專升本輔導(dǎo)-第8講常微分方程

1、臺(tái)州職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室 復(fù)習(xí)要求：n理解微分方程的概念，理解微分方程階、解、通解、初始條件和特解的概念.n掌握變量可分離微分方程與齊次方程的解法.n會(huì)求解一階線性微分方程.)sin)(cos)()(xxQxxPexfmnx)(xPn)(xQm其中其中，為實(shí)常數(shù)，為實(shí)常數(shù)，分別為分別為x的的n次，次，m次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式) ()，xnxPe )()(xPn() f(x)，為為x的的n次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式,為實(shí)常數(shù)；為實(shí)常數(shù)；其中其中n理解二階常系數(shù)線性微分方程解的結(jié)構(gòu).n會(huì)求解二階常系數(shù)齊線性微分方程.n會(huì)求解二階常系數(shù)非齊線性微分方程（非齊次項(xiàng)限定為: 微分方程是精確表示自然科學(xué)中各種基本定律和

2、各種問題的基本工具之一. 現(xiàn)代建立起來的自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)中的數(shù)學(xué)模型大多都是微分方程. 在許多物理、力學(xué)、生物等現(xiàn)象中，不能直接找到聯(lián)系所研究的那些量的規(guī)律，但卻容易建立起這些量與它們的導(dǎo)數(shù)或微分間的關(guān)系.含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的關(guān)系式。 第1節(jié) 微分方程的基本概念常微分方程方程的階數(shù)線性方程、非線性方程方程的解、通解、特解、所有解初始條件（定解條件）積分曲線（解的幾何意義）初值問題、初值問題的解齊次方程、非齊次方程常微分方程含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的方程，稱為微分方程.未知函數(shù)可以不出現(xiàn)，但其導(dǎo)數(shù)一定要出現(xiàn).未知函數(shù)為一元函數(shù)的微分方程，稱為常微分方程.未知函數(shù)為多元函數(shù)的微分方

3、程，稱為偏微分方程.2 d dxtx 例xcyxybxysindddd220dd2xyyx322ddtxtx常微分方程常微分方程),(222222zyxfzuyuxu偏微分方程偏微分方程常微分方程的階數(shù)微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的最高階數(shù)，稱為微分方程的階數(shù).2 d dxtxxcyxybxysindddd22322ddtxtx一階二階二階一階一階線性方程、非線性方程若一個(gè)方程對(duì)未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的全體而言是一次的，且系數(shù)只與自變量有關(guān)（與未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)無關(guān)），則稱該方程為線性方程，否則，稱之為非線性方程.2 d dxtxxcyxybxysindddd22322ddtxtx一階一

4、階二階二階一階一階非線性非線性線性線性非線性非線性齊次方程、非齊次方程在方程中，不含未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的項(xiàng)，稱為自由項(xiàng).自由項(xiàng)為零的方程，稱為齊次方程.自由項(xiàng)不為零的方程，稱為非齊次方程.2 d dxtxxcyxybxysindddd22322ddtxtx一階齊次非線性方程一階齊次非線性方程二階非齊次線性方程二階非齊次線性方程一階非齊次非線性方程一階非齊次非線性方程微分方程的一般表示形式微分方程的一般表示形式 為為階微分方程的一般形式階微分方程的一般形式n( )( , ,)0 nF x y y yy22dd( , ,)sin0 ddyyF x y y ybcyxxx 方程的解、通解、特解、所有解

5、方程的解、通解、特解、所有解能使微分方程成為恒等式的函數(shù)，稱為方程的解能使微分方程成為恒等式的函數(shù)，稱為方程的解.如果如果 n 階微分方程的解中含有階微分方程的解中含有n 個(gè)相互獨(dú)立的任意個(gè)相互獨(dú)立的任意常數(shù)，則稱此解為常數(shù)，則稱此解為 n 階微分方程的通解階微分方程的通解.一般說來，不含有任意常數(shù)的解，稱為方程的特解一般說來，不含有任意常數(shù)的解，稱為方程的特解. 通常由一定的條件出發(fā)，確定方程通解中的任意常通常由一定的條件出發(fā)，確定方程通解中的任意常數(shù)來得到特解。但有些特解不能由通解求出，必須利用數(shù)來得到特解。但有些特解不能由通解求出，必須利用其它方法直接由方程解出其它方法直接由方程解出.所

6、有解通解不能包含在通解內(nèi)的所有特解所有解通解不能包含在通解內(nèi)的所有特解. 例 sincos 為微分方程的解：為微分方程的解：驗(yàn)證函數(shù)驗(yàn)證函數(shù)axaxy20 ( 0 ) ya ya常 解解 ,cossinaxaaxay ),sin(cossincos222axaxaaxaaxay 代入方程，得代入方程，得 0,)sincos( )sincos(222 axaxaaxaxayay 微分方程的解不一定都能用初等函數(shù)表示出來微分方程的解不一定都能用初等函數(shù)表示出來. 此時(shí)可求數(shù)值解此時(shí)可求數(shù)值解cossin yaxax為此微分方程的解.故函數(shù)故函數(shù)初始條件（定解條件）初始條件（定解條件） 由自然科學(xué)、

