多元函數(shù)的基本概念極限和連續(xù)性

1、 )(0oPPUPP 00一、一、 區(qū)域區(qū)域1. 鄰域鄰域點(diǎn)集點(diǎn)集, ),(0PPU稱為點(diǎn)稱為點(diǎn) P0 的的 鄰域鄰域. .例如例如, ,在平面上在平面上, , ),(),(0yxPU( (圓鄰域圓鄰域) )在空間中在空間中, , ),(),(0zyxPU( (球鄰域球鄰域) )說明：說明：若不需要強(qiáng)調(diào)鄰域半徑若不需要強(qiáng)調(diào)鄰域半徑 , ,也可寫成也可寫成. )(0PU點(diǎn)點(diǎn) P0 的的去心鄰域去心鄰域記為記為PP 0yyxx2020)()(zzyyxx202020)()()(在討論實(shí)際問題中也常使用方鄰域在討論實(shí)際問題中也常使用方鄰域, ,平面上的方鄰域?yàn)槠矫嫔系姆洁徲驗(yàn)?(),(),0yxPU

2、。0P因?yàn)榉洁徲蚺c圓因?yàn)榉洁徲蚺c圓鄰域可以互相包含鄰域可以互相包含. .,0 xxyy02. 區(qū)域區(qū)域(1) 內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn)設(shè)有點(diǎn)集設(shè)有點(diǎn)集 E 及一點(diǎn)及一點(diǎn) P : 若存在點(diǎn)若存在點(diǎn) P 的某鄰域的某鄰域 U(P) E , 若存在點(diǎn)若存在點(diǎn) P 的某鄰域的某鄰域 U(P) E = , 若對點(diǎn)若對點(diǎn) P 的任一鄰域的任一鄰域 U(P) 既含既含 E中的內(nèi)點(diǎn)也含中的內(nèi)點(diǎn)也含 E則稱則稱 P 為為 E 的的內(nèi)點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)；則稱則稱 P 為為 E 的的外點(diǎn)外點(diǎn) ;則稱則稱 P 為為 E 的的邊界點(diǎn)邊界點(diǎn) . .的外點(diǎn)的外點(diǎn) ,顯然顯然, E 的內(nèi)點(diǎn)必屬于的內(nèi)點(diǎn)必屬于 E , E 的外

3、點(diǎn)必不屬于的外點(diǎn)必不屬于 E , E 的的邊界點(diǎn)可能屬于邊界點(diǎn)可能屬于 E, 也可能不屬于也可能不屬于 E . PE(2) (2) 聚點(diǎn)聚點(diǎn)若對任意給定的若對任意給定的 , ,點(diǎn)點(diǎn)P P 的去心的去心),PU(E鄰域鄰域內(nèi)總有內(nèi)總有E E 中的點(diǎn)中的點(diǎn) , , 則則稱稱P P 是是E E 的的聚點(diǎn)聚點(diǎn). .聚點(diǎn)可以屬于聚點(diǎn)可以屬于E E , , 也可以不屬于也可以不屬于E E ( (因?yàn)榫埸c(diǎn)可以為因?yàn)榫埸c(diǎn)可以為 所有聚點(diǎn)所成的點(diǎn)集成為所有聚點(diǎn)所成的點(diǎn)集成為E E 的的導(dǎo)集導(dǎo)集 . .E E 的邊界點(diǎn)的邊界點(diǎn) ) ) 內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)；內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)； 邊界點(diǎn)可能是聚點(diǎn)；（孤立點(diǎn)是邊界點(diǎn)，但不邊界

