ch3軸向拉壓變形(3rd)

1、第三章 軸向拉壓變形3-2 一外徑D=60mm、內(nèi)徑d=20mm的空心圓截面桿，桿長l = 400mm，兩端承受軸向拉力F = 200kN作用。若彈性模量E = 80GPa，泊松比=0.30。試計算該桿外徑的改變量DD及體積改變量DV。解：1. 計算DD由于故有2.計算DV變形后該桿的體積為故有3-4 圖示螺栓，擰緊時產(chǎn)生=0.10mm的軸向變形。已知：d1 = 8.0mm，d2 = 6.8mm，d3 = 7.0mm；l1=6.0mm，l2=29mm，l3=8mm；E = 210GPa，=500MPa。試求預緊力F，并校核螺栓的強度。題3-4圖解：1.求預緊力各段軸力數(shù)值上均等于，因此，由此得

2、2.校核螺栓的強度此值雖然超過，但超過的百分數(shù)僅為2.6，在5以內(nèi)，故仍符合強度要求。3-5 圖示桁架，在節(jié)點A處承受載荷F作用。從試驗中測得桿1與桿2的縱向正應(yīng)變分別為e1= 4.010-4與e2= 2.010-4。已知桿1與桿2的橫截面面積A1= A2=200mm2，彈性模量E1= E2=200GPa。試確定載荷F及其方位角之值。題3-5圖解：1.求各桿軸力2.確定及之值由節(jié)點的平衡方程和得化簡后，成為(a)及(b)聯(lián)立求解方程(a)與(b)，得由此得3-6圖示變寬度平板，承受軸向載荷F作用。已知板的厚度為d，長度為l，左、右端的寬度分別為b1與b2，彈性模量為E。試計算板的軸向變形。題3

3、-6圖解：對于常軸力變截面的拉壓平板，其軸向變形的一般公式為(a)由圖可知，若自左向右取坐標，則該截面的寬度為代入式(a)，于是得3-7 圖示桿件，長為l，橫截面面積為A，材料密度為，彈性模量為E，試求自重下桿端截面B的位移。題3-7圖解：自截面B向上取坐標，處的軸力為該處微段dy的軸向變形為于是得截面B的位移為 3-8 圖示為打入土中的混凝土地樁，頂端承受載荷F，并由作用于地樁的摩擦力所支持。設(shè)沿地樁單位長度的摩擦力為f，且f = ky2，式中，k為常數(shù)。已知地樁的橫截面面積為A，彈性模量為E，埋入土中的長度為l。試求地樁的縮短量。題3-8圖解：1. 軸力分析摩擦力的合力為根據(jù)地樁的軸向平衡

4、，由此得（a）截面處的軸力為2. 地樁縮短量計算截面y處微段dy的縮短量為積分得將式(a)代入上式，于是得3-9 圖示剛性橫梁AB，由鋼絲繩并經(jīng)無摩擦滑輪所支持。設(shè)鋼絲繩的軸向剛度（即產(chǎn)生單位軸向變形所需之力）為k，試求當載荷F作用時端點B的鉛垂位移。題3-9圖解：載荷作用后，剛性梁傾斜 (見圖3-9)。設(shè)鋼絲繩中的軸力為，其總伸長為。圖3-9以剛性梁為研究對象，由平衡方程得由此得由圖3-9可以看出，可見，(b)根據(jù)的定義，有于是得 3-10 圖示各桁架，各桿各截面的拉壓剛度均為EA，試計算節(jié)點A的水平與鉛垂位移。題3-10圖（a）解：利用截面法，求得各桿的軸力分別為于是得各桿的變形分別為如圖

5、3-10(1)所示，根據(jù)變形Dl1與Dl4確定節(jié)點B的新位置B,然后，過該點作長為l+Dl2的垂線，并過其下端點作水平直線，與過A點的鉛垂線相交于A,此即結(jié)構(gòu)變形后節(jié)點A的新位置。于是可以看出，節(jié)點A的水平與鉛垂位移分別為圖3-10（b）解：顯然，桿1與桿2的軸力分別為于是由圖3-10(2)可以看出，節(jié)點A的水平與鉛垂位移分別為3-11 圖示桁架ABC，在節(jié)點B承受集中載荷F作用。桿1與桿2的彈性模量均為E，橫截面面積分別為A1=320mm2與A2 =2 580mm2。試問在節(jié)點B和C的位置保持不變的條件下，為使節(jié)點B的鉛垂位移最小，應(yīng)取何值（即確定節(jié)點A的最佳位置）。題3-11圖解：1.求各

