第三十六講二階常系數(shù)線性微分方程

1、高等院校非數(shù)學類本科數(shù)學課程第七章 常微分方程本章學習要求：n了解微分方程、解、通解、初始條件和特解的概念.n了解下列幾種一階微分方程：變量可分離的方程、齊次方 程、一階線性方程、伯努利（Bernoulli）方程和全微分 方程.熟練掌握分離變量法和一階線性方程的解法.n會利用變量代換的方法求解齊次方程和伯努利方程.n知道下列高階方程的降階法： . )()(xfyn ),(yxfy ),(yyfy n了解高階線性微分方程階的結構，并知道高階常系數(shù)齊線 性微分方程的解法.n熟練掌握二階常系數(shù)齊線性微分方程的解法.n掌握自由項（右端）為多項式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余 弦函數(shù)以及它們的和或乘積的二階常

2、系數(shù)非齊線性微分方 程的解法.第五節(jié)第五節(jié) 二階常系數(shù)線性微分方程二階常系數(shù)線性微分方程0 yqypy二階常系數(shù)齊線性方程二階常系數(shù)齊線性方程)(xfyqypy 二階常系數(shù)非齊線性方程二階常系數(shù)非齊線性方程特征方程特征方程02qp特征根特征根 , 21 2211yCyCy通解通解 * y特解特解 * yyy通解通解一、二階常系數(shù)齊次線性微分方程一、二階常系數(shù)齊次線性微分方程形如形如) 1 ( 0 yqypy )(常數(shù)。常數(shù)。實實為為的方程，稱為二階常系數(shù)齊線性微分方程，的方程，稱為二階常系數(shù)齊線性微分方程， qp、其中其中 得得的解，則代入方程后，的解，則代入方程后，假設方程有形如假設方程有形

3、如xey 02，xxxeqepe即即 02。qp二階常系數(shù)齊線性微分方程二階常系數(shù)齊線性微分方程) 1 ( 0 yqypy的特征方程為的特征方程為 02。qp ) 121，則，則實根實根特征方程有兩個不同的特征方程有兩個不同的xxeyey2121 ，是方程是方程 (1) 的兩個線性無關的解，故方程的兩個線性無關的解，故方程 (1) 的通解為的通解為 21212211。xxeCeCyCyCy二階常系數(shù)齊線性微分方程二階常系數(shù)齊線性微分方程) 1 ( 0 yqypy的特征方程為的特征方程為 02。qp )221，則，則實重根實重根特征方程有特征方程有 ) 1 ( 11的一個解。的一個解。是方程是方

4、程此時，此時，xey 042， qp由求根公式由求根公式 22422, 1，pqpp021p由劉維爾公式求另一個解：由劉維爾公式求另一個解：xeexeeeyxpxxxpxdd)()2(2d21111021p d11。xxexxe于是，當特征方程有重實根時，方程于是，當特征方程有重實根時，方程 ( 1 ) 的通解為的通解為 )(2121111。xCCeexCeCyxxx二階常系數(shù)齊線性微分方程二階常系數(shù)齊線性微分方程) 1 ( 0 yqypy的特征方程為的特征方程為 02。qp3) 特征方程有一對共軛復根：特征方程有一對共軛復根： i i21，則，則， )i(2)i(121xxxxeeyeey，

5、是方程是方程 ( 1 ) 的兩個線性無關的解，其通解為的兩個線性無關的解，其通解為 )i(2)i(12211。xxeCeCyCyCy利用歐拉公式去掉表達式中虛數(shù)單位利用歐拉公式去掉表達式中虛數(shù)單位 i 。 歐拉公式：歐拉公式： sinicosi。e )sini(cosi)i(1，xxeeeeyxxxx )sini(cosi)i(2。xxeeeeyxxxx由線性方程解的性質(zhì)：由線性方程解的性質(zhì)： cos)(21211，xeyyyx sin)(i21212xeyyyx均為方程均為方程 ( 1 ) 的解，且它們是線性無關的：的解，且它們是線性無關的： 0sin cos。，xexeWxx故當特征方程有

6、一對共軛復根故當特征方程有一對共軛復根 i i21，時，原方程的通解可表示為時，原方程的通解可表示為 )sincos(21。xCxCeyx二階常系數(shù)齊線性微分方程二階常系數(shù)齊線性微分方程 0 yqypy特征方程特征方程 02。qp特特 征征 根根通通 解解 形形 式式)( 21實根實根xxeCeCy2121)( 21實重根實重根)(211xCCeyx)( i2, 1共軛復根共軛復根)sincos(21xCxCeyx 例解解 032 的通解。的通解。求方程求方程 yyy 032 2，特征方程特征方程 3 1 21，特征根特征根 321。所求通解為所求通解為xxeCeCy 例解解 052 的通解。

