復變函數(shù)與積分變換第01章復數(shù)與復變函數(shù)

1、北京交通大學理學院北京 2011.9北京交通大學本科生工程數(shù)學電子教案北京交通大學本科生工程數(shù)學電子教案課程名稱課程名稱復變函數(shù)與積分變換復變函數(shù)與積分變換教教 材材工程數(shù)學工程數(shù)學- -復變函數(shù)復變函數(shù)( (第四版第四版) ) 西安交通大學高等數(shù)學教研室西安交通大學高等數(shù)學教研室 編編總總 學學 時時32學時學時教師姓名黃曉鳴黃曉鳴研究對象研究對象復變函數(shù)（自變量為復數(shù)的函數(shù)）復變函數(shù)（自變量為復數(shù)的函數(shù)）主要任務主要任務研究復變數(shù)之間的相互依賴關系，研究復變數(shù)之間的相互依賴關系，具體地就是復數(shù)域上的微積分。具體地就是復數(shù)域上的微積分。主要內容主要內容復變函數(shù)的積分、級數(shù)、留數(shù)、復變函數(shù)的積

2、分、級數(shù)、留數(shù)、共形映射等。共形映射等。復數(shù)與復變函數(shù)、解析函數(shù)、復數(shù)與復變函數(shù)、解析函數(shù)、學習方法復變函數(shù)中許多概念、理論、和復變函數(shù)中許多概念、理論、和方法是實變函數(shù)在復數(shù)域內的推方法是實變函數(shù)在復數(shù)域內的推廣和發(fā)展，它們之間有許多相似廣和發(fā)展，它們之間有許多相似之處。但又有不同之處，在學習之處。但又有不同之處，在學習中要善于比較、區(qū)別、特別要注中要善于比較、區(qū)別、特別要注意復數(shù)域上特有的那些性質與結意復數(shù)域上特有的那些性質與結果。果。復數(shù)是十六世紀人們在解代數(shù)方程時引進的。復數(shù)是十六世紀人們在解代數(shù)方程時引進的。為使負數(shù)開方有意義，需要再一次擴大數(shù)系，使實為使負數(shù)開方有意義，需要再一次擴

3、大數(shù)系，使實數(shù)域擴大到復數(shù)域。但在十八世紀以前，由于對復數(shù)域擴大到復數(shù)域。但在十八世紀以前，由于對復數(shù)的概念及性質了解得不清楚，用它們進行計算又數(shù)的概念及性質了解得不清楚，用它們進行計算又得到一些矛盾，所以，在歷史上長時期人們把復數(shù)得到一些矛盾，所以，在歷史上長時期人們把復數(shù)看作不能接受的看作不能接受的“虛數(shù)虛數(shù)”。直到十八世紀，。直到十八世紀，J.DJ.DAlembertAlembert(1717-1783)(1717-1783)與與L.EulerL.Euler(1707-1783)(1707-1783)等人逐步闡明了復數(shù)的幾何意義和物理意義，澄清等人逐步闡明了復數(shù)的幾何意義和物理意義，澄清

4、了復數(shù)的概念，并且應用復數(shù)和復變函數(shù)研究了流了復數(shù)的概念，并且應用復數(shù)和復變函數(shù)研究了流體力學等方面的一些問題。復數(shù)才被人們廣泛承認體力學等方面的一些問題。復數(shù)才被人們廣泛承認接受，復變函數(shù)論才能順利建立和發(fā)展。接受，復變函數(shù)論才能順利建立和發(fā)展。 復變函數(shù)的理論基礎是十九世紀奠定的。復變函數(shù)的理論基礎是十九世紀奠定的。 A.L.CauchyA.L.Cauchy（1789-1866)1789-1866)和和K.WeierstrassK.Weierstrass(1815-(1815-1 8 9 7 )1 8 9 7 ) 分 別 應 用 積 分 和 級 數(shù) 研 究 復 變 函 數(shù) ，分 別 應 用

