兩角和與差的正弦余弦正切公式習(xí)題PPT教案

1、兩角和與差的正弦余弦正切公式習(xí)題兩角和與差的正弦余弦正切公式習(xí)題第1頁(yè)/共74頁(yè)第2頁(yè)/共74頁(yè)第3頁(yè)/共74頁(yè)第4頁(yè)/共74頁(yè) 二倍角公式中的二倍角公式中的sin2,cos2sin2,cos2能否用能否用tantan來(lái)表示？來(lái)表示？ 提示提示: :能能. . 2222sin cos2tansin22sin cossincos1tan ，22222222cossin1tancos2cossin.cossin1tan 第5頁(yè)/共74頁(yè)1.cos331.cos33cos87cos87+sin33+sin33cos177cos177的值為的值為( )( )(A) (B) (C) (D) (A) (B

2、) (C) (D) 【解析解析】選選B.cos33B.cos33cos87cos87+sin33+sin33cos177cos177=cos33=cos33sin3sin3-sin33-sin33cos3cos3=sin(3=sin(3-33-33)=-sin30)=-sin30= .= .1212323212第6頁(yè)/共74頁(yè)2.2.已知已知tan(+)=3,tan(-)=5,tan(+)=3,tan(-)=5,則則tan2=tan2=（ ）(A) (B) (C) (D)(A) (B) (C) (D)【解析解析】選選D.tan2=tanD.tan2=tan(+)+(-)(+)+(-)18184

3、747tan()tan()3584.1tan() tan1 3 5147 第7頁(yè)/共74頁(yè)3.3.如果如果coscos2 2-cos-cos2 2=a=a，則，則sin(+)sin(-)sin(+)sin(-)等于等于（ ）（A A） （B B） （C C）-a -a （D D）a a【解析解析】選選C.sin(+)sin(-)C.sin(+)sin(-)=(sincos+cossin)(sincos-cossin)=(sincos+cossin)(sincos-cossin)=sin=sin2 2coscos2 2-cos-cos2 2sinsin2 2=(1-cos=(1-cos2 2)c

4、os)cos2 2-cos-cos2 2(1-cos(1-cos2 2)=cos=cos2 2-cos-cos2 2=-a.=-a.a2a2第8頁(yè)/共74頁(yè)4.4.若若 則則2sin2sin2 2-cos-cos2 2=_.=_.【解析解析】由由 得，得，2+2tan=3-3tan,2+2tan=3-3tan,答案答案: :3tan()423tan()42，1tan3,1tan21tan.5 222222222sincos2tan12sincossincostan1 而212325.126125 2326第9頁(yè)/共74頁(yè)5.5.化簡(jiǎn)：化簡(jiǎn)： =_.=_.【解析解析】答案答案: :cos3sin

5、121213cos3sin2( cossin)12122122122(coscossinsin)3123122cos()2cos2.31242第10頁(yè)/共74頁(yè)1.1.兩角和與差的三角函數(shù)公式的理解兩角和與差的三角函數(shù)公式的理解(1)(1)正弦公式概括為正弦公式概括為“正余，余正符號(hào)同正余，余正符號(hào)同”“符號(hào)同符號(hào)同”指的是前面是兩角和，則后面中間為指的是前面是兩角和，則后面中間為“+”+”號(hào)；號(hào)；前面是兩角差，則后面中間為前面是兩角差，則后面中間為“-”-”號(hào)號(hào). .(2)(2)余弦公式概括為余弦公式概括為“余余，正正符號(hào)異余余，正正符號(hào)異”. .第11頁(yè)/共74頁(yè)(3)(3)二倍角公式實(shí)際

6、就是由兩角和公式中令二倍角公式實(shí)際就是由兩角和公式中令=可得可得. .特別地，對(duì)于余弦特別地，對(duì)于余弦:cos2=cos:cos2=cos2 2-sin-sin2 2=2cos=2cos2 2-1=1-1=1-2sin2sin2 2，這三個(gè)公式各有用處，同等重要，特別是逆用即，這三個(gè)公式各有用處，同等重要，特別是逆用即為為“降冪公式降冪公式”，在考題中常有體現(xiàn)，在考題中常有體現(xiàn). .2.2.弦切互化公式弦切互化公式對(duì)于弦切互化對(duì)于弦切互化 有時(shí)也起到有時(shí)也起到簡(jiǎn)化解題過(guò)程的作用簡(jiǎn)化解題過(guò)程的作用. . 22tansin21tan ，221tancos21tan 第12頁(yè)/共74頁(yè)第13頁(yè)/共7