7、的通解。求方程求方程 yyy 052 2，特征方程特征方程 i21 i21 21，特征根特征根 )2sin2cos( 21。所求通解為所求通解為xCxCeyx 例解解 0 d d2 dd 22滿足初始條件的解：滿足初始條件的解：求方程求方程ststs 012 2，特征方程特征方程 1 21，特征根特征根 ) ( 21。所求通解為所求通解為tCCeyt 2 d d 4 0 0 。，tttss 2 4 2 d d 4 210 0 ，得得，由初始條件由初始條件CCtsstt故所求特解為故所求特解為 ) 24(。test 例解解 的彈簧從靜止狀態(tài)的彈簧從靜止狀態(tài)用手將懸掛著的質(zhì)量為用手將懸掛著的質(zhì)量為

8、 m此時彈簧僅受到彈性恢復力此時彈簧僅受到彈性恢復力 f 的作用。求反映此彈的作用。求反映此彈 O 0時，時，的位移為的位移為當點當點xx 突然放手，突然放手，開始拉長，開始拉長，簧運動的規(guī)律（設其彈性系數(shù)為簧運動的規(guī)律（設其彈性系數(shù)為 k ）。）。O 例解解 的彈簧從靜止狀態(tài)的彈簧從靜止狀態(tài)用手將懸掛著的質(zhì)量為用手將懸掛著的質(zhì)量為 m此時彈簧僅受到彈性恢復力此時彈簧僅受到彈性恢復力 f 的作用。求反映此彈的作用。求反映此彈 O 0時，時，的位移為的位移為當點當點xx 突然放手，突然放手，開始拉長，開始拉長，簧運動的規(guī)律（設其彈性系數(shù)為簧運動的規(guī)律（設其彈性系數(shù)為 k ）。）。O0 xx取取

9、x 軸如如圖所示。軸如如圖所示。由力學的虎克定理，有由力學的虎克定理，有 。xkf（ 恢復力與運動方向相反恢復力與運動方向相反 ）由牛頓第二定律，得由牛頓第二定律，得 dd22。xktxm 2，則有，則有移項，并記移項，并記mka )0( 0 dd222。，axatx它能正確描述我它能正確描述我們的問題嗎？們的問題嗎？ 0 ，則有初始條件：，則有初始條件：t記拉長后，突然放手的時刻為記拉長后，突然放手的時刻為 00 ，初始位移初始位移xxt 0 dd 0 。初始速度初始速度ttx我們要找的規(guī)律是下列初值問題的解：我們要找的規(guī)律是下列初值問題的解： 0 dd222，xatx 00 ，xxt。 0

10、 dd 0 ttx 0 dd222，xatx 00 ，xxt。 0 dd 0 ttx 0 22，特征方程特征方程a i 2, 1，特征根特征根a sin cos 21。所求通解為所求通解為taCtaCy 0100 ；，得，得由由xCxxt 0 0) cos sin( dd 220 210 。，得，得由由CaCtaaCtaaCtxtt從而，所求運動規(guī)律為從而，所求運動規(guī)律為 ) ( cos0。，mkataxx二、二、n 階常系數(shù)齊線性微分方程階常系數(shù)齊線性微分方程形如形如) 1 ( 01)1(1)(ypypypynnnn )(常數(shù)。常數(shù)。實實為為的方程，稱為的方程，稱為 n 階常系數(shù)齊線性微分方

11、程，階常系數(shù)齊線性微分方程， , 1npp 其中其中n 階常系數(shù)齊線性微分方程的特征方程為階常系數(shù)齊線性微分方程的特征方程為 單實根單實根xCe 1 項項 實重根實重根k)( 121kkxxCxCCek項項 一對共軛復根一對共軛復根)sincos( 221xCxCex項項 011 1 nnnnpppi 2, 1 重復根重復根一對共軛一對共軛 ki 2, 1 2 項項k cos)(121xxCxCCekkx sin)(121xxDxDDkk特特 征征 根根通通 解解 中中 的的 對對 應應 項項 例解解 0dd3dd3dd 2233的通解。的通解。求方程求方程xxyxyxy 0133 23，特征

12、方程特征方程 1 321，特征根特征根 ) ( 2321。所求通解為所求通解為xCxCCeyx 例解解在研究彈性地基梁時，遇到一個微分方程在研究彈性地基梁時，遇到一個微分方程 )0( 0dd444。，x試求此方程的通解。試求此方程的通解。 0 44，特征方程特征方程 i)1 (2 i)1 (2 432, 1，特征根特征根， 所求通解為所求通解為 ) 2sin2cos(212xCxCeyx ) 2sin2cos(432。xCxCex 2)(2222244三、二階常系數(shù)非齊線性微分方程三、二階常系數(shù)非齊線性微分方程形如形如)2( )( xfyqypy )(常數(shù)。常數(shù)。實實為為的方程，稱為二階常系數(shù)