5、 積 分 和 級 數(shù) 研 究 復 變 函 數(shù) ，G.F.B.RiemannG.F.B.Riemann(1826-1866)(1826-1866)研究復變函數(shù)的映照性研究復變函數(shù)的映照性質。他們是這一時期的三位代表人物。經(jīng)過他們的質。他們是這一時期的三位代表人物。經(jīng)過他們的巨大努力，復變函數(shù)形成了非常系統(tǒng)的理論，且滲巨大努力，復變函數(shù)形成了非常系統(tǒng)的理論，且滲透到了數(shù)學的許多分支，同時，它在熱力學，流體透到了數(shù)學的許多分支，同時，它在熱力學，流體力學和電學等方面也得到了很多的應用。力學和電學等方面也得到了很多的應用。二十世紀以來，復變函數(shù)已被廣泛地應用在理二十世紀以來，復變函數(shù)已被廣泛地應用在理

6、論物理、彈性理論和天體力學等方面，與數(shù)學中其論物理、彈性理論和天體力學等方面，與數(shù)學中其它分支的聯(lián)系也日益密切。它分支的聯(lián)系也日益密切。& 1. 1. 復數(shù)的概念復數(shù)的概念& 2. 2. 代數(shù)運算代數(shù)運算& 3. 3. 共軛復數(shù)共軛復數(shù)A 一般一般, , 任意兩個復數(shù)不能比較大小。任意兩個復數(shù)不能比較大小。1. 復數(shù)的概念復數(shù)的概念定義定義 對任意兩實數(shù)對任意兩實數(shù)x、y ,稱稱 z=x+iy或或z=x+yi為為復數(shù)。復數(shù)。稱為虛單位。稱為虛單位。其中其中ii,1 2 復數(shù)復數(shù)z 的實部的實部 Re(z) = x ; 虛部虛部 Im(z) = y . (real part) (imaginar

7、y part)0|22 yxz 復數(shù)的模復數(shù)的模0)Im()Re(0,222111212121 zzziyxziyxzyyxxzz其中其中 判斷復數(shù)相等判斷復數(shù)相等定義定義 z1=x1+iy1與與z2=x2+iy2的的和、差、積和商和、差、積和商為：為： z1z2=(x1x2)+i(y1y2) z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)0(|222211222212121 zzyxyxizyyxxzzz2. 代數(shù)運算代數(shù)運算z1+z2=z2+z1；z1z2=z2z1；(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；z1(z2z3)=(z1z2)z3

8、；z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .復數(shù)的運算滿足復數(shù)的運算滿足交換律、結合律、分配律交換律、結合律、分配律。（與實數(shù)相同與實數(shù)相同）即，）即，2121)()1(zzzz 2121)(zzzz 2121)(zzzz zz )2(2|1zzz 2222)Im()Re()3(yxzzzz )Im(2 )Re(2)4(zizzzzz 3.共軛復數(shù)共軛復數(shù)定義定義 若若z=x+iy , 稱稱 z=x-iy 為為z 的的共軛復數(shù)共軛復數(shù).(conjugate).,)( ,43,55:1212121虛部虛部及它們的實部及它們的實部求求設設例例zzzziziz 574355:21 iiizz解解41

9、1:2 ii求求例例iii 11)(.,0aaaa . 3011-1nn現(xiàn)現(xiàn)實實多多項項式式的的零零點點成成對對出出也也是是其其根根則則的的根根是是實實系系數(shù)數(shù)方方程程證證明明若若例例zxxxznn 22212212212:. 4zzzzzz 證證明明例例1. 點的表示點的表示),(yxiyxz一一對對有有序序實實數(shù)數(shù)易易見見， ( , )( , )( , )P x yx yzxiyP x y在平面上取定直角坐標系，則任意點一對有序實數(shù)平面上的點().zxiyxyP復數(shù)可用平面上坐標為 ， 的點 表示此時，xyz軸實軸軸虛軸平面復平面或平面)(yxPiyxz，復復平平面面上上的的點點 點的表示

10、：點的表示：A 數(shù)數(shù)z z與點與點z z同義同義. .無窮遠點怎么表示？無窮遠點怎么表示？擴充復平面：擴充復平面：復球面：復球面：xPNS擴充復平面上的無窮遠點擴充復平面上的無窮遠點 與復球面上的北極對應！與復球面上的北極對應！.,)(iyxzOPyxOPyxPiyxz 表表示示可可用用向向量量，點點2. 向量表示法向量表示法A 00 OPzzyxrOPzArg:,|22記記作作輻輻角角模模： oxy(z)P(x,y)rz xy 稱向量的長度為復數(shù)稱向量的長度為復數(shù)z=x+iy的的模?；蚧蚪^對值絕對值；以正實軸為始邊以正實軸為始邊, 以向量以向量 為終邊的角的為終邊的角的弧度數(shù)稱為復數(shù)弧度數(shù)稱