6、桿軸力由圖3-11a得圖3-112.求變形和位移由圖3-11b得及3.求的最佳值由，得由此得將的已知數(shù)據(jù)代入并化簡，得解此三次方程，舍去增根，得由此得的最佳值為3-12 圖示桁架，承受載荷F作用。設(shè)各桿的長度為l，橫截面面積均為A，材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為sn=Be，其中n與B為由試驗測定的已知常數(shù)。試求節(jié)點C的鉛垂位移。題3-12圖解：兩桿的軸力均為軸向變形則均為于是得節(jié)點C的鉛垂位移為3-13 圖示結(jié)構(gòu)，梁BD為剛體，桿1、桿2與桿3的橫截面面積與材料均相同。在梁的中點C承受集中載荷F作用。已知載荷F = 20kN，各桿的橫截面面積均為A=100mm2，彈性模量E = 200GPa，梁長l =

7、 1 000mm。試計算該點的水平與鉛垂位移。題3-13圖解：1.求各桿軸力由，得由，得2求各桿變形3求中點的位移由圖3-13易知，圖3-133-14 圖a所示桁架，承受載荷F作用。設(shè)各桿各截面的拉壓剛度均為EA，試求節(jié)點B與C間的相對位移DB/C。題3-14圖解：1. 內(nèi)力與變形分析利用截面法，求得各桿的軸力分別為于是得各桿的變形分別為 2. 位移分析如圖b所示，過點d與g分別作桿2與桿3的平行線，并分別與節(jié)點C的鉛垂線相交于點e與h，然后，在de與gh延長線取線段Dl3與Dl2，并在其端點m與n分別作垂線，得交點C，即為節(jié)點C的新位置?？梢钥闯?，3-15 如圖所示桁架，設(shè)各桿各截面的拉壓剛

8、度均為EA，試用能量法求載荷作用點沿載荷作用方向的位移。題3-15圖 (a)解：各桿編號如圖3-15a所示，各桿軸力依次為該桁架的應(yīng)變能為圖3-15依據(jù)能量守恒定律，最后得 (b)解：各桿編號示圖b所示列表計算如下：1200345于是，依據(jù)能量守恒定律，可得3-16 圖示桁架，承受載荷F作用。設(shè)各桿各截面的拉壓剛度均為EA，試用能量法求節(jié)點B與C間的相對位移DB/C。題3-16圖解：依據(jù)題意，列表計算如下：12345由表中結(jié)果可得依據(jù)得 3-17 圖示變寬度平板，承受軸向載荷F作用。已知板的厚度為d，長度為l，左、右端的寬度分別為b1與b2，彈性模量為E，試用能量法計算板的軸向變形。題3-17

9、圖解：對于變截面拉壓板件，應(yīng)變能的表達式為(a)由圖可知，若自左向右取坐標，則該截面的寬度為將上式代入式（a）,并考慮到,于是得設(shè)板的軸向變形為Dl，則根據(jù)能量守恒定律可知，或由此得3-19 圖示各桿，承受集中載荷F或均布載荷q作用。各桿各截面的的拉壓剛度均為EA，試求支反力與最大軸力。題3-19圖 (a)解：桿的受力如圖3-19a(1)所示，平衡方程為一個平衡方程，兩個未知支反力，故為一度靜不定。圖3-19aAC，CD與DB段的軸力分別為由于桿的總長不變，故補充方程為得由此得桿的軸力圖如圖3-19a(2)所示，最大軸力為 (b)解：桿的受力如圖3-19b(1)所示，平衡方程為一個平衡方程，兩

