第三章剛體力學(xué)

1、剛體：剛體：受力時(shí)不改變形狀和體積的物體，是理想模型。受力時(shí)不改變形狀和體積的物體，是理想模型。特點(diǎn)：特點(diǎn)：(1)是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系(2)內(nèi)部任意兩質(zhì)點(diǎn)間的距離保持不變內(nèi)部任意兩質(zhì)點(diǎn)間的距離保持不變.第三章第三章 剛體力學(xué)剛體力學(xué) 物體運(yùn)動(dòng)問題的影響因素（物體的性質(zhì)）物體運(yùn)動(dòng)問題的影響因素（物體的性質(zhì)）（1 1）大小（大小（2 2）形狀（）形狀（3 3）質(zhì)量）質(zhì)量 (4)(4)占有空間位置（占有空間位置（5 5）變形）變形一、剛體一、剛體3.1 剛體的運(yùn)動(dòng)剛體的運(yùn)動(dòng) 二、二、 剛體的平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng) 平動(dòng)：平動(dòng)：剛體在運(yùn)動(dòng)過程中，在剛體中任作一條直線，剛體在運(yùn)動(dòng)過程中，在剛體中

2、任作一條直線，如果各個(gè)時(shí)刻該直線始終保持平行，這種運(yùn)動(dòng)稱為如果各個(gè)時(shí)刻該直線始終保持平行，這種運(yùn)動(dòng)稱為剛體的平動(dòng)剛體的平動(dòng)。trtrijddddijvvijaa2222ddddtrtrij,的的矢矢量量指指向向質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)表表示示質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)圖圖中中jirijijijrrr為為恒恒矢矢量量由由平平動(dòng)動(dòng)定定義義ijr取參考點(diǎn)取參考點(diǎn)O 結(jié)論：結(jié)論：剛體平動(dòng)時(shí)，其上各點(diǎn)具有相同的速度、剛體平動(dòng)時(shí)，其上各點(diǎn)具有相同的速度、加速度及相同的軌跡?？捎靡粋€(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)代加速度及相同的軌跡?？捎靡粋€(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)代替剛體的運(yùn)動(dòng)。替剛體的運(yùn)動(dòng)。Ojririjr 轉(zhuǎn)軸的方位隨時(shí)間變化轉(zhuǎn)軸的方位隨時(shí)間變化。剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，各個(gè)質(zhì)點(diǎn)

3、在運(yùn)動(dòng)中都繞同一直線作剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，各個(gè)質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)中都繞同一直線作圓周運(yùn)動(dòng)圓周運(yùn)動(dòng)。轉(zhuǎn)動(dòng)又分定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和非定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。轉(zhuǎn)動(dòng)又分定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和非定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。 轉(zhuǎn)動(dòng)：轉(zhuǎn)動(dòng)：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：非定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：非定軸轉(zhuǎn)動(dòng)： 轉(zhuǎn)軸固定于參考系的轉(zhuǎn)動(dòng)。轉(zhuǎn)軸固定于參考系的轉(zhuǎn)動(dòng)。剛體的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)一般可分解為剛體的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)一般可分解為平動(dòng)平動(dòng)和和轉(zhuǎn)動(dòng)。轉(zhuǎn)動(dòng)。xO p規(guī)定逆時(shí)針轉(zhuǎn)向規(guī)定逆時(shí)針轉(zhuǎn)向 為正為正.1. 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的描述定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的描述 (1) 角坐標(biāo)角坐標(biāo) 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程 (2) 角位移角位移 = (t+ t)- (t) = (t) 三、三、剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng) xOpz逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，

4、逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)， 0順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)， 0，順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng) J實(shí)實(shí)).剛體的總質(zhì)量剛體的總質(zhì)量 (同分布同分布,M m , JM Jm).轉(zhuǎn)軸的位置轉(zhuǎn)軸的位置(2)影響影響 J 的因素的因素:連續(xù)分布連續(xù)分布mrJd2(3)(3)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算：2222211nnrmrmrmJ VVrJd2SSrJd2llrJd2離散分布離散分布iiirmJ2mmmABCD圖 4-6lll【例】【例】如圖所示，在不計(jì)質(zhì)量的細(xì)桿組成的正三角形的頂如圖所示，在不計(jì)質(zhì)量的細(xì)桿組成的正三角形的頂角上，各固定一個(gè)質(zhì)量為角上，各固定一個(gè)質(zhì)量為m的小球，三角形邊長為的小球，三角形邊長為l。求：。求：