13、非齊線性微分方程，的方程，稱為二階常系數(shù)非齊線性微分方程， qp、其中其中它對應的齊方程為它對應的齊方程為) 1 ( 0 。 yqypy我們只討論函數(shù)我們只討論函數(shù) f ( x ) 的幾種簡單情形下，的幾種簡單情形下，(2) 的特解。的特解。常系數(shù)非齊線性微分方程算子解法常系數(shù)非齊線性微分方程算子解法參考書：參考書：常微分方程講義常微分方程講義王柔懷王柔懷 伍卓群伍卓群 編編人民教育出版社人民教育出版社)2( )( xfyqypy ) 1 ( 0 。 yqypy )()( . 1的情形的情形xPexfnx )( 1110。其中其中nnnnnaxaxaxaxP方程方程 (2) 對應的齊方程對應的

14、齊方程 (1) 的特征方程及特征根為的特征方程及特征根為 0 2；特征方程特征方程qp 21。，特征根特征根單根單根二重根二重根一對共軛復根一對共軛復根假設方程假設方程)2( )(xPeyqypynx 有下列形式的特解：有下列形式的特解： )(，xueyx則則 ，ueueyxx 22，ueueueyxxx 代入方程代入方程 (2) ，得，得 )()()2(2，xPeuqpupuenxx 即即 )3( )()()2(2。xPuqpupun 方程方程 (3) 的系數(shù)與方程的系數(shù)與方程 (2) 的特征根有關。的特征根有關。)2( )(xPeyqypynx )3( )()()2(2。xPuqpupun

15、 ) 1 (不是特征根，則不是特征根，則若若 02，qp由方程由方程 (3) 及多項式求導的特點可知，應有及多項式求導的特點可知，應有 )()(1110，nnnnnbxbxbxbxQxu )2( )()( 的特征根時，的特征根時，不是方程不是方程中的中的故當故當xPexfnx方程方程 (2) 有下列形式的特解有下列形式的特解: )(*。xQeynx )(xueyx )2(是單特征根，則是單特征根，則若若 02，qp由多項式求導的特點可知，應有由多項式求導的特點可知，應有 )()()(1110，nnnnnbxbxbxbxxQxxu )2( )()( 的單特征根時，的單特征根時，是方程是方程中的中

16、的故當故當xPexfnx方程方程 (2) 有下列形式的特解有下列形式的特解: )(*。xQexynx )3( 02 2 為為。此時，方程。此時，方程，即，即而而pp )()2(。xPupun )2( )(xPeyqypynx )3( )()()2(2。xPuqpupun )(xueyx )3(是二重特征根，則是二重特征根，則若若 02，qp由多項式求導的特點可知，應有由多項式求導的特點可知，應有 )()()(111022，nnnnnbxbxbxbxxQxxu )2( )()( 的二重特征根時，的二重特征根時，是方程是方程中的中的故當故當xPexfnx方程方程 (2) 有下列形式的特解有下列形式

17、的特解: )(*2。xQexynx )3( 0 2 2 為為。此時，方程。此時，方程，即，即且且pp )(。xPun )2( )(xPeyqypynx )3( )()()2(2。xPuqpupun )(xueyx當二階常系數(shù)非齊線性方程當二階常系數(shù)非齊線性方程)2( )( xfyqypy )()( 時，時，的右端為的右端為xPexfnx它有下列形式的特解：它有下列形式的特解： )(*，xQexynxk其中：其中： 0 ；不是特征根時，取不是特征根時，取當當k 1 ；是單特征根時，取是單特征根時，取當當k 2 。是二重特征根時，取是二重特征根時，取當當k :?？梢詾閺蛿?shù)可以為復數(shù)注意注意 例解解

18、 2。的通解的通解求方程求方程xxyy ) )()( 2 0 )(2xPexfnxxxfnx。，對應的齊方程的特征方程為對應的齊方程的特征方程為 012，特征根為特征根為 i2, 1。對應的齊方程的通解為對應的齊方程的通解為 sincos21。xCxCy 0 ，原方程有特解，原方程有特解不是特征根，故取不是特征根，故取由于由于k *2120，bxbxby將它代入原方程，得將它代入原方程，得 2221200，xxbxbxbb比較兩邊同類項的系數(shù)，得比較兩邊同類項的系數(shù)，得 10，b 11，b 0220，bb 10，b 11，b 2 2，b故原方程有一特解為故原方程有一特解為 2*2。xxy綜上所

