第6章圖像的幾何變換

1、多媒體通信多媒體通信北京科技大學(xué)楊 揚(yáng)第第6章章 圖像的幾何變換圖像的幾何變換l幾何變換基礎(chǔ)l圖像比例縮放l圖像平移l圖像鏡像l圖像旋轉(zhuǎn)l灰度插值1、幾何變換基礎(chǔ)、幾何變換基礎(chǔ)l圖像的幾何變換，是指使用戶(hù)獲得或設(shè)計(jì)的原始圖像，按照需要產(chǎn)生大小、形狀和位置的變化。l從圖像類(lèi)型來(lái)分，圖像的幾何變換有： 二維平面圖像的幾何變換； 三維圖像的幾何變換； 三維向二維平面投影變換等。l從圖像的性質(zhì)分，圖像的幾何變換有： 平移、比例縮放、旋轉(zhuǎn)、反射和錯(cuò)切等基本變換； 透視變換和復(fù)合變換； 插值運(yùn)算等。1、幾何變換基礎(chǔ)、幾何變換基礎(chǔ)l圖像的幾何變換是通過(guò)改變圖像中物體（像素）之間的空間關(guān)系的過(guò)程。圖像的幾何變

2、換可以看成將各像素在圖像內(nèi)移動(dòng)的過(guò)程。其定義為 ： 其中，f(x,y)表示輸入圖像，g(x,y)表示輸出圖像，a(x,y)和b(x,y)表示空間變換。l幾何變換改變的是圖像中各物體之間的空間關(guān)系。其效果正如在一塊橡皮板上畫(huà)圖，拉伸該橡皮板，并在不同的點(diǎn)固定該橡皮板。 1、幾何變換基礎(chǔ)、幾何變換基礎(chǔ)l一個(gè)幾何變換需要兩個(gè)獨(dú)立的算法： 1. 需要一個(gè)算法來(lái)定義空間變換本身，用它描述每個(gè)像素如何從其初始位置“移動(dòng)”到終止位置，即每個(gè)像素的“運(yùn)動(dòng)”，如平移、縮放、旋轉(zhuǎn)等。 2. 還需要一個(gè)用于灰度插值的算法，這是因?yàn)?，在一般情況下，輸入圖像的位置坐標(biāo)(x，y)為整數(shù)，而輸出圖像的位置坐標(biāo)為非整數(shù)，反過(guò)

3、來(lái)也是如此。1、幾何變換基礎(chǔ)、幾何變換基礎(chǔ)l幾何變換常用于攝象機(jī)的幾何校正過(guò)程，這對(duì)于利用圖像進(jìn)行幾何測(cè)量的工作是十分重要的。l如：仿射變換（Affine Transformation），它屬于射影幾何變換，多用于圖像配準(zhǔn)（Image Registration）作為比較或匹配的預(yù)處理過(guò)程； l圖像卷繞（Image Warping），即用控制點(diǎn)控制變換過(guò)程，通過(guò)插值運(yùn)算，將一幅圖像逐漸變化到另一幅圖像的圖像變形（Morphing）過(guò)程是其典型的應(yīng)用，多見(jiàn)于影視特技及廣告的制作。 1.1齊次坐標(biāo)齊次坐標(biāo)l設(shè)點(diǎn)P0(x0,y0)進(jìn)行平移后，移到P(x,y),其中x方向的平移量為x,y方向的平移量為y

4、。那么，點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)為：l這個(gè)變換用矩陣的形式可以表示為：yyyxxx00yxyxyx0010011.1齊次坐標(biāo)齊次坐標(biāo)Oyxy0yxx0P0(x0 , y0)P(x , y)點(diǎn)的平移1.1齊次坐標(biāo)齊次坐標(biāo)l而平面上點(diǎn)的變換矩陣中沒(méi)有引入平移常量，無(wú)論a、b、c、d取什么值，都不能實(shí)現(xiàn)上述的平移變換。因此，需要使用23階變換矩陣，取其形式為：yxT10011.1齊次坐標(biāo)齊次坐標(biāo)l為了運(yùn)算方便，通常將23階矩陣擴(kuò)充為33階矩陣，以拓寬功能。lP(x,y)按照3X3的變換矩陣T平移結(jié)果為：111100100100000yxyyxxyxyxPTP1.1齊次坐標(biāo)齊次坐標(biāo)l這種用n1維向量表示n