5、系統(tǒng)對(duì)過系統(tǒng)對(duì)過C C點(diǎn)，且與三角形平面垂直軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；點(diǎn)，且與三角形平面垂直軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；系統(tǒng)對(duì)過系統(tǒng)對(duì)過A A點(diǎn)，且點(diǎn)，且與三角形平面垂直軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與三角形平面垂直軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；若若A A處質(zhì)點(diǎn)也固定在處質(zhì)點(diǎn)也固定在B B處，的結(jié)果如何？處，的結(jié)果如何？)3(312mMMl22232MlmlmlJA2222MlmlmlJA討論：討論：J J與質(zhì)量有關(guān)（見與質(zhì)量有關(guān)（見、結(jié)果）結(jié)果） J J與軸的位置有關(guān)（比較與軸的位置有關(guān)（比較、結(jié)果）結(jié)果） J J與剛體質(zhì)量分布有關(guān)（比較與剛體質(zhì)量分布有關(guān)（比較、結(jié)果）結(jié)果）222333lmlmlmJc（1）（2）（3）【例】【例】求一質(zhì)量為求一質(zhì)量

6、為m,長為長為 l 的的均勻細(xì)棒的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量均勻細(xì)棒的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量. . ( (1 1) ) 轉(zhuǎn)軸通過棒的中心并與棒垂直轉(zhuǎn)軸通過棒的中心并與棒垂直. . (2) (2) 軸通過棒的一端并與棒垂直軸通過棒的一端并與棒垂直. .解解:xlOxxdlmxlmxmxJddd22dm對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為:在棒上取質(zhì)量元在棒上取質(zhì)量元,長為長為dx, 離軸離軸 O 為為 x .棒的線密度為棒的線密度為: :xlmmdd(1) 解為解為:2222121ddmlxxlmJJll22031dmlxxlmJl(2) 解為解為:(原點(diǎn)原點(diǎn)O在棒的左端點(diǎn)在棒的左端點(diǎn))【例】例】一質(zhì)量為一質(zhì)量為m, 半徑為半

7、徑為R的均勻圓盤的均勻圓盤, 求通過盤中求通過盤中心并與盤面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量心并與盤面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.解：解：ordrRrrSmd2ddJJdrr d2324212mRR取圓環(huán)為質(zhì)量元取圓環(huán)為質(zhì)量元質(zhì)量面密度：質(zhì)量面密度：2RmrrmrJd2dd32幾種典型形狀剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量幾種典型形狀剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 圓筒圓筒 )(212221RRmJ圓環(huán)圓環(huán)RmO O 圓柱圓柱 221mRJ LRR2R12121mlJ 細(xì)圓棒細(xì)圓棒l2mRJ R圓球圓球 252mRJ 球殼球殼 R232mRJ 平行軸定理平行軸定理 若剛體對(duì)過質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為若剛體對(duì)過質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Jc, 則剛體對(duì)與則剛體對(duì)

8、與該軸相距為該軸相距為 d 的平行軸的平行軸 z 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jz是是:2mdJJczmJ Jz zJ Jc c221mRJc2221mRmRJz223mR垂直于桿的軸通過桿的中心2121mlJ 垂直于桿的軸通過桿的端點(diǎn)231mlJ 垂直于桿的軸通過桿的1/4處 2487mlJ 勻質(zhì)直桿對(duì)垂直于桿的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量勻質(zhì)直桿對(duì)垂直于桿的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量掛鐘擺錘的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量掛鐘擺錘的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 (桿長為桿長為l, 質(zhì)質(zhì)量為量為m1, 擺錘半徑為擺錘半徑為R, 質(zhì)量為質(zhì)量為m2) : 22222122131RlmRmlmmdJJc掛在光滑釘子上的勻質(zhì)圓環(huán)擺動(dòng)掛在光滑釘子上的勻質(zhì)圓環(huán)擺動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的轉(zhuǎn)

9、動(dòng)慣量(圓環(huán)質(zhì)量為圓環(huán)質(zhì)量為m, 半徑半徑為為R):22222mRmRmRmdJJctJJMdd兩類問題：一類是已知力矩求轉(zhuǎn)動(dòng)；兩類問題：一類是已知力矩求轉(zhuǎn)動(dòng)； 二類是已知轉(zhuǎn)動(dòng)求力矩。二類是已知轉(zhuǎn)動(dòng)求力矩。（1 1）選取研究對(duì)象，隔離之）選取研究對(duì)象，隔離之（2 2）分析隔離體受力和力矩）分析隔離體受力和力矩（3 3）寫出微分方程）寫出微分方程（4 4）根據(jù)題意找出所選各隔離體之間的聯(lián)系）根據(jù)題意找出所選各隔離體之間的聯(lián)系（5 5）求解）求解【例】【例】一個(gè)質(zhì)量為一個(gè)質(zhì)量為m的物體與繞在定滑輪上的繩子相聯(lián)的物體與繞在定滑輪上的繩子相聯(lián), 繩繩子質(zhì)量可以忽略子質(zhì)量可以忽略, 它與定滑輪之間無滑動(dòng)