10、個未知支反力，故為一度靜不定。圖3-19bAC與CB段的軸力分別為由于桿的總長不變，故補充方程為得由此得桿的軸力圖如圖3-19b(2)所示，最大軸力為3-20圖示結(jié)構(gòu)，桿1與桿2的橫截面面積相同，彈性模量均為E，梁BC為剛體，載荷F=20kN，許用拉應(yīng)力st=160MPa, 許用壓應(yīng)力sc=110MPa，試確定各桿的橫截面面積。題3-20圖解：容易看出，在載荷F作用下，桿2伸長，桿1縮短，且軸向變形相同，故FN2為拉力，F(xiàn)N1為壓力，且大小相同，即以剛性梁BC為研究對象，鉸支點為矩心，由平衡方程由上述二方程，解得根據(jù)強度條件， 取3-21 圖示桁架，承受鉛垂載荷F作用。設(shè)各桿各截面的拉壓剛度相

11、同，試求各桿軸力。題3-21圖 (a)解：此為一度靜不定桁架。設(shè)以壓為正，其余各段軸力以拉力為正。先取桿為研究對象，由，得(a)后取節(jié)點為研究對象，由和依次得到(b)及(c)在節(jié)點處有變形協(xié)調(diào)關(guān)系（節(jié)點鉛垂向下）(d)物理關(guān)系為(e)將式(e)代入式(d)，化簡后得聯(lián)解方程和，得（拉）， （壓）， （拉）(b)解：此為一度靜不定問題。考慮小輪的平衡，由，得由此得在作用下，小輪沿剛性墻面向下有一微小位移，在小變形條件下，故有的水平分量由剛性墻面提供的約束反力來平衡。3-22 圖示桁架，桿1、桿2與桿3分別用鑄鐵、銅和鋼制成，許用應(yīng)力分別為=40MPa，=60MPa，=120MPa，彈性模量分別為

12、E1=160GPa，E2=100GPa，E3=200GPa。若載荷F=160kN，A1= A2= 2A3，試確定各桿的橫截面面積。題3-22圖解：此為一度靜不定結(jié)構(gòu)。節(jié)點處的受力圖和變形圖分別如圖3-22a和b所示。圖3-22由圖a可得平衡方程(a)(b)由圖b得變形協(xié)調(diào)方程為(c)根據(jù)胡克定律，有將式(d)代入式(c)，化簡后得補充方程為聯(lián)解方程(a)，(b)和(c)，并代入數(shù)據(jù)，得(壓)， （拉）， （拉）根據(jù)強度要求，計算各桿橫截面面積如下：根據(jù)題意要求，最后取 3-23圖a所示支架，由剛體ABC并經(jīng)由鉸鏈A、桿1與桿2固定在墻上，剛體在C點處承受鉛垂載荷F作用。桿1與桿2的長度、橫截面

13、面積與彈性模量均相同，分別為l=100 mm，A=100 mm2，E=200 GPa。設(shè)由千分表測得C點的鉛垂位移dy=0.075 mm，試確定載荷F與各桿軸力。題3-23圖解：1. 求解靜不定在載荷F作用下，剛體ABC將繞節(jié)點A沿順時針方向作微小轉(zhuǎn)動，剛體的位移、桿件的變形與受力如圖b所示。顯然，本問題具有一度靜不定。由平衡方程，得(a)由變形圖中可以看出，變形協(xié)調(diào)條件為(b)根據(jù)胡克定律，(c)將上述關(guān)系式代入式（b），得補充方程為聯(lián)立求解平衡方程（a）與上述補充方程，得(d) 2. 由位移dy確定載荷F與各桿軸力變形后，C點位移至C(CCAC)（圖b），且直線AC與AB具有相同的角位移q

14、，因此，C點的總位移為又由于由此得將式（c）與（d）的第一式代入上式，于是得并從而得3-24圖示鋼桿，橫截面面積A=2500mm2 ，彈性模量E=210GPa，軸向載荷F=200kN。試在下列兩種情況下確定桿端的支反力。(a) 間隙d=0.6 mm；(b) 間隙d=0.3 mm。題3-24圖 解：當桿右端不存在約束時，在載荷F作用下，桿右端截面的軸向位移為 當間隙d=0.6 mm時，由于，僅在桿C端存在支反力，其值則為 當間隙d=0.3 mm時，由于，桿兩端將存在支反力，桿的受力如圖3-24所示。圖3-24桿的平衡方程為補充方程為由此得而C端的支反力則為3-25 圖示兩端固定的等截面桿AB，桿

