數(shù)理統(tǒng)計教程課后重要答案習題

1、 第一章:統(tǒng)計量及其分布19.設(shè)母體服從正態(tài)分布N和分別為子樣均值和子樣方差,又設(shè)且與獨立, 試求統(tǒng)計量的抽樣分布.解: 因為服從分布. 所以 而且與獨立, 所以分布.即服從分布.20. 是取自二元正態(tài)分布N的子樣,設(shè),和試求統(tǒng)計量的分布. 解: 由于 .所以服從分布 . 是正態(tài)變量,類似于一維正態(tài)變量的情況,可證與相互獨立. , 所以 統(tǒng)計量 服從分布. 第二章：估計量1. 設(shè)是來自二點分布的一個子樣,試求成功概率的矩法估計量. 解: 3. 對容量為的子樣,求密度函數(shù) 中參數(shù)的矩法估計3. 對容量為的子樣,求密度函數(shù) 中參數(shù)的矩法估計量. 解: 令 得.4. 在密度函數(shù) 中參數(shù)的極大似然估計

2、量是什么?矩法估計量是什么? 解: (1) 令， 得 。由于 故是極大似然估計.(2) 由 令 得 14. 設(shè)為取自參數(shù)為的普哇松分布的一個子樣.試證子樣平均和都是的無偏估計.并且對任一值也是的無偏估計.證: 對普哇松分布有, 從而故與都是的無偏估計. 又故也是的無偏估計.15. 設(shè)為取自正態(tài)母體的一個子樣,試適當選擇,使為的無偏估計. 解: 由 且相互獨立可知, 從而.取時, 為的無偏估計.17. 設(shè)隨機變量服從二項分布,n試求無偏估計量. 解: 由于 故 從而當抽得容量為N的一個子樣后,的無偏估計為:量. 解: 令 得.34. 設(shè)是取自正態(tài)母體的一個子樣,其中為已知,證明(i) 是的有效估

3、計;(ii) 是的無偏估計,并求其有效率.證由知, , 又的密度函數(shù)為, 故對求導得： 從而， 故下界為 。 是的有效估計. 由于故， 即是的無偏估計. 又而故CR下界為， 的有效率為。30 .設(shè)是取自具有下列指數(shù)分布的一個子樣. 證明是的無偏、一致、有效估計。證: 由于 是的無偏估計.又， 故從而， 而故下界為 因此是的有效估計.另外,由契比可夫不等式所以還是的一致估計.32. 設(shè) 是獨立同分布隨機變量, 都服從， 則是的充分統(tǒng)計量. 證: 由于的聯(lián)合密度為 取 , 則由因子分解定理知, 是的充分統(tǒng)計量.33. 設(shè)是獨立同分布隨機變量,都服從具參數(shù)為的普哇松分布,則是關(guān)于的充分統(tǒng)計量. 證:

4、 由于的聯(lián)合密度是 取, , 則由因子分解定理知 : 是充分統(tǒng)計量.第三章：假設(shè)檢驗 1設(shè)取自正態(tài)母體其中為未知參數(shù),為子樣均值，對檢驗問題取檢驗的拒絕域:,試決定常數(shù)c使檢驗的顯著性水平為0.05.解:因為所以 在成立下, 所以 C=1.176.2設(shè)子樣取自正態(tài)母體已知，對檢驗假設(shè)的問題，取臨界域.（i）求此檢驗犯第一類錯誤的概率,犯第二類錯誤的概率,并討論它們之間的關(guān)系.（ii）設(shè),求時不犯第二類錯誤的概率. 解: (i).在成立下, ,其中是N（0，1）分布的分位點。在H1成立下, =當增加時，減少，從而減少；反之當減少時，將導致增加。（ii）不犯第二類錯誤的概率為1-。=4，設(shè)某產(chǎn)品指

5、標服從正態(tài)分布，它的根方差已知為150小時，今由一批產(chǎn)品中隨機地抽查了26個，測得指標的平均值為1637小時，問在5%的顯著性水平下，能否認為這批產(chǎn)品的指標為1600小時？解：母體， 對假設(shè)采用U檢驗法，在H0為真下，檢驗統(tǒng)計量觀察值為時臨界值。 由于， 所以接受，即不能否定這批產(chǎn)品指標為1600小時5某電器零件的平均電阻一直保持在2.64均方差保持在0.06.改變加工工藝后測的100個零件,其平均電阻為2.62,均方差不變.問新工藝對此零件的電阻有無顯著差異?取顯著性水平 。解：設(shè)改變工藝后，電器零件電阻為隨機變量，則未知，。 檢驗假設(shè)。 從母體中取了容量為100子樣，近似服從正態(tài)分布，即：

