第四章根軌跡

1、第四章 線性系統(tǒng)的根軌跡分析 自動(dòng)控制理論的宗旨: 分析穩(wěn)定性動(dòng)特性靜特性問(wèn)題的提出：分析系統(tǒng)特性-需要知道閉環(huán)極點(diǎn)（即特征方程根）的位置-高次方程直接求解的困難 根軌跡與系統(tǒng)特性的關(guān)系: 由于微分方程求解比較困難,通過(guò)根軌跡的分析間接把握系統(tǒng)特性:分析穩(wěn)定性動(dòng)特性 分析方法:開(kāi)環(huán)時(shí)的根一般多為已知，但閉環(huán)后要想分離出每個(gè)根就必須求解一元高次方程。由開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)的位置大致繪制出閉環(huán)后當(dāng)參數(shù)變化(如放大系數(shù)K)時(shí),閉環(huán)極點(diǎn)的變化.間接求解了高次方程. 舉例說(shuō)明：假設(shè)由3個(gè)慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)后引入閉環(huán)反饋，組成閉環(huán)系統(tǒng)。此時(shí)系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)不穩(wěn)定，即有閉環(huán)特征根存在于s的右半平面。第一節(jié) 根軌跡的基本概念 從開(kāi)

2、環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn)的位置分析閉環(huán)極點(diǎn)的位置(因?yàn)殚]環(huán)極點(diǎn)的位置直接決定了系統(tǒng)特性) 相角的0方向：以實(shí)部正方向?yàn)榛鶞?zhǔn)； 說(shuō)明幅值條件和相角條件的幾何意義。令開(kāi)環(huán)增益從變化到，用解析方法求不同所對(duì)應(yīng)的特征根的值，將這些值標(biāo)在平面上，并連成光滑的粗實(shí)線，這就是該系統(tǒng)的根軌跡。箭頭表示隨著值的增加，根軌跡的變化趨勢(shì)。從系統(tǒng)的根軌跡圖，可以獲得下述信息:.穩(wěn)定性：因?yàn)楦壽E全部位于左半平面，故閉環(huán)系統(tǒng)對(duì)所有的值都是穩(wěn)定的。.穩(wěn)態(tài)性能：因?yàn)殚_(kāi)環(huán)傳函有一個(gè)位于坐標(biāo)原點(diǎn)的極點(diǎn)，所以是I型系統(tǒng)，階躍作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為0。K=0.25K=0K=0KK-1j設(shè)有開(kāi)環(huán)傳函：G（s）= K s(s+1)當(dāng)K=0時(shí)，S1=0

3、，S2=-1當(dāng)K變化時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)隨之而變，動(dòng)靜態(tài)和穩(wěn)定性隨之而變（）當(dāng)m，所以根軌跡從n個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)處起始，到m個(gè)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)處終止，剩下的nm條根軌跡將趨于無(wú)窮遠(yuǎn)處。舉例如題，起點(diǎn)：，無(wú)零點(diǎn)，n=，m=0，nm=2，有兩條根軌跡) 1()(SSKSGK=0.25K=0K=0KK-1j繪制根軌跡的基本規(guī)則規(guī)則三當(dāng)實(shí)軸上右側(cè)的規(guī)則三當(dāng)實(shí)軸上右側(cè)的零極點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)時(shí)存在根零極點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)時(shí)存在根軌跡軌跡設(shè)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)分布如圖所示。為在實(shí)軸上確定屬于根軌跡的線段，首先在 和 之間任選一個(gè)試驗(yàn)點(diǎn) 。3p1z1s繪制根軌跡的基本規(guī)則共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)到的幅角之和為，相互抵消，因此開(kāi)環(huán)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)、零點(diǎn)對(duì)實(shí)軸上根軌跡

4、的位置沒(méi)有影響，僅取決于實(shí)軸上的開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)。若實(shí)軸上的某一段是根軌跡，一定滿足相角條件。試驗(yàn)點(diǎn)左側(cè)的開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)提供的相角為,而右側(cè)的相角為180。S1點(diǎn)滿足相角條件，所以z1p3 之間是根軌跡。1s-2-4繪制根軌跡的基本規(guī)則例-2-1：)4)(2()3)(1()(1SSSSSKSG（單位反饋）有三個(gè)極點(diǎn)，根軌跡有三條分支jn=3,m=2有條根軌跡，條終止于開(kāi)環(huán)零點(diǎn)。在實(shí)軸上不同段上取試驗(yàn)點(diǎn)oo-3-1繪制根軌跡的基本規(guī)則規(guī)則四根軌跡的漸近線相角規(guī)則四根軌跡的漸近線相角根軌跡中（nm）條趨向無(wú)窮遠(yuǎn)處的分支的漸近線的傾角為mnqa180) 12(, 2 , 1q，（n-m-1)當(dāng)時(shí)，求得的漸