7、4頁(yè) 三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)【例例1 1】化簡(jiǎn)下列各式：化簡(jiǎn)下列各式：(1)(1)【審題指導(dǎo)審題指導(dǎo)】對(duì)于含有根式的三角函數(shù)，化簡(jiǎn)一般采用倍角對(duì)于含有根式的三角函數(shù)，化簡(jiǎn)一般采用倍角公式轉(zhuǎn)化為完全平方式后開根號(hào)，若含有常數(shù)可采用倍角公公式轉(zhuǎn)化為完全平方式后開根號(hào)，若含有常數(shù)可采用倍角公式將常數(shù)化掉式將常數(shù)化掉. .1 sincos(sincos )22022cos ； 222cos82 1 sin8.第14頁(yè)/共74頁(yè)【自主解答自主解答】(1)(1)原式原式因?yàn)橐驗(yàn)?0，所以，所以所以所以所以原式所以原式=-cos.=-cos.2222(2sincos2cos)(sincos )22

8、2224cos2cos(sincos)coscos2222.coscos22022，cos0,2第15頁(yè)/共74頁(yè)=-2cos4+2(cos4-sin4)=-2sin4.=-2cos4+2(cos4-sin4)=-2sin4. 222cos82 1 sin82 1cos82 12sin4cos4222 2cos 42sin4cos4第16頁(yè)/共74頁(yè)【規(guī)律方法規(guī)律方法】三角函數(shù)的給角求值或化簡(jiǎn)，所給角往往是非三角函數(shù)的給角求值或化簡(jiǎn)，所給角往往是非特殊角特殊角. .解決的基本思路是：解決的基本思路是：第17頁(yè)/共74頁(yè)【變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練】化簡(jiǎn)：化簡(jiǎn)：【解析解析】原式原式42212cos x2c

9、os x2.2tan(x)sin (x)4442214cos x4cos x12sin(x)42cos (x)4cos(x)422222cos x1cos 2xcos 2x1cos2x.2cos2x24sin(x)cos(x)2sin(2x)442第18頁(yè)/共74頁(yè) 三角函數(shù)的求值三角函數(shù)的求值【例例2 2】(2011(2011東城模擬東城模擬) )已知已知-2cos+sin=0-2cos+sin=0，(, ).(, ).(1)(1)求求sin(+ );sin(+ );(2)(2)求求tan(+ ).tan(+ ).【審題指導(dǎo)審題指導(dǎo)】由已知結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系式可得由已知結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系

10、式可得sin,sin,cos,tan,cos,tan,從而再利用兩角和的公式可得（從而再利用兩角和的公式可得（1 1）（）（2 2）. .3244第19頁(yè)/共74頁(yè)【自主解答自主解答】(1)(1)由由-2cos+sin=0-2cos+sin=0即即sin=2cos.sin=2cos.又又sinsin2 2+cos+cos2 2=1=1得得 又又(, ),(, ),(2)(2)由（由（1 1）可得）可得tan=2tan=2，24sin.5 322 55sin,cos,55 sin()sin coscos sin4442(sincos )222 553 10().25510 1tan12tan()

11、3.41tan12 第20頁(yè)/共74頁(yè)【規(guī)律方法規(guī)律方法】三角函數(shù)的求值是三角變換中常見(jiàn)題型，它分三角函數(shù)的求值是三角變換中常見(jiàn)題型，它分為非條件求值（特殊的化簡(jiǎn)）和條件求值為非條件求值（特殊的化簡(jiǎn)）和條件求值. .條件求值中又有給值求值和給值求角，此類問(wèn)題的關(guān)鍵是把條件求值中又有給值求值和給值求角，此類問(wèn)題的關(guān)鍵是把待求角用已知角表示：待求角用已知角表示：(1)(1)已知角為兩個(gè)時(shí)，待求角一般表示為已知角的和與差已知角為兩個(gè)時(shí)，待求角一般表示為已知角的和與差. .(2)(2)已知角為一個(gè)時(shí)，待求角一般與已知角成已知角為一個(gè)時(shí)，待求角一般與已知角成“倍倍”的關(guān)系的關(guān)系或或“互余互補(bǔ)互余互補(bǔ)”關(guān)