6、。因而對假設(shè)可采用u檢驗計算檢驗統(tǒng)計量觀察值， 。 由于。所以拒絕原假設(shè)即改革工藝后零件的電阻一有顯著差異。6. 有一種新安眠劑,據(jù)說在一定劑量下能比某種就舊安眠劑平均增加睡眠時間3小時,根據(jù)資料用某種舊安眠劑時平均睡眠時間為20.8小時,均方差為1.8小時,為了檢驗新安眠劑的這種說法是否正確,收集到一種使用新安眠劑的睡眠時間(以小時為單位)為: 26.7, 22.0, 24.1, 21.0, 27.2, 25.0, 23.4試問這組數(shù)據(jù)能否說明新安眠劑已達到新的療效? ( ) 解：設(shè)新安眠劑療效為隨機變量，則未知，。 檢驗假設(shè)， 從母體中取了容量為7子樣，近似服從正態(tài)分布，即：。因而對假設(shè)可

7、采用u檢驗計算檢驗統(tǒng)計量觀察值， 。 由于。所以接收原假設(shè)，即新安眠劑未達到新的療效。15設(shè) X1,X2,- ,Xn為取自總體X 的簡單隨機樣本，其中0為已知常數(shù)，選擇統(tǒng)計量U = ，求的1-的置信區(qū)間。解：由于U = 服從(n)， 于是故 的1-的置信區(qū)間 。16在某校的一個班體檢記錄中，隨意抄錄 25 名男生的身高數(shù)據(jù)，測得平均高為170厘米，（修正）標準差為12厘米，試求該班男生的平均身高和身高標準差的 0 .95置信區(qū)間（假設(shè)身高近似服從正態(tài)分布）。解：由題設(shè) 身高XN（），n=25，。（1） 先求的置信區(qū)間（未知）取故置信區(qū)間為：(170)=(170-4.94, 170+4.94)=

8、(165.06, 174.94) (2). 的置信區(qū)間（未知）取故的0.95置信區(qū)間為 的0.95置信區(qū)間為 .14在測量反應時間中，一心理學家估計的標準差為 0.05 秒，為了以 95% 的置信度使他對平均反應時間的估計誤差不超過0.01秒，應取多大的樣本容量n?解：以X表示反應時間，則為平均反應時間，由條件知，樣本標準差S=0.05, 用樣本均值估計 當n充分大時，統(tǒng)計量近似服從標準正態(tài)分布N（0，1），根據(jù)條件，要求樣本容量滿足. 即即應取樣本容量n為96或97。8在某年級學生中抽測9名跳遠年成績，得樣本均值= 4.38 m . 假設(shè)跳遠績X服從正態(tài)分布，且= 03, 問是否可認為該年級

9、學生跳遠平均成績?yōu)? 4.40 m ( = 0.10).解：(1) (2) 選統(tǒng)計量 （3）查標準正態(tài)分布表，得出臨界值拒絕域(4)算得,顯然0.2不在拒絕域內(nèi)，因此H0被接收，即可認為該年級學生跳遠平均成績?yōu)?.40米。9設(shè)某次考試的考生成績服從正態(tài)分布，從中隨機地抽取 36位考生的成績，算得平均成績?yōu)?6.5分，標準差 Sn*為15分，問在顯著水平0.05下，是否可認為這次考試全體考生的平均成績?yōu)?70 分？并給出檢驗過程。解：（1）待檢假設(shè)備擇假設(shè) （2）在H0成立條件下選擇統(tǒng)計量 （3）在顯著性水平0.05下，查t分布表，找出臨界值 拒絕域 （4）計算，故接受H0,，因此可以認為這次考

10、試全體考生的平均成績?yōu)?0分。11某廠生產(chǎn)的電子儀表的壽命服從正態(tài)分布，其標準差為= 1.6, 改進新工藝后，從新的產(chǎn)品抽出9件，測得平均壽命= 52.8, S*n2 = 1.19 ，問用新工藝后儀表的壽命方差是否發(fā)生了變化？（取顯著性水平 = 0.05）解：（?。┐龣z假設(shè)，備擇假設(shè) （2）選取統(tǒng)計量 （3）查分布表，找出臨界值 拒絕域為（4）計算，接受H0，即改進工藝后儀表壽命的方差沒有顯著變化。12電工器材廠生產(chǎn)一批保險絲，抽取10根試驗其熔斷時間，結(jié)果為 ： 42, 65, 75, 78, 71, 59, 57, 68, 54, 55. 問是否可認為整批保險絲的熔斷時間的方差不大于 80

11、 ？（熔斷時間服從正態(tài)分布，顯著性水平 = 0.05）.解：（1）待檢假設(shè)備擇假設(shè) （2）選取統(tǒng)計量 （3）由查分布表 (4)。故接受假設(shè)H0，即在下，可認為整批保險絲的熔斷時間的方差不大于80.10某校從經(jīng)常參加體育鍛煉的男生中隨機地選出50名,測得平均身高174.34 厘米從不經(jīng)常參加體育鍛煉的男生中隨機地選50名，測得平均身高172.42 厘米，統(tǒng)計資料表明兩種男生的身高都服從正態(tài)分布，其標準差分別為5.35和6.11厘米，問該校經(jīng)常參加鍛煉的男生是否比不常參加體育鍛煉的男生平均身高高些？ 解： X, Y分別表常鍛煉和不常鍛煉男生的身高，由題設(shè)(1) 待檢假設(shè)，備擇假設(shè)(2) 選取統(tǒng)計量