7、社會(huì)科學(xué)以及數(shù)學(xué)本身建立微由自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)以及數(shù)學(xué)本身建立微分方程時(shí)，往往同時(shí)知道微分方程的解應(yīng)滿足某分方程時(shí)，往往同時(shí)知道微分方程的解應(yīng)滿足某些已知的條件。這些已知條件就稱為微分方程的些已知的條件。這些已知條件就稱為微分方程的初始條件或定解條件初始條件或定解條件.常微分方程常微分方程初始條件初始條件稱為初值問題（柯西問題）稱為初值問題（柯西問題） 例解解處上任意一點(diǎn)的平面曲線設(shè)通過點(diǎn) ),( )2 , 1 ( 0yxMLM . 2 的方程，求此曲線的切線的斜率為L(zhǎng)x，則有設(shè)曲線的方程為)( xyy .2ddxxy應(yīng)滿足條件此外，函數(shù) )(xyy ， 2)(1xxy) 1 (積分，得式兩邊

8、關(guān)于將 ) 1 (xCxxxy2d2)2()3(，得代入將)3()2(, 1C 故所求的曲線方程為12 xy微分方程微分方程初始條件初始條件通解通解特解特解 例解解處上任意一點(diǎn)的平面曲線設(shè)通過點(diǎn) ),( )2 , 1 ( 0yxMLM . 2 的方程，求此曲線的切線的斜率為L(zhǎng)x，則有設(shè)曲線的方程為)( xyy .2ddxxy應(yīng)滿足條件此外，函數(shù) )(xyy ， 2)(1xxy) 1 (積分，得式兩邊關(guān)于將 ) 1 (xCxxxy2d2)2()3(，得代入將)3()2(, 1C 故所求的曲線方程為12 xy微分方程微分方程初始條件初始條件通解通解特解特解Cxxxy2d212 xy有何想法？有何想

9、法？積分曲線（解的幾何意義）積分曲線（解的幾何意義）常微分方程解的幾何圖形稱為它的積分曲線常微分方程解的幾何圖形稱為它的積分曲線.通解的圖形是一族積分曲線通解的圖形是一族積分曲線.特解是這族積分曲線中過某已知點(diǎn)的那條曲線特解是這族積分曲線中過某已知點(diǎn)的那條曲線.12 xyxyOCxy2)2 , 1 (0M常微分方程的初等方法介紹常微分方程的解法分離變量法常數(shù)變易法積分因子法變量代換法二階線性常系數(shù)微分方程解法特征值法 )()(ddygxfxy變量可分離方程變量可分離方程 0)(ddyxpxy一階線性齊方程一階線性齊方程)()(ddxqyxpxy一階線性非齊方程一階線性非齊方程第第2節(jié)節(jié) 一階微

10、分方程一階微分方程d( )dyyxx齊次方程齊次方程變量變量替換替換 )()(ddygxfxy變量可分離方程變量可分離方程 0)(ddyxpxy一階線性齊方程一階線性齊方程)()(ddxqyxpxy一階線性非齊方程一階線性非齊方程 )()(ddygxfxy變量可分離方程變量可分離方程 d( )dyyxx齊次方程齊次方程變量變量替換替換一、變量可分離方程一、變量可分離方程如果一階微分方程可以化為下列形式：如果一階微分方程可以化為下列形式：xxfyygd)(d)(則稱原方程為變量可分離的方程則稱原方程為變量可分離的方程.運(yùn)用積分方法即可求得變量可分離方程的通解：運(yùn)用積分方法即可求得變量可分離方程的

11、通解：xxfyygd)(d)(其中其中C 為積分后出現(xiàn)的任意常數(shù)。為積分后出現(xiàn)的任意常數(shù)。( ,) .yy x C就是原方程的通解 將一個(gè)方程化為變量分離方程并求出其通解的過程，將一個(gè)方程化為變量分離方程并求出其通解的過程，稱為分離變量法。稱為分離變量法。積分的結(jié)果積分的結(jié)果 例解解 ),( 11 002的特解。的特解。的通解，并指出過點(diǎn)的通解，并指出過點(diǎn)求方程求方程yxxy原方程即原方程即 ,1dd2xxy對(duì)上式兩邊積分，得原方程的通解對(duì)上式兩邊積分，得原方程的通解Cxy arctan )(。x，故，故時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)00 yyxx arctan00，xyC的特解為的特解為從而，過點(diǎn)從而，過點(diǎn)

