高數(shù)第二章2.1

1、醫(yī)用高等數(shù)學(xué)醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第二章 一元函數(shù)微分學(xué)一、實例二、導(dǎo)數(shù)的定義及導(dǎo)數(shù)的幾何意義三、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念1.變速直線運動的瞬時速度變速直線運動的瞬時速度0t,0tt 的的時時刻刻取取一一鄰鄰近近于于, t 運運動動時時間間tt,0時時當(dāng)當(dāng)tt 取極限得取極限得一、實例設(shè)一質(zhì)點沿直線做變速直線運動設(shè)一質(zhì)點沿直線做變速直線運動,其運動規(guī)律為其運動規(guī)律為)(tss 求時刻求時刻 的瞬時速度的瞬時速度.0ttsvttstts)()(00平均速度平均速度瞬時速度瞬時速度ttsttsvvtt)()(limlim00002. 細(xì)胞的增殖速度細(xì)胞的增殖速度 設(shè)增殖細(xì)胞在某一時刻設(shè)增殖細(xì)胞在某

2、一時刻t的總數(shù)為的總數(shù)為N,顯然顯然N是時間是時間t的函數(shù)的函數(shù))(tNN 求細(xì)胞在時刻求細(xì)胞在時刻 的瞬時增長率的瞬時增長率.0t從從 變化到變化到 這段時間內(nèi)這段時間內(nèi),細(xì)胞的平均增長率為細(xì)胞的平均增長率為0ttt0ttNttNtN)()(00,0時當(dāng)t取極限得取極限得瞬時增長率瞬時增長率=ttNttNtNtt)()(limlim0000定義定義2-1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)在點在點x0的某個鄰域內(nèi)有定義，的某個鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量當(dāng)自變量x在在x0處有增量處有增量x(x0+x仍在該鄰域內(nèi)仍在該鄰域內(nèi))，函數(shù)相應(yīng)地有增量函數(shù)相應(yīng)地有增量y=f(x0+x)-f(x0)，如果極限，如果極限

3、000)()(0 xxxxxxdxxdfdxdyyxf、, )()(limlim0000 xxxxfxxfxy 存在，存在，則稱函數(shù)則稱函數(shù)y=f(x)在點在點x0處可導(dǎo)，此極限值稱為處可導(dǎo)，此極限值稱為函數(shù)函數(shù)y=f(x)在點在點x0處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù)(derivative)，記作，記作二、導(dǎo)數(shù)的定義及導(dǎo)數(shù)的幾何意義xxfxxfxyyxxxx )()(limlim00000即即注意注意 若極限不存在若極限不存在,就稱函數(shù)就稱函數(shù) 在點在點 處不可導(dǎo)處不可導(dǎo);)(xf0 x由導(dǎo)數(shù)定義由導(dǎo)數(shù)定義變速直線運動的質(zhì)點在時刻變速直線運動的質(zhì)點在時刻 的瞬時速度為的瞬時速度為)(0tsv0t細(xì)胞在時刻細(xì)胞

4、在時刻 的瞬時增殖速度為的瞬時增殖速度為0t)(0tN若不可導(dǎo)若不可導(dǎo),且極限為無窮大且極限為無窮大,為方便起見為方便起見,記為記為 .也也)(0 xf0 x)(xf稱函數(shù)稱函數(shù) 在點在點 處的導(dǎo)數(shù)為無窮大處的導(dǎo)數(shù)為無窮大.單側(cè)導(dǎo)數(shù)單側(cè)導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù)xxfxxfxyxfxx)()(limlim)(00000右導(dǎo)數(shù)右導(dǎo)數(shù)xxfxxfxyxfxx)()(limlim)(00000注意注意 函數(shù)在一點可導(dǎo)的函數(shù)在一點可導(dǎo)的充分必要條件為充分必要條件為：)()(00 xfxf導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)(1) 如果函數(shù)如果函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間在開區(qū)間(a,b)內(nèi)的每一個點都可內(nèi)的每一個點都可導(dǎo)，就稱函數(shù)導(dǎo)，就稱

5、函數(shù)f(x)在開區(qū)間在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)xxfxxfyx )()(lim0即即很明顯很明顯0)()(0 xxxfxf 對于任一對于任一xI，都對應(yīng)著，都對應(yīng)著f(x)的一個確定的導(dǎo)數(shù)值，的一個確定的導(dǎo)數(shù)值，這個函數(shù)叫做原來函數(shù)這個函數(shù)叫做原來函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，記作的導(dǎo)函數(shù)，記作dxxdfdxdyyxf)()(、 (2) 如果如果f(x)在開區(qū)間在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且內(nèi)可導(dǎo)，且 及及 都存在，就說都存在，就說f(x)在閉區(qū)間在閉區(qū)間a,b上可導(dǎo)。上可導(dǎo)。)(af)(bf注意注意: :0)()(0 xxxfxf )(0 xf0 例：設(shè)下列各極限均存在，求各式是否成立？例：設(shè)下列