5、近線傾角最小，0qq繪制根軌跡的基本規(guī)則mnzpnimjjia11漸近線的交點(diǎn)總在實(shí)軸上，即 必為實(shí)數(shù)在計(jì)算時(shí)，考慮到共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)、零點(diǎn)的虛部總是相互抵消，只須把開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)的實(shí)部代入即可a規(guī)則五根軌跡的漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)規(guī)則五根軌跡的漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)實(shí)際漸進(jìn)線分析 1階:實(shí)軸上一條線,-180 2階:垂直于實(shí)軸, 90 ,上下個(gè)一條 3階: 60 ,-180,三條 4階:45 :135 ,四條繪制根軌跡的基本規(guī)則六六.分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)兩條根軌跡分支在平面上某一點(diǎn)相遇，然后又立即分開(kāi)的點(diǎn)，稱根軌跡的分離點(diǎn)（或會(huì)合點(diǎn)）。它對(duì)應(yīng)于特征方程中的二重根（如例，實(shí)軸上的根軌跡要從某一點(diǎn)分開(kāi)，然

6、后沿漸近線方向趨向無(wú)窮遠(yuǎn)處，把分離點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的1值代入特征方程，應(yīng)求得二重根）。根軌跡關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)必然是實(shí)數(shù)或共軛復(fù)數(shù)常見(jiàn)的分離點(diǎn)或或會(huì)合點(diǎn)位于實(shí)軸上。求方程式的根，可以確定分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)。注意: 可能有虛根,根有無(wú)意義要分析判斷.01dsdK繪制根軌跡的基本規(guī)則例-2-2系統(tǒng)的特征方程為或0) 2)(1(1)(11sssKsG)2)(1(1sssK0)263(21ssdsdK上式的根577. 1,423. 06243662, 1s因?yàn)榉蛛x點(diǎn)在至之間，故為分離點(diǎn)的坐標(biāo)，而舍棄423. 01s577. 12s用幅值條件確定分離點(diǎn)的增益：385.0577.1577.0423.0210

7、1sssk牛頓-拉夫遜法求根簡(jiǎn)介 Xk+1=Xk- f（Xk）/ f （Xk）繪制根軌跡的基本規(guī)則七七.根軌跡與虛軸的交點(diǎn)根軌跡與虛軸的交點(diǎn)當(dāng)增加到一定數(shù)值時(shí)，根軌跡可能穿過(guò)虛軸，進(jìn)入右半平面，這表示將出現(xiàn)實(shí)部為正的特征根，系統(tǒng)將不穩(wěn)定。必須確定根軌跡與虛軸的焦點(diǎn)，并計(jì)算對(duì)應(yīng)的使系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)的開(kāi)環(huán)增益。在根軌跡與虛軸的交點(diǎn)處，在系統(tǒng)中出現(xiàn)虛根。因此可以根據(jù)這一特點(diǎn)確定根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。可以用 代入特征方程求解，或者利用勞斯判據(jù)確定。1K1Kjs 繪制根軌跡的基本規(guī)則續(xù)例，將代入特征方程。js 0230)23(0)2)(1(123121KjjKjjKjjj當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)共軛虛根，此時(shí)系

8、統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。2j61K實(shí)部虛部63,2020321321KK在確定根軌跡與虛軸的交點(diǎn)，求出分離點(diǎn)，并做出漸近線以后，根軌跡的大概趨勢(shì)知道了，為了能較精確的畫(huà)出根軌跡，需在分離點(diǎn)附近取幾個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)，使其滿足相角條件。然后連成光滑曲線，最后逐漸靠近漸近線。繪制根軌跡的基本規(guī)則繪制根軌跡的基本規(guī)則八八.根軌跡的出射角和入射角根軌跡的出射角和入射角當(dāng)系統(tǒng)存在共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)（或零點(diǎn)）時(shí)，為了準(zhǔn)確地做出根軌跡的起始段（或終止段），必須確定根軌跡的出射角（或入射角）根軌跡離開(kāi)開(kāi)環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)的切線方向與實(shí)軸正方向的夾角稱為出射角出射角表示根軌跡從復(fù)數(shù)極點(diǎn)出發(fā)時(shí)的走向 180p開(kāi)環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)處，根軌跡的入射角為

9、 180z式中pz即為其它開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)對(duì)出射點(diǎn)或入射點(diǎn)提供的相角開(kāi)環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)處，根軌跡的出射角為繪制根軌跡的基本規(guī)則求從出發(fā)根軌跡的出射角。5p45)904070130(105180)(18043215ppppzp用量角器量后，得，在圖上標(biāo)出。的出射角和對(duì)稱。5p5p4p5p 例題4-2-4:p126 例題4-2-5:p127 例題4-2-7:p129 例題4-2-6:p128反饋控制系統(tǒng)的根軌跡分析漸近線的相角和交點(diǎn)為25.14113315,225,135,454180)12(aaq求根軌跡的分離點(diǎn)0) 5 . 1475. 3(4)685()22)(3(0)22)(3(2312342112S