10、它與定滑輪之間無滑動(dòng). 假設(shè)定滑輪的質(zhì)量假設(shè)定滑輪的質(zhì)量為為m0 ,半徑為半徑為R, 其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為m0R2/2, 滑輪軸光滑滑輪軸光滑. 試求該物試求該物體由靜止開始下落的過程中體由靜止開始下落的過程中, 下落速度與時(shí)間的關(guān)系下落速度與時(shí)間的關(guān)系.解解: 由牛頓第二定律和剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律由牛頓第二定律和剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律:m0mRTmg對(duì)對(duì)m:maTmg(1)對(duì)對(duì)m0:JTR (2)Ra (3)聯(lián)立聯(lián)立(1),(2),(3)解得解得:022mmmga恒矢量恒矢量,與與時(shí)間無關(guān)時(shí)間無關(guān).由初始條件由初始條件 ,得得00v022mmmgtatvT【例例】一質(zhì)量為一質(zhì)量為m的物體懸于一條輕

11、繩的一端，繩繞在一的物體懸于一條輕繩的一端，繩繞在一滑輪滑輪的軸上。軸水平且垂直于輪軸面，其半徑為的軸上。軸水平且垂直于輪軸面，其半徑為r，整，整個(gè)裝置架在光滑的固定軸承上。當(dāng)物體從靜止釋放后，個(gè)裝置架在光滑的固定軸承上。當(dāng)物體從靜止釋放后，在時(shí)間在時(shí)間t內(nèi)下降了一段距離內(nèi)下降了一段距離S，試求整個(gè)滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，試求整個(gè)滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（用（用m，r，t和和S表示）表示）JTrmaTmgra TT rmo221atS )1S2gt(mrJ22TmgT【思考】【思考】組合輪可以繞通過其中心且垂直于盤面的光滑水組合輪可以繞通過其中心且垂直于盤面的光滑水平固定軸平固定軸o轉(zhuǎn)動(dòng)，對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，對(duì)o軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣

12、量軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=9mr2/2 。兩圓盤邊緣。兩圓盤邊緣上分別繞有輕質(zhì)細(xì)繩，細(xì)繩下端各懸掛質(zhì)量為上分別繞有輕質(zhì)細(xì)繩，細(xì)繩下端各懸掛質(zhì)量為m的物體的物體A和和B，這一系統(tǒng)從靜止開始運(yùn)動(dòng)，這一系統(tǒng)從靜止開始運(yùn)動(dòng),繩與盤無相對(duì)滑動(dòng)且長度不繩與盤無相對(duì)滑動(dòng)且長度不變。已知小圓盤的半徑為變。已知小圓盤的半徑為r，質(zhì)量為，質(zhì)量為m；大圓盤的半徑；大圓盤的半徑r=2r，質(zhì)量，質(zhì)量m = 2m 。 求：組合輪的角加速度求：組合輪的角加速度的大小的大小。TTTTmgmgmamgT222)2(2/9:rmmrmrmgr解解得得rm,rm,ABo解：解：29)2(2mrTrrT)2(ra amTmgra ABCmC

13、圖 4-9BmAmR【例】【例】輕繩經(jīng)過水平光滑桌面上的定滑輪輕繩經(jīng)過水平光滑桌面上的定滑輪C連接兩物體連接兩物體A和和B，A、B質(zhì)量分別為質(zhì)量分別為mA、mB，滑輪視為圓盤，其質(zhì)量為，滑輪視為圓盤，其質(zhì)量為mC半徑為半徑為R，AC水平并與軸垂直，繩與滑輪無相對(duì)滑動(dòng)，水平并與軸垂直，繩與滑輪無相對(duì)滑動(dòng)，不計(jì)軸處摩擦，求不計(jì)軸處摩擦，求B的加速度，的加速度，AC、BC間繩的張力大小。間繩的張力大小。11TT 22TT Ra amTA11T2T1TgmB2TamTgmBB221221RmRTRTcCcBABcAcBABAcBABmmmgmmmTmmmgmmTmmmgma2121212121不計(jì)不計(jì)