12、系關(guān)系. .第21頁(yè)/共74頁(yè)(3)(3)對(duì)于角還可以進(jìn)行配湊，常見(jiàn)的配湊技巧有：對(duì)于角還可以進(jìn)行配湊，常見(jiàn)的配湊技巧有：= =(+)-=-(-) =(+)-=-(-)= = (+)+(-)(+)+(-)，對(duì)于給值求角，關(guān)鍵是求該角的某一個(gè)三角函數(shù)值，再根據(jù)對(duì)于給值求角，關(guān)鍵是求該角的某一個(gè)三角函數(shù)值，再根據(jù)范圍確定角范圍確定角. .12().424 2第22頁(yè)/共74頁(yè)【互動(dòng)探究互動(dòng)探究】若將本例中的若將本例中的范圍修改為范圍修改為(0, ),(0, ),則如則如何求何求cos( -2)cos( -2)和和sin( -2)?sin( -2)?【解析解析】由本例可得由本例可得: : 又又(0,

13、 ),(0, ),故故23624sin,5 2 55sin,cos,55 2 554sin22sin cos2,555 2253cos22cos12 ()1,55 2第23頁(yè)/共74頁(yè)133425254 3310 （），sin(2 )sincos2cossin26661334()252534 3.10 cos(2 )coscos2sinsin2333 第24頁(yè)/共74頁(yè)【變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練】已知已知0 0 ，且，且cos(- )=cos(- )= 求求cos(+)cos(+)的值的值. .【解析解析】0 ,0 0)x(0)的最的最小正周期為小正周期為 (1)(1)求求的值；的值；（2 2）若函數(shù)

14、）若函數(shù)y=g(x)y=g(x)的圖象是由的圖象是由y=f(x)y=f(x)的圖象向右平移的圖象向右平移 個(gè)個(gè)單位長(zhǎng)度得到單位長(zhǎng)度得到, ,求求y=g(x)y=g(x)的單調(diào)增區(qū)間的單調(diào)增區(qū)間. .2.32第35頁(yè)/共74頁(yè)【審題指導(dǎo)審題指導(dǎo)】本例可將原函數(shù)平方展開本例可將原函數(shù)平方展開, ,利用同角三角函數(shù)利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及倍角公式和兩角和與差的逆用化為一個(gè)角的一基本關(guān)系式及倍角公式和兩角和與差的逆用化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)，再利用周期可求個(gè)三角函數(shù)，再利用周期可求，利用圖象變換可求，利用圖象變換可求g(x)g(x)的的單調(diào)增區(qū)間單調(diào)增區(qū)間. .第36頁(yè)/共74頁(yè)【規(guī)范解答規(guī)范解答

15、】(1)f(x)=sin(1)f(x)=sin2 2x+cosx+cos2 2x+2sinxx+2sinxcosxcosx+1+cos2x=sin2x+cos2x+2+1+cos2x=sin2x+cos2x+2= sin(2x+ )+2,= sin(2x+ )+2,依題意得依題意得 故故(2)(2)依題意得依題意得由由解得解得故故g(x)g(x)的單調(diào)增區(qū)間為的單調(diào)增區(qū)間為2422,233.2 5g x2sin3(x)22sin(3x)2.24452k3x2k(kZ)242227kxkkZ .34312227k,kkZ .34 312第37頁(yè)/共74頁(yè)【規(guī)律方法規(guī)律方法】高考對(duì)兩角和與差的正弦

16、、余弦、正切公式及高考對(duì)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查往往滲透在研究三角函數(shù)性質(zhì)中二倍角公式的考查往往滲透在研究三角函數(shù)性質(zhì)中. .需要利需要利用用這些公式，先把函數(shù)解析式化為這些公式，先把函數(shù)解析式化為y=Asin(x+ )y=Asin(x+ )的形式，再的形式，再進(jìn)一步討論其定義域、值域和最值、單調(diào)性、奇偶性、周期進(jìn)一步討論其定義域、值域和最值、單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性等性質(zhì)性、對(duì)稱性等性質(zhì). .第38頁(yè)/共74頁(yè)【變式備選變式備選】已知已知f(x)=sinf(x)=sin2 2x(0)x(0)的最小正周期為的最小正周期為.求求函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)在區(qū)間在區(qū)間

