工程力學(xué)第十二章

1、12- -1 梁彎曲時(shí)的正應(yīng)力梁彎曲時(shí)的正應(yīng)力12- -2 慣性矩的計(jì)算慣性矩的計(jì)算12- -3 梁彎曲時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算梁彎曲時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算12- -4 梁彎曲時(shí)的切應(yīng)力梁彎曲時(shí)的切應(yīng)力12- -5 提高彎曲強(qiáng)度的措施提高彎曲強(qiáng)度的措施第十二章第十二章 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力QFM 梁橫截面上 與彎矩M對(duì)應(yīng)， 與剪力F對(duì)應(yīng)。 FMFACFCQFM純彎曲純彎曲 (pure bending) 梁或梁上的某段內(nèi)各橫截面上無(wú)剪力而只有彎矩，橫截面上只有與彎矩對(duì)應(yīng)的正應(yīng)力。12-1 12-1 梁彎曲時(shí)的正應(yīng)力梁彎曲時(shí)的正應(yīng)力一、彎曲分類(lèi)一、彎曲分類(lèi) 橫力彎曲橫力彎曲 (bending by transverse f

2、orce) 梁橫截面上既有彎矩又有剪力；相應(yīng)的，橫截面既有正應(yīng)力又有切應(yīng)力。二、二、 純彎曲時(shí)的正應(yīng)力純彎曲時(shí)的正應(yīng)力u計(jì)算公式的推導(dǎo)計(jì)算公式的推導(dǎo) (1) 幾何關(guān)系幾何關(guān)系變形與應(yīng)變觀察在豎直平面內(nèi)發(fā)生純彎曲的梁，研究其表面變形情況 . 彎曲前畫(huà)在梁的側(cè)面上相鄰橫向線mm和nn間的縱向直線段aa和bb，在梁彎曲后成為弧線，靠近梁的頂面的線段aa縮短，而靠近梁的底面的線段bb則伸長(zhǎng)； . 相鄰橫向線mm和nn，在梁彎曲后仍為直線，只是相對(duì)旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角度，且與弧線aa和bb保持正交。 橫截面的轉(zhuǎn)動(dòng)使梁凹入一側(cè)的縱向線縮短，凸出一側(cè)的縱向線伸長(zhǎng)，從而根據(jù)變形的連續(xù)性可知，中間必有一層縱向線只彎曲而

3、無(wú)長(zhǎng)度改變的中性層 (圖f)，而中性層與橫截面的交線就是梁彎曲時(shí)橫截面繞著它轉(zhuǎn)動(dòng)的軸 中性軸中性軸 (neutral axis)。（f)推論(假設(shè))：平面假設(shè)平面假設(shè) 梁在純彎曲時(shí)，其原來(lái)的橫截面仍保持為平面，只是繞垂直于彎曲平面(縱向平面)的某一軸轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)后的橫截面與梁彎曲后的軸線保持正交。此假設(shè)已為彈性力學(xué)的理論分析結(jié)果所證實(shí)。若中性層的半徑為r(如圖c)，則有rddxryxyOOBBABBBdd211113縱向線應(yīng)變?cè)跈M截面范圍內(nèi)的變化規(guī)律縱向線應(yīng)變?cè)跈M截面范圍內(nèi)的變化規(guī)律 圖c為由相距d x的兩橫截面取出的梁段在梁彎曲后的情況，兩個(gè)原來(lái)平行的橫截面繞中性軸相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)了角d。梁的橫截面上

4、距中性軸 z為任意距離 y 處的縱向線應(yīng)變由圖c可知為(c)(2)(2)物理關(guān)系物理關(guān)系力與變形（應(yīng)力、應(yīng)變） 梁的材料在線彈性范圍內(nèi)工作（胡克定律），且拉、壓彈性模量相同時(shí)，有ryEE 這表明，直梁的橫截面上的正應(yīng)力沿垂直于中性軸的方向按線性規(guī)律變化M 即梁在純彎曲時(shí)，其橫截面上任一點(diǎn)處的縱向線應(yīng)變與該點(diǎn)至中性軸的距離 y 成正比。 (3)靜力學(xué)關(guān)系靜力學(xué)關(guān)系 應(yīng)力與內(nèi)力。MAyMAzd 梁的橫截面上與正應(yīng)力相應(yīng)的法向內(nèi)力元素dA(圖d )不可能組成軸力( )，也不可能組成對(duì)于與中性軸垂直的y 軸(彎曲平面內(nèi)的軸)的內(nèi)力偶矩( )，只能組成對(duì)于中性軸 z 的內(nèi)力偶矩，即0dNAAF0dAyA