4、點(diǎn)可能是聚點(diǎn)；（孤立點(diǎn)是邊界點(diǎn)，但不是聚點(diǎn)）是聚點(diǎn)） 若點(diǎn)若點(diǎn) 的某一個(gè)鄰域內(nèi)除點(diǎn)的某一個(gè)鄰域內(nèi)除點(diǎn) 外其余各點(diǎn)都不屬外其余各點(diǎn)都不屬于于E E，則稱，則稱 為點(diǎn)集為點(diǎn)集E E的的孤立點(diǎn)孤立點(diǎn)。0 x0 x0 x1| ),(22 yxyx例如例如邊界上的點(diǎn)都是聚點(diǎn)也都屬于集合邊界上的點(diǎn)都是聚點(diǎn)也都屬于集合10| ),(22 yxyx例如例如(0,0)(0,0)既是既是邊界點(diǎn)也是聚點(diǎn)但不屬于集邊界點(diǎn)也是聚點(diǎn)但不屬于集合合D(3) 開區(qū)域及閉區(qū)域開區(qū)域及閉區(qū)域 若點(diǎn)集若點(diǎn)集 E 的點(diǎn)都是的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)，則稱，則稱 E 為為開集開集； 若點(diǎn)集若點(diǎn)集 E E , 則稱則稱 E 為為閉集閉集； 若集若

5、集 D 中任意兩點(diǎn)都可用一完全屬于中任意兩點(diǎn)都可用一完全屬于 D 的折線相的折線相連連 , 開區(qū)域連同它的邊界一起稱為開區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域閉區(qū)域. .則稱則稱 D 是連通的是連通的 ; 連通的開集稱為連通的開集稱為開區(qū)域開區(qū)域 ,簡稱簡稱區(qū)域區(qū)域 ; E 的邊界點(diǎn)的全體稱為的邊界點(diǎn)的全體稱為 E 的的邊界邊界, 記作記作 E ;例如，例如，在平面上在平面上0),( yxyx41),(22yxyx0),( yxyx41),(22yxyx開區(qū)域開區(qū)域閉區(qū)域閉區(qū)域 xyOxy21OxyOxy21O 整個(gè)平面整個(gè)平面 點(diǎn)集點(diǎn)集 1),(xyx是開集，是開集， 是最大的開域是最大的開域 ,

6、也是最大的閉域也是最大的閉域 ;但非區(qū)域但非區(qū)域 .11 對區(qū)域?qū)^(qū)域 D , 若存在正數(shù)若存在正數(shù) K , 使一切點(diǎn)使一切點(diǎn) P D 與某定點(diǎn)與某定點(diǎn) A 的距離的距離 AP K , 則稱則稱 D 為為有界域有界域 , 界域界域 .否則稱為否則稱為無無xyO（4）n維空間維空間 n維空間的記號為維空間的記號為;nR n維空間中兩點(diǎn)間距離公式維空間中兩點(diǎn)間距離公式 ),(21nxxxP),(21nyyyQ.)()()(|2222211nnxyxyxyPQ n維空間中鄰域、區(qū)域等概念維空間中鄰域、區(qū)域等概念 nRPPPPPU ,|),(00 特殊地當(dāng)特殊地當(dāng) 時(shí)，便為數(shù)軸、平面、時(shí)，便為數(shù)軸、平

7、面、空間兩點(diǎn)間的距離空間兩點(diǎn)間的距離3, 2, 1 n內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、區(qū)域、聚點(diǎn)等概念也可定義內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、區(qū)域、聚點(diǎn)等概念也可定義鄰域：鄰域：設(shè)兩點(diǎn)為設(shè)兩點(diǎn)為二二 、二元函數(shù)的定義、二元函數(shù)的定義當(dāng)當(dāng)2 n時(shí)時(shí)，n元元函函數(shù)數(shù)統(tǒng)統(tǒng)稱稱為為多多元元函函數(shù)數(shù). 多多元元函函數(shù)數(shù)中中同同樣樣有有定定義義域域、值值域域、自自變變量量、因因變變量量等等概概念念.類似地可定義三元及三元以上函數(shù)類似地可定義三元及三元以上函數(shù),( , ),( , )Dx yzz zf x yx yD點(diǎn)集 稱為函數(shù)的定義域，稱為自變量， 稱為因變量，數(shù)集稱為值域。例例1 1 求求 的定義域的定義域222)3arcsin(),(

