A 島測(cè)得 B 島和 C 島的視角為 60。，問(wèn)：B 島與 C 島相距多少海里？2、課本第第 1414 頁(yè)頁(yè)練習(xí)第 1、2 題四、能力提升四、能力提升1、兩燈塔 A、B 與海洋觀察站 C 的距離都等于 akm,燈塔 A 在觀察站 C 的北偏東 30。，燈AC二asin(y+5)sin18QP(P+y+6)二asin(y+5)sin(B+y+5)asinysin(a+P+y)4塔 B 在觀察站 C 南偏東 60。，則 A、B 之間的距離為多少？（解略：2akm）2、在海中有一小島 B,周圍 3.8 海里有暗礁，軍艦由向東航行到 A，望見(jiàn)島

9、B 在北偏東 75。 ,航行 8 海里島 C，望見(jiàn)島 B 在北偏東 60。，若此軍艦不改變航向繼續(xù)航行，有無(wú)觸礁危險(xiǎn)？（畫(huà)圖 p9）第二課時(shí)測(cè)量高度問(wèn)題第二課時(shí)測(cè)量高度問(wèn)題 教學(xué)過(guò)程教學(xué)過(guò)程一、課題導(dǎo)入一、課題導(dǎo)入提問(wèn)：現(xiàn)實(shí)生活中,人們是怎樣測(cè)量底部不可到達(dá)的建筑物高度呢？又怎樣在水平飛行的飛機(jī)上測(cè)量飛機(jī)下方山頂?shù)暮０胃叨饶?？今天我們就?lái)共同探討這方面的問(wèn)題二、講授新課二、講授新課范例講解范例講解例例 1 1、AB 是底部 B 不可到達(dá)的一個(gè)建筑物，A 為建筑物的最高點(diǎn)，設(shè)計(jì)一種測(cè)量建筑物高度 AB 的方法。5圖1.2-4分析：求 AB 長(zhǎng)的關(guān)鍵是先求 AE,在AACE 中，如能求出 C 點(diǎn)到

10、建筑物頂部 A 的距離 CA,再測(cè)出由 C 點(diǎn)觀察 A 的仰角，就可以計(jì)算出 AE 的長(zhǎng)。解：選擇一條水平基線 HG,使 H、G、B 三點(diǎn)在同一條直線上。由在 H、G 兩點(diǎn)用測(cè)角儀器測(cè)得 A 的仰角分別是a、卩，CD=a,測(cè)角儀器的高是 h,那么，在AACD 中，根據(jù)正弦定理可得AC=asinBsin(a-B)AB=AE+h=ACsina+h=asinasinB+hsin(a-B)變式訓(xùn)練：變式訓(xùn)練：在地面 A 處測(cè)得樹(shù)梢的仰角為 60。,A 與樹(shù)底部 B 相距為 5cm,問(wèn)：樹(shù)高?例例 2 2、如圖，在山頂鐵塔上 B 處測(cè)得地面上一點(diǎn) A 的俯角a=5440，在塔底 C 處測(cè)得 A處的俯角B

11、=501。已知鐵塔 BC 部分的高為 27.3m,求出山高 CD（精確到 1m）6解:在AABC 中，ZBCA=90。+卩，上ABC=90。一,上BAC=-卩，上BAD=.BC=ABsinQ卩)sin(90+B)AqBCsin(90+卩)BCCo吊AB=sin(aP)sinQp)解 RtAABD 中,得 BD=ABsinZBAD=BCCOsPsinQsin(Qp)27.3cos5(Hsin54?40“/、=177(m)sin4o39fCD=BD-BC177-27.3=150(m)答:山的高度約為 150 米.思考：思考：有沒(méi)有別的解法呢？例例 3 3、如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正東行駛

12、，到 A 處時(shí)測(cè)得公路南側(cè)遠(yuǎn)處一山頂D 在東偏南 15o的方向上，行駛 5km 后到達(dá) B 處,測(cè)得此山頂在東偏南 25的方向上,仰角為8，求此山的高度 CD.根據(jù)正弦定理有：將測(cè)量數(shù)據(jù)代入上式，得 BD=27.3cos50Tsin544asin(54?40,50T)7解:在AABC 中，ZA=15。,ZC=25。-15。=10。，根據(jù)正弦定理,BC=AB,sinAsinCABsinA=5sin15osinCsin10o7.4524(km)CD 二 BCxtanZDBCBCxtan8o1047(m)答:山的高度約為 1047 米變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練：有一長(zhǎng)為 10cm 的斜坡，它的坡角是 75。，

13、在不改變坡高和坡頂?shù)那疤嵯拢ㄟ^(guò)加成坡面的方法將它的坡角改為 30。，問(wèn)坡底要延長(zhǎng)多少 cm?(畫(huà)圖 p11)三、當(dāng)堂訓(xùn)練三、當(dāng)堂訓(xùn)練1、課本第第 1616 頁(yè)頁(yè)練習(xí)2、在樓頂測(cè)得距樓底水平距離為 3m 處的一物體的俯角為 60o，則樓高為3、一斜坡長(zhǎng) 1km,其坡角為 30。，則斜坡的鉛直高度為四、能力提升四、能力提升1、為測(cè)某塔 AB 的高度，在一幢與塔 AB 相距 20m 的樓的樓頂處測(cè)得塔頂 A 的仰角為 30 測(cè)BC8得塔基 B 的俯角為 45。，則塔 AB 的高度為多少 m?（答案：20+2033（m）2、在地面 C 處觀察同一鉛垂面內(nèi)迎面飛來(lái)的一架飛機(jī)，當(dāng)飛機(jī)在 A 處時(shí)測(cè)得其仰