5、zM(d)將 代入上述三個(gè)靜力學(xué)條件，有ryE0ddNrrzAAESAyEAF(a)0ddrryzAAyEIAyzEAzM(b)MEIAyEAyMzAAzrrdd2(c) 以上三式中的Sz，Iyz，Iz都是只與截面的形狀和尺寸相關(guān)的幾何量，屬于截面的幾何性質(zhì)，而 其中 為截面對(duì)于z軸的靜矩(static moment of an area)或一次矩（形心計(jì)算公式），其單位為m3。AzAySd 為截面對(duì)于y軸和z軸的慣性積，其單位為m4。AyzAyzId 為截面對(duì)于z軸的慣性矩(moment of inerita of an area)或二次軸矩，其單位為m4。AzAyId2 由于式(a)，(b

6、)中的 不可能等于零，因而該兩式要求：rE 1. 橫截面對(duì)于中性軸 z 的靜矩等于零， ；顯然這是要求中性軸 z 通過(guò)橫截面的形心；0dAAy 2. 橫截面對(duì)于 y 軸和 z 軸的慣性積等于零， ；在對(duì)稱(chēng)彎曲情況下，y 軸為橫截面的對(duì)稱(chēng)軸，因而這一條件自動(dòng)滿(mǎn)足。0dAAyz0ddNrrzAAESAyEAF(a)0ddrryzAAyEIAyzEAzM(b)MEIAyEAyMzAAzrrdd2(c)由式(c)可知，直梁純彎曲時(shí)中性層的曲率為 上式中的EIz稱(chēng)為梁的抗彎剛度（對(duì)Z軸）。顯然，由于純彎曲時(shí)，梁的橫截面上的彎矩M 不隨截面位置變化,所以純彎曲梁段軸線為一段圓弧。zEIMr1 將上式代入得

7、出的式子 即得彎曲正應(yīng)力計(jì)算公式：ryEzIMy(c)MEIAyEAyMzAAzrrdd2 應(yīng)用此式時(shí)，如果如圖中那樣取 y軸向下為正的坐標(biāo)系來(lái)定義式中 y 的正負(fù)，則在彎矩 M 按以前的規(guī)定確定其正負(fù)的情況下，所得正應(yīng)力的正負(fù)自動(dòng)表示拉應(yīng)力或壓應(yīng)力。但實(shí)際應(yīng)用中往往直接根據(jù)橫截面上彎矩的轉(zhuǎn)向及求正應(yīng)力之點(diǎn)在中性軸的哪一側(cè)來(lái)判別彎曲正應(yīng)力為拉應(yīng)力還是壓應(yīng)力；在此情況下可以把式中的 y 看作求應(yīng)力的點(diǎn)離中性軸 z 的距離。zIMyu純彎曲理論的推廣純彎曲理論的推廣 工程中實(shí)際的梁大多發(fā)生橫力彎曲，此時(shí)梁的橫截面由于切應(yīng)力的存在而發(fā)生翹曲(warping)。此外，橫向力還使各縱向線之間發(fā)生擠壓(b

8、earing)。因此，對(duì)于梁在純彎曲時(shí)所作的平面假設(shè)和縱向線之間無(wú)擠壓的假設(shè)實(shí)際上都不再成立。但彈性力學(xué)的分析結(jié)果表明，受滿(mǎn)布荷載的矩形截面簡(jiǎn)支梁，當(dāng)其跨長(zhǎng)與截面高度之比 大于5時(shí)，梁的跨中橫截面上按純彎曲理論算得的最大正應(yīng)力其誤差不超過(guò)1%，故在工程應(yīng)用中就將純彎曲時(shí)的正應(yīng)力計(jì)算公式用于橫力彎曲情況.hl中性軸 z 為橫截面對(duì)稱(chēng)軸的梁 (圖a，b) 其橫截面上最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力的值相等；中性軸 z 不是橫截面對(duì)稱(chēng)軸的梁 (圖c) ，其橫截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力的值不相等。dzyo(b) yc,max yt,maxyz bd1 hOd2(c) hbzyo(a)zzzWMyIMIMym