12、),( 00yx arctanarctan00。xxyy 例解解 ) 1(21dd 2。求解微分方程求解微分方程yxy 01 2分離的方程分離的方程時(shí)，該方程可化為變量時(shí)，該方程可化為變量當(dāng)當(dāng)y d1d22，xyy對(duì)上式兩邊積分，得原方程的通解對(duì)上式兩邊積分，得原方程的通解 11ln1。Cxyy經(jīng)初等運(yùn)算可得到原方程的通解為經(jīng)初等運(yùn)算可得到原方程的通解為1 1xxCeyCe)(1CeC 1 01 2，代入原方程可知：，代入原方程可知：，得出，得出令令yy 1 也是原方程的解。也是原方程的解。y 1 0 1 ，所以，所以，對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于；對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于由于由于CyCy原方程的解為原方程的解為 11，

13、xxCeCey ) (。為任意常數(shù)為任意常數(shù)C 例解解 0d) 1(d)1 ( 2的通解。的通解。求方程求方程yxyxy，得，得方程兩邊同除以方程兩邊同除以 )1)(1( 2yx2dd0 11xyyxy。兩邊同時(shí)積分，得兩邊同時(shí)積分，得 |ln |1 |ln21| 1|ln2，Cyx |1 | 1| 2。即即Cyx故所求通解為故所求通解為 11 2。yCx 因?yàn)橹灰驗(yàn)橹磺笸ń?，所求通解，所以不必再討以不必再討論了。論了?例解解 2dd 。的所有解的所有解求方程求方程yxy原方程即原方程即。 )0( d2dyxyy兩邊積分，得兩邊積分，得 ，Cxy故通解為故通解為 )(2。Cxy 0 被被包包

14、含含在在通通解解內(nèi)內(nèi)。也也是是方方程程的的解解，但但它它不不易易驗(yàn)驗(yàn)證證y 0 看，方程的奇解是積分看，方程的奇解是積分為方程的奇解，幾何上為方程的奇解，幾何上此時(shí)稱此時(shí)稱y曲線族的包絡(luò)。曲線族的包絡(luò)。 工程技術(shù)中工程技術(shù)中解決某些問題時(shí)，解決某些問題時(shí)，需要用到方程的需要用到方程的奇解。奇解。二、齊次方程二、齊次方程( , )dyf x ydx( , )( )yf x yx一階方程一階方程 ( , )f x yyx中的函數(shù)中的函數(shù)可寫成可寫成的函數(shù)，即的函數(shù)，即則稱方程為齊次方程，則稱方程為齊次方程， 例如例如 22()(2)0 xyydxxxy dy是齊次方程是齊次方程( )dyydxxy

15、ux, dyduyuxuxdxdx對(duì)齊次方程對(duì)齊次方程引入新的未知函數(shù)引入新的未知函數(shù)則有則有( )duuxudx( )duxuudx( )dudxuux( )dudxuux原方程化為可分離變量的方程原方程化為可分離變量的方程或或分離變量，得分離變量，得兩端積分，得兩端積分，得yxu求出積分后，再以求出積分后，再以代替代替便得所給齊次方程的通解便得所給齊次方程的通解22dydyyxxydxdx22dyydxxyxyux, dyduyuxuxdxdx例例 解方程解方程解解 原方程寫成原方程寫成 令令則則21duuuxdxu1duuxdxu1(1)dxduux于是原方程為于是原方程為即即分離變量，

16、得分離變量，得ln |ln |uuCxln |xuuCln |yyCx兩端積分，得兩端積分，得或或yxu以以代上式中的代上式中的得所給方程的通解為得所給方程的通解為1(1)dxduux三、一階線性微分方程三、一階線性微分方程形如形如)()(xqyxpy的方程稱為一階線性微分方程的方程稱為一階線性微分方程. 0)( 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)xq方程稱為一階齊次線性方程方程稱為一階齊次線性方程.方程稱為一階非齊次線性方程方程稱為一階非齊次線性方程. 0)( 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)xq習(xí)慣上，稱習(xí)慣上，稱0)(yxpy為方程為方程)()(xqyxpy所對(duì)應(yīng)的齊方程所對(duì)應(yīng)的齊方程.時(shí)，方程有唯一解。時(shí)，方程有唯一解。、一般

17、說來，當(dāng)函數(shù)一般說來，當(dāng)函數(shù) )()( Cxqxp ( )0yp x y方程一階齊線性方程的解一階齊線性方程的解運(yùn)用分離變量法，得 d)(d，xxpyy )0(，y兩邊積分，得 d)( |ln1，Cxxpy故1( )d.p xxCyee 1的通解為，得一階齊線性方程記CeC d)(。xxpCey 0 對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于y 0。C表示一個(gè)表示一個(gè)原函數(shù)原函數(shù) 是一變量可分離的方程是一變量可分離的方程，則一階齊線性方程若Cxp)( 0)(yxpy的解存在，且唯一，其通解為。xxpCeyd)( 例解解 02 的通解。的通解。求求xyy ) ,()( 2)(，Cxpxxp故該一階齊線性方程的通解為故該一階齊