11、為復數(shù) z=x+iy 的的輻角輻角(z0時時).OP 輻角無窮多：輻角無窮多：Arg z=0+2k， kZ，xyzz/)Argtan(0 時，時， 0把其中滿足把其中滿足 的的0稱為輻角稱為輻角Argz的主值，的主值，記作記作0=argz。A z=0z=0時，輻角不確定。時，輻角不確定。 0, 00, 0arctan0, 02, 0arctanargyxyxxyyxRyxxyz 計算計算argz(z0) 的公式的公式A 當當z z落于一落于一, ,四象限時，不變。四象限時，不變。 A 當當z z落于第二象限時，加落于第二象限時，加 。 A 當當z z落于第三象限時，減落于第三象限時，減 。 a

12、rctan22yx請注意復數(shù)的幅角主值的計算！oxy(z) z1z2 z1+z2z2- z112121212)(:zzzzzzzz 三三角角不不等等式式由由此此得得由向量表示法知由向量表示法知之間的距離之間的距離與與點點2112zzzz 3. 三角表示法三角表示法)sin(cos irz cossinxryr由得4. 指數(shù)表示法指數(shù)表示法:cossiniEulerei再由公式得 irez 引進復數(shù)的幾何表示，可將平面圖形用復數(shù)方程引進復數(shù)的幾何表示，可將平面圖形用復數(shù)方程（或不等式）表示；反之，也可由給定的復數(shù)方（或不等式）表示；反之，也可由給定的復數(shù)方程（或不等式）來確定它所表示的平面圖形。

13、程（或不等式）來確定它所表示的平面圖形。例例1 用復數(shù)方程表示用復數(shù)方程表示:（1）過兩點）過兩點 zj=xj+iyj (j=1,2)的直線；的直線；（2）中心在點）中心在點(0, -1), 半徑為半徑為2的圓。的圓。oxy(z)Lz1z2z解解 （1） z=z1+t (z2-z1) （-t 0為半徑的為半徑的圓圓 | z -z 0|(或或 0 | z z 0| 0, 對任意對任意 z D, 均有均有 zG=z | |z|R，則，則D是有界是有界區(qū)域區(qū)域；否則無界。；否則無界。閉區(qū)域閉區(qū)域 區(qū)域區(qū)域D與它的邊界一起構成閉區(qū)域與它的邊界一起構成閉區(qū)域,.D記記為為.,00為為半半徑徑的的圓圓內內

14、所所有有的的點點以以為為圓圓點點表表示示以以rzrzz Re,Imyxzz表示分別平行于 軸和 軸的直線。.,.,1020201幾個點幾個點只是邊界增加了一個或只是邊界增加了一個或它仍然是區(qū)域它仍然是區(qū)域幾個點幾個點如果在其中去掉一個或如果在其中去掉一個或組成組成它的邊界由兩個圓周它的邊界由兩個圓周而且是有界的而且是有界的表示一個圓環(huán)表示一個圓環(huán)rzzrzzrzzr .0Im,0Re表表示示下下半半復復平平面面表表示示右右半半復復平平面面 zz2. 2. 簡單曲線（或簡單曲線（或JardanJardan曲線曲線) ),)()(),()()(baCtytxbtatyytxx 、實實變變函函數(shù)數(shù)表

15、表示示為為：平平面面上上一一條條連連續(xù)續(xù)曲曲線線可可令令z(t)=x(t)+iy(t) atb ;則曲線方程可記為：則曲線方程可記為：z=z(t)， atb.0)( )( ,)( )( 22則則稱稱該該曲曲線線為為光光滑滑的的且且、若若 tytxbaCtytx有限條光滑曲線相連接構成一條有限條光滑曲線相連接構成一條分段光滑曲線分段光滑曲線。 設連續(xù)曲線設連續(xù)曲線C：z=z(t)，atb，對于對于t1(a，b), t2 a, b,當當t1t2時，若時，若z(t1)=z(t2)，稱稱z(t1)為曲線為曲線C的重點。的重點。 稱稱沒有重點的連續(xù)曲線沒有重點的連續(xù)曲線C為簡單曲線或為簡單曲線或 Jar