15、長為l。在非均勻加熱的條件下，距A端x處的溫度增量為，式中的為桿件B端的溫度增量。材料的彈性模量與線膨脹系數(shù)分別為E與。試求桿件橫截面上的應(yīng)力。題3-25圖解：1.求溫度增高引起的桿件伸長此為一度靜不定問題。假如將B端約束解除掉，則在處的桿微段就會因溫升而有一個微伸長全桿伸長為2求約束反力設(shè)固定端的約束反力為，桿件因作用而引起的縮短量為由變形協(xié)調(diào)條件可得3求桿件橫截面上的應(yīng)力3-26 圖示桁架，桿BC的實際長度比設(shè)計尺寸稍短，誤差為D。如使桿端B與節(jié)點G強制地連接在一起，試計算各桿的軸力。設(shè)各桿各截面的拉壓剛度均為EA。題3-26圖解：此為一度靜不定問題。自左向右、自上向下將各桿編號15。由強

16、制裝配容易判斷，桿13受拉，桿4和5受壓。裝配后節(jié)點和的受力圖分別如圖3-26a和b所示。圖3-26根據(jù)平衡條件，由圖a可得(a)由圖b可得(b)變形協(xié)調(diào)關(guān)系為(參看原題圖)(c)依據(jù)胡克定律，有 (d)將式(d)代入式(c)，得補充方程(e)聯(lián)立求解補充方程(e)、平衡方程(a)與(b)，最后得即 （拉） （壓）3-27圖a所示鋼螺栓，其外套一長度為l的套管。已知螺栓與套管的橫截面面積分別為Ab與At，彈性模量分別為Eb與Et，螺栓的螺距為p?，F(xiàn)將螺母旋緊1/5圈，試求螺栓與套管所受之力。螺帽與螺母的變形忽略不計。題3-27圖解：首先設(shè)想套管未套上，而將螺母由距螺帽l處旋轉(zhuǎn)1/5圈，即旋進d

17、=p/5的距離。然后，再將套管套上。由于螺帽與螺母間的距離小于套管的長度，故套合后的螺栓將受拉，而套管則受壓。設(shè)螺栓所受拉力為FNb，伸長為Dlb，套管所受壓力為FNt，縮短為Dlt，則由圖b與c可知，平衡方程為(a)而變形協(xié)調(diào)方程則為利用胡克定律，得補充方程為(b)最后，聯(lián)立求解平衡方程（a）與補充方程（b），得螺栓與套管所受之力即預緊力為式中，3-28 圖示組合桿，由直徑為30mm的鋼桿套以外徑為50mm、內(nèi)徑為30mm的銅管組成，二者由兩個直徑為10mm的鉚釘連接在一起。鉚接后，溫度升高40，試計算鉚釘剪切面上的切應(yīng)力。鋼與銅的彈性模量分別為Es = 200GPa與Ec=100GPa，線

18、膨脹系數(shù)分別為=12.510-6-1與=1610-6-1。題3-28圖解：設(shè)溫度升高時鋼桿和銅管自由伸長量分別為和，由于二者被鉚釘連在一起，變形要一致，即變形協(xié)調(diào)條件為或?qū)懗蛇@里，伸長量和縮短量均設(shè)為正值。引入物理關(guān)系，得將靜力平衡條件代入上式，得注意到每個鉚釘有兩個剪切面，故其切應(yīng)力為由此得3-29圖示結(jié)構(gòu)，桿1與桿2各截面的拉壓剛度均為EA，梁BD為剛體，試在下列兩種情況下，畫變形圖，建立補充方程。(1) 若桿2的實際尺寸比設(shè)計尺寸稍短，誤差為d；(2) 若桿1的溫度升高DT，材料的熱膨脹系數(shù)為al。題3-29圖(1)解：如圖3-29(1)a所示，當桿2未與剛性桿BD連接時，下端點位于，即。當桿2與剛性桿BD連接后，下端點鉛垂位移至，同時，桿1的下端點則鉛垂位移至。過作直線Ce垂直