19、述，原方程的通解為綜上所述，原方程的通解為 2sincos*221。xxxCxCyyy 例解解 32 。的通解的通解求方程求方程xeyyy ) )()( 0 1 )(xPexfnexfnxx。，對應的齊方程的特征方程為對應的齊方程的特征方程為 0322，特征根為特征根為 1 321。，對應的齊方程的通解為對應的齊方程的通解為 231。xxeCeCy 1 ，原方程有特解，原方程有特解是單特征根，故取是單特征根，故取由于由于k *0，bexyx將它代入原方程，得將它代入原方程，得 3)1 (2)2(000，xxeexbxbxb上式即上式即 140， b 410，b故原方程有一特解為故原方程有一特解

20、為 41*。xexy綜上所述，原方程的通解為綜上所述，原方程的通解為 41*231。xxxexeCeCyyy 例解解 1332 。的通解的通解求方程求方程 xeyyyx 1332 xeyyyx 32xeyyy 1332 xyyy 41*1xexy31*2xy對應的齊方程的通解為對應的齊方程的通解為 231。xxeCeCy綜上所述，原方程的通解為綜上所述，原方程的通解為 3141*231。xexeCeCyyyxxx)2( )( xfyqypy ) 1 ( 0 。 yqypy sin)()( cos)()( . 2的情形的情形、xxPexfxxPexfnxnx )( 1110。其中其中nnnnna

21、xaxaxaxP)2( )( xfyqypy ) 1 ( 0 。 yqypy sin)()( cos)()( . 2的情形的情形、xxPexfxxPexfnxnx歐拉公式：歐拉公式： sinicosi。e是方程是方程若若 )(i)(* 21xyxyy)(i)()()(21xfxfyxqyxpy )()()(1xfyxqyxpy 的一個特解。的一個特解。 )( 1是方程是方程的一個特解，則的一個特解，則xy )( 2是方程是方程的一個特解；的一個特解；xy)()()(2xfyxqyxpy *Re 1yy 實部實部 *mI 2yy 虛部虛部 cos)( xxPeyqypynx sin)( xxPe

22、yqypynx )( )i(xPeyqypynx )(*)i(xQexynxk*Re*1yy*Im*2yy i不是特征根，不是特征根， 0 ；取取k i是特征根，是特征根， 1 ；取取k 例解解 cos 的一個特解。的一個特解。求方程求方程xyy 01 2，特征方程特征方程 i 2, 1，特征根特征根 i的特解：的特解：首先求方程首先求方程xeyy 1 0 i ，且有，且有，故取，故取是特征根，是特征根，由于由于kn *i0，xexby 代入上述方程，得代入上述方程，得 2i i20ii000，即有，即有beexbxbbxx從而，原方程有一特解為從而，原方程有一特解為 sin21)cosisi

23、n(21 Re。xxxxxx)2i( Re*Re*i1xexyy 例解解 sin 的一個特解。的一個特解。求方程求方程xxyy 01 2，特征方程特征方程 i 2, 1，特征根特征根 i的特解：的特解：首先求方程首先求方程xexyy 1 1 i ，且有，且有，故取，故取是特征根，是特征根，由于由于kn )(*i10，xebxbxy代入上述方程，得代入上述方程，得 i22i4100，xbbxb比較系數(shù)，得比較系數(shù)，得 1i40，b 0i10，bb 41 4i10，bb從而，原方程有一特解為從而，原方程有一特解為 )cossin()cossin(41 Im22xxxxixxxxxexyyi2)41

24、4i( Im*Im*故故 )414i()(*ii10，xxexxebxbxy )cossin(412。xxxx 例解解 sincos 的一個特解。的一個特解。求方程求方程xxxyy 由上面兩個例題立即可得由上面兩個例題立即可得)cossin(41sin21*221xxxxxxyyy cos41sin432。xxxx 例解解 sin2 )4(的通解。的通解。求方程求方程xyyy 012 24，特征方程特征方程)( i i 4, 32, 1二重共軛復根二重共軛復根，特征根特征根對應的齊次方程的通解為對應的齊次方程的通解為 sin)(cos)(2121。xxDDxxCCy 2 i)4(有特解有特解由于方程由于方程xeyyy ) 2 ( *i20。二重根，取二重根，取，kexbyx將它代入此方程中，得將它代入此方程中，得 810，故，故b 81*i2，xexy從而，原方程有一特解為從而，原方程有一特解為 sin81*Im*21，xxyy故原方程的通解為故原方程的通解為 sin81sin)(cos)(22121。xxxxDDxxCCy我想，我想， 你一定會做這種推廣工作。你一定會做這種推廣工作。四、歐拉方程四、