5、維向量的方法稱(chēng)為齊次坐標(biāo)表示法。l因此，2D圖像中的點(diǎn)坐標(biāo)(x, y)通常表示成齊次坐標(biāo)（Hx, Hy, H），其中H表示非零的任意實(shí)數(shù)，當(dāng)H1時(shí)，則(x, y, 1)就稱(chēng)為點(diǎn)(x, y)的規(guī)范化齊次坐標(biāo)。l由點(diǎn)的齊次坐標(biāo)（Hx, Hy, H）求點(diǎn)的規(guī)范化齊次坐標(biāo)(x, y, 1)，可按如下公式進(jìn)行：HHyyHHxx1.2二維圖像幾何變換的矩陣二維圖像幾何變換的矩陣l利用齊次坐標(biāo)及改成33階形式的變換矩陣，實(shí)現(xiàn)2D圖像幾何變換的基本變換的一般過(guò)程是：將2n階的二維點(diǎn)集矩陣l 表示成齊次坐標(biāo)的形式，然 后乘以相應(yīng)的變換矩陣即可完成。niiyx200niiyx30011.2二維圖像幾何變換的矩陣二

6、維圖像幾何變換的矩陣l引入齊次坐標(biāo)后，表示2D圖像幾何變換的33矩陣的功能就完善了，可以用它完成2D圖像的各種幾何變換。下面討論33階變換矩陣中各元素在變換中的功能。幾何變換的33矩陣的一般形式為：smlqdcpbaT1.2二維圖像幾何變換的矩陣二維圖像幾何變換的矩陣l其中， 這一子矩陣可使圖像實(shí)現(xiàn)恒等 比例、 反射（或鏡像）、 錯(cuò)切和旋轉(zhuǎn)變換。 l m 這一行矩陣可以使圖像實(shí)現(xiàn)透視變換,但當(dāng)l=0，m=0時(shí)它無(wú)透視作用。 p qT 這一列矩陣可以使圖像實(shí)現(xiàn)平移變換， s這一元素可以使圖像實(shí)現(xiàn)全比例變換。22dcba2、圖像比例縮放、圖像比例縮放l比例縮放前后兩點(diǎn)P0(x0, y0)、P(x,

7、 y)之間的關(guān)系用矩陣形式可以表示為： 其中fx,fy1為放大， fx,fy1 為縮小。10000000100yxfxfxyx2、圖像比例縮放、圖像比例縮放放大后縮放前xy(x , y)(x0 , y0)O2、圖像比例縮放、圖像比例縮放l比例縮放所產(chǎn)生的圖像中的像素可能在原圖像中找不到相應(yīng)的像素點(diǎn)，這樣就必須進(jìn)行插值處理。l插值處理常用的方法有兩種， 一種是直接賦值為和它最相近的像素值；另一種是通過(guò)一些插值算法來(lái)計(jì)算相應(yīng)的像素值。l前一種方法計(jì)算簡(jiǎn)單， 但會(huì)出現(xiàn)馬賽克現(xiàn)象；后者處理效果要好些，但是運(yùn)算量也相應(yīng)增加。l在下面的算法中直接采用了前一種做法。實(shí)際上，這也是一種插值算法， 稱(chēng)為最鄰近插

8、值法（Nearest Neighbor Interpolation）。2、圖像比例縮放、圖像比例縮放l最簡(jiǎn)單的比例縮小是當(dāng) fx=fy=12時(shí)，圖像被縮到一半大小，此時(shí)縮小后圖像中的(0， 0)像素對(duì)應(yīng)于原圖像中的(0， 0)像素； (0， 1)像素對(duì)應(yīng)于原圖像中的(0， 2)像素； (1， 0)像素對(duì)應(yīng)于原圖像中的(2， 0)像素， 依此類(lèi)推。l圖像縮小之后，因?yàn)槌休d的信息量小了，所以畫(huà)布可相應(yīng)縮小。此時(shí)， 只需在原圖像基礎(chǔ)上，每行隔一個(gè)像素取一點(diǎn)，每隔一行進(jìn)行操作，即取原圖的偶（奇）數(shù)行和偶（奇）數(shù)列構(gòu)成新的圖像，如下圖所示。如果圖像按任意比例縮小， 則需要計(jì)算選擇的行和列。2、圖像比例縮