18、線性方程的通解為 2d)2(d)(。xxxxxpCeCeCey 例解解 2 0sin 2。，求解初值問題：求解初值問題：xyxyy先求此一階齊線性方程的通解：先求此一階齊線性方程的通解： ) ,(sin)(，Cxxp cosdsin。xxxCeCey 2 2代入通解中，得代入通解中，得將將xy) 2 (2cosCe因?yàn)橐驗(yàn)?2，C故該初值問題的解為故該初值問題的解為 2cos。xey 一階非齊線性方程的解一階非齊線性方程的解比較兩個(gè)方程：比較兩個(gè)方程： )()(。xqyxpy 0)(，yxpy 它們的解的形式應(yīng)該差不多它們的解的形式應(yīng)該差不多.但差了一點(diǎn)但差了一點(diǎn) 什么東西呢？什么東西呢？xx

19、pCeyd)(xxpexCyd)()()()(xqyxpy )( )( d)(可微，則可微，則，且待定函數(shù)，且待定函數(shù)令令xCexCyxxp )()()()(d)(d)(d)(，xxpxxpxxpexCxpexCexCy怎么辦？怎么辦？ 得得的表達(dá)式代入方程中，的表達(dá)式代入方程中，及及將將yy )()()()()()(d)(d)(d)(，xqxpexCexCxpexCxxpxxpxxp故故 )()(d)(，xqexCxxp即即 )()(d)(，xxpexqxC上式兩邊積分，求出待定函數(shù)CxexqxCxxpd)()(d)( ) (。為任意常數(shù)C )( d)(方程的通解為中，得一階非齊線性代入xx

20、pexCy ) d)( (d)(d)(。Cxexqeyxxpxxp 以上的推導(dǎo)過程稱為以上的推導(dǎo)過程稱為“常數(shù)變易法常數(shù)變易法” .這種方法這種方法經(jīng)常用來由齊次問題推出相應(yīng)的非齊次問題、由線經(jīng)常用來由齊次問題推出相應(yīng)的非齊次問題、由線性問題推出相應(yīng)的非線性問題性問題推出相應(yīng)的非線性問題.0)(yxpyxxpCeyd)() d)( (d)(d)(Cxexqeyxxpxxp)()(xqyxpy 例解解 cos2 2的通解。的通解。求方程求方程xexyyx cos)( 2)( 2，因?yàn)橐驗(yàn)閤exqxxpx所以，方程的通解為所以，方程的通解為) dcos (d)2(d)2(2Cxxeeeyxxxxx

21、) Cd cos (222xexeexxx) Cdcos (2xxex ) sin (2。Cxex 例解解 dd 3的通解。的通解。求方程求方程yxyxy不是線性方程不是線性方程原方程可以改寫為原方程可以改寫為 1dd2，yxyyx這是一個(gè)以這是一個(gè)以 y 為自變量的一階非齊線性方程，其中為自變量的一階非齊線性方程，其中 )( 1)(2，yyqyyp故原方程的通解為故原方程的通解為) d (d)1(2d)1(Cyeyexyyyy 213。Cyy )sin)(cos)()(xxQxxPexfmnx)(xPn)(xQm其中其中，為實(shí)常數(shù)，為實(shí)常數(shù)，分別為分別為x的的n次，次，m次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式)

22、()，xnxPe )()(xPn() f(x)，為為x的的n次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式,為實(shí)常數(shù)；為實(shí)常數(shù)；其中其中n理解二階常系數(shù)線性微分方程解的結(jié)構(gòu).n會(huì)求解二階常系數(shù)齊線性微分方程.n會(huì)求解二階常系數(shù)非齊線性微分方程（非齊次項(xiàng)限定為:復(fù)習(xí)要求：復(fù)習(xí)要求：第第3節(jié)節(jié) 二階常系數(shù)線性微分方程二階常系數(shù)線性微分方程一、高階線性微分方程的一般理論一、高階線性微分方程的一般理論二、二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解二、二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解三、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解三、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解一、高階線性微分方程的一般理論一、高階線性微分方程的一般理論 n 階線性方程的一般形式為階線性

23、方程的一般形式為 )()()()(1)1(1)(。xfyxpyxpyxpynnnn 0)( 階齊線性微分方程；時(shí)，稱為當(dāng)nxf 0)( 階非齊線性微分方程；時(shí)，稱為當(dāng)nxf ) , 2 , 1 ( )( 數(shù)方程；均為常數(shù)時(shí)，稱為常系當(dāng)nixpi ) , 2 , 1 ( )( 系數(shù)方程。不全為常數(shù)時(shí)，稱為變當(dāng)nixpi二階線性微分方程的一般形式為二階線性微分方程的一般形式為( )( )( ) yp x yq x yf x( )( )0 yp x yq x y) 1 ()2(通常稱通常稱 ( 2 ) 為為 ( 1 ) 的相對(duì)應(yīng)的齊次方程。的相對(duì)應(yīng)的齊次方程。 我們討論二階線性方程的一般理論，所得結(jié)