8、yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定義域?yàn)樗蠖x域?yàn)?, 42| ),(222yxyxyxD （6） 二元函數(shù)二元函數(shù) 的圖形的圖形),(yxfz （如下頁圖）（如下頁圖）二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.22222(2)z xyzxy例 描繪下列函數(shù)的圖形(1) =xyzoxyzsin 例如例如,圖形如右圖圖形如右圖.2222azyx 例如例如,左圖球面左圖球面.),(222ayxyxD 222yxaz .222yxaz 單值分支單值分支:三、多元函數(shù)的極限三、多元函數(shù)的極限說明：說明：（1）定義中）定義中 的方式是任意的；的方式是任

9、意的；0PP （2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限）二元函數(shù)的極限也叫二重極限);,(lim00yxfyyxx（3）二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似）二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似例例2 2 求證求證 證證01sin)(lim222200 yxyxyx01sin)(2222 yxyx22221sinyxyx 22yx , 0 , 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 22)0()0(0yx 01sin)(2222yxyx原結(jié)論成立原結(jié)論成立例例3 3 求極限求極限 .)sin(lim22200yxyxyx 解解22200)sin(limyxyxyx ,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx 其中其

10、中yxyxyx2200)sin(limuuusinlim0, 1 222yxyx x21 , 00 x. 0)sin(lim22200 yxyxyxyxu2 例例4 4 證明證明 不存在不存在 證證26300limyxyxyx 取取,3kxy 26300limyxyxyx 6263303limxkxkxxkxyx ,12kk 其值隨其值隨k的不同而變化，的不同而變化，故極限不存在故極限不存在（2） 找找兩兩種種不不同同趨趨近近方方式式，使使),(lim00yxfyyxx存存在在，但但兩兩者者不不相相等等，此此時(shí)時(shí)也也可可斷斷言言),(yxf在在點(diǎn)點(diǎn)),(000yxP處處極極限限不不存存在在確定

11、極限確定極限不存在不存在的方法：的方法：n元元函函數(shù)數(shù)的的極極限限利用點(diǎn)函數(shù)的形式有利用點(diǎn)函數(shù)的形式有 設(shè)設(shè)n元函數(shù)元函數(shù))(Pf的定義域?yàn)辄c(diǎn)集的定義域?yàn)辄c(diǎn)集0, PD是其聚點(diǎn)且是其聚點(diǎn)且DP 0，如果，如果)()(lim00PfPfPP 則稱則稱n元函數(shù)元函數(shù))(Pf在點(diǎn)在點(diǎn)0P處連續(xù)處連續(xù). .四、多元函數(shù)的連續(xù)性四、多元函數(shù)的連續(xù)性定義定義3 3例例5 5 討論函數(shù)討論函數(shù) )0 , 0(),(, 0)0 , 0(),(,),(2233yxyxyxyxyxf在在(0,0)處的連續(xù)性處的連續(xù)性解解 取取,cos x sin y)0 , 0(),(fyxf )cos(sin33 2 2)0

12、, 0(),(fyxf故函數(shù)在故函數(shù)在(0,0)處連續(xù)處連續(xù).),0 , 0(),(lim)0,0(),(fyxfyx , 0 ,2 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí) 220yx例例6 6 討論函數(shù)討論函數(shù) 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)的連續(xù)性的連續(xù)性解解取取kxy 2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值隨其值隨k的不同而變化，的不同而變化，極限不存在極限不存在故函數(shù)在故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù)處不連續(xù)閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D D上的多元連續(xù)函數(shù)，在上的多元連續(xù)函數(shù)，在D D上至少取得它的最

13、大值和最小值各一次上至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D D上的多元連續(xù)函數(shù)，如上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在果在D D上取得兩個(gè)不同的函數(shù)值，則它在上取得兩個(gè)不同的函數(shù)值，則它在D D上上取得介于這兩值之間的任何值至少一次取得介于這兩值之間的任何值至少一次（1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（2）介值定理）介值定理多元初等函數(shù)：由多元多項(xiàng)式及基本初等函數(shù)多元初等函數(shù)：由多元多項(xiàng)式及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個(gè)式子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)用一個(gè)式子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)一切多元初等函數(shù)