14、mc時(shí)，時(shí)，BABABABmmgmmTTmmgma21解解: 平行軸定理平行軸定理2mdJJco2220916121mllmmlJ0o0JM lgmlmglJM239620轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:OBAC質(zhì)心質(zhì)心【例】【例】一質(zhì)量為一質(zhì)量為m, 長為長為l的均質(zhì)細(xì)桿的均質(zhì)細(xì)桿, 轉(zhuǎn)軸在轉(zhuǎn)軸在O點(diǎn)點(diǎn), 距距A端端l/3. 今使棒從靜止開始由水平位置繞今使棒從靜止開始由水平位置繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng),求求: (1)水平位置的角速度和角加速度水平位置的角速度和角加速度. (2)垂直位置時(shí)的角速度和角加速度垂直位置時(shí)的角速度和角加速度. (3)棒在豎直位置時(shí)棒在豎直位置時(shí),棒的兩端和中點(diǎn)的速度和加速度棒的兩端和中

15、點(diǎn)的速度和加速度. (2)垂直位置時(shí)的角速度和角加速度垂直位置時(shí)的角速度和角加速度. tJJMddcos6lmgdcos23dlgdcos23d00lgsin3lgsin23212lg0OBAC質(zhì)心質(zhì)心dd912mltmldd912lg32時(shí)，時(shí)，)(6/36/3CC方向向左方向向左glllgrv)(3/33/3AA方方向向向向右右glllgrv (3) 棒在豎直位置時(shí)棒在豎直位置時(shí),棒的兩端和中點(diǎn)的速度和加速度棒的兩端和中點(diǎn)的速度和加速度.OBAC質(zhì)心質(zhì)心2/,2,C2CB2BA2Agragragra)(3/323/2/3BB方方向向向向左左glllgrv【例】【例】 一半徑為一半徑為R,

16、質(zhì)量為質(zhì)量為m的均勻圓盤平放在粗糙的水平的均勻圓盤平放在粗糙的水平面上面上. 若它的初始角速度為若它的初始角速度為 0, 繞中心繞中心O旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn), 問經(jīng)過多長時(shí)問經(jīng)過多長時(shí)間圓盤才停止間圓盤才停止.(設(shè)摩擦系數(shù)為設(shè)摩擦系數(shù)為 )oRdrr解：解：mgrMdd22d2d2dRrmrrrRmm22d2dRrgrmMmgRRrmgrMR32d2022tJJMddtmRmgRdd21322d43dgRt000d43dgRttgRt430【例例】設(shè)電風(fēng)扇的電機(jī)力矩恒定為設(shè)電風(fēng)扇的電機(jī)力矩恒定為M，風(fēng)葉所受空氣阻力，風(fēng)葉所受空氣阻力矩矩的大小的大小為為Mf=K，風(fēng)葉轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，風(fēng)葉轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J。求（求（1

17、）通電后）通電后t時(shí)刻的角速度時(shí)刻的角速度；(2)穩(wěn)定轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的角速度；（穩(wěn)定轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的角速度；（3）穩(wěn)定轉(zhuǎn)）穩(wěn)定轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)斷開電源，風(fēng)葉還能繼續(xù)轉(zhuǎn)多少角度？動(dòng)時(shí)斷開電源，風(fēng)葉還能繼續(xù)轉(zhuǎn)多少角度？tJKMdd解：tJtKM00dd)1 (tJKeKMKMtmtJKdd) 3(00mddJK2mKJMKJddddddJtJ。時(shí)時(shí)，為為電電扇扇的的穩(wěn)穩(wěn)定定速速度度或或mKM 3.3 3.3 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中中的的功與能功與能動(dòng)能動(dòng)能:2222121iiiirmmv剛體的總動(dòng)能剛體的總動(dòng)能:2222k2121iiiirmrmE2k21JE mizirivmhmmgghmEiiiip剛體的重力勢能等

18、于質(zhì)量集中于質(zhì)心的重力勢能剛體的重力勢能等于質(zhì)量集中于質(zhì)心的重力勢能.cmghE p質(zhì)心高度質(zhì)心高度hcddMA力矩力矩:rFM力矩的總功力矩的總功:21dMAoxdP力矩的元功力矩的元功:說明：說明： 1）本質(zhì)上仍然是力的功本質(zhì)上仍然是力的功2）當(dāng)力矩為常量時(shí)）當(dāng)力矩為常量時(shí)，力矩的功為，力矩的功為)(d1221MMAsF ddrF剛體中剛體中P點(diǎn)在力點(diǎn)在力 的作用下位移的作用下位移 ,則則力元功力元功 F力矩功率力矩功率:MtMtAPdddd21diMA4）合外力矩的功）合外力矩的功:inAAAA213）內(nèi)力矩的功）內(nèi)力矩的功=05）力矩的功是力矩對(duì)空間的累積效應(yīng)）力矩的功是力矩對(duì)空間的累