24、論可我們討論二階線性方程的一般理論，所得結(jié)論可自然推廣至自然推廣至 n 階線性方程中。階線性方程中。 1. 二階齊次線性微分方程的性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu)二階齊次線性微分方程的性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu)(1) 疊加原理是二階齊線性微分方程和若 )( )( 21xyxy 0)()( yxqyxpy的解，則它們的線性組合)()(2211xycxyc也是方程 (2) 的解，)2( ) ( 21。不一定相互獨(dú)立為任意常數(shù)、其中cc你打算怎么證明這個(gè)原理？證證 )2( )()()( 2211中，得中，得，代入方程，代入方程令令xycxycxy) )()()() )()(22112211 xycxycxpxycxyc)()()

25、(2211xycxycxq)()()()()(22112211xycxycxpxycxyc )()()(2211xycxycxq)()()()()(1111xyxqxyxpxyc )()()()()(2222xyxqxyxpxyc 000， )2( )()()( 2211的解。的解。為方程為方程即即xycxycxy0)()()(1)1(1)(yxpyxpyxpynnnn ) ., 2 , 1 ( )( 階齊線性微分方程是若nnixyi的解，則它們的線性組合niiixycxy1)()(也是方程 (2) 的解。 ) ( ) , 2 , 1 ( 。不一定相互獨(dú)立為任意常數(shù)其中nici)2(2) 線性

26、無關(guān)、線性相關(guān)線性無關(guān)、線性相關(guān) )()( 21上有定義。上有定義。在區(qū)間在區(qū)間、設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)Ixyxy 21，使使得得和和若若存存在在不不全全為為零零的的常常數(shù)數(shù)cc 0)()(2211，Ixxycxyc )( )( 21上是線性相關(guān)的。上是線性相關(guān)的。在區(qū)間在區(qū)間與與則稱函數(shù)則稱函數(shù)Ixyxy )( )( 21上是線性無關(guān)的。上是線性無關(guān)的。在區(qū)間在區(qū)間與與否則稱函數(shù)否則稱函數(shù)Ixyxy時(shí)，才有時(shí)，才有當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 0 21 cc 0)()(2211，Ixxycxyc )( )( 21上線性無關(guān)。上線性無關(guān)。在區(qū)間在區(qū)間與與則則Ixyxy 例證證 sin cos 線線性性無無關(guān)關(guān)的的。

27、在在任任何何一一個(gè)個(gè)區(qū)區(qū)間間上上均均為為與與證證明明：xx sin cos 全全為為零零上上線線性性相相關(guān)關(guān)，則則存存在在不不在在某某區(qū)區(qū)間間與與若若Ixx )0( 221，使，使不妨設(shè)不妨設(shè)，的常數(shù)的常數(shù)ccc 0sincos21，Ixxcxc tan 21。即即Ixcccx由三角函數(shù)知識(shí)可知，這是不可能的，故由三角函數(shù)知識(shí)可知，這是不可能的，故 sin cos線線性性無無關(guān)關(guān)的的。在在任任何何一一個(gè)個(gè)區(qū)區(qū)間間上上均均為為與與xx 例證證 1sin cos 22線線性性相相關(guān)關(guān)的的。在在任任何何區(qū)區(qū)間間上上均均為為與與證證明明：xx ) ,( 1 21時(shí)，有時(shí)，有，則當(dāng)，則當(dāng)取取xcc 01

28、sincos) 1(sincos222221，xxxcxc 1sin cos 22線線性性相相關(guān)關(guān)的的。在在任任何何區(qū)區(qū)間間上上均均為為與與故故xx(3) 二階齊線性微分方程解的結(jié)構(gòu)二階齊線性微分方程解的結(jié)構(gòu) )()( 21是二階齊線性方程、若xyxy (2) 0)()( yxqyxpy的兩個(gè)線性無關(guān)的解，則的兩個(gè)線性無關(guān)的解，則)()()(2211xycxycxy是方程是方程 (2) 的通解。的通解。2. 二階非齊線性微分方程解的結(jié)構(gòu)二階非齊線性微分方程解的結(jié)構(gòu)(1) 解的性質(zhì)解的性質(zhì)是方程是方程若若 )(* xy)()()(xfyxqyxpy )( 1是其對(duì)應(yīng)的齊方程的一個(gè)特解，而xy0)

29、()( yxqyxpy的一個(gè)特解，則的一個(gè)特解，則)(*)(1xyxyy是原方程的一個(gè)特解。是原方程的一個(gè)特解。是方程是方程若若 )( 1xy)()()(1xfyxqyxpy )( 2是方程是方程的一個(gè)特解，而的一個(gè)特解，而xy)()()(2xfyxqyxpy 的一個(gè)特解，則的一個(gè)特解，則)()(21xyxyy是方程是方程)()()()(21xfxfyxqyxpy 的一個(gè)特解。的一個(gè)特解。是方程是方程與與若若 )( )( 21xyxy)()()(xfyxqyxpy 的任意兩個(gè)特解，則的任意兩個(gè)特解，則)()(21xyxyy是其對(duì)應(yīng)的齊方程是其對(duì)應(yīng)的齊方程0)()( yxqyxpy的一個(gè)特解。的