16、dan曲線曲線;若簡單曲線若簡單曲線C 滿足滿足z(a)=z(b)時，則稱時，則稱此曲線此曲線C是是簡單閉曲線簡單閉曲線或或Jordan閉曲線閉曲線 。 z(a)=z(b)簡單閉曲線簡單閉曲線z(t1)=z(t2)不是簡單閉曲線不是簡單閉曲線3. 3. 單連通域與多連通域單連通域與多連通域任一條簡單閉曲線任一條簡單閉曲線 C：z=z(t)， ta，b，把復，把復平面唯一地分成三個互不相交的部分：一個是有平面唯一地分成三個互不相交的部分：一個是有界區(qū)域，稱為界區(qū)域，稱為C的內部；一個是無界區(qū)域，稱為的內部；一個是無界區(qū)域，稱為C的外部；還有一個是它們的公共邊界。的外部；還有一個是它們的公共邊界。

17、z(a)=z(b)Cz(a)=z(b)內部內部外部外部邊界邊界定義定義 復平面上的一個區(qū)域復平面上的一個區(qū)域 B ，如果如果B內的任何簡單閉曲線的內的任何簡單閉曲線的內部總在內部總在B內，就稱內，就稱 B為單連通為單連通域；非單連通域稱為多連通域。域；非單連通域稱為多連通域。例如例如 |z|0）是單連通的；）是單連通的； 0r|z|R是多連通的。是多連通的。單連通域單連通域多連通域多連通域多連通域多連通域單連通域單連通域Page 31-33 1（）（）；2；4（1）（3）；8（）（）（）；14（）（）； 19；21（）（）（）；22（）（）（）；1. 復變函數(shù)的定義復變函數(shù)的定義與實變函數(shù)定義

18、相類似與實變函數(shù)定義相類似定義定義).(, zfwzwivuwGzfiyxzG 記記作作）的的函函數(shù)數(shù)（簡簡稱稱復復變變函函數(shù)數(shù)是是復復變變數(shù)數(shù)則則稱稱復復變變數(shù)數(shù)與與之之對對應應就就有有一一個個或或幾幾個個使使得得存存在在法法則則的的非非空空集集合合是是一一個個復復數(shù)數(shù)設設A 是是多多值值函函數(shù)數(shù). .值值，稱稱多多個個是是單單值值函函數(shù)數(shù); ;值值，稱稱一一個個若若)( )(zfwzzfwz。論的函數(shù)均為單值函數(shù)論的函數(shù)均為單值函數(shù)今后無特別聲明，所討今后無特別聲明，所討面面區(qū)區(qū)域域（定定義義域域）的的定定義義集集合合，常常常常是是平平)(zfG函函數(shù)數(shù)值值集集合合, )(*GzzfwwG

19、 ),(),( )()(),();,(yxivyxuiyxfzfwvuivuwyxiyxz ),(),(yxvvyxuu 故故),(),()(yxvvyxuuivuzfw 2222()()2wzzxiywuivwuivxiyxyxyi令 則例例12222wzuxyvxy所以，例例2222211( )11f zxiyxyxy 若已知( )f zz將表示成的函數(shù)。1( )f zzz11,(),()22zxiyxzzyzzi設 則oxy(z)Gouv(w)GG*w=f(z)在幾何上，在幾何上， w=f(z)可以看作：可以看作：).() (*)(變換變換平面）的映射平面）的映射平面平面wGwzGzzf

20、w 的的原原象象。稱稱為為，而而映映象象的的象象點點為為稱稱wzzw)( 定義域定義域函數(shù)值集合函數(shù)值集合 2. 映射的概念映射的概念復變函數(shù)的幾何意義復變函數(shù)的幾何意義zw=f(z)wA 以下不再區(qū)分函數(shù)與映射（變換）。以下不再區(qū)分函數(shù)與映射（變換）。A 在復變函數(shù)中用兩個復平面上點集之間的在復變函數(shù)中用兩個復平面上點集之間的 對應關系來表達兩對變量對應關系來表達兩對變量 u，v 與與 x，y 之間的對應關系，以便在研究和理解復變之間的對應關系，以便在研究和理解復變 函數(shù)問題時，可借助于幾何直觀函數(shù)問題時，可借助于幾何直觀. .復變函數(shù)的幾何意義是一個映射（變換）復變函數(shù)的幾何意義是一個映射