6、各極限均存在，求各式是否成立？)()()(lim)(0010fxfxfx)0()0()0(lim)2(0fxfxfx)()()(lim)(00003xfxxxfxfx解：成立，這是點x=0的導(dǎo)數(shù)的表示式。解：左式是左導(dǎo)數(shù),右式是導(dǎo)數(shù),不一定成立。解：成立，作變換令-x =h，可化為標(biāo)準(zhǔn)式。解解222)(2)()()(xxxxxxxfxxfyxxxxfxxfxy2)()(xxxxyyxx2)2(limlim00已知函數(shù)已知函數(shù) ,求求例例2-12xy y例例2-2已知函數(shù)已知函數(shù) 求導(dǎo)函數(shù)求導(dǎo)函數(shù) 及及xxf)(y1xyxxxy解解xxxxxxxxxxxxxxxxxxy1)()(xxxxxyyx

7、x211limlim00211xy 例例2-3 據(jù)據(jù)1985年人口調(diào)查年人口調(diào)查, ,我國有我國有10.15億人口億人口, ,人人口平均年增長率為口平均年增長率為1.489, ,根據(jù)馬爾薩斯根據(jù)馬爾薩斯( (Malthus) )人人口理論口理論, ,我國人口增長模型為我國人口增長模型為xexf01489. 015.10)(其中，其中，x代表年數(shù)代表年數(shù)(0,1,2,),并定義并定義1985年為這個模型年為這個模型的起始年的起始年x=0. .按照此模型可以預(yù)測我國在按照此模型可以預(yù)測我國在2005年人口年人口將有將有13.6710億億. .求我國人口增長率函數(shù)？怎樣控制人求我國人口增長率函數(shù)？怎

8、樣控制人口增長速度？口增長速度？解解) 1(15.1015.1015.10)()(01489. 001489. 001489. 0)(01489. 0 xxxxxeeeexfxxfyxeexyxx) 1(15.1001489. 001489. 0 xeexeexeexyxxxxxxxxxx01489. 01lim01489. 015.1001489. 0101489. 015.10lim115.10limlim01489. 0001489. 001489. 001489. 0001489. 001489. 000解解xeexyxxxx01489. 01lim01489. 015.10lim01

9、489. 0001489. 00)1ln(01489. 0101489. 0yxeyx，則令111)1ln(lim1)1ln(lim01489. 01lim/10001489. 00yyyxxyyyxe于是于是xexf01489. 015.1001489. 0)( 讓人口年增長率讓人口年增長率0.01489變小變小,人口的增長速度就變?nèi)丝诘脑鲩L速度就變小小,故可控制人口的增長故可控制人口的增長.xxxxxexeexy01489. 001489. 0001489. 0015.1001489. 001489. 01lim01489. 015.10lim由導(dǎo)數(shù)定義，人口增長率函數(shù)為：由導(dǎo)數(shù)定義，人口

10、增長率函數(shù)為：由定義求導(dǎo)數(shù)三個步驟由定義求導(dǎo)數(shù)三個步驟);()()1(xfxxfy 求求增增量量;)()()2(xxfxxfxy 算算比比值值.lim)3(0 xyyx 求求極極限限導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義切線：切線：割線的極限割線的極限 割線割線MN繞點繞點M旋轉(zhuǎn)而旋轉(zhuǎn)而趨向極限趨向極限位置位置MT,直線直線MT就稱為曲就稱為曲線在點線在點M處的處的切線切線.MTyoxNNNN).,(),(00yxNyxM設(shè)設(shè)的的斜斜率率為為割割線線 MN00tanxxyy xxfxxf)()(00的的斜斜率率為為切切線線 MT)()()(limtan0000 xfxxfxxfkx0,xMNC沿沿曲曲線

11、線當(dāng)當(dāng)所以所以 T0 xxxx0oxy)(xfy CNxyM T0 x切線方程為切線方程為).)(000 xxxfyy 法線方程為法線方程為).0)()(10000(xf ( xxxfyy所以導(dǎo)數(shù)的幾何意義為所以導(dǎo)數(shù)的幾何意義為:處處的的在在)(,(00 xfxoxy)(xfy M.tan)(,()()(000處的切線的斜率在點表示曲線xfxMxfyxf例例2-5.)9 , 3(2程程處處的的切切線線方方程程和和法法線線方方在在點點求求曲曲線線xy )3(69xy096 xy即即法線方程為法線方程為)3(619xy0576 xy即即63xyk根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義, 得切線斜率為

12、得切線斜率為 解解 由例由例2-1有有, ，63xyxy2處的切線方程為處的切線方程為在點在點故曲線故曲線)9 , 3(2xy 可導(dǎo)的函數(shù)一定是連續(xù)的可導(dǎo)的函數(shù)一定是連續(xù)的證明證明則可導(dǎo)在點設(shè)函數(shù),)(xxf)(lim0 xfxyx.)(連續(xù)在點函數(shù)xxfy 三、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系于是于是00)(limlimlimlim00000 xfxxyxxyyxxxx比如比如處處連連續(xù)續(xù)但但不不可可導(dǎo)導(dǎo)在在函函數(shù)數(shù)0)( xxxfxy xyo解解xxxfxfxy)0()0(1limlimlim000 xxxxxyxxx1limlimlim000 xxxxxyhxx)0()0(ff即.0)(點不可導(dǎo)在函數(shù)xxfy反