9、放、圖像比例縮放圖像縮小一半2、圖像比例縮放、圖像比例縮放l如果MN大小的原圖像F(x，y)縮小為 kMkN大?。╧1）的新圖像I(x，y)時(shí)，則 I(x, y)=F(int(cx), int(cy) 其中， c=1k。由此公式可以構(gòu)造出新圖像，如下圖所示。k 1/32、圖像比例縮放、圖像比例縮放l當(dāng)fxfy(fx, fy0)時(shí)，圖像不按比例縮小，這種操作因?yàn)樵趚方向和y方向的縮小比例不同，一定會(huì)帶來(lái)圖像的幾何畸變。圖像不按比例縮小的方法是： 如果MN大小的舊圖F(x，y)縮小為k1Mk2N（k11，k21）大小的新圖像I(x，y)時(shí)，則 I(x, y)=F(int(c1x), int(c2y

10、)2211,1kckc2、圖像比例縮放、圖像比例縮放l在圖像的放大操作中，需要對(duì)尺寸放大后所多出來(lái)的空格填入適當(dāng)?shù)南袼刂?，這是信息的估計(jì)問(wèn)題，所以較圖像的縮小要難一些。l當(dāng)fxfy2時(shí)，圖像被按全比例放大2倍， 放大后圖像中的(0，0)像素對(duì)應(yīng)于原圖中的(0，0)像素；(0，1)像素對(duì)應(yīng)于原圖中的(0，0.5)像素，該像素不存在，可以近似為(0，0)也可以近似 (0，1)； (0，2)像素對(duì)應(yīng)于原圖像中的(0，1)像素；(1，0)像素對(duì)應(yīng)于原圖中的(0.5，0)，它的像素值近似于(0， 0)或(1，0)像素； (2，0)像素對(duì)應(yīng)于原圖中的(1，0)像素，依此類(lèi)推。其實(shí)這是將原圖像每行中的像素重

11、復(fù)取值一遍，然后每行重復(fù)一次。2、圖像比例縮放、圖像比例縮放 放大前的圖像 按最近鄰域法放大兩倍 按插值法放大兩倍 2、圖像比例縮放、圖像比例縮放l一般地，按比例將原圖像放大k倍時(shí)，如果按照最近鄰域法則需要將一個(gè)像素值添在新圖像的kk的子塊中。顯然，如果放大倍數(shù)太大， 按照這種方法處理會(huì)出現(xiàn)馬賽克效應(yīng)。l當(dāng)fxfy(fx, fy0)時(shí)，圖像在x方向和y方向不按比例放大， 此時(shí)， 這種操作由于x方向和y方向的放大倍數(shù)不同，一定帶來(lái)圖像的幾何畸變。l為了提高幾何變換后的圖像質(zhì)量，常采用線性插值法。該方法的原理是，當(dāng)求出的分?jǐn)?shù)地址與像素點(diǎn)不一致時(shí)，求出周?chē)膫€(gè)像素點(diǎn)的距離比，根據(jù)該比率， 由四個(gè)鄰域

12、的像素灰度值進(jìn)行線性插值， 如下圖所示。2、圖像比例縮放、圖像比例縮放(x , y)(x , y 1)(x 1 , y)x , y(x 1 , y 1)p1 p1 qq線性插值法示意圖 2、圖像比例縮放、圖像比例縮放簡(jiǎn)化后的灰度值計(jì)算式如下:g（x，y）=（1-q）（1-p）g（x，y）+pg（x+1，y） +q（1-p）g（x，y+1）+pg（x+1，y+1） 式中：g（x，y）為坐標(biāo)（x，y）處的灰度值，x、y 分別為不大于x，y的整數(shù)。關(guān)于這個(gè)問(wèn)題的詳細(xì)算法及其實(shí)現(xiàn)可以參考有關(guān)的參考文獻(xiàn)。 3、圖像平移、圖像平移l設(shè)點(diǎn)P0(x0, y0)進(jìn)行平移后，移到P(x, y)，其中x方向的平移量