30、一個(gè)特解。 可以直接驗(yàn)證性質(zhì)可以直接驗(yàn)證性質(zhì)1性質(zhì)性質(zhì)3 .是方程是方程若若 )(* xy)()()(xfyxqyxpy )( 是其對(duì)應(yīng)的齊方程的一個(gè)特解，而xy0)()( yxqyxpy的通解，則的通解，則)(*)(xyxyy是方程是方程 (1) 的通解。的通解。) 1 ()2(由性質(zhì)由性質(zhì)1 以及通解的概念立即可以得知該定理成立。以及通解的概念立即可以得知該定理成立。二階常系數(shù)線性微分方程二階常系數(shù)線性微分方程0 yqypy二階常系數(shù)齊線性方程二階常系數(shù)齊線性方程)(xfyqypy 二階常系數(shù)非齊線性方程二階常系數(shù)非齊線性方程特征方程特征方程02qp特征根特征根 , 21 2211yCyC

31、y通解通解 * y特解特解 * yyy通解通解二、二階常系數(shù)齊次線性微分方程二、二階常系數(shù)齊次線性微分方程形如形如) 1 ( 0 yqypy )(常數(shù)。常數(shù)。實(shí)實(shí)為為的方程，稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程，的方程，稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程， qp、其其中中 得得的解，則代入方程后，的解，則代入方程后，假設(shè)方程有形如假設(shè)方程有形如xey 02，xxxeqepe即即 02。qp二階常系數(shù)齊線性微分方程二階常系數(shù)齊線性微分方程) 1 ( 0 yqypy的特征方程為的特征方程為 02。qp ) 121，則，則實(shí)根實(shí)根特征方程有兩個(gè)不同的特征方程有兩個(gè)不同的xxeyey2121 ，是方程是方程 (

32、1) 的兩個(gè)線性無關(guān)的解，故方程的兩個(gè)線性無關(guān)的解，故方程 (1) 的通解為的通解為12112212 xxyC yC yC eC e二階常系數(shù)齊線性微分方程二階常系數(shù)齊線性微分方程) 1 ( 0 yqypy的特征方程為的特征方程為 02。qp )221，則，則實(shí)重根實(shí)重根特征方程有特征方程有 ) 1 ( 11的的一一個(gè)個(gè)解解。是是方方程程此此時(shí)時(shí)，xey 042， qp由求根公式由求根公式 22422, 1，pqpp021p另一個(gè)解為：另一個(gè)解為：12 xyx e。于是，當(dāng)特征方程有重實(shí)根時(shí)，方程于是，當(dāng)特征方程有重實(shí)根時(shí)，方程 ( 1 ) 的通解為的通解為 )(2121111。xCCeexC

33、eCyxxx二階常系數(shù)齊線性微分方程二階常系數(shù)齊線性微分方程) 1 ( 0 yqypy的特征方程為的特征方程為 02。qp3) 特征方程有一對(duì)共軛復(fù)根：特征方程有一對(duì)共軛復(fù)根： i i21，則，則， )i(2)i(121xxxxeeyeey，是方程是方程 ( 1 ) 的兩個(gè)線性無關(guān)的解，其通解為的兩個(gè)線性無關(guān)的解，其通解為 )i(2)i(12211。xxeCeCyCyCy利用歐拉公式去掉表達(dá)式中虛數(shù)單位利用歐拉公式去掉表達(dá)式中虛數(shù)單位 i 。 歐拉公式：歐拉公式： sinicosi。e )sini(cosi)i(1，xxeeeeyxxxx(i)i2(cosisin) xxxxyeeeexx。由

34、線性方程解的性質(zhì)：由線性方程解的性質(zhì)： cos)(21211，xeyyyx sin)(i21212xeyyyx均為方程均為方程 ( 1 ) 的解，且它們是線性無關(guān)的的解，且它們是線性無關(guān)的.故當(dāng)特征方程有一對(duì)共軛復(fù)根故當(dāng)特征方程有一對(duì)共軛復(fù)根 i i21，時(shí)，原方程的通解可表示為時(shí)，原方程的通解可表示為 )sincos(21。xCxCeyx二階常系數(shù)齊線性微分方程二階常系數(shù)齊線性微分方程 0 yqypy特征方程特征方程 02。qp特特 征征 根根通通 解解 形形 式式)( 21實(shí)根實(shí)根xxeCeCy2121)( 21實(shí)重根實(shí)重根)(211xCCeyx)( i2, 1共軛復(fù)根共軛復(fù)根)sinco