19、積效應(yīng)當(dāng)當(dāng)M與與同向，同向，P為正；當(dāng)為正；當(dāng)M與與反向，反向，P為負(fù)為負(fù)baMArFAMPvFPbadd轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)平平動(dòng)動(dòng)類比：類比：212121ddd21nMMMtJJMddddJM1k2k21222121d21EEJJMAk2d)21(ddEJA常量常量222121mvJmghc只有保守內(nèi)力做功只有保守內(nèi)力做功剛體機(jī)械能守恒剛體機(jī)械能守恒微分形式微分形式積分形式積分形式tJddddddJ【例】【例】 一質(zhì)量為一質(zhì)量為M, 半徑半徑R的圓盤的圓盤, 盤上繞有細(xì)繩盤上繞有細(xì)繩, 一一端掛有質(zhì)量為端掛有質(zhì)量為m的物體的物體. 問物體由靜止下落高度問物體由靜止下落高度h時(shí)時(shí), 其速度為多大？其速度

20、為多大？mgTMm解解1:0212JTR0212mvThmgh RhRv 221MRJ 解得：解得：mMmgh22v由動(dòng)能定理由動(dòng)能定理:將地球、圓盤、物體作為一個(gè)系統(tǒng)將地球、圓盤、物體作為一個(gè)系統(tǒng).0解解2:0外M機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒mgTMmRv 221MRJ 解得：解得：mMmgh22v221J221mvmgh【例】【例】 滑塊質(zhì)量為滑塊質(zhì)量為m, 滑輪半徑為滑輪半徑為R, 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J,彈簧勁彈簧勁度系數(shù)為度系數(shù)為k, 斜面角度為斜面角度為 . 不計(jì)摩擦不計(jì)摩擦. 當(dāng)彈簧無形變時(shí)將滑當(dāng)彈簧無形變時(shí)將滑塊由靜止釋放塊由靜止釋放. 求求(1)滑塊滑塊下滑下滑x時(shí)的加速度時(shí)的加速度

21、; (2) 下滑的最大距離下滑的最大距離.解解: JkxRTR對(duì)于滑塊：對(duì)于滑塊：maTmgsin可得可得:JmRkxRmgRa222sin對(duì)于滑輪對(duì)于滑輪:(1) 根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定理根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定理Ox RmkRa 沿斜面建立坐標(biāo)沿斜面建立坐標(biāo), 以以A的初始的初始位置為位置為原點(diǎn)原點(diǎn). 得得sin212pmgSkSE滑滑kmgSsin2Ox Rmk(2) 下滑的最大距離下滑的最大距離.設(shè)滑塊由靜止釋放沿斜面下滑設(shè)滑塊由靜止釋放沿斜面下滑的最大距離為的最大距離為S, 則則設(shè)原點(diǎn)為勢能零點(diǎn)設(shè)原點(diǎn)為勢能零點(diǎn).以整體和地球?yàn)橄到y(tǒng)以整體和地球?yàn)橄到y(tǒng), 其機(jī)械能守恒其機(jī)械能守恒.滑滑pEm5 . 1圖 4-16

22、k0pEC1.5m【例】【例】一輕彈簧與一勻質(zhì)細(xì)桿一輕彈簧與一勻質(zhì)細(xì)桿l=1m相連，彈簧倔強(qiáng)系數(shù)相連，彈簧倔強(qiáng)系數(shù)k=40N/m，細(xì)桿質(zhì)量為，細(xì)桿質(zhì)量為m=3kg。桿可繞桿可繞c軸無摩擦轉(zhuǎn)動(dòng)。若當(dāng)軸無摩擦轉(zhuǎn)動(dòng)。若當(dāng)=0時(shí)彈簧為原長，那么細(xì)桿時(shí)彈簧為原長，那么細(xì)桿在在=0的位置上至少具有多大的位置上至少具有多大的角速度才能轉(zhuǎn)到水平位置？的角速度才能轉(zhuǎn)到水平位置？Ep=0解：解：取彈簧、桿、地為系統(tǒng)，由題意知系統(tǒng)機(jī)械能守恒。取彈簧、桿、地為系統(tǒng)，由題意知系統(tǒng)機(jī)械能守恒。222225 . 00 . 15 . 12131212kmllmg140mNkkgm3ml128 . 9smg118. 6srad