17、 上的值域上的值域. .【解析解析】= - cos2x= - cos2x，其周期為，其周期為.=1.f(x)=- cos2x+ .=1.f(x)=- cos2x+ .當(dāng)當(dāng)xx0, 0, 時(shí)，時(shí)，2x2x0, 0, . .cos2xcos2x-1,1-1,1.f(x).f(x)0,10,1. .203， 21 cos2 xf xsinx2 121212122343第39頁(yè)/共74頁(yè)第40頁(yè)/共74頁(yè) 兩角和與差及倍角公式解答題的答題技巧兩角和與差及倍角公式解答題的答題技巧【典例典例】（1212分）（分）（20102010北京高考）已知函數(shù)北京高考）已知函數(shù)f(x)=f(x)=2cos2x+sin

18、2cos2x+sin2 2x.x.(1)(1)求求 的值；的值；(2(2) )求求f(x)f(x)的最大值和最小值的最大值和最小值. .【審題指導(dǎo)審題指導(dǎo)】利用倍角公式展開和同角三角函數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化求利用倍角公式展開和同角三角函數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化求解，也可利用倍角公式逆用轉(zhuǎn)化求解解，也可利用倍角公式逆用轉(zhuǎn)化求解. .f( )3第41頁(yè)/共74頁(yè)【規(guī)范解答規(guī)范解答】方法一方法一: : 4 4分分(2)f(x)=2(2cos(2)f(x)=2(2cos2 2x-1)+(1-cosx-1)+(1-cos2 2x)x)=3cos=3cos2 2x-1,xR.x-1,xR.cosxcosx-1,1-1,1,cos,

19、cos2 2xx0,10,1，1010分分當(dāng)當(dāng)cosx=cosx=1 1時(shí)時(shí),f(x),f(x)maxmax=2.=2.當(dāng)當(dāng)cosx=0cosx=0時(shí)，時(shí)，f(x)f(x)minmin=-1. =-1. 12 12分分21f( )2cos(2)sin333（ ）22312cossin1.3344 第42頁(yè)/共74頁(yè)方法二方法二:(1):(1)由由f(x)=2cos2x+sinf(x)=2cos2x+sin2 2x x得得 4 4分分(2)xR,cos2x(2)xR,cos2x-1,1-1,1. . 9 9分分 1212分分 1 cos2x31f x2cos2xcos2x222，321311f(

20、 )cos.3232424 max31f x2,cos2x1,22此時(shí) min31f x1,cos2x1.22 此時(shí)第43頁(yè)/共74頁(yè)【失分警示失分警示】本題考查二倍角公式的正用、逆用及其性質(zhì)，本題考查二倍角公式的正用、逆用及其性質(zhì)，屬容易題，掌握好公式是關(guān)鍵，其失分原因主要有：一是特屬容易題，掌握好公式是關(guān)鍵，其失分原因主要有：一是特殊角的三角函數(shù)值記不清，二是運(yùn)算錯(cuò)誤造成失分殊角的三角函數(shù)值記不清，二是運(yùn)算錯(cuò)誤造成失分. .解決此類問(wèn)題的失分點(diǎn)主要是：解決此類問(wèn)題的失分點(diǎn)主要是：1.1.不能對(duì)所給函數(shù)式準(zhǔn)確化簡(jiǎn)造成失分不能對(duì)所給函數(shù)式準(zhǔn)確化簡(jiǎn)造成失分. .2.2.求最值或取值范圍問(wèn)題忽略相

21、應(yīng)變量的取值范圍造成失分求最值或取值范圍問(wèn)題忽略相應(yīng)變量的取值范圍造成失分. .第44頁(yè)/共74頁(yè)【變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練】已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)=sinf(x)=sin2 2x+ sinxsin(x+ )x+ sinxsin(x+ )(0)(0)的最小正周期為的最小正周期為.(1)(1)求求的值；的值；（2 2）求函數(shù)）求函數(shù)f(x)f(x)在區(qū)間在區(qū)間0 0， 上的取值范圍上的取值范圍. .3223第45頁(yè)/共74頁(yè)【解析解析】第46頁(yè)/共74頁(yè)第47頁(yè)/共74頁(yè)第48頁(yè)/共74頁(yè)1.(20111.(2011福州模擬福州模擬) )將函數(shù)將函數(shù) 的圖象向左平的圖象向左平移移m m個(gè)單位個(gè)單位(m

22、0)(m0)，若所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則，若所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則m m的最的最小值是小值是( )( )(A) (B) (C) (D) (A) (B) (C) (D) 【解析解析】選選A.A.由由 向左平移向左平移m m個(gè)個(gè)單位后得單位后得g(x)=2sin(x- +m),g(x)=2sin(x- +m),若若g(x)g(x)是偶函數(shù)是偶函數(shù), ,則則m- =m- =k+ (kZ),k+ (kZ),m=k+ (kZ),mm=k+ (kZ),mminmin= .= . f x3sinxcosx233856 f x3sinxcosx2sin(x)66622323第49頁(yè)/共74頁(yè)2.