35、s(21xCxCeyx 例解解 032 的通解。的通解。求方程求方程 yyy 032 2，特征方程特征方程 3 1 21，特征根特征根 321。所求通解為所求通解為xxeCeCy 例解解 052 的通解。的通解。求方程求方程 yyy 052 2，特征方程特征方程 i21 i21 21，特征根特征根 )2sin2cos( 21。所求通解為所求通解為xCxCeyx 例解解 0 d d2 dd 22滿足初始條件的解：滿足初始條件的解：求方程求方程ststs 012 2，特征方程特征方程 1 21，特征根特征根12 s( ) teCC t所求通解為。 2 d d 4 0 0 。，tttss 2 4 2

36、 d d 4 210 0 ，得得，由初始條件由初始條件CCtsstt故所求特解為故所求特解為 ) 24(。test二階常系數(shù)線性微分方程二階常系數(shù)線性微分方程0 yqypy二階常系數(shù)齊線性方程二階常系數(shù)齊線性方程)(xfyqypy 二階常系數(shù)非齊線性方程二階常系數(shù)非齊線性方程特征方程特征方程02qp特征根特征根 , 21 2211yCyCy通解通解 * y特解特解 * yyy通解通解復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)二階常系數(shù)齊線性微分方程二階常系數(shù)齊線性微分方程 0 yqypy特征方程特征方程 02。qp特特 征征 根根通通 解解 形形 式式)( 21實(shí)根實(shí)根xxeCeCy2121)( 21實(shí)重根實(shí)重根)(211xC

37、Ceyx)( i2, 1共軛復(fù)根共軛復(fù)根)sincos(21xCxCeyx三、二階常系數(shù)非齊線性微分方程三、二階常系數(shù)非齊線性微分方程形如形如)2( )( xfyqypy )(常數(shù)。常數(shù)。實(shí)實(shí)為為的方程，稱為二階常系數(shù)非齊線性微分方程，的方程，稱為二階常系數(shù)非齊線性微分方程， qp、其中其中它對(duì)應(yīng)的齊方程為它對(duì)應(yīng)的齊方程為) 1 ( 0 。 yqypy我們只討論函數(shù)我們只討論函數(shù) f ( x ) 的幾種簡(jiǎn)單情形下的幾種簡(jiǎn)單情形下(2) 的特解。的特解。)2( )( xfyqypy ) 1 ( 0 。 yqypy )()( . 1的情形的情形xPexfnx )( 1110。其中其中nnnnnax

38、axaxaxP方程方程 (2) 對(duì)應(yīng)的齊方程對(duì)應(yīng)的齊方程 (1) 的特征方程及特征根為的特征方程及特征根為 0 2；特征方程特征方程qp 21。，特征根特征根單根單根二重根二重根一對(duì)共軛復(fù)根一對(duì)共軛復(fù)根假設(shè)方程假設(shè)方程)2( )(xPeyqypynx 有下列形式的特解：有下列形式的特解： )(，xueyx則則 ，ueueyxx 22，ueueueyxxx 代入方程代入方程 (2) ，得，得 )()()2(2，xPeuqpupuenxx 即即 )3( )()()2(2。xPuqpupun 方程方程 (3) 的系數(shù)與方程的系數(shù)與方程 (2) 的特征根有關(guān)。的特征根有關(guān)。)2( )(xPeyqypy

39、nx )3( )()()2(2。xPuqpupun ) 1 (不是特征根，則不是特征根，則若若 02，qp由方程由方程 (3) 及多項(xiàng)式求導(dǎo)的特點(diǎn)可知，應(yīng)有及多項(xiàng)式求導(dǎo)的特點(diǎn)可知，應(yīng)有 )()(1110，nnnnnbxbxbxbxQxu )2( )()( 的特征根時(shí)，的特征根時(shí)，不是方程不是方程中的中的故當(dāng)故當(dāng)xPexfnx方程方程 (2) 有下列形式的特解有下列形式的特解: )(*。xQeynx )(xueyx )2(是單特征根，則是單特征根，則若若 02，qp由多項(xiàng)式求導(dǎo)的特點(diǎn)可知，應(yīng)有由多項(xiàng)式求導(dǎo)的特點(diǎn)可知，應(yīng)有 )()()(1110，nnnnnbxbxbxbxxQxxu )2( )()

40、( 的單特征根時(shí)，的單特征根時(shí)，是方程是方程中的中的故當(dāng)故當(dāng)xPexfnx方程方程 (2) 有下列形式的特解有下列形式的特解: )(*。xQexynx )3( 02 2 為為。此時(shí)，方程。此時(shí)，方程，即，即而而pp )()2(。xPupun )2( )(xPeyqypynx )3( )()()2(2。xPuqpupun )(xueyx )3(是二重特征根，則是二重特征根，則若若 02，qp由多項(xiàng)式求導(dǎo)的特點(diǎn)可知，應(yīng)有由多項(xiàng)式求導(dǎo)的特點(diǎn)可知，應(yīng)有 )()()(111022，nnnnnbxbxbxbxxQxxu )2( )()( 的二重特征根時(shí)，的二重特征根時(shí)，是方程是方程中的中的故當(dāng)故當(dāng)xPex