23、【例】【例】滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為0.01kg m2，半徑為，半徑為7cm，物體質(zhì)量為，物體質(zhì)量為5kg，由一繩與倔強(qiáng)系數(shù)，由一繩與倔強(qiáng)系數(shù)k=200N/m的彈簧相連，若繩與滑輪間的彈簧相連，若繩與滑輪間無相對(duì)滑動(dòng)，滑輪軸上的摩擦忽略不計(jì)，求：（無相對(duì)滑動(dòng)，滑輪軸上的摩擦忽略不計(jì)，求：（1）當(dāng)繩拉直，）當(dāng)繩拉直，彈簧無伸長時(shí)，使物體由靜止而下落的最大距離；（彈簧無伸長時(shí)，使物體由靜止而下落的最大距離；（2）物體）物體速度達(dá)到最大值的位置及最大速率。速度達(dá)到最大值的位置及最大速率。:.) 1 ( :則則根根據(jù)據(jù)機(jī)機(jī)械械能能守守恒恒重重力力勢勢能能零零點(diǎn)點(diǎn)開開始始時(shí)時(shí)物物體體所所在在位位置置

24、為為解解mghkh 2210m49. 02kmgh,)2(xv下下落落的的距距離離為為設(shè)設(shè)這這時(shí)時(shí)物物體體的的速速率率為為加加速速度度為為零零時(shí)時(shí)速速度度最最大大km1T2Tkxmg mgxmvRvJkx22221)(21210m/s3 . 1222mRJkxmgxv.,2121TTkxTmgT且且則則m245. 0kmgx:根據(jù)機(jī)械能守恒根據(jù)機(jī)械能守恒3.4 3.4 角動(dòng)量角動(dòng)量 角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律設(shè)設(shè): t 時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位矢時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位矢質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量 運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于參考原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于參考原點(diǎn)O的角動(dòng)量定義為的角動(dòng)量定義為:Kg m2s-1rLpxyzOsinsinvrm

25、rpLh 矢經(jīng)矢經(jīng) 和動(dòng)量和動(dòng)量 的矢積方向的矢積方向垂直于垂直于 和和 組成的平面，指向由右手螺旋法則確定組成的平面，指向由右手螺旋法則確定prrphmvm角動(dòng)量與參考點(diǎn)角動(dòng)量與參考點(diǎn)O的位置有關(guān)的位置有關(guān). 注意注意:根據(jù)質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量的定義根據(jù)質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量的定義兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得所以所以結(jié)論：結(jié)論：質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率等于質(zhì)點(diǎn)所受的合質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率等于質(zhì)點(diǎn)所受的合外力矩，這就是外力矩，這就是質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理。注：注： 是相對(duì)于同一是相對(duì)于同一參考點(diǎn)而言的參考點(diǎn)而言的!結(jié)論：結(jié)論：相對(duì)于某一參考點(diǎn)，如果質(zhì)點(diǎn)所受的合外力矩為相對(duì)于某一參考點(diǎn)，如果

26、質(zhì)點(diǎn)所受的合外力矩為零，則質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量保持不變，這就是零，則質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量保持不變，這就是質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律恒定律。說明：說明：2）質(zhì)點(diǎn)在有心力所用下運(yùn)動(dòng)時(shí)，其對(duì)力心的角動(dòng)量）質(zhì)點(diǎn)在有心力所用下運(yùn)動(dòng)時(shí)，其對(duì)力心的角動(dòng)量守恒。守恒。當(dāng)當(dāng) 時(shí)，有時(shí)，有，有兩種情況：，有兩種情況：1）合力）合力 ，外力矩，外力矩 ，角動(dòng)量守恒；，角動(dòng)量守恒；mvrL太陽太陽行星行星0M角動(dòng)量守恒角動(dòng)量守恒注意：注意：動(dòng)量守恒與角動(dòng)量守恒是相互動(dòng)量守恒與角動(dòng)量守恒是相互獨(dú)立獨(dú)立的定律的定律如行星運(yùn)動(dòng)如行星運(yùn)動(dòng)動(dòng)量動(dòng)量不不守恒守恒角動(dòng)量角動(dòng)量守恒守恒在近日點(diǎn)轉(zhuǎn)得快，在遠(yuǎn)日點(diǎn)轉(zhuǎn)得慢。在近日點(diǎn)轉(zhuǎn)得快，在遠(yuǎn)日點(diǎn)