13、為x，y方向的平移量為y。那么，點(diǎn)P(x, y)的坐標(biāo)為：l利用齊次坐標(biāo)，變換前后圖像上的點(diǎn)P0(x0, y0)和P(x, y)之間的關(guān)系可以用如下的矩陣變換表示為：yyyxxx0011001001100yxyxyx3、圖像平移、圖像平移x2 , y1圖像平移4、圖像鏡像、圖像鏡像l圖像的鏡像變換也可以用矩陣變換表示。設(shè)點(diǎn)P0(x0, y0)進(jìn)行鏡像后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P(x, y)，圖像高度為fHeight，寬度為fWidth，原圖像中P0(x0, y0)經(jīng)過(guò)水平鏡像后坐標(biāo)將變?yōu)椋╢Width-x0，y0），垂直鏡像后坐標(biāo)將變?yōu)?x0，fHeight-y0)矩陣表達(dá)式為：110001001100yx

14、fWidthyx110010001100yxfHeightyx水平鏡像垂直鏡像4、圖像鏡像、圖像鏡像圖像的鏡像 水平鏡像垂直鏡像5、圖像旋轉(zhuǎn)、圖像旋轉(zhuǎn)l設(shè)點(diǎn)P0(x0, y0)旋轉(zhuǎn)角后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P(x, y)， 如下圖所示：rrxy(x , y)(x0 , y0)O5、圖像旋轉(zhuǎn)、圖像旋轉(zhuǎn)l寫(xiě)成矩陣形式，如下：cossinsincoscossin)sin(sincossinsincoscos)cos(sincos000000yxrrryyxrrrxryrx11000cossin0sincos100yxyx5、圖像旋轉(zhuǎn)、圖像旋轉(zhuǎn)l旋轉(zhuǎn)前后點(diǎn)P0(x0, y0)、 P(x, y)的坐標(biāo)分別是：l矩陣

15、形式：cossinsincoscossin)sin(sincossinsincoscos)cos(sincos000000yxrrryyxrrrxryrx11000cossin0sincos100yxyx5、圖像旋轉(zhuǎn)、圖像旋轉(zhuǎn)l進(jìn)行圖像旋轉(zhuǎn)時(shí)需要注意如下兩點(diǎn)： （1）圖像旋轉(zhuǎn)之前， 為了避免信息的丟失， 一定要有坐標(biāo)平移； （2）圖像旋轉(zhuǎn)之后，會(huì)出現(xiàn)許多空洞點(diǎn)。對(duì)這些空洞點(diǎn)必須進(jìn)行填充處理，否則畫(huà)面效果不好，一般也稱(chēng)這種操作為插值處理。最簡(jiǎn)單的方法是行插值方法或列插值方法。6、灰度插值、灰度插值向前映射法向前映射法l當(dāng)把輸入圖像的灰度一個(gè)一個(gè)像素地轉(zhuǎn)移到輸出圖像中時(shí)，如果一個(gè)輸入像素被映射到四

16、個(gè)輸出像素之間的位置，則其灰度值就按插值算法在四個(gè)輸出像素之間進(jìn)行分配。我們稱(chēng)之為像素移交(Pixel carry-over)或稱(chēng)為向前映射法。6、灰度插值、灰度插值向后映射法向后映射法l另一種更有效地達(dá)到目的的方法是像素填充(Pixel filling)或稱(chēng)為向后映射算法：在這里輸出像素一次一個(gè)地映射回到輸入圖像中，以便確定其灰度級(jí)。如果個(gè)輸出像素被映射到四個(gè)輸出像素之間。則其灰度值由灰度級(jí)插值決定。向后空間變換是向前變換的逆變換。6、灰度插值、灰度插值l由于許多輸入像素可能映射到輸出圖像的邊界之外，故向前映射算法有些浪費(fèi)。而且，每個(gè)輸出像素的灰度值可能要由許多輸入像素的灰度值來(lái)決定，因而要