10、SSdsdKSSSSSSSSKKSSSS系統(tǒng)的特征方程反饋控制系統(tǒng)的根軌跡分析上式的根為，。只有是實(shí)際分離點(diǎn)。3 . 2S對(duì)應(yīng)分離點(diǎn)的 值可按幅值條件確定1K11ipSK33.464.164.17.03.2111133.21sjsjsssK求根軌跡在 的出射角3p6 .431)6 .2690135(180p），為減去6 .71360(365. 0725. 0jS3 . 2S反饋控制系統(tǒng)的根軌跡分析求根軌跡與虛軸的交點(diǎn)此處利用勞斯判據(jù)，由特征方程06851234Kssss4s3s2s1s0s5341K534552041K1K列勞斯表反饋控制系統(tǒng)的根軌跡分析令，得0534552041K16. 81

11、K根據(jù)行的系數(shù)寫(xiě)出輔助方程2S0)534(12 KS將代入，得16. 8,1kjs1 . 1.作根軌跡圖在分離點(diǎn)附近取n個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)，知分離角為90,在 附近取n個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)3p反饋控制系統(tǒng)的根軌跡分析確定閉環(huán)極點(diǎn).在上例中給定一對(duì)主導(dǎo)極點(diǎn)的阻尼比5 . 01.畫(huà)出線60arccos6012或arctg反饋控制系統(tǒng)的根軌跡分析線的根軌跡交點(diǎn)的坐標(biāo)就是時(shí)，系統(tǒng)的一對(duì)閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)5 . 0主導(dǎo)極點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的值用幅值條件求1K91.268.074.286.184.01K用試探法可找到另兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn);也可以用綜合除法85. 24 . 121ss和當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)的閉環(huán)傳函為91. 21K)85. 2)(4 . 1)(

12、7 . 04 . 0)(7 . 04 . 0(91. 2)()(ssjsjsSRsC反饋控制系統(tǒng)的根軌跡分析根軌跡法分析系統(tǒng)的一般步驟：根軌跡法分析系統(tǒng)的一般步驟：繪制系統(tǒng)的根軌跡圖；分析根軌跡圖，估計(jì)系統(tǒng)增益 對(duì)閉環(huán)零、極點(diǎn)分布的影響；根據(jù)閉環(huán)零、極點(diǎn)的分布估算系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)指標(biāo)；對(duì)高階系統(tǒng)要盡可能準(zhǔn)確地找出它的閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)。1K常見(jiàn)的根軌跡 P131考研題舉例 中科院2007，四,海欣P277第三節(jié) 廣義根軌跡根軌跡方法的靈活應(yīng)用: 參數(shù)根軌跡 多回路根軌跡 正反饋的根軌跡廣義根軌跡分析一。參數(shù)根軌跡有時(shí)需要分析某個(gè)參數(shù)對(duì)根軌跡的影響（不一定是K），思路：將該參數(shù)化為顯式形式（即K的位置）舉

13、例：P133 例4-3-1討論:a變化對(duì)根軌跡的影響,P135圖4-3-2說(shuō)明零點(diǎn)(微分)對(duì)改變系統(tǒng)性能的作用 P136 例4-3-2說(shuō)明:由a的顯式特征方程(P135下),可以先繪制K1的內(nèi)環(huán)根軌跡例：王彤P253二例-3-3已知系統(tǒng)框圖，繪制以a為參數(shù)的根軌跡.二、多回路根軌跡解決問(wèn)題的思路：由內(nèi)向外依次解決反饋控制系統(tǒng)的根軌跡分析解：（1）系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)SSSSG)1(1)(特征方程0)(1SG012sss（2）以為參變量，特征方程可寫(xiě)為0112sss即1)(2SSSSG繪制的根軌跡)(SG反饋控制系統(tǒng)的根軌跡分析（3）開(kāi)環(huán)極點(diǎn) 閉環(huán)極點(diǎn)023212,1zjp（4）實(shí)軸上的根軌跡（5

14、）漸近線傾角（6）會(huì)合點(diǎn) 求 ，得 為實(shí)際會(huì)合點(diǎn)，該點(diǎn)（7）出射角0,( 180a0dsd11s1, 121ss1150)90120(180p 例4-3-4 從內(nèi)環(huán)向外環(huán)依次解決 例4-3-5三、正反饋的根軌跡 特征：恰與負(fù)反饋根詭計(jì)互補(bǔ) 基本規(guī)則：G（s）H（s）= 1幅值條件：G（s）H（s）= 1 ；與負(fù)反饋相同相角條件：G（s）H（s）= 360 ；與負(fù)反饋不同由此可以導(dǎo)出類似的8條規(guī)則 例4-3-6 例4-3-7 例4-3-8:說(shuō)明正反饋極易造成系統(tǒng)不穩(wěn)定,而通過(guò)負(fù)反饋有可能將不穩(wěn)定的系統(tǒng)變?yōu)榉€(wěn)定.第4節(jié) 滯后系統(tǒng)根軌跡1. 滯后系統(tǒng)：概念，實(shí)際中的例子2. 數(shù)學(xué)模型：e-s3. 基本方法：化為近似代數(shù)式；或直接作圖(不要求)例:4-4