27、轉(zhuǎn)得慢?！纠俊纠枯p繩一端系著質(zhì)量為輕繩一端系著質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn)，另一端穿過光滑的質(zhì)點(diǎn)，另一端穿過光滑水平桌面上的小孔水平桌面上的小孔 O 用力用力 拉著，如圖所示。質(zhì)點(diǎn)原來拉著，如圖所示。質(zhì)點(diǎn)原來以速率以速率 v 作半徑為作半徑為 r 的圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)?shù)膱A周運(yùn)動(dòng)，當(dāng) 拉動(dòng)繩子向正下拉動(dòng)繩子向正下方移動(dòng)方移動(dòng) r/2 時(shí)，（時(shí)，（1）質(zhì)點(diǎn)的速度）質(zhì)點(diǎn)的速度v =?（2）此過程中）此過程中 所所作的功。作的功。2rFrmv圖 4-17222212223212212121mvmvvmmvmvA（1 1）轉(zhuǎn)動(dòng)中，）轉(zhuǎn)動(dòng)中， 解：解：2211rmvrmv22rmvmvr vv22有有得得（2 2）質(zhì)

28、點(diǎn)的速度增加了，動(dòng)能也增加了。）質(zhì)點(diǎn)的速度增加了，動(dòng)能也增加了。動(dòng)能的增加，是由于力做了功。動(dòng)能的增加，是由于力做了功。2iiirmLL質(zhì)點(diǎn)對(duì)定軸質(zhì)點(diǎn)對(duì)定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 miziriv2iiirrviiimmLJ2iirm結(jié)論：結(jié)論：剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量，等于剛體對(duì)該軸的剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量，等于剛體對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度的乘積。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度的乘積。注意：注意：當(dāng)表述剛體的角動(dòng)量時(shí)，必須指明是對(duì)哪一軸當(dāng)表述剛體的角動(dòng)量時(shí)，必須指明是對(duì)哪一軸的角動(dòng)量。的角動(dòng)量。由轉(zhuǎn)動(dòng)定律由轉(zhuǎn)動(dòng)定律:稱為稱為dt 時(shí)間內(nèi)剛體所受合外力矩的時(shí)間內(nèi)剛體所受合外力矩的沖量矩沖量矩.tMd 微分形式微分

29、形式結(jié)論：結(jié)論：剛體在某段剛體在某段時(shí)間內(nèi)所受合外力矩的沖量矩等于該時(shí)間內(nèi)所受合外力矩的沖量矩等于該段時(shí)間內(nèi)剛體角動(dòng)量的增量段時(shí)間內(nèi)剛體角動(dòng)量的增量. . 積分形式積分形式注意：注意：角動(dòng)量和合外力矩都是相對(duì)于同一軸而言的。角動(dòng)量和合外力矩都是相對(duì)于同一軸而言的。 剛體所受合外力矩為零剛體所受合外力矩為零, 則則剛體的角動(dòng)量保持不變剛體的角動(dòng)量保持不變.說明：說明：1）角動(dòng)量守恒既適用于剛體也適用于非剛體。角動(dòng)量守恒既適用于剛體也適用于非剛體。 對(duì)于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體來說，對(duì)于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體來說，對(duì)于非剛體來說，對(duì)于非剛體來說，角動(dòng)量守恒的另一類現(xiàn)象角動(dòng)量守恒的另一類現(xiàn)象變小則變大，乘積保持不變，

30、變大則變小。收臂大小 用外力矩用外力矩啟動(dòng)轉(zhuǎn)盤后啟動(dòng)轉(zhuǎn)盤后撤除外力矩撤除外力矩張臂大小花樣滑冰中常見的例子角動(dòng)量守恒的另一類現(xiàn)象變小則變大，乘積保持不變，變大則變小。收臂大小 用外力矩用外力矩啟動(dòng)轉(zhuǎn)盤后啟動(dòng)轉(zhuǎn)盤后撤除外力矩撤除外力矩張臂大小花 樣 滑 冰收臂大小張臂大小先使自己轉(zhuǎn)動(dòng)起來收臂大小2）角動(dòng)量守恒既適用于宏觀、低速領(lǐng)域也適用于微角動(dòng)量守恒既適用于宏觀、低速領(lǐng)域也適用于微觀、高速領(lǐng)域。觀、高速領(lǐng)域。3）當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)物體由幾個(gè)剛體組成時(shí)當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)物體由幾個(gè)剛體組成時(shí)，若整個(gè)系統(tǒng)所受，若整個(gè)系統(tǒng)所受合外力矩為零，則系統(tǒng)的合外力矩為零，則系統(tǒng)的角動(dòng)量角動(dòng)量守恒，即有守恒，即有 4 4）對(duì)由剛體和質(zhì)點(diǎn)構(gòu)