12、(3) 對于 查正態(tài)分布表，(4) 計算故否定假設(shè)即表明經(jīng)常體育鍛煉的男生平均身高比不經(jīng)常體育鍛煉的男生平均身高高些。7.14 假設(shè)六個整數(shù)1，2，3，4，5，6被隨機地選擇，重復60次獨立實驗中出現(xiàn)1，2，3，4，5，6的次數(shù)分別為13，19，11，8，5，4。問在5%的顯著性水平下是否可以認為下列假設(shè)成立：。解：用擬合優(yōu)度檢驗，如果成立列表計算的觀察值：組數(shù)i頻數(shù)123456131911854101010101010391-2-5-60.98.10.10.42.53.6， =11.07由于，所以拒絕。即等概率的假設(shè)不成立。7.15 對某型號電纜進行耐壓測試實驗，記錄43根電纜的最低擊穿電壓

13、，數(shù)據(jù)列表如下：測試電壓 3.8 3.9 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8擊穿頻數(shù) 1 1 1 2 7 8 8 4 6 4 1試對電纜耐壓數(shù)據(jù)作分析檢驗（用概率圖紙法和擬合優(yōu)度檢驗）。解：用正態(tài)概率紙檢驗出數(shù)據(jù)基本上服從正態(tài)分布，下面擬合優(yōu)度檢驗假設(shè)其中為和的極大似然估計，其觀察值所以要檢驗的假設(shè)分組列表計算統(tǒng)計量的觀察值。組 距 頻數(shù)標準化區(qū)間 4.14.1 4.24.2 4.34.3 4.54.5 4.64.6 5781265 -1.25-1.25 -0.79-0.79 -0.34-0.34 0.570.57 1.030.31 0.10560.1087

14、0.15260.34880.13280.15154.54084.67416.561814.99845.71046.51450.04641.15740.21520.59940.01470.3521用查表由于，所以不能否定正態(tài)分布的假設(shè)。7.16 用手槍對100個靶各打10發(fā)，只記錄命中或不命中，射擊結(jié)果列表如下 命中數(shù)：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 頻 數(shù)： 0 2 4 10 22 26 18 12 4 2 0在顯著水平下用擬合優(yōu)度檢驗法檢驗射擊結(jié)果所服從的分布。解 對每一靶打一發(fā)，只記錄命中或不命中可用二點分布描述，而對一個靶打十發(fā)，其射擊結(jié)果可用二項分布來描述，其中未知，可求

15、其極大似然估計為設(shè)是十發(fā)射擊中射中靶的個數(shù)，建立假設(shè)用擬合優(yōu)度檢驗法列表如下：01234567891002410222618124200.0009770.0097650.0439450.1171880.2052120.2460940.2052120.1171880.0439450.0097650.0009770.0980.9764.39511.71920.52124.60920.52111.7194.3950.9760.0980.0981.0740.0360.2520.1070.0790.3100.0070.0361.0740.098取 ，=由于，所以接受。7.17 在某細紗機上進行斷頭率測定

16、，試驗錠子總數(shù)為440，測得斷頭總次數(shù)為292次只錠子的斷頭次數(shù)紀律于下表。問每只錠子的紡紗條件是否相同？每錠斷頭數(shù) 0 1 2 3 4 5 6 7 9錠數(shù)（實測） 263 112 38 19 3 1 1 0 3 解：如果各個錠子的紡紗條件元差異，則所有錠子斷頭次數(shù)服從同一個普哇松分布，所以問題是要檢驗每只錠子的斷頭數(shù)。其中未知，求其極大似然估計為，建立假設(shè)，由擬合優(yōu)度檢驗。列表斷頭數(shù)1234501234-8268112381980.51690.34110.11260.02470.0047227.41150.0949.5310.8972.0685.5689.6682.6846.02617.01

17、6取，=，取 ，=由于，所以拒絕。即認為每只錠子紡紗條件不相同。 第四、五章：線性回歸與方差分析1. 若一元線性回歸的模型為:試求參數(shù)的最小二乘估計，其中不全相同。 解：由最小二乘法知要最小化函數(shù) 得正規(guī)方程組為:解之得參數(shù)的最小二乘估計為：2. 設(shè)有四個物體A、B、C、D，其重量分別為、，四次在天平上秤重得： y1=+； y2=+-+; Y3=-+-+; y4=-+.其中、分別表示秤重時發(fā)生的隨機誤差。求、最小二乘估計。 解： Y=.3.為研究三種不同教材的質(zhì)量，抽取三個實驗班分別使用其中一種教材，而對其他因素加以控制，現(xiàn)每班隨機抽取五人，測得平均分為71，75，70，求得總偏差平方和SST=192，試分析三種教材質(zhì)量有沒有顯著性差異。（已知F0.05（2，12）=3.88）.解：（1） 。