9、axmaxmax中性軸z為橫截面的對(duì)稱(chēng)軸時(shí)，橫截面上最大拉、壓應(yīng)力的值max為式中，Wz為截面的幾何性質(zhì)，稱(chēng)為彎曲截面系數(shù)（對(duì)Z軸）(section modulus in bending)，其單位為m3。hbzyodzyo 中性軸 z 不是橫截面的對(duì)稱(chēng)軸時(shí)(參見(jiàn)圖c)，其橫截面上最大拉應(yīng)力值和最大壓應(yīng)力值為zIMymax, tmaxt,zIMymaxc,maxc,(1) 矩形截面矩形截面12dd32222bhybyAyIhhAz622bhhIWzz12dd32222hbzhzAzIbbAy622hbbIWyyu簡(jiǎn)單截面對(duì)于形心軸的慣性矩和彎曲截面系數(shù)簡(jiǎn)單截面對(duì)于形心軸的慣性矩和彎曲截面系數(shù)思考

10、思考: : 一長(zhǎng)邊寬度為 b，高為 h 的平行四邊形，它對(duì)于形心軸 z 的慣性矩是否也是 ？123bhIz(2) 圓截面圓截面在等直圓桿扭轉(zhuǎn)問(wèn)題中已求得：32d42pdAIAr32ddd4222pdIIAzAyAIyzAAArzoyyzdAdr而由圖可見(jiàn)，2=y2+z2 , 從而知而彎曲截面系數(shù)為6424pdIIIyz 32223ddIdIWWyzyz 根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知，原截面對(duì)于形心軸z和y的慣性矩Iz和Iy是相等的，Iz= Iy，于是得zoyyzdAdr(3) 空心圓截面空心圓截面 由于空心圓截面的面積等于大圓的面積AD減去小圓(即空心部分)的面積Ad故有444444222216464646

11、4ddddDdDdDAyAyAyAyIdDdDAAAAAz式中， 。DddOyzD根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知：思考思考： 空心圓截面對(duì)于形心軸的慣性矩就等于大圓對(duì)形心軸的慣性矩減去小圓對(duì)于形心軸的慣性矩；但空心圓截面的彎曲截面系數(shù)并不等于大圓和小圓的彎曲截面系數(shù)之差，為什么？zyzyWWII ,431322DDIWzz而空心圓截面的彎曲截面系數(shù)為dOyzD 例題例題12-1 圖a所示簡(jiǎn)支梁由56a號(hào)工字鋼制成，其截面簡(jiǎn)化后的尺寸見(jiàn)圖b。已知F=150 kN。試求危險(xiǎn)截面上的最大正應(yīng)力max。 解：解：在不考慮梁的自重( )的情況下，該梁的彎矩圖如圖所示，截面C為危險(xiǎn)截面，相應(yīng)的最大彎矩值為mkN041.

12、1 mkN3754m10kN1504maxFlM由型鋼規(guī)格表查得56a號(hào)工字鋼截面3cm2340zW4cm65600zIMPa160m102340mN10375363maxmaxzWM于是有顯然，梁的自重引起的最大正應(yīng)力僅為而危險(xiǎn)截面上的最大正應(yīng)力變?yōu)镸Pa7 .165Pa107 .165m102340mN103886363maxMPa7 . 5MPa1607 .165遠(yuǎn)小于外加荷載F 所引起的最大正應(yīng)力。mkN388mkN13mkN375842maxqlFlM 如果考慮梁的自重(q=1.041 kN/m)則危險(xiǎn)截面未變，但相應(yīng)的最大彎矩值變?yōu)?工程中常遇到由基本圖形構(gòu)成的組合截面，例如下面例

13、題中所示的兩種橫截面。12-2 12-2 慣性矩的計(jì)算慣性矩的計(jì)算 在已知構(gòu)成組合截面的每一圖形對(duì)于通過(guò)其自身形心且平行于組合截面某個(gè)軸(例如x軸)的慣性矩時(shí)，組合截面的慣性矩可利用平行移軸公式求得。 y2 y1yx bd1 hOd2 已知任意形狀的截面(如圖)的面積A以及對(duì)于形心軸xC和yC的慣性矩 ，現(xiàn)需導(dǎo)出該截面對(duì)于與形心軸xC ， yC平行的x軸和y軸的慣性矩Ix，Iy。截面的形心C在x，y坐標(biāo)系內(nèi)的坐標(biāo)為yxII，。和aybx1. 1. 慣性矩的慣性矩的平行移軸公式平行移軸公式因截面上的任一元素dA在x，y坐標(biāo)系內(nèi)的坐標(biāo)為ayybxx ，于是有AaSaIAaAyaAyAayAyIxx