14、在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域例例.11lim00 xyxyyx 求求解解)11(11lim00 xyxyxyyx原原式式111lim00 xyyx.21 ).()(lim)()()()(lim00000PfPfPPfPfPPfPfPPPP 處連續(xù)，于是處連續(xù)，于是點(diǎn)點(diǎn)在在的定義域的內(nèi)點(diǎn)，則的定義域的內(nèi)點(diǎn)，則是是數(shù)，且數(shù)，且是初等函是初等函時(shí)，如果時(shí)，如果一般地，求一般地，求多元函數(shù)極限的概念多元函數(shù)極限的概念多元函數(shù)連續(xù)的概念多元函數(shù)連續(xù)的概念閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的

15、性質(zhì)（注意趨近方式的（注意趨近方式的任意性任意性）五、小結(jié)五、小結(jié)多元函數(shù)的定義多元函數(shù)的定義 若若點(diǎn)點(diǎn)),(yx沿沿著著無無數(shù)數(shù)多多條條平平面面曲曲線線趨趨向向于于點(diǎn)點(diǎn)),(00yx時(shí)時(shí)，函函數(shù)數(shù)),(yxf都都趨趨向向于于 A，能能否否斷斷定定Ayxfyxyx ),(lim),(),(00？思考題思考題思考題解答思考題解答不能不能.例例,)(),(24223yxyxyxf )0 , 0(),(yx取取,kxy 2442223)(),(xkxxkxkxxf 00 x但是但是 不存在不存在.),(lim)0,0(),(yxfyx原因?yàn)槿羧≡驗(yàn)槿羧?2yx 244262)(),(yyyyyyf

16、 .41yxyxyx200limxxxx320lim)(lim320 xxx,1練習(xí)練習(xí)00ln(1)1.limxyxyxxy是否存在？解解: 利用所以極限不存在.333,0,ln(1) ( , )(0,0)xyxyx yyxxyxyx)1ln(lim00yxx22002.lim()xyxyxy求2222ln()0000lim()limxyxyxyxxyyxye解220ln()xyxy又2222ln()2xyxy22,xyt令( , )(0,0)x y 當(dāng)時(shí)0t 有，0lim lnttt又0lnlim1/ttt0lim()0tt0lim ln0ttt所以222200limln()02xyxyx

17、y即2200limln()0 xyxyxy從而，22000lim()1xyxyxye故一、一、 填空題填空題: :1 1、 若若yxxyyxyxftan),(22 , ,則則),(tytxf= =_. .2 2、 若若xyyxyxf2),(22 , ,則則 )3, 2(f_; ; ), 1(xyf_. .3 3、 若若)0()(22 yyyxxyf, ,則則 )(xf_. .4 4、 若若22),(yxxyyxf , , 則則 ),(yxf_. .函數(shù)函數(shù))1ln(4222yxyxz 的定義域是的定義域是_. .練練 習(xí)習(xí) 題題 6 6、函函數(shù)數(shù)yxz 的的定定義義域域是是_ _ _ _ _

18、_ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 7 7、函函數(shù)數(shù)xyzarcsin 的的定定義義域域是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 8 8、函函數(shù)數(shù)xyxyz2222 的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .二二、 求求下下列列各各極極限限: :1 1、 xyxyyx42lim00 ；2 2、 xxyyxsinlim00；3 3、 22222200)()cos(1limyxyxyxyx . .三三、 證證明明：0lim2200 yxxyyx. .四四、 證證明明極極限限yxxyyx 11lim00不不存存在在 . .一、一、 1 1、 ),(2yxft； 2 2、1213 , , ),(yxf； 3 3、 xx21 ； 4 4、 yyx 112； 5 5、 xyyxyx4,