14、角為 30 過(guò) lmin 后，飛機(jī)到達(dá) B 處，又測(cè)得飛機(jī)的仰角為 75。，如果該飛機(jī)以 480km/h 的速度沿水平方向飛行，試求飛機(jī)的高度。（畫(huà)圖 P11）3、在測(cè)量河對(duì)岸的塔高 AB 時(shí)，可以選與塔底 B 在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn) C、D,測(cè)得ZBCD=a,ZBDC=p,CD=S,并在點(diǎn)C測(cè)量塔頂A的仰角為求塔高AB.（畫(huà)圖 P12）9第三課時(shí)測(cè)量角度問(wèn)題第三課時(shí)測(cè)量角度問(wèn)題 教學(xué)過(guò)程教學(xué)過(guò)程一、課題導(dǎo)入一、課題導(dǎo)入創(chuàng)設(shè)情境創(chuàng)設(shè)情境提問(wèn)：前面我們學(xué)習(xí)了如何測(cè)量距離和高度，這些實(shí)際上都可轉(zhuǎn)化已知三角形的一些邊和角求其余邊的問(wèn)題。然而在實(shí)際的航海生活中,人們又會(huì)遇到新的問(wèn)題，在浩瀚無(wú)垠的海

15、面上如何確保輪船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我們接著探討這方面的測(cè)量問(wèn)題。二、講授新課二、講授新課范例講解例范例講解例 1 1、如圖，一艘海輪從 A 出發(fā)，沿北偏東 75。的方向航行 67.5nmile 后到達(dá)海島 B,然后從 B 出發(fā)， 沿北偏東 32。的方向航行 54.0nmile 后達(dá)到海島 C.如果下次航行直接從 A 出發(fā)到達(dá) C,此船應(yīng)該沿怎樣的方向航行， 需要航行多少距離？ （角度精確到 0.1。,距離精確到 0.01nmile)學(xué)生看圖思考并講述解題思路教師根據(jù)學(xué)生的回答歸納分析：首先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出 AC 邊所對(duì)的角ZABC,即可用余弦定理算出 AC 邊，

16、再根據(jù)正弦定理算出 AC 邊和 AB邊的夾角ZCAB。解：在AABC 中，ZABC=180。-75。+32。=137。，根據(jù)余弦定理,AC=JAB2+BC2一2ABxBCxcosZABC二67.52+54.02-2x67.5x54.0 xcosl37。113.15根據(jù)正弦定理,C75B南A圖1.2-7北西/-東10ACsinZCABsinZABCsinZCAB=BCsinBCAC二54.0sin137113.150.3255,所以ZCAB=19.0。,75-ZCAB=56.0答:此船應(yīng)該沿北偏東 56.1的方向航行，需要航行 113.15nmile例例 2 2、在某點(diǎn) B 處測(cè)得建筑物 AE

17、的頂端 A 的仰角為9，沿 BE 方向前進(jìn) 30m,至點(diǎn) C 處測(cè)得頂端 A 的仰角為 29，再繼續(xù)前進(jìn) 10r3m 至 D 點(diǎn)，測(cè)得頂端 A 的仰角為 49，求 9 的大小和建筑物 AE 的高。解法一：解法一：（用正弦定理正弦定理求解）由已知可得在AACD 中,AC=BC=30，AD=DC=103，ZADC=180-49，.10“3=30sin29sin(180-49)因?yàn)?sin49=2sin29cos29.cos29.9=15.在 RtAADE 中，AE=ADsin60=15BC29=3011答：所求角 9 為 15，建筑物高度為 15m12解法二：（解法二：（設(shè)方程方程來(lái)求解）設(shè) DE

18、=x，AE=h在 RtAACE 中，(103+x)2+h2=302在 RtAADE 中，x2+h2=(103)2兩式相減，得 x=5 詔3,h=1520=300,0=150答：所求角 0 為 150，建筑物高度為 15m 例例 3 3、某巡邏艇在 A 處發(fā)現(xiàn)北偏東 450相距9 海里的 C 處有一艘走私船，正沿南偏東 750的方向以 10 海里/小時(shí)的速度向我海岸行駛， 巡邏艇立即以 14 海里/小時(shí)的速度沿著直線方向追去，問(wèn)巡邏艇應(yīng)該沿什么方向去追？需要多少時(shí)間才追趕上該走私船？分析：這道題的關(guān)鍵是計(jì)算出三角形的各邊，即需要引入時(shí)間這個(gè)參變量。解:如圖， 設(shè)該巡邏艇沿 AB 方向經(jīng)過(guò) x 小

19、時(shí)后在 B 處追上走私船， 則 CB=10 x,AB=14x,AC=9,ZACB=75750+45。=120。(14x)2=92+(10 x)2-2x9x10 xcos120化簡(jiǎn)得 32x2-30 x-27=0,即 x=-，或 x=9(舍去)216所以 BC=10 x=15,AB=14x=21,BCsin12015c35.3=x=AB21214.ZBAC=38。13，或 ZBAC=14147(鈍角不合題意，舍去),.在 RtAACE 中，tan20h=v10：3+x3又因?yàn)?sinZBAC133813+45=8313答：巡邏艇應(yīng)該沿北偏東 8313方向去追，經(jīng)過(guò) 1.4 小時(shí)才追趕上該走私船.評(píng)注評(píng)注：在求解三角形中，我們可以根據(jù)正弦函數(shù)的定義得到兩個(gè)解