31、成的系統(tǒng)）對(duì)由剛體和質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的系統(tǒng), , 若整個(gè)系統(tǒng)所受對(duì)若整個(gè)系統(tǒng)所受對(duì)同一轉(zhuǎn)軸同一轉(zhuǎn)軸的合外力矩為零的合外力矩為零, , 則整個(gè)物體系對(duì)該轉(zhuǎn)軸的則整個(gè)物體系對(duì)該轉(zhuǎn)軸的總角動(dòng)量守恒總角動(dòng)量守恒. .共軸系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒共軸系統(tǒng)若外則恒矢量輪、轉(zhuǎn)臺(tái)與人系統(tǒng)輪、轉(zhuǎn)臺(tái)與人系統(tǒng)輪人臺(tái)初態(tài)全靜人沿某一轉(zhuǎn)向撥動(dòng)輪子輪人臺(tái)末態(tài)末態(tài)人臺(tái)反人臺(tái)反向轉(zhuǎn)動(dòng)向轉(zhuǎn)動(dòng)直升飛機(jī)防旋措施直升飛機(jī)防止機(jī)身旋動(dòng)的措施用兩個(gè)對(duì)轉(zhuǎn)的頂漿（支奴干 CH47)用 尾 漿（美洲豹 SA300）（ 海豚 ）守恒例題一A、B兩輪共軸A以 A A、B以B同向同向轉(zhuǎn)動(dòng)兩輪嚙合后一起轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度一起轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度常矢量常矢量，LM0解：解：BAJJ

32、 BABBAAJJJJAAJBBJBABBAAJJJJ000BABBAAJJJJ討論：討論：假若兩輪的轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反，則假若兩輪的轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反，則= =？假設(shè)為假設(shè)為A正，則有：正，則有：停停止止角角動(dòng)動(dòng)量量等等值值反反向向、原原原原轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)反反向向與與原原轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)同同向向與與BAAA【例】【例】已知圓盤的已知圓盤的質(zhì)量質(zhì)量M、半徑半徑R、及、及初角速度初角速度0。子彈子彈m,以以v0射入盤邊緣，求此后盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度。射入盤邊緣，求此后盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度。0vR0o對(duì)對(duì)M和和m組成的系統(tǒng)，角動(dòng)量組成的系統(tǒng)，角動(dòng)量守恒，有：守恒，有：02021MRmRv )21(2122020mRMRMRmRv解：解

33、：)21(22mRMR 【例】【例】一半徑為一半徑為R、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J的圓柱體可以繞水平固的圓柱體可以繞水平固定的中心軸定的中心軸o無摩擦地轉(zhuǎn)動(dòng)。起初圓柱體靜止，一質(zhì)量為無摩擦地轉(zhuǎn)動(dòng)。起初圓柱體靜止，一質(zhì)量為M的木塊以速度的木塊以速度v1在光滑平面上向右滑動(dòng)，并擦過圓柱體在光滑平面上向右滑動(dòng)，并擦過圓柱體上表面躍上另一同高度的光滑平面。設(shè)它和圓柱體脫離接上表面躍上另一同高度的光滑平面。設(shè)它和圓柱體脫離接觸以前，它們之間無相對(duì)滑動(dòng)，試求木塊的最后速率觸以前，它們之間無相對(duì)滑動(dòng)，試求木塊的最后速率v2 。M1v2vRo恒恒組組成成的的系系統(tǒng)統(tǒng)，角角動(dòng)動(dòng)量量守守解解：對(duì)對(duì)于于圓圓柱柱體體與與木木塊塊RMv1Rv22121MRJvv解得解得RMvJ2 【例】【例】長為長為l，質(zhì)量為，質(zhì)量為M的勻質(zhì)細(xì)桿，可繞過的勻質(zhì)細(xì)桿，可繞過O的光滑水平軸轉(zhuǎn)的光滑水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)。起初桿豎直靜止。一質(zhì)量為動(dòng)。起初桿豎直靜止。一質(zhì)量為m的的子彈子彈在桿的轉(zhuǎn)動(dòng)面內(nèi)以在桿的轉(zhuǎn)動(dòng)面內(nèi)以速度速度