41、fnx方程方程 (2) 有下列形式的特解有下列形式的特解: )(*2。xQexynx )3( 0 2 2 為為。此時(shí)，方程。此時(shí)，方程，即，即且且pp )(。xPun )2( )(xPeyqypynx )3( )()()2(2。xPuqpupun )(xueyx當(dāng)二階常系數(shù)非齊線性方程當(dāng)二階常系數(shù)非齊線性方程)2( )( xfyqypy )()( 時(shí)，時(shí)，的右端為的右端為xPexfnx它有下列形式的特解：它有下列形式的特解：*( ) kxnyx e Q x，其中：其中： 0 ；不是特征根時(shí)，取不是特征根時(shí)，取當(dāng)當(dāng)k 1 ；是單特征根時(shí)，取是單特征根時(shí)，取當(dāng)當(dāng)k 2 。是二重特征根時(shí)，取是二重特

42、征根時(shí)，取當(dāng)當(dāng)k :。可以為復(fù)數(shù)可以為復(fù)數(shù)注意注意 例1解解 2。的通解的通解求方程求方程xxyy ) )()( 2 0 )(2xPexfnxxxfnx。，對(duì)應(yīng)的齊方程的特征方程為對(duì)應(yīng)的齊方程的特征方程為 012，特征根為特征根為 i2, 1。對(duì)應(yīng)的齊方程的通解為對(duì)應(yīng)的齊方程的通解為 sincos21。xCxCy 0 ，原方程有特解，原方程有特解不是特征根，故取不是特征根，故取由于由于k *2120，bxbxby將它代入原方程，得將它代入原方程，得 2221200，xxbxbxbb比較兩邊同類項(xiàng)的系數(shù)，得比較兩邊同類項(xiàng)的系數(shù)，得 10，b 11，b 0220，bb 10，b 11，b 2 2，

43、b故原方程有一特解為故原方程有一特解為 2*2。xxy綜上所述，原方程的通解為綜上所述，原方程的通解為 2sincos*221。xxxCxCyyy 例2解解 32 。的通解的通解求方程求方程xeyyy ) )()( 0 1 )(xPexfnexfnxx。，對(duì)應(yīng)的齊方程的特征方程為對(duì)應(yīng)的齊方程的特征方程為 0322，特征根為特征根為 1 321。，對(duì)應(yīng)的齊方程的通解為對(duì)應(yīng)的齊方程的通解為 231。xxeCeCy 1 ，原方程有特解，原方程有特解是單特征根，故取是單特征根，故取由于由于k *0，bexyx將它代入原方程，得將它代入原方程，得 3)1 (2)2(000，xxeexbxbxb上式即上式

44、即 140， b 410，b故原方程有一特解為故原方程有一特解為 41*。xexy綜上所述，原方程的通解為綜上所述，原方程的通解為 41*231。xxxexeCeCyyy 例3解解 1332 。的通解的通解求方程求方程 xeyyyx 1332 xeyyyx 32xeyyy 1332 xyyy 41*1xexy31*2xy對(duì)應(yīng)的齊方程的通解為對(duì)應(yīng)的齊方程的通解為 231。xxeCeCy綜上所述，原方程的通解為綜上所述，原方程的通解為 3141*231。xexeCeCyyyxxx二階常系數(shù)線性微分方程二階常系數(shù)線性微分方程0 yqypy二階常系數(shù)齊線性方程二階常系數(shù)齊線性方程)(xfyqypy 二

45、階常系數(shù)非齊線性方程二階常系數(shù)非齊線性方程特征方程特征方程02qp特征根特征根 , 21 2211yCyCy通解通解 * y特解特解 * yyy通解通解復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)二階常系數(shù)齊線性微分方程二階常系數(shù)齊線性微分方程 0 yqypy特征方程特征方程 02。qp特特 征征 根根通通 解解 形形 式式)( 21實(shí)根實(shí)根xxeCeCy2121)( 21實(shí)重根實(shí)重根)(211xCCeyx)( i2, 1共軛復(fù)根共軛復(fù)根)sincos(21xCxCeyx當(dāng)二階常系數(shù)非齊線性方程當(dāng)二階常系數(shù)非齊線性方程)2( )( xfyqypy )()( 時(shí)，時(shí)，的右端為的右端為xPexfnx它有下列形式的特解：它有下列形式的特解：*( ) kxnyx e Q x，其中：其中： 0 ；不是特征根時(shí)，取不是特征根時(shí)，取當(dāng)當(dāng)k 1 ；是單特征根時(shí)，取是單特征根時(shí)，取當(dāng)當(dāng)k 2 。是二重特征根時(shí)，取是二重特征根時(shí)，取當(dāng)當(dāng)k :?？梢詾閺?fù)數(shù)可以為復(fù)數(shù)注意注意)2( )( xfyqypy ) 1 ( 0 。 yqypy2. ( )( )cos ( )( )sin xnxnf xeP