21、（變換）.所構成的映射所構成的映射研究研究zw 例例3 iirezreirz )sin(cos設設解解關于實軸對稱的一個映射關于實軸對稱的一個映射見圖見圖1-11-2旋轉變換旋轉變換(映射映射)即，即，)sinsin()sincos( )(sin(cos yxiyxiyxiivuw 見圖見圖2.( 實常數(shù)）所構成的映射實常數(shù)）所構成的映射研究研究 zewi 例例4)( iiiiirereezewrez設設解解 sinsinsincosyxvyxuoxy(z)x、uy、v(z)、(w)ox、uy、v(z)、(w)o 圖圖1-1圖圖1-2圖圖2uv(w)o.2所所構構成成的的映映射射研研究究zw

22、例例5oxy(z)ouv(w) 2 oxy(z)ouv(w)R=2R=46 3 422 yx2zw 2zw 2zw 2zw 3. 反函數(shù)或逆映射反函數(shù)或逆映射例例 設設 z=w2 則稱則稱 為為z=w2的反函數(shù)或逆映射的反函數(shù)或逆映射zw )1 , 0(22 kezzwk為多值函數(shù)為多值函數(shù),2支支.定義定義 設設 w =f (z) 的定義集合為的定義集合為G,函數(shù)值集合為函數(shù)值集合為G*Gz *)(Gwzfw *Gw )()(wzGz 或或幾幾個個一一個個則稱則稱 為為 的反函數(shù)（的反函數(shù)（逆映射逆映射）。）。* ( ) ( )wfwwGzf zzG 顯然有當反函數(shù)單值時( ( )zf z一

23、般( )zw( )wf z()( )()()()( )wf zzwwf zGG當函數(shù) 映射和其反函數(shù) 逆映射都是單值的，則稱函數(shù) 映射是一一的。也稱集合與集合是一一對應的。例例 已知映射已知映射w = z3 ，求區(qū)域，求區(qū)域 在平面在平面w上的象。上的象。例例?1:,122平平面面上上怎怎樣樣的的曲曲線線映映射射成成被被平平面面上上的的曲曲線線判判斷斷已已知知映映射射wyxzzw 0arg3z1. 函數(shù)的極限函數(shù)的極限AzfzzAzfzzzfAAzfzzAzUzzfwzz )()(lim)(,)(,0, 0),(),( 000)000時時，或或當當時時的的極極限限，記記作作當當為為則則稱稱有有

24、時時當當）（，若若存存在在數(shù)數(shù)設設（定義定義uv(w)oA xy(z)o 0z)(zfw 幾何意義幾何意義: 當變點當變點 z 一旦進一旦進入入 z0 的充分小去的充分小去心鄰域時心鄰域時,它的象它的象點點 f(z) 就落入就落入A的的一個預先給定的一個預先給定的 鄰域中鄰域中A (1) (1)意義中意義中 的方式是任意的的方式是任意的. . 與一元實變函數(shù)相比較要求更高與一元實變函數(shù)相比較要求更高. .0zz(2) A是復數(shù). 2. 運算性質運算性質復變函數(shù)極限與其實部和虛部極限的關系：復變函數(shù)極限與其實部和虛部極限的關系：000( )( , )( , ) f zu x yiv x yzxi

25、y zxiy設定理定理1(3) 若f(z)在 處有極限,其極限是唯一的.0z000000( , )(,)000( , )(,)lim( , )lim( )lim( , )x yxyzzx yxyu x yuf zAuivv x yv則 BAzgzgzfzgzfABzgzfzgzfBAzgzfzgzfBzgAzfzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz )0)(lim()(lim)(lim)()(lim)(lim)(lim)()(lim)(lim)(lim)()(lim,)(lim)(lim000000000000則則若若定理定理2A 以上定理用極限定義證以上定理用極限定義證! !例例1.)(22在在平平面面上上處處