14、AAAAAxC222222 dd2dddAaIIxx2注意到xC軸為形心軸，故上式中的靜矩 等于零，從而有CxS同理可得 以上二式就是慣性矩的平行移軸公式。AbIIyy2AaIIxx22. 2. 組合截面的慣性矩組合截面的慣性矩 若組合截面由幾個(gè)部分組成，則組合截面對(duì)于x，y兩軸的慣性矩分別為niyiynixixIIII11 ， y2 y1yx bd1 hOd2x12-312-3 梁彎曲時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算梁彎曲時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算 正應(yīng)力強(qiáng)度條件： max式中，為材料的許用彎曲正應(yīng)力。對(duì)于中性軸為橫截面對(duì)稱(chēng)軸的梁，上述強(qiáng)度條件可寫(xiě)作 zWMmax 由拉、壓許用應(yīng)力t和c不相等的鑄鐵等脆性材料制成的梁，為充分

15、發(fā)揮材料的強(qiáng)度，其橫截面上的中性軸往往不是對(duì)稱(chēng)軸，以盡量使梁的最大工作拉應(yīng)力t,max和最大工作壓應(yīng)力c,max分別達(dá)到(或接近)材料的許用拉應(yīng)力t和許用壓應(yīng)力c 。zIMymax, tmaxt,zIMymaxc,maxc,(a)(b) 例題例題12-3 圖a所示工字鋼制成的梁，其計(jì)算簡(jiǎn)圖可取為如圖b所示的簡(jiǎn)支梁。鋼的許用彎曲正應(yīng)力=152 MPa 。試選擇工字鋼的號(hào)碼。解：在不計(jì)梁的自重的情況下，彎矩圖如圖所示mkN375maxM強(qiáng)度條件 要求： zWMmax 366maxm102460Pa10152mkN375MWz363m102450cm2450zW 此值雖略小于要求的Wz但相差不到1%

16、，故可以選用56b工字鋼。由型鋼規(guī)格表查得56b號(hào)工字鋼的Wz為MPa153max此時(shí)危險(xiǎn)截面上的最大工作應(yīng)力為 其值超過(guò)許用彎曲應(yīng)力約4.6%。工程實(shí)踐中，如果最大工作應(yīng)力超過(guò)許用應(yīng)力不到5%，則通常還是允許的。MPa159m102450mN101 .389363maxmaxzWMmkN1 .389mkN1 .14mkN3758mkN3752maxqlM 如果計(jì)入梁的自重 ，危險(xiǎn)截面仍在跨中，相應(yīng)的最大彎矩則為mkN1.127mkg115q MPat60MPac150IZ=18000cm4，解：（1）約束力KNFKNFBA110,30彎矩圖)2(BC截面為危險(xiǎn)截面C（3）強(qiáng)度校核最大壓應(yīng)力位

17、于B截面下方，最大拉應(yīng)力需要綜合考慮BC兩處拉應(yīng)力MPayIMZBcB9 .884 . 010180001040832maxMPayIMZBtB3 .3315. 010180001040831maxMPayIMZCtC7 .664 . 010180001030832max ttC所以不安全12-4 12-4 梁彎曲時(shí)的切應(yīng)力梁彎曲時(shí)的切應(yīng)力1dN2AAFAIyMMAzd)d(11AyIMMAzd)d(11AySAzd11*N2)d(zzSIMMF*N1zzSIMF*N2)d(zzSIMMF*N1zzSIMFxbxbFddd 0 xF0dN1N2FFFxbSIMSIMMzzzzd)d(*xbIM

18、Szzdd*xMFddQbISFzzQ*bISFzzQ*QFzI*zSbbISFzzQ*ddbA 11)4(2dd22*zAAyhbbAS)4(2)(22QyhIFyz0bhFbhhFhIFQz231284232Q2Qmax)4(2)(8)(2222QyhbhHBbIFyzmm240mm400m3kN85bhlFmm240mm400m3kN85bhlFkN85 mkN5 .127maxQmaxFM4933mm1028. 11240024012bhIzzaBaIyMMPa201028. 1200105 .1279649mm1028. 1zIMPa10zcBcIyMMPa0dMPa96. 9e92MPa.19ffa49mm1028. 1zIbISFzzec*Q2401028. 1150)240100(1085930MPa1maxdAF23Q33MPa. 14002402108533一一 合理配置梁的荷載和支座合理配置梁的荷載和支座12.5 12.5 提高彎曲強(qiáng)度的措施提高彎曲強(qiáng)度的措施2m