17、涉及多次計(jì)算。如果空間變換中包括縮小處理，則會(huì)有四個(gè)以上的輸入像素來(lái)決定一輸出像素的灰度值。如果含有放大處理，則一些輸出像素可能被漏掉(如果沒(méi)有輸入像素被映射到它們附近位置的話)。 而向后映射算法是逐像素、逐行地產(chǎn)出輸出圖像。每個(gè)像素的灰度級(jí)由最多四個(gè)像素參與的插值所唯一確定。當(dāng)然，這種算法需按空間變換所定義的方式隨機(jī)訪問(wèn)輸入圖像，因而可能有些復(fù)雜。雖然如此，像素填充法對(duì)一般的應(yīng)用更為切實(shí)可行。6、灰度插值、灰度插值 1、最近鄰插值、最近鄰插值(Nearest Neighborhood Interpolation. NNI)intintintint( , )( ,)(,)()(,)x yx y

18、xyg xyf xy 逆變換近鄰取整賦值問(wèn)題：有失真（放大時(shí)只重復(fù)復(fù)制，縮小時(shí)只是扔掉一些象素）問(wèn)題：有失真（放大時(shí)只重復(fù)復(fù)制，縮小時(shí)只是扔掉一些象素） （x，y） （x+1，y） （x，y） 1-q （x，y+1） （x+1，y+1） p 1-p q 6、灰度插值、灰度插值2、線性插值（、線性插值（Linear Interpolation）已知x1,x2 處灰度g1,g2，求x3處灰度g3。 6、灰度插值、灰度插值3、雙線性插值（、雙線性插值（Linear Interpolation） f(1,1) f(0,0) f(1,0) f(x,y) X (1,0) (x,0) (x,y) (0,0)

19、 (1,1) f(0,1) (0,y) (x,1) (0,1) Y 插值點(diǎn) 已知正方形網(wǎng)格上四點(diǎn)灰度，求P點(diǎn)灰度。 )0 ,() 1 ,()0 ,(),()1 , 0() 1 , 1 () 1 , 0() 1 ,()0 , 0()0 , 1 ()0 , 0()0 ,(xfxfyxfyxfffxfxfffxfxf7、透視投影、透視投影l(fā)把三維物體或?qū)ο筠D(zhuǎn)變?yōu)槎S圖形表示的過(guò)程稱(chēng)為投影變換。根據(jù)視點(diǎn)（投影中心）與投影平面之間距離的不同，投影可分為平行投影和透視投影，透視投影即透視變換。l平行投影的視點(diǎn)與投影平面之間的距離為無(wú)窮大，而對(duì)透視投影（變換），該距離是有限的。這個(gè)距離決定著透視投影的特性透

20、視縮小效應(yīng)，即三維物體或?qū)ο笸敢曂队暗拇笮∨c形體到視點(diǎn)的距離成反比。7、透視投影、透視投影l(fā)對(duì)于透視投影，一束平行于投影面的平行線的投影可保持平行，而不平行于投影面的平行線的投影會(huì)聚集到一個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)稱(chēng)為滅點(diǎn) (Vanishing Point)。滅點(diǎn)可以看作是無(wú)限遠(yuǎn)處的一點(diǎn)在投影面上的投影。l透視投影的滅點(diǎn)可以有無(wú)限多個(gè)，不同方向的平行線在投影面上就能形成不同的滅點(diǎn)，坐標(biāo)軸方向的平行線在投影面上形成的滅點(diǎn)又稱(chēng)作主滅點(diǎn)。因?yàn)橛衳,y和z三個(gè)坐標(biāo)軸，所以主滅點(diǎn)最多有3個(gè)。l透視投影是按主滅點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)分類(lèi)的，即按投影面與坐標(biāo)軸的夾角來(lái)分類(lèi)的，可分為一點(diǎn)透視、二點(diǎn)透視和三點(diǎn)透視。7、透視投影、透視投影透視變換（a）一點(diǎn)透視； (b) 二點(diǎn)透視； (c) 三點(diǎn)透視 (a)(b)(c)滅 點(diǎn)滅 點(diǎn)滅