23、(20102.(2010陜西高考陜西高考) )對(duì)于函數(shù)對(duì)于函數(shù)f(x)=2sinxcosxf(x)=2sinxcosx，下列選項(xiàng)中，下列選項(xiàng)中正確的是正確的是( )( )(A)f(x)(A)f(x)在在 上是遞增的上是遞增的(B)f(x)(B)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(C)f(x)(C)f(x)的最小正周期為的最小正周期為22(D)f(x)(D)f(x)的最大值為的最大值為2 2【解析解析】選選B.f(x)=2sinxcosx=sin2x,B.f(x)=2sinxcosx=sin2x,其增區(qū)間為其增區(qū)間為 kZkZ且且f(x)f(x)是奇函數(shù)是奇函數(shù), ,圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

24、圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，最小正周期最小正周期T=T=，f(x)f(x)maxmax=1,=1,故選故選B.B.(,)4 2 k,k,44第50頁(yè)/共74頁(yè)3.(20113.(2011銀川模擬銀川模擬) )已知已知 且且sin-cos1,sin-cos1,則則sin2=sin2=（ ）【解析解析】選選A.sin= sin-cos1,cos1,cos0,在第二象限，在第二象限，4sin5 4C5 24A25 12B25 24D254,53cos,5 4324sin22sincos2().5525 第51頁(yè)/共74頁(yè)4.(20114.(2011杭州模擬杭州模擬) )函數(shù)函數(shù)y=sinx+ cosx(xR)

25、y=sinx+ cosx(xR)的值域?yàn)榈闹涤驗(yàn)開._.【解析解析】由由y=2sin(x+ )y=2sin(x+ )得值域?yàn)榈弥涤驗(yàn)?2-2，2 2. .答案答案: :-2,2-2,233第52頁(yè)/共74頁(yè)5.(20115.(2011南通模擬南通模擬) )滿足滿足 的銳角的銳角x=_.x=_.【解題提示解題提示】利用兩角和的余弦公式的逆用化為一個(gè)角的三利用兩角和的余弦公式的逆用化為一個(gè)角的三角函數(shù)后解方程可得角函數(shù)后解方程可得. .【解析解析】由題意知由題意知即即 故故 又因?yàn)橛忠驗(yàn)閤 x為銳角，為銳角，故故答案答案: :1sinsinxcoscosx,55241sinsinxcoscosx5

26、521cos(x),52 2x2k ,kZ53 ，7x.15715第53頁(yè)/共74頁(yè)第54頁(yè)/共74頁(yè)一、選擇題一、選擇題( (每小題每小題4 4分，共分，共2020分分) )1.(20111.(2011山師大附中模擬山師大附中模擬) )若若 則則的值為的值為( )( )【解析解析】選選D.D.故故1sin(),63 2cos(2 )3 1177A B C D33991cos()sin(),363 227cos(2 )2cos () 1.339 第55頁(yè)/共74頁(yè)2.(cos152.(cos15-cos75-cos75)(sin75)(sin75+sin15+sin15)=( )=( )(A)

27、 (B) (C) (D)1(A) (B) (C) (D)1【解析解析】選選C.C.原式原式=(cos15=(cos15-sin15-sin15)(cos15)(cos15+sin15+sin15) )=cos=cos2 21515-sin-sin2 21515=cos30=cos30= .= .12223232第56頁(yè)/共74頁(yè)3.3.已知已知 則則f()f()取得最大值時(shí)取得最大值時(shí)的值是的值是( )( )(A) (B) (C) (D)(A) (B) (C) (D) 1cos2f,(0,),12tan2tan2 64325第57頁(yè)/共74頁(yè)【解析解析】選選B. B. 當(dāng)當(dāng) 即即 時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)f()f()取得最大值取得最大值. . 